正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理

1、正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)1 .概述任何生產(chǎn)部門，任何科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作，為達(dá)到預(yù)期目的和效果都必須恰當(dāng)?shù)匕才艑?shí)驗(yàn)工作，力求通過次數(shù)不多的實(shí)驗(yàn)認(rèn)識所研究課題的基本規(guī)律并取得滿意的結(jié)果。例如為擬定一個正確而簡便的分析方法，必然要研究影響這種分析方法效果的種種條件，諸如試劑濃度和用量、溶液酸度、反應(yīng)時(shí)間以及共存組分的干擾等等。同時(shí)，對于影響分析效果的每一種條件，還應(yīng)通過試驗(yàn)選擇合理的范圍。在這里，我們把受到條件影響的反系方法的準(zhǔn)確度、精密度以及方法的效果等叫做指標(biāo)；把試驗(yàn)中要研究的條件叫做因素；把每種條件在試驗(yàn)范圍內(nèi)的取值（或選取的試驗(yàn)點(diǎn)）叫做該條件的水平。這就是說我們常常遇到的問題可能包括多種因素，各種因素又有不同

2、的水平，每種因素可能對分析結(jié)果產(chǎn)生各自的影響，也可能彼此交織在一起而產(chǎn)生綜合的效果。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是用于安排多因素實(shí)驗(yàn)并考察各因素影響大小的一種科學(xué)設(shè)計(jì)方法。它始于1942年,之后在各個領(lǐng)域里都得到很快的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。這種科學(xué)設(shè)計(jì)方法是應(yīng)用一套已規(guī)格化的表格一一正交表來安排實(shí)驗(yàn)工作，其優(yōu)點(diǎn)是適合于多種因素的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，便于同時(shí)考查多種因素各種水平對指標(biāo)的影響通過較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，選出最佳的實(shí)驗(yàn)條件，即選出各因素的某一水平組成比較合適的條件，這樣的條件就所考查的因素和水平而言，可視為最佳條件。另一方面，還可以幫助我們在錯綜復(fù)雜的因素中抓住主要因素，并判斷那些因素只起單獨(dú)的作用，那些因素除自身的單獨(dú)

3、作用外，它們之間還產(chǎn)生綜合的效果。數(shù)理統(tǒng)計(jì)上的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)還能給出誤差的估計(jì)。2 .試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法全面試驗(yàn)法正交設(shè)計(jì)的方法，首先應(yīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)的目的，確定影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各種因素，選擇這些影響因素的試驗(yàn)點(diǎn)，進(jìn)而擬出實(shí)驗(yàn)方案，之后按所擬方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果作出評估。必要時(shí)再擬出進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)方案，使實(shí)驗(yàn)工作更趨完善，所得結(jié)果也更為可靠。如在研究某一顯色反應(yīng)時(shí)，為選擇合適的顯色溫度、酸度和顯色完全的時(shí)間，可作如下的試驗(yàn)安排。首先確定上述三因素的實(shí)驗(yàn)范圍：顯色溫度：25之一35C（溫度以A表示）酸濃度：L（酸濃度以B表示）顯色時(shí)間：1030min（時(shí)間以C表示）其次確定每種因素在上述實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)各取的水平

4、數(shù)（如各取三個水平）因素A的三個水平分別以Ai,A2,A表不；因素B的三個水平分別以Bi,B2,B3表?。灰蛩谻的三個水平分別以C,C2,C3表??；然后將顯色試驗(yàn)的因素、水平列為下表。二、因素ABC水平f、溫度（t/C）酸濃度(C/molL-1)時(shí)間(t/min)125102302033530這是一個三因素三水平的試驗(yàn)問題，對這樣的試驗(yàn)工作可做如下的安排ABCABGABCABGABCABCABC3ABGA3B1C3AB2cAB2cA3B2CAB2C2AB2C2A362GAB2c3AB2c3A3B2C3ARGARCARCARGARGARCA1BC3ARGARC即三因素水平的試驗(yàn)共27種組合（33

5、=27）,按上組合方式做完27次試驗(yàn)后自然可得出在所確定的因素和水平下的最佳顯色條件。這種全面試驗(yàn)的方法，對事物的內(nèi)部規(guī)律剖析得十分清楚，但卻費(fèi)時(shí)費(fèi)事。假如我們還需要對實(shí)驗(yàn)精密度，對試驗(yàn)誤差的大小做出估計(jì)，則每一試驗(yàn)至少應(yīng)重復(fù)一次。即應(yīng)做54次實(shí)驗(yàn)。如果在討論六因素而每種因素均取5個水平時(shí)，則全面試驗(yàn)的數(shù)目是56=15625次，這里還未包括為了給出誤差估計(jì)所需的重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，顯然這是難以付諸實(shí)施的。當(dāng)考察的因素，水平數(shù)越多，在試驗(yàn)中所有可能的搭配也更多，要逐個地進(jìn)行試驗(yàn)，顯然是不可能的。這就提出了合理地設(shè)計(jì)和安排試驗(yàn)的問題。提出了通過較少量的試驗(yàn)次數(shù)以獲得理想的實(shí)驗(yàn)條件取得最佳的試驗(yàn)效果，并對

6、試驗(yàn)結(jié)果做出科學(xué)評估的問題。對于上述試驗(yàn)，一種習(xí)慣的試驗(yàn)方法是簡單比較法。簡單比較法這種方法首先固定因素A、B為某一水平（如Ai、Bi）,改變C以獲得在Ai、Bi時(shí)C的最佳水平（設(shè)為在其下以“-。C；AiBiCC3然后固定A為Ai,C為G,改變B以獲得在Ai、G時(shí)B的最佳水平（設(shè)為B3）AiC23再固定B為B3,C為G,改變A以獲得在B、G時(shí)的最佳水平（設(shè)為A）這樣可以認(rèn)為A2B3c為較佳的顯色條件，即簡單比較法經(jīng)過9次試驗(yàn)也能獲得較佳的試驗(yàn)條件，但卻存在以下缺點(diǎn)：當(dāng)各因素之間交互影響較大時(shí)，ABG不認(rèn)為是最佳試驗(yàn)條件。它未能保證三因素中任何兩因素的不同水平之間相碰一次因而上不均衡的，它提供的

7、信息也是不豐富的。在不做重復(fù)試驗(yàn)的情況下，不能給出誤差的估計(jì)。如何保持這種方法試驗(yàn)次數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)而又能避免上述缺點(diǎn)呢，可采用正交設(shè)計(jì)的方法來解決。在這9次試驗(yàn)中實(shí)際上有兩次試驗(yàn)是在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)（ARG和ARG）,所以只有7次屬不同條件下的實(shí)驗(yàn)，另一方面還可看出各因素、各水平出現(xiàn)的機(jī)會是不均衡的，其中AnC各出現(xiàn)了7次；R、Ci各出現(xiàn)了4次；而入、A、C、C、B2卻只出現(xiàn)了一次，顯然，它們的出現(xiàn)的機(jī)會是很不均衡的。簡單比較法認(rèn)為最佳的分析條件是ABsG,但在試驗(yàn)過程中G是在AB條件下與C和C3相比，是最佳的一個條件水平，至于因素A、B取其他水平時(shí)是否也得出同樣的結(jié)論，卻未做過實(shí)驗(yàn)，也不能得

8、出同樣的結(jié)論，故上述的條件不能視為最佳的顯色條件，而只能是最佳條件的一種估計(jì)。導(dǎo)致上述幾種問題的原因是簡單比較法中各因素各水平的搭配不是均衡分散的，只能在同一批試驗(yàn)中做單因素比較，而在不同批數(shù)的試驗(yàn)之間卻無法進(jìn)行比較。2. 3正交設(shè)計(jì)法試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個重要內(nèi)容，正交設(shè)計(jì)是利用預(yù)先編制好的正交表來合理的安排多因素試驗(yàn)，以便通過少量的試驗(yàn)次數(shù)來獲得滿意的結(jié)果，同時(shí)對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析?，F(xiàn)在對三因素三水平的試驗(yàn)做如下的安排，首先只考慮A、B兩因素，起全面實(shí)驗(yàn)應(yīng)作9次，如下表所示。BiB2B3AAiBiAB2A1B3AABAB2A2B3AA3B1AB2A3B3這時(shí)兩因素的三水平相互各碰一次

9、，它反映的情況全面，現(xiàn)在將因素C考慮進(jìn)去，也同樣希望在任何兩個因素的不同水平之間各相碰一次而有不增加試驗(yàn)的次數(shù)，可做如下按排.OCB、AB1B2B3AAABCAB1C2AB2C2AB2c3ABC3A2RCAAB2cA3B3C2按上表安排的9次試驗(yàn)與簡單比較法相比，試驗(yàn)次數(shù)相同但卻克服了簡單比較法的不均衡性，A的每個水平和B、C的三個水平分別各碰一次，B的每個水平和A、C的三個水平分別各碰一次，對C也是類似的情況。即三因素中任何兩因素的不同水平均相碰一次因而試驗(yàn)是均衡的，上述9次試驗(yàn)可視為三因素三水平的全面試驗(yàn)的代表。為了書寫方便，上述試驗(yàn)設(shè)計(jì)可簡化為下表：CB123A112322313312表

10、中右下角部分的每一行和每一列中，1,2,3正好各出現(xiàn)一次，我們把具有這樣的性質(zhì)方塊叫拉丁方,在排這種方塊時(shí)常用拉丁字母，故有拉丁方之稱。3正交設(shè)計(jì)法的基本特征3. 1均衡分散性在正交設(shè)計(jì)的試驗(yàn)安排中，各因素之間的搭配是均勻的，這種因素間搭配的均勻性一一試驗(yàn)點(diǎn)分布的均衡性成為正交設(shè)計(jì)的均衡分散性?；蛘哒f，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)把各試驗(yàn)條件均衡地分散在排列完全的水平組合之中，是之更具有代表性，更易于通過最少的試驗(yàn)次數(shù)來尋求最佳的試驗(yàn)條件，正交設(shè)計(jì)的這種性質(zhì)，可以從試驗(yàn)結(jié)果的平均值中消除由于非均衡所引起的誤差，有利于提高測定結(jié)果的可靠信。整齊可比性正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各因素各水平之間不僅搭配均勻，而且變化很有規(guī)律

11、。在考慮某因素的每一水平的試驗(yàn)中，其他各因素各水平出現(xiàn)的次數(shù)都相同，所作的貢獻(xiàn)也認(rèn)為是一致的。這樣在比較各因素的每一水平對指標(biāo)生產(chǎn)的影響時(shí)，就能最大限度地排除其他因素的干擾，突出本因素的作用，也就將各因素的效應(yīng)清楚地加以區(qū)別并估計(jì)其大小，這就是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的整齊可比性。在數(shù)學(xué)上把均衡分散性和整齊可比性稱為正交性，凡具有這特性的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法都稱為正交設(shè)計(jì)法。正是由于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)最大限度地排除了其他因素的干擾并消除了非均勻分散性可能造成的誤差，因而只要比較因素各水平的試驗(yàn)指標(biāo)的平均植，就能估計(jì)各因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響大小，這在后面將作具體的介紹。兩拉丁方的疊合在上述三因素三水平的基礎(chǔ)上，如果還需同時(shí)

12、考慮第四個因素D,且因素D也取三個水平（D1,D2,D3）,那么能否在不增加試驗(yàn)次數(shù)而又能保持前述的要求呢？這首先應(yīng)將D的三個水平拼成拉丁方，其次D的拉丁方和C的拉丁方不一樣。對于前著，是使D也能與AB均衡搭配；對于后者，是使D與C之間也能均衡，既無重復(fù)，又無遺漏。若用（1）,（2）,（3）表示D的三個水平，而D的拉丁方與C的拉丁方相同時(shí)，其9次試驗(yàn)安排為：C(D)A-BX12311(1)2(2)3(3)22(2)3(3)1(1)33(3)1(1)2(2)這時(shí)A、B和D間是均衡的搭配，但C和D的搭配卻不均衡，C的（1）水平和D的（1）水平相碰三次而不與D的（2）、（3）水平相碰，C的其他水平也

13、有類似的情況。所以上述的試驗(yàn)安排是不妥的，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果表明C的（1）水平最好，而在C?。?）水平時(shí)總是伴隨著D的（1）水平的出現(xiàn)，自然也可以認(rèn)為是D的（1）水平也最好，導(dǎo)致C和D的作用混雜。改進(jìn)上述試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，只需使D的拉丁方和C的拉丁方不同，兩拉丁方具有均勻的搭配。按此原則可作如下的設(shè)計(jì):C、DBA12311(1)21322(3)3(1)1(2)33(2)1(3)2(1)這時(shí)D的三個水平組成的是拉丁方，它和A、B及C之間的搭配都是均衡的，D的每一水平和C的1、2、3水平各碰一次，C的每一水平也和D的（1）、（2）、（3）水平各碰一次，既無重復(fù)，也無遺漏?，F(xiàn)將兩個拉丁方叫正交拉丁方。兩個拉丁方

14、疊合在一起，就獲得上述的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，習(xí)慣上把具有這種性質(zhì)的1(1)2(2)3(3)2(3)3(1)1(2)3(2)1(3)2(1)正交拉方設(shè)計(jì)因其搭配均衡，在分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可以把每個因素的作用剖析得十分清楚而不致混雜，同時(shí)還可簡便地尋求到最優(yōu)的測量條件，達(dá)到預(yù)期的效果。第一部分正交試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析1,正交表及其使用正交表它是一種預(yù)先編制好的表格，根據(jù)這種表可合理安排試驗(yàn)并對試驗(yàn)數(shù)據(jù)作出判斷對于前述的三因素三水平試的設(shè)計(jì)安排，可米用L9(3)正交表來完成。L9(3)表見表1.表1L9(34)正交表水平試驗(yàn)號112341111121222313334212352231623127313283213

15、93321表L9(34)讀作L934,符號L表示正交表，L右下角的數(shù)字“9”表示此表有9行，即需安排9個實(shí)驗(yàn)，括號內(nèi)數(shù)字的指數(shù)“4”表示有4歹U,即最多能安排四個因素；括號內(nèi)數(shù)字的底數(shù)“3”表示每個因素取三個水平。表頭的列號是置放試驗(yàn)中的因素(因素常記為A、B、CD)，表中列號1、2、3、4是在不考慮交互作用時(shí)最多可置放四個因素(因素少于四時(shí)，可只用其中幾列)，表的左側(cè)為試驗(yàn)號，表內(nèi)的1、2、3是因素在試驗(yàn)中應(yīng)分別取的水平，故稱作水平號。L9(34)正交表可解決四因素(或少于四因素)的三水平試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，是一種較為簡單的正交表。當(dāng)試驗(yàn)因素及所取水平數(shù)更多時(shí)，則應(yīng)選擇其它種類的正交表，如Lie(

16、45)、L27(313)、L25(56)、Lie(42X29)等，其中Lie(42X29)表示作16個試驗(yàn)，可安兩個四水平的因素和9個二水平的因素。.正交表的選擇選擇正交表時(shí)可考慮以下幾點(diǎn)：()根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康拇_定要考查的因素，如對試驗(yàn)的變化規(guī)律有大致的了解，有把握判斷出影響試驗(yàn)效果的主要因素，可少取些因素，也可多取些因素，總之不能將主要影響因素漏掉。()確定各因素的變化范圍和水平數(shù)，每個因素的水平數(shù)可以相等，也可以不等，一般地說，重要因素或者特別希望詳細(xì)考查的因素，其變化范圍可寬些水平數(shù)可多些，其余的因素所取水平數(shù)則可少些。()根據(jù)試驗(yàn)者進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)一次能平行完成的試驗(yàn)次數(shù)而選擇正交表。()選用正

17、交表除考慮因素水平及試驗(yàn)條件外，還應(yīng)考慮對試驗(yàn)結(jié)果精度的要求。當(dāng)對試驗(yàn)結(jié)果的精度要求高時(shí)，宜取試驗(yàn)次數(shù)多的正交表，試驗(yàn)費(fèi)用貴或試驗(yàn)周期長的，可取試驗(yàn)次數(shù)少的正交表。當(dāng)存在交互作用時(shí)，應(yīng)選用具交互作用的正交表。，般情況下，若因素全為二水平時(shí)，可選用L4(23)、L8(27)、Lie(215)等正交表；因素全是三水平時(shí)，可選用L9(34)、Li8(2X37)、L27(318)等正交表；若因素全為四水平的，可選用Lie(45)正交表；因素全為五水平的則選用Lie(45)正交表。當(dāng)因素取不同水平時(shí)，一方面可采用下面即將介紹的擬水平法，一方面可直接套用L8(4X*28)、Li2(3X28)、Lie(4X

18、2i2)、Li8(42X29)等混合水平正交表。在三水平實(shí)驗(yàn)種選Li8(2X廠)，其中2水平所在的列，不做安排。三水平因素可在其它7列選用。正交試驗(yàn)的工作程序及幾點(diǎn)說明在選擇所需要的正交表后，將已確定的因素放置在表的任意列上，并把每一列的i、2、3填入具體水平，即得出試驗(yàn)方案。今仍以前述三因素三水平的顯色反應(yīng)為例，其試驗(yàn)方案如下表所示。表：三因素三水平正交試驗(yàn)表水平123試驗(yàn)結(jié)果A(t/oCB(mol/L)C(t/min)試驗(yàn)號11(25)101(10)21(25)202(20)31(25)303(30)42(30)102(20)52(30)203(30)62(30)301(10)73(35)

19、103(30)83(35)201(10)93(35)302(20)表中每一橫行表示一次試驗(yàn)及進(jìn)行該試驗(yàn)時(shí)所取的條件，按上安排作完實(shí)驗(yàn)后并將所測結(jié)果填入最后一列內(nèi)，至于試驗(yàn)結(jié)果的分析，將在以后再作討論。上面的試驗(yàn)設(shè)計(jì)表未考慮因素之間的交互作用，故選用L9(34)正交表，三因素在表上所處的列可任意選擇而且可將因素的次序進(jìn)行交換。如在1、2、3列可依次排列A、B、C三因素，也可安排為AC、B三因素，在把因素及水平排入正交表后而獲得一張?jiān)囼?yàn)設(shè)計(jì)表，這過程叫表頭設(shè)計(jì)。L9(34)表所安排的9次試驗(yàn)，不一定按表上的試驗(yàn)號碼排列，也可按抽簽的方法來決定，這樣處理是為了減少試驗(yàn)中由于先后掌握不勻所帶來的影響，

20、但對有些試驗(yàn)，其次序卻不宜隨意變更。對于每個因素的水平并不一定總是由小到大(或由大到小)按順序排列，一般采用隨機(jī)化方法來處理，即對部分因素的水平作隨機(jī)的排列。常用的正交表三因素二水平正交表試驗(yàn)號正交表為L4(23),表頭設(shè)計(jì)為：1111212232124221七因素二水平正交表正交表為L8(27),表頭設(shè)計(jì)為:列號試驗(yàn)號12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112更多因素二水平的正交法612221221211721221122121821212221112921122212211102221111

21、2212112212121112222112121221四因素三水平正交表正交表為L9(34),表頭設(shè)計(jì)在前已述及，當(dāng)為三因素時(shí)，此三因素可在表頭上占取任意三列，如三因素三水平在選用L9(34)時(shí)，表頭設(shè)計(jì)可為：試驗(yàn)號列號123111121223133421352216232731283239331七因素三水平正交表試'111111111212222221313333331421122331522233111623311221731213231832321311933132122101133221211121133221213221132132123132214223121321523

22、123212163132312217321312321833212312*：若把二水平的列1排進(jìn)L18(37)表中，便得到混合型L18(21X37)表。更多因素的三水平正交表可選用L27(313)、L36(313)正交表。五因素四水平正交表正交表為L16(45),表頭設(shè)計(jì)為:列號12345試驗(yàn)號'-、一、.1111112122223133334144445212346221437234128243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132更多因素的四水平，可選用L32(49)正交表。六因素五水平正交表正交表為L25

23、(56),表頭設(shè)計(jì)為:列號123456實(shí)驗(yàn)號、111111121222223133333414444451555556212345722345182345129245123102512341131352412324135133352411434135215352413164142531742531418431425194425312045314221515432225215432353215424543215255543212,二列間交互作用正交表二列間指兩因素之間（因?yàn)橐蛩卣即鮑）交互作用正交表除能對因素的主效應(yīng)進(jìn)行考查外，有時(shí)還能簡便地考查各因素之間的交互作用并給出交互效應(yīng)的大小。所謂交互

24、作用，是指在某些試驗(yàn)中，不僅因素自身對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響，而且因素之間產(chǎn)生協(xié)同的影響這種協(xié)同作用叫交互作用。如考查氮肥（N）和磷肥（P）對豆類增產(chǎn)效果，可在四塊土質(zhì)情況基本相同的土地上做四個試驗(yàn)，試驗(yàn)中施肥情況及產(chǎn)量如表所示.表：氮肥,磷肥對豆類產(chǎn)量的影響試驗(yàn)號N量(n/kg)P量(n/kg)產(chǎn)量（n/kg）100200230215302225432275由表知，單施氮肥3kg增產(chǎn)豆類15kg；單施磷肥2kg增產(chǎn)豆類25kg；同時(shí)施加了3kg氮肥和2kg磷，豆類增產(chǎn)量不是把兩種肥料單獨(dú)使用時(shí)增產(chǎn)豆類量的加和，而是增產(chǎn)了75kg,說明兩種肥料對豆類增產(chǎn)起了協(xié)同的效果，這種作用叫氮肥和磷肥的交互作用

25、，以NXP表示。對于其它的因素，則記作因素1X因素2,或AXRAXC等。二列間交互作用正交表試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，要考慮各因素間有無交互作用，這既可從專業(yè)本身加以判斷，也可對一定的試驗(yàn)方案下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析來加以確定。在常用正交表中，有的只能考查因素本身的效應(yīng)，不能用以考查因素間的交互作用；有的則可以分析因素間的交互作用，很多正交表都附有相應(yīng)的二列間的交互作用表。在作表頭設(shè)計(jì)時(shí)，若不考慮因素間的交互作用，則因素置那一列上可任意選取，若因素間存在交互作用，則因素的置放要根據(jù)一定的規(guī)則，應(yīng)利用有交互作用的表來設(shè)計(jì)表頭。今以L8（27）正交表來安排具有二列間交互作用的試驗(yàn)工作時(shí)，可由表2對因素及交互列在表

26、頭中所處的列號作出安排。表2:心（27）二列間交互作用表列號列號、1(A)2(B)3(A*B)4(C)5(A*C)6(B*C)71(A)(1)3254762(B)(2)167453(A*B)(3)76544(C)(4)1235(A*C)(5)326(B*C)(6)17(7)表2中最上一行和最左側(cè)一列數(shù)字以及括號(呈對角線)內(nèi)的數(shù)字是列號，其余數(shù)字均為交互作用的列號。對于三因素而言，先將因素置放在表的第1、2歹U,則A和B相交的位置上的數(shù)字為3。即A*B應(yīng)置放在第3列上，再將因素c置放于第4歹U,則A和C相交位置上的數(shù)字是5,B和C相交位置上的數(shù)字是6,這樣A和C及B和C的交互作用列應(yīng)分別為第5

27、列和第6歹U。如果考查時(shí)還有第四個因素D,并將它置放于第6歹U,根據(jù)上表可得如下的表頭設(shè)計(jì)。列號1234567因素ABC*DA*BCB*DA*CDB*CA*D這樣的設(shè)計(jì)中，雖有B和CXDC與BXDD與BXC的混雜，但如果已知BC、D之間的交互作用很小。故不致影響試驗(yàn)結(jié)果的分析，仍可進(jìn)引因素A、B、C及交互作用AXBAXC及AXD的考查。如果要對四個因素及其兩兩之間的交互作用都作全面的考查，不允許上述存在的幾種混雜，故此時(shí)不能選用L8(27)表，而選用Li6(215)二列向的交互作用表，見表3。.15表3:L16(2)二列向的交互作用表列123456789101112131415列'號1

28、(1)325476981110131215142(2)16745101189141512133(3)7654111098151413124(4)123121314158910115(5)32131215149811106(6)1141512131011897(7)151413121110988(8)12345679(9)32547610(1016745)11(117654)12(12123)13(1332)14(141)15(15)這樣，對于四因素的表頭設(shè)計(jì)為:列號123456789101112131415因素ABAXBCAxcBxcDAXDBXDCXD表3中，D未置入第7歹U。原因是D置于7列后，AXD應(yīng)置第6歹U,導(dǎo)致與BXC的混雜。對于五因素。二水平的試驗(yàn)，在同時(shí)考慮各因素之間的交互作用時(shí)，因五因素自身及它們之間的兩兩交互作用共有15項(xiàng)，仍可用L16(215)二列間交互作用表，其表頭設(shè)計(jì)為:列號12345678因素ABA*BCA*CB*CD*ED列號9101112131415因素A*DB*DC*EC*DB*EA*EE如果考查一個四因素三水平的問題，在只考慮因素主效應(yīng)時(shí)，選用L8(27)正交表，讓因素順序上列，L8(27)