正交試驗設(shè)計原理

1、正交實驗設(shè)計1 .概述任何生產(chǎn)部門，任何科學實驗工作，為達到預期目的和效果都必須恰當?shù)匕才艑嶒灩ぷ?，力求通過次數(shù)不多的實驗認識所研究課題的基本規(guī)律并取得滿意的結(jié)果。例如為擬定一個正確而簡便的分析方法，必然要研究影響這種分析方法效果的種種條件，諸如試劑濃度和用量、溶液酸度、反應時間以及共存組分的干擾等等。同時，對于影響分析效果的每一種條件，還應通過試驗選擇合理的范圍。在這里，我們把受到條件影響的反系方法的準確度、精密度以及方法的效果等叫做指標；把試驗中要研究的條件叫做因素；把每種條件在試驗范圍內(nèi)的取值（或選取的試驗點）叫做該條件的水平。這就是說我們常常遇到的問題可能包括多種因素，各種因素又有不同

2、的水平，每種因素可能對分析結(jié)果產(chǎn)生各自的影響，也可能彼此交織在一起而產(chǎn)生綜合的效果。正交試驗設(shè)計就是用于安排多因素實驗并考察各因素影響大小的一種科學設(shè)計方法。它始于1942年,之后在各個領(lǐng)域里都得到很快的發(fā)展和廣泛應用。這種科學設(shè)計方法是應用一套已規(guī)格化的表格一一正交表來安排實驗工作，其優(yōu)點是適合于多種因素的實驗設(shè)計，便于同時考查多種因素各種水平對指標的影響通過較少的實驗次數(shù)，選出最佳的實驗條件，即選出各因素的某一水平組成比較合適的條件，這樣的條件就所考查的因素和水平而言，可視為最佳條件。另一方面，還可以幫助我們在錯綜復雜的因素中抓住主要因素，并判斷那些因素只起單獨的作用，那些因素除自身的單獨

3、作用外，它們之間還產(chǎn)生綜合的效果。數(shù)理統(tǒng)計上的實驗設(shè)計還能給出誤差的估計。2 .試驗設(shè)計的基本方法全面試驗法正交設(shè)計的方法，首先應根據(jù)實驗的目的，確定影響實驗結(jié)果的各種因素，選擇這些影響因素的試驗點，進而擬出實驗方案，之后按所擬方案進行實驗并對實驗結(jié)果作出評估。必要時再擬出進一步的實驗方案，使實驗工作更趨完善，所得結(jié)果也更為可靠。如在研究某一顯色反應時，為選擇合適的顯色溫度、酸度和顯色完全的時間，可作如下的試驗安排。首先確定上述三因素的實驗范圍：顯色溫度：25之一35C（溫度以A表示）酸濃度：L（酸濃度以B表示）顯色時間：1030min（時間以C表示）其次確定每種因素在上述實驗范圍內(nèi)各取的水平

4、數(shù)（如各取三個水平）因素A的三個水平分別以Ai,A2,A表不；因素B的三個水平分別以Bi,B2,B3表??；因素C的三個水平分別以C,C2,C3表??；然后將顯色試驗的因素、水平列為下表。二、因素ABC水平f、溫度（t/C）酸濃度(C/molL-1)時間(t/min)125102302033530這是一個三因素三水平的試驗問題，對這樣的試驗工作可做如下的安排ABCABGABCABGABCABCABC3ABGA3B1C3AB2cAB2cA3B2CAB2C2AB2C2A362GAB2c3AB2c3A3B2C3ARGARCARCARGARGARCA1BC3ARGARC即三因素水平的試驗共27種組合（33

5、=27）,按上組合方式做完27次試驗后自然可得出在所確定的因素和水平下的最佳顯色條件。這種全面試驗的方法，對事物的內(nèi)部規(guī)律剖析得十分清楚，但卻費時費事。假如我們還需要對實驗精密度，對試驗誤差的大小做出估計，則每一試驗至少應重復一次。即應做54次實驗。如果在討論六因素而每種因素均取5個水平時，則全面試驗的數(shù)目是56=15625次，這里還未包括為了給出誤差估計所需的重復試驗次數(shù)，顯然這是難以付諸實施的。當考察的因素，水平數(shù)越多，在試驗中所有可能的搭配也更多，要逐個地進行試驗，顯然是不可能的。這就提出了合理地設(shè)計和安排試驗的問題。提出了通過較少量的試驗次數(shù)以獲得理想的實驗條件取得最佳的試驗效果，并對

6、試驗結(jié)果做出科學評估的問題。對于上述試驗，一種習慣的試驗方法是簡單比較法。簡單比較法這種方法首先固定因素A、B為某一水平（如Ai、Bi）,改變C以獲得在Ai、Bi時C的最佳水平（設(shè)為在其下以“-。C；AiBiCC3然后固定A為Ai,C為G,改變B以獲得在Ai、G時B的最佳水平（設(shè)為B3）AiC23再固定B為B3,C為G,改變A以獲得在B、G時的最佳水平（設(shè)為A）這樣可以認為A2B3c為較佳的顯色條件，即簡單比較法經(jīng)過9次試驗也能獲得較佳的試驗條件，但卻存在以下缺點：當各因素之間交互影響較大時，ABG不認為是最佳試驗條件。它未能保證三因素中任何兩因素的不同水平之間相碰一次因而上不均衡的，它提供的

7、信息也是不豐富的。在不做重復試驗的情況下，不能給出誤差的估計。如何保持這種方法試驗次數(shù)少的優(yōu)點而又能避免上述缺點呢，可采用正交設(shè)計的方法來解決。在這9次試驗中實際上有兩次試驗是在相同條件下的重復試驗（ARG和ARG）,所以只有7次屬不同條件下的實驗，另一方面還可看出各因素、各水平出現(xiàn)的機會是不均衡的，其中AnC各出現(xiàn)了7次；R、Ci各出現(xiàn)了4次；而入、A、C、C、B2卻只出現(xiàn)了一次，顯然，它們的出現(xiàn)的機會是很不均衡的。簡單比較法認為最佳的分析條件是ABsG,但在試驗過程中G是在AB條件下與C和C3相比，是最佳的一個條件水平，至于因素A、B取其他水平時是否也得出同樣的結(jié)論，卻未做過實驗，也不能得

8、出同樣的結(jié)論，故上述的條件不能視為最佳的顯色條件，而只能是最佳條件的一種估計。導致上述幾種問題的原因是簡單比較法中各因素各水平的搭配不是均衡分散的，只能在同一批試驗中做單因素比較，而在不同批數(shù)的試驗之間卻無法進行比較。2. 3正交設(shè)計法試驗設(shè)計是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要內(nèi)容，正交設(shè)計是利用預先編制好的正交表來合理的安排多因素試驗，以便通過少量的試驗次數(shù)來獲得滿意的結(jié)果，同時對試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析?，F(xiàn)在對三因素三水平的試驗做如下的安排，首先只考慮A、B兩因素，起全面實驗應作9次，如下表所示。BiB2B3AAiBiAB2A1B3AABAB2A2B3AA3B1AB2A3B3這時兩因素的三水平相互各碰一次

9、，它反映的情況全面，現(xiàn)在將因素C考慮進去，也同樣希望在任何兩個因素的不同水平之間各相碰一次而有不增加試驗的次數(shù)，可做如下按排.OCB、AB1B2B3AAABCAB1C2AB2C2AB2c3ABC3A2RCAAB2cA3B3C2按上表安排的9次試驗與簡單比較法相比，試驗次數(shù)相同但卻克服了簡單比較法的不均衡性，A的每個水平和B、C的三個水平分別各碰一次，B的每個水平和A、C的三個水平分別各碰一次，對C也是類似的情況。即三因素中任何兩因素的不同水平均相碰一次因而試驗是均衡的，上述9次試驗可視為三因素三水平的全面試驗的代表。為了書寫方便，上述試驗設(shè)計可簡化為下表：CB123A112322313312表

10、中右下角部分的每一行和每一列中，1,2,3正好各出現(xiàn)一次，我們把具有這樣的性質(zhì)方塊叫拉丁方,在排這種方塊時常用拉丁字母，故有拉丁方之稱。3正交設(shè)計法的基本特征3. 1均衡分散性在正交設(shè)計的試驗安排中，各因素之間的搭配是均勻的，這種因素間搭配的均勻性一一試驗點分布的均衡性成為正交設(shè)計的均衡分散性。或者說，正交試驗設(shè)計把各試驗條件均衡地分散在排列完全的水平組合之中，是之更具有代表性，更易于通過最少的試驗次數(shù)來尋求最佳的試驗條件，正交設(shè)計的這種性質(zhì)，可以從試驗結(jié)果的平均值中消除由于非均衡所引起的誤差，有利于提高測定結(jié)果的可靠信。整齊可比性正交試驗設(shè)計中，各因素各水平之間不僅搭配均勻，而且變化很有規(guī)律

11、。在考慮某因素的每一水平的試驗中，其他各因素各水平出現(xiàn)的次數(shù)都相同，所作的貢獻也認為是一致的。這樣在比較各因素的每一水平對指標生產(chǎn)的影響時，就能最大限度地排除其他因素的干擾，突出本因素的作用，也就將各因素的效應清楚地加以區(qū)別并估計其大小，這就是正交試驗設(shè)計的整齊可比性。在數(shù)學上把均衡分散性和整齊可比性稱為正交性，凡具有這特性的試驗設(shè)計方法都稱為正交設(shè)計法。正是由于正交試驗設(shè)計最大限度地排除了其他因素的干擾并消除了非均勻分散性可能造成的誤差，因而只要比較因素各水平的試驗指標的平均植，就能估計各因素對試驗指標的影響大小，這在后面將作具體的介紹。兩拉丁方的疊合在上述三因素三水平的基礎(chǔ)上，如果還需同時

12、考慮第四個因素D,且因素D也取三個水平（D1,D2,D3）,那么能否在不增加試驗次數(shù)而又能保持前述的要求呢？這首先應將D的三個水平拼成拉丁方，其次D的拉丁方和C的拉丁方不一樣。對于前著，是使D也能與AB均衡搭配；對于后者，是使D與C之間也能均衡，既無重復，又無遺漏。若用（1）,（2）,（3）表示D的三個水平，而D的拉丁方與C的拉丁方相同時，其9次試驗安排為：C(D)A-BX12311(1)2(2)3(3)22(2)3(3)1(1)33(3)1(1)2(2)這時A、B和D間是均衡的搭配，但C和D的搭配卻不均衡，C的（1）水平和D的（1）水平相碰三次而不與D的（2）、（3）水平相碰，C的其他水平也

13、有類似的情況。所以上述的試驗安排是不妥的，當試驗的結(jié)果表明C的（1）水平最好，而在C?。?）水平時總是伴隨著D的（1）水平的出現(xiàn)，自然也可以認為是D的（1）水平也最好，導致C和D的作用混雜。改進上述試驗設(shè)計時，只需使D的拉丁方和C的拉丁方不同，兩拉丁方具有均勻的搭配。按此原則可作如下的設(shè)計:C、DBA12311(1)21322(3)3(1)1(2)33(2)1(3)2(1)這時D的三個水平組成的是拉丁方，它和A、B及C之間的搭配都是均衡的，D的每一水平和C的1、2、3水平各碰一次，C的每一水平也和D的（1）、（2）、（3）水平各碰一次，既無重復，也無遺漏?，F(xiàn)將兩個拉丁方叫正交拉丁方。兩個拉丁方

14、疊合在一起，就獲得上述的試驗設(shè)計，習慣上把具有這種性質(zhì)的1(1)2(2)3(3)2(3)3(1)1(2)3(2)1(3)2(1)正交拉方設(shè)計因其搭配均衡，在分析試驗數(shù)據(jù)時可以把每個因素的作用剖析得十分清楚而不致混雜，同時還可簡便地尋求到最優(yōu)的測量條件，達到預期的效果。第一部分正交試驗結(jié)果的直觀分析1,正交表及其使用正交表它是一種預先編制好的表格，根據(jù)這種表可合理安排試驗并對試驗數(shù)據(jù)作出判斷對于前述的三因素三水平試的設(shè)計安排，可米用L9(3)正交表來完成。L9(3)表見表1.表1L9(34)正交表水平試驗號112341111121222313334212352231623127313283213

15、93321表L9(34)讀作L934,符號L表示正交表，L右下角的數(shù)字“9”表示此表有9行，即需安排9個實驗，括號內(nèi)數(shù)字的指數(shù)“4”表示有4歹U,即最多能安排四個因素；括號內(nèi)數(shù)字的底數(shù)“3”表示每個因素取三個水平。表頭的列號是置放試驗中的因素(因素常記為A、B、CD)，表中列號1、2、3、4是在不考慮交互作用時最多可置放四個因素(因素少于四時，可只用其中幾列)，表的左側(cè)為試驗號，表內(nèi)的1、2、3是因素在試驗中應分別取的水平，故稱作水平號。L9(34)正交表可解決四因素(或少于四因素)的三水平試驗設(shè)計問題，是一種較為簡單的正交表。當試驗因素及所取水平數(shù)更多時，則應選擇其它種類的正交表，如Lie(

16、45)、L27(313)、L25(56)、Lie(42X29)等，其中Lie(42X29)表示作16個試驗，可安兩個四水平的因素和9個二水平的因素。.正交表的選擇選擇正交表時可考慮以下幾點：()根據(jù)試驗目的確定要考查的因素，如對試驗的變化規(guī)律有大致的了解，有把握判斷出影響試驗效果的主要因素，可少取些因素，也可多取些因素，總之不能將主要影響因素漏掉。()確定各因素的變化范圍和水平數(shù)，每個因素的水平數(shù)可以相等，也可以不等，一般地說，重要因素或者特別希望詳細考查的因素，其變化范圍可寬些水平數(shù)可多些，其余的因素所取水平數(shù)則可少些。()根據(jù)試驗者進行試驗時一次能平行完成的試驗次數(shù)而選擇正交表。()選用正

17、交表除考慮因素水平及試驗條件外，還應考慮對試驗結(jié)果精度的要求。當對試驗結(jié)果的精度要求高時，宜取試驗次數(shù)多的正交表，試驗費用貴或試驗周期長的，可取試驗次數(shù)少的正交表。當存在交互作用時，應選用具交互作用的正交表。，般情況下，若因素全為二水平時，可選用L4(23)、L8(27)、Lie(215)等正交表；因素全是三水平時，可選用L9(34)、Li8(2X37)、L27(318)等正交表；若因素全為四水平的，可選用Lie(45)正交表；因素全為五水平的則選用Lie(45)正交表。當因素取不同水平時，一方面可采用下面即將介紹的擬水平法，一方面可直接套用L8(4X*28)、Li2(3X28)、Lie(4X

18、2i2)、Li8(42X29)等混合水平正交表。在三水平實驗種選Li8(2X廠)，其中2水平所在的列，不做安排。三水平因素可在其它7列選用。正交試驗的工作程序及幾點說明在選擇所需要的正交表后，將已確定的因素放置在表的任意列上，并把每一列的i、2、3填入具體水平，即得出試驗方案。今仍以前述三因素三水平的顯色反應為例，其試驗方案如下表所示。表：三因素三水平正交試驗表水平123試驗結(jié)果A(t/oCB(mol/L)C(t/min)試驗號11(25)101(10)21(25)202(20)31(25)303(30)42(30)102(20)52(30)203(30)62(30)301(10)73(35)

19、103(30)83(35)201(10)93(35)302(20)表中每一橫行表示一次試驗及進行該試驗時所取的條件，按上安排作完實驗后并將所測結(jié)果填入最后一列內(nèi)，至于試驗結(jié)果的分析，將在以后再作討論。上面的試驗設(shè)計表未考慮因素之間的交互作用，故選用L9(34)正交表，三因素在表上所處的列可任意選擇而且可將因素的次序進行交換。如在1、2、3列可依次排列A、B、C三因素，也可安排為AC、B三因素，在把因素及水平排入正交表后而獲得一張試驗設(shè)計表，這過程叫表頭設(shè)計。L9(34)表所安排的9次試驗，不一定按表上的試驗號碼排列，也可按抽簽的方法來決定，這樣處理是為了減少試驗中由于先后掌握不勻所帶來的影響，

20、但對有些試驗，其次序卻不宜隨意變更。對于每個因素的水平并不一定總是由小到大(或由大到小)按順序排列，一般采用隨機化方法來處理，即對部分因素的水平作隨機的排列。常用的正交表三因素二水平正交表試驗號正交表為L4(23),表頭設(shè)計為：1111212232124221七因素二水平正交表正交表為L8(27),表頭設(shè)計為:列號試驗號12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112更多因素二水平的正交法612221221211721221122121821212221112921122212211102221111

21、2212112212121112222112121221四因素三水平正交表正交表為L9(34),表頭設(shè)計在前已述及，當為三因素時，此三因素可在表頭上占取任意三列，如三因素三水平在選用L9(34)時，表頭設(shè)計可為：試驗號列號123111121223133421352216232731283239331七因素三水平正交表試'111111111212222221313333331421122331522233111623311221731213231832321311933132122101133221211121133221213221132132123132214223121321523

22、123212163132312217321312321833212312*：若把二水平的列1排進L18(37)表中，便得到混合型L18(21X37)表。更多因素的三水平正交表可選用L27(313)、L36(313)正交表。五因素四水平正交表正交表為L16(45),表頭設(shè)計為:列號12345試驗號'-、一、.1111112122223133334144445212346221437234128243219313421032431113312412342131341423144231415432411644132更多因素的四水平，可選用L32(49)正交表。六因素五水平正交表正交表為L25

23、(56),表頭設(shè)計為:列號123456實驗號、111111121222223133333414444451555556212345722345182345129245123102512341131352412324135133352411434135215352413164142531742531418431425194425312045314221515432225215432353215424543215255543212,二列間交互作用正交表二列間指兩因素之間（因為因素占歹U）交互作用正交表除能對因素的主效應進行考查外，有時還能簡便地考查各因素之間的交互作用并給出交互效應的大小。所謂交互

24、作用，是指在某些試驗中，不僅因素自身對實驗結(jié)果產(chǎn)生影響，而且因素之間產(chǎn)生協(xié)同的影響這種協(xié)同作用叫交互作用。如考查氮肥（N）和磷肥（P）對豆類增產(chǎn)效果，可在四塊土質(zhì)情況基本相同的土地上做四個試驗，試驗中施肥情況及產(chǎn)量如表所示.表：氮肥,磷肥對豆類產(chǎn)量的影響試驗號N量(n/kg)P量(n/kg)產(chǎn)量（n/kg）100200230215302225432275由表知，單施氮肥3kg增產(chǎn)豆類15kg；單施磷肥2kg增產(chǎn)豆類25kg；同時施加了3kg氮肥和2kg磷，豆類增產(chǎn)量不是把兩種肥料單獨使用時增產(chǎn)豆類量的加和，而是增產(chǎn)了75kg,說明兩種肥料對豆類增產(chǎn)起了協(xié)同的效果，這種作用叫氮肥和磷肥的交互作用

25、，以NXP表示。對于其它的因素，則記作因素1X因素2,或AXRAXC等。二列間交互作用正交表試驗設(shè)計時，要考慮各因素間有無交互作用，這既可從專業(yè)本身加以判斷，也可對一定的試驗方案下的實驗數(shù)據(jù)經(jīng)統(tǒng)計分析來加以確定。在常用正交表中，有的只能考查因素本身的效應，不能用以考查因素間的交互作用；有的則可以分析因素間的交互作用，很多正交表都附有相應的二列間的交互作用表。在作表頭設(shè)計時，若不考慮因素間的交互作用，則因素置那一列上可任意選取，若因素間存在交互作用，則因素的置放要根據(jù)一定的規(guī)則，應利用有交互作用的表來設(shè)計表頭。今以L8（27）正交表來安排具有二列間交互作用的試驗工作時，可由表2對因素及交互列在表

26、頭中所處的列號作出安排。表2:心（27）二列間交互作用表列號列號、1(A)2(B)3(A*B)4(C)5(A*C)6(B*C)71(A)(1)3254762(B)(2)167453(A*B)(3)76544(C)(4)1235(A*C)(5)326(B*C)(6)17(7)表2中最上一行和最左側(cè)一列數(shù)字以及括號(呈對角線)內(nèi)的數(shù)字是列號，其余數(shù)字均為交互作用的列號。對于三因素而言，先將因素置放在表的第1、2歹U,則A和B相交的位置上的數(shù)字為3。即A*B應置放在第3列上，再將因素c置放于第4歹U,則A和C相交位置上的數(shù)字是5,B和C相交位置上的數(shù)字是6,這樣A和C及B和C的交互作用列應分別為第5

27、列和第6歹U。如果考查時還有第四個因素D,并將它置放于第6歹U,根據(jù)上表可得如下的表頭設(shè)計。列號1234567因素ABC*DA*BCB*DA*CDB*CA*D這樣的設(shè)計中，雖有B和CXDC與BXDD與BXC的混雜，但如果已知BC、D之間的交互作用很小。故不致影響試驗結(jié)果的分析，仍可進引因素A、B、C及交互作用AXBAXC及AXD的考查。如果要對四個因素及其兩兩之間的交互作用都作全面的考查，不允許上述存在的幾種混雜，故此時不能選用L8(27)表，而選用Li6(215)二列向的交互作用表，見表3。.15表3:L16(2)二列向的交互作用表列123456789101112131415列'號1

28、(1)325476981110131215142(2)16745101189141512133(3)7654111098151413124(4)123121314158910115(5)32131215149811106(6)1141512131011897(7)151413121110988(8)12345679(9)32547610(1016745)11(117654)12(12123)13(1332)14(141)15(15)這樣，對于四因素的表頭設(shè)計為:列號123456789101112131415因素ABAXBCAxcBxcDAXDBXDCXD表3中，D未置入第7歹U。原因是D置于7列后，AXD應置第6歹U,導致與BXC的混雜。對于五因素。二水平的試驗，在同時考慮各因素之間的交互作用時，因五因素自身及它們之間的兩兩交互作用共有15項，仍可用L16(215)二列間交互作用表，其表頭設(shè)計為:列號12345678因素ABA*BCA*CB*CD*ED列號9101112131415因素A*DB*DC*EC*DB*EA*EE如果考查一個四因素三水平的問題，在只考慮因素主效應時，選用L8(27)正交表，讓因素順序上列，L8(27)