模型預測控制快速求解算法

1、模型預測控制快速求解算法模型預測控制(ModelPredictiveControl,MPC)是一種基于在線計算的控制優(yōu)化算法，能夠統(tǒng)一處理帶約束的多參數(shù)優(yōu)化控制問題。當被控對象結(jié)構(gòu)和環(huán)境相對復雜時，模型預測控制需選擇較大的預測時域和控制時域，因此大大增加了在線求解的計算時間，同時降低了控制效果。從現(xiàn)有的算法來看，模型預測控制通常只適用于采樣時間較大、動態(tài)過程變化較慢的系統(tǒng)中。因此，研究快速模型預測控制算法具有一定的理論意義和應用價值。雖然MPC方法為適應當今復雜的工業(yè)環(huán)境已經(jīng)發(fā)展出各種智能預測控制方法，在工業(yè)領域中也得到了一定應用，但是算法的理論分析和實際應用之間仍然存在著一定差距，尤其在多輸

2、入多輸出系統(tǒng)、非線性特性及參數(shù)時變的系統(tǒng)和結(jié)果不確定的系統(tǒng)中。預測控制方法發(fā)展至今，仍然存在一些問題，具體如下：模型難以建立。模型是預測控制方法的基礎，因此建立的模型越精確，預測控制效果越好。盡管模型辨識技術已經(jīng)在預測控制方法的建模過程中得以應用，但是仍無法建立非常精確的系統(tǒng)模型。在線計算過程不夠優(yōu)化。預測控制方法的一大特征是在線優(yōu)化，即根據(jù)系統(tǒng)當前狀態(tài)、性能指標和約束條件進行在線計算得到當前狀態(tài)的控制律。在在線優(yōu)化過程中，當前的優(yōu)化算法主要有線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和非線性規(guī)劃等。在線性系統(tǒng)中，預測控制的在線計算過程大多數(shù)采用二次規(guī)劃方法進行求解，但若被控對象的輸入輸出個數(shù)較多或預測時域較大時，該

3、優(yōu)化方法的在線計算效率也會無法滿足系統(tǒng)快速性需求。而在非線性系統(tǒng)中，在線優(yōu)化過程通常采用序列二次優(yōu)化算法，但該方法的在線計算成本相對較高且不能完全保證系統(tǒng)穩(wěn)定，因此也需要不斷改進。誤差問題。由于系統(tǒng)建模往往不夠精確，且被控系統(tǒng)中往往存在各種干擾，預測控制方法的預測值和實際值之間一定會產(chǎn)生誤差。雖然建模誤差可以通過補償進行校正，干擾誤差可以通過反饋進行校正，但是當系統(tǒng)更復雜時，上述兩種校正結(jié)合起來也無法將誤差控制在一定范圍內(nèi)。模型預測控制區(qū)別于其它算法的最大特征是處理多變量多約束線性系統(tǒng)的能力，但隨著被控對象的輸入輸出個數(shù)的增多，預測控制方法為保證控制輸出的精確性，往往會選取較大的預測步長和控制

4、步長，但這樣會大大增加在線優(yōu)化過程的計算量，從而需要更多的計算時間。因此，預測控制方法只能適用于采樣周期較大且動態(tài)變化過程較慢的系統(tǒng)中。為使預測控制方法能在更多場合中應用，快速模型預測控制算法成為了一個新的研究方向。國內(nèi)外研究現(xiàn)狀近年來人們對預測控制算法的不足有了越來越清晰的認識，為了將該算法應用到更多領域，越來越多的學者對其進行不斷研究和改進。閱讀近些年國內(nèi)外核心期刊的文獻可知，人們對預測控制方法能夠在更大更復雜的系統(tǒng)中應用寄予了很高期望，同時也在其不足方面做了很多探究和嘗試，發(fā)展出了多種智能預測控制方法?？焖倌Ｐ皖A測控制算法作為目前智能預測控制方法之一，其研究方向主要有以下幾個方面：（1）

5、顯式模型預測控制（ExplicitModelPredictiveControl,EMP。2002年AlbertoBemporad等學者1提出了顯式模型預測控制，該方法在預測控制基礎之上，在線性時不變系統(tǒng)優(yōu)化求解過程中引入多參數(shù)二次規(guī)劃理論，對系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)域進行凸劃分，根據(jù)最優(yōu)控制問題計算得到狀態(tài)分區(qū)上相應的控制律。EMPC將模型預測控制的在線計算過程轉(zhuǎn)化為離線和在線計算相結(jié)合的過程，大大減少了算法的在線計算時間，彌補了MPC方法反復在線計算的不足，EMPC也在電力電子2、電機控制3等領域得到了很好應用。但隨著被控對象問題規(guī)模（如輸入、狀態(tài)維數(shù)、約束等）的增大，EMPC算法在離線計算過程中所求的

6、狀態(tài)分區(qū)數(shù)會呈指數(shù)倍增加，而狀態(tài)分區(qū)數(shù)的增加不僅會導致存儲狀態(tài)分區(qū)所需的存儲空間增加，還會導致EMPC算法在線查找最優(yōu)解所需的計算時間增加，因此該算法很難適用于狀態(tài)約束較多（狀態(tài)變量往往不超過5）、預測步長較大的復雜系統(tǒng)。基于以上原因，許多學者提出用近似的顯式模型預測控制方法4,5來代替精確的EMPC算法，即通過犧牲一定的控制精度來降低計算過程中的復雜度，從而簡化整個求解過程。如文獻6提出了顯式模型預測控制的多尺度近似方法，通過引入分段線性插入法和自適應分層函數(shù)近似法，運用重心插值理論對EMPC離線計算出的狀態(tài)空間進行網(wǎng)格劃分，得到近似的狀態(tài)分區(qū)和近似控制律?；谕瑯拥乃枷?，文獻7提出了顯式模

7、型預測控制多胞體近似方法，主要利用雙描述法對最優(yōu)控制問題進行近似處理，再通過重心插值得到近似控制律。文獻8基于小波的多分辨率分析提出了近似EMPC通過二次插值和網(wǎng)格劃分得到低復雜度且可保證系統(tǒng)穩(wěn)定的近似控制律。上述文獻提出的方法均能在誤差允許的范圍內(nèi)保證系統(tǒng)的控制性能，在一定程度上解決了EMPC隨著問題規(guī)模增大而帶來的復雜度和存儲空間增大的問題。(2)模型預測控制的簡化算法MPC算法采用的是在線滾動優(yōu)化的控制策略，但隨著工業(yè)模型和環(huán)境越來越復雜，其在線計算量越來越大，所以限制了MPC算法在動態(tài)變化較快系統(tǒng)中的應用。為減少MPC在線優(yōu)化求解的計算量，有學者考慮對參數(shù)進行優(yōu)化，提出了預測控制的簡化

8、算法，如將參數(shù)分塊化的blocking技術9,其思想是將越遠離當前時刻的控制輸入越粗略計算，從而減少在線計算量。在此基礎上，又有學者提出了移動blocking方法，其核心是限制系統(tǒng)優(yōu)化變量個數(shù)同時增大系統(tǒng)的有效輸入步長10。相較于blocking技術，文獻11提出的簡化方法主要把約束分為起作用約束集、不起作用約束集和不確定約束集，對不起作用的約束集進行忽略操作，對起作用約束集和不確定約束集進行優(yōu)化計算，從而降低在線計算量，加快控制進程。(3)改進的在線優(yōu)化算法模型預測控制的核心是采用反復的迭代優(yōu)化進行在線求解，選取適當?shù)脑诰€優(yōu)化方法可以提高在線計算速度。近年來，有學者試圖對模型預測控制的標準形

9、式做適當變形或者近似處理，繼而降低預測控制方法的在線計算量。如文獻12提出了一種用擴展的牛頓拉夫遜(Newton-Raphson)方法來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二次規(guī)劃方法，當問題規(guī)模增大時，不僅能夠保證優(yōu)化問題總是收斂，還可以有效解決MPC在線計算量過大的問題。文獻13提出了將表存儲和在線優(yōu)化相結(jié)合的部分枚舉法(PartialEnumeration,PE),對于規(guī)模較大的線性模型不僅有很好的控制效果，而且求解速度是傳統(tǒng)MPC算法的5倍以上。文獻14提出了基于降精度求解準則的序列二次規(guī)劃法，主要通過犧牲一定的精確度來降低在線優(yōu)化所需的迭代次數(shù)，從而提高在線求解速度。文獻15提出了可用于預測控制在線優(yōu)化過程的

10、有效內(nèi)點法，該內(nèi)點法不僅可以減少代碼量，而且可以使在線計算時間提高2-5倍。理論基礎凸集與凸函數(shù)首先給出凸優(yōu)化理論中凸集、凸函數(shù)和仿射的定義。凸集：假設C為n維實數(shù)空間Rn中的集合，若C中任意兩點之間的線段仍然在集合C中，即對于任意xi,x2C且對任意實數(shù)0,1,都滿足：xi(1)X2C(3-1)則稱集合C為凸集，反之則為非凸集。滿足凸集的集合具有以下性質(zhì)：(1)若集合CC2都是凸集則集合C1C2x|xy1N2MC1,y2C2也是凸集。(2)兩個或多個凸集的交集仍為凸集。(3)空集也是凸集。凸函數(shù)：設fx是定義在非空凸集CRn上的函數(shù)，對于凸集C中任意的x1和x2以及任意實數(shù)0,1均滿足f(x

11、1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)(3-2)則稱f(x)為凸函數(shù)，反之則為非凸函數(shù)(或稱凹函數(shù))。若對x1x2和任意實數(shù)0,1均滿足f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)(3-3)則稱f(x)為嚴格凸函數(shù)。同樣，根據(jù)凸函數(shù)的定義可以推導出凸函數(shù)的幾個性質(zhì)，具體如下：(1)若fi(X),L,fm(x)是定義在凸集C上的凸函數(shù),則1f1(x)Lmfm(x)也是凸集C上的凸函數(shù)，其中為任意實數(shù)。(2)若函數(shù)f(x)是定義在凸集C上的凸函數(shù)，則對于任意實數(shù)，函數(shù)f(x)也是凸集C上的凸函數(shù)。(3)若g(x)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，f(x)也是凸函數(shù)，則復合函數(shù)gf(x)也是凸函數(shù)。(4)若f

12、(x)和g(x)都是定義在凸集C中非單調(diào)遞增的凸函數(shù)，則f(x)g(x)也是定義在凸集C中的凸函數(shù)。仿射：對于集合C中任意兩點xi和x2且任意實數(shù)R,若滿足x1(1)x2c(3-4)則稱集合C是仿射的。也就是說，通過集合CRn中任意兩點的直線仍在集合C中。凸優(yōu)化問題凸優(yōu)化問題是指性能指標函數(shù)和不等式約束函數(shù)均為凸函數(shù)且由約束條件所得到的集合是凸集的最優(yōu)化問題。由于凸優(yōu)化問題的局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解，因此對于一個實際問題，如果能表示成凸優(yōu)化問題，則意味著該問題可以得到徹底解決，對實際應用有著十分重要的意義。凸優(yōu)化問題有多種形式，其基本形式可表示為：minf(x)s.t.g,(x)0i1,L,m

13、(3-5)hi(x)0i1,L,p其中f(x)為性能指標函數(shù)，gi(x)0為不等式約束條件，hi(x)0為等式約束條件，Cxgi(x)0i1,L,m為可行域(也稱可行集或約束集)。%(x)0i1,L,p如果上述問題中性能指標函數(shù)f(x)和不等式約束gi(x)都是仿射函數(shù)，則該(3-6)問題又稱線性規(guī)劃問題(LinearProgrammingLP),其形式可表示為：mincTxds.t.GxhAxb其中GRmn,ARpn,對于線性規(guī)劃問題而言，通常將性能指標函數(shù)中常數(shù)項d忽略，因為其不影響最優(yōu)解的集合。該問題的幾何解釋可由圖表示，圖中陰影多面體為可行域P,若性能指標函數(shù)中cTx為線性的，則其等位

14、曲線是和c正父的超平面(圖中的虛線)，點x對即為最優(yōu)點。圖線性規(guī)劃的幾何解釋如果性能指標函數(shù)f(x)是凸二次型且約束條件是仿射函數(shù)，則該問題又稱二次規(guī)劃問題(QuadraticProgramming,QP)。對于二次規(guī)劃問題，其標準形式可表小為：.1TTmin-xQxqxr2(3-7)s.t.AxbGxh其中QSn,qRn,ARmn,bRm,GRpn,hRp。對于該問題，最優(yōu)解的求解即是在多面體上極小化一個凸二次函數(shù)，其幾何解釋如圖所示，該問題的多面體可行域P如圖陰影所示，性能指標函數(shù)的等位線如圖虛線所示，則點x*即為最優(yōu)點圖二次規(guī)劃問題的幾何解釋對于凸優(yōu)化問題的求解，理論上很容易得到其最優(yōu)解

15、，因為其局部極小點就是全局極小點，如果求解的凸優(yōu)化問題中性能指標函數(shù)是嚴格凸函數(shù)，則求得的極小點是唯一極小點。基于凸優(yōu)化的快速模型預測控制原始對偶內(nèi)點法求解QP問題對于標準二次規(guī)劃問題（3-7）,本算法采用原始對偶內(nèi)點法進行求解。相較于有效集等方法，原始對偶內(nèi)點法無需熱啟動，且通過適當優(yōu)化即可保證算法在5-25步內(nèi)迭代便可精確求解。首先引入松弛變量sRp,將標準二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為：n1TTmin-xQxqx2s.t.Axb（3-8）Gxshs0對于式（3-8）,定義雙變量yRm且滿足等式約束條件，zRp滿足不等式約束，求導后得到其最優(yōu)化條件（KKT條件）：AxbGxshs0,z0（3-9）Qx

16、qGTzATy0ZS0,i1L,p其中ZiSi0為互補松弛條件模型預測控制問題模型預測控制算法需要依靠計算機實現(xiàn)求解，其處理的問題形式一般是離散控制問題而非連續(xù)問題。對任意線性時不變隨機控制問題，其動態(tài)方程可表示為:(3-10)x(t1)Ax(t)Bu(t)(t)其中t0,1,L表示時間，x(t)Rn為狀態(tài)變量，u(t)Rm為控制輸入,(t)Rn為擾動項，ARnn和BRnm分別為狀態(tài)和輸入矩陣。預測控制方法的核心任務往往是求解系統(tǒng)的性能指標函數(shù)，在優(yōu)化求解過程中，當該函數(shù)的值達到極大或極小時，表明該情況下的系統(tǒng)處于最優(yōu)狀態(tài)，而此時的控制輸入即為系統(tǒng)的最優(yōu)控制律，因此系統(tǒng)最優(yōu)控制律的選擇往往取決

17、于系統(tǒng)的性能指標函數(shù)?？梢远x上述問題中的性能指標函數(shù)為：TxQxtTuRux(tT)TQfinaix(tT)(3-11)其中Qdiagq1,q2,L,qn為狀態(tài)權重矩陣，Rdiagri,r2,L,rm為輸入權重矩陣，Qfinal為狀態(tài)終端權重矩陣，且均為對角陣；T為預測步長。由于實際被控系統(tǒng)的輸入輸出往往存在局限性，需考慮狀態(tài)變量和控制變量的約束條件，該問題的模型預測控制形式可表示為：minJs.t.x(1)AxBuuminuumaxxminxxmaxt,L,tT1(3-12)其中x(t1),L,x(tT)為狀態(tài)變量，u(t1),L,u(tT)為控制變量。對于該次規(guī)劃問題，求解后的最優(yōu)解可表

18、示為u*(t),L,u*(tT1)和x*(t),L,x*(tT1),預測控制方法僅取最優(yōu)控制序列的第一項u*()作為控制輸入。障礙內(nèi)點法為更快地求解上式(3-12)中的最優(yōu)控制問題，利用其特殊結(jié)構(gòu)，采用改進后的原障礙內(nèi)點法可以降低問題求解的復雜度，從而達到快速求解的目的。首先定義全局優(yōu)化變量zu(t),x(t1),L,u(tT1),x(tT)對式子(3-12)進行重寫，代入化簡后可轉(zhuǎn)化為：(3-13)minzTHzgTzst.CzbPzh00-0尺00n。0000UU。010-0a巾1A0077-000+9VH+-i*i+9-+,1*+r=000-1b0-000。U0。00-1000000nR

19、11000。000一月/00000xm0-打/。00.000-A-B00C-1hiEiax土«+p1喝»44V-nuib000000r"ikllll00000*AB.r矩P$H是由各權重矩陣Q、R和Qfinal組成的塊對角矩陣，C是由狀態(tài)矩陣A、B和單位矩陣I組成的稀疏矩陣，矩陣h由狀態(tài)和輸入的最大值和最小值組成。利用原障礙內(nèi)點法對重組后的QP問題進行求解。原障礙內(nèi)點法的實質(zhì)是通過引入障礙參數(shù)，將含不等式約束的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為等式約束的凸優(yōu)化問題。因此，令障礙參數(shù)>0,替換(3-13)中的不等式約束后得到其近似問題為：一TT(3-14)minzHzgzzs

20、.t.CzblTk其中zloghiPiTz,Pi表示矩陣P的行。此時，式(3-13)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為由確定目標和線性等式約束所組成的凸優(yōu)化問題。同時由式（3-14）易知，障礙參數(shù)越接近于零，近似性能指標函數(shù)越接近于精確的性能指標函數(shù)，求得的最優(yōu)解也越精確。對于式（3-14）,采用不可行初始點牛頓法進行求解。定義雙變量vRTn且滿足上述等式約束條件，求導后得到最優(yōu)化條件：(3-15)Czb0JT_T2HzgPdCv0z其中diKt-pT表示矩陣P的行，PTd是z的梯度。此時，mPiz）優(yōu)化問題（3-14）的求解可等價為對優(yōu)化條件（3-15）的求解。對于當前優(yōu)化條件，假設當前時刻全局優(yōu)化變量z不可行（z

21、滿足不等式約束，但不滿足等式約束條件），則需找到一個方向z和v分別使得zz和vv滿足（至少近似滿足）最優(yōu)化條件，即zzz*、vvv*。然后在優(yōu)化條件中用zz代替z*、.*.一，、，,vv代替v,并利用泰勒公式的一階近似，將上述問題（3-15）進行整理后可得關于梯度z和v的一組線性方程：(3-16)2HPTdiag（d）2PCTz2HzgPTdCTvC0vCzb其中PTdiag（d）2P為z的Hessian陣，同時將上述方程等式右邊變量分別記為對偶殘差rd2HzgPTdCTv,原殘差rpCzb,殘差向量r（z,v）（Q（x,v）,rp（x,v）。對式（3-16）進行計算后可得到梯度z和v的值，再

22、利用回溯直線搜索法得到步長s0,1,同時可保證更新后的優(yōu)化點滿足不等式Pzh0最后利用步長s更新原始和對偶變量z:zsz,v:vsv0該迭代修正過程不斷重復進行直到殘余向量的二范數(shù)小于設定的誤差閾值。上述問題若嚴格可行，則需要有限步數(shù)的計算便能獲得一定的原始可行性，而一旦e=0,那么在以后的迭代過程中殘余向量會一直等于0,且變量z和v將趨于優(yōu)化點。為加快求解，本算法采用固定的障礙參數(shù)和固定的最大牛頓迭代步Kmax來簡化計算。在求解優(yōu)化問題(3-16)時，原障礙內(nèi)點法分別對一系列不同障礙參數(shù)X的優(yōu)化問題進行依次求解，再分別比較不同障礙參數(shù)下的控制性能得出最優(yōu)解，因此會花費較多的求解時間。大量仿真

23、表明只需使得性能指標函數(shù)達到最小就能得到很好的控制律，而非精確求解QP問題，因此對于優(yōu)化問題(3-16),障礙參數(shù)越接近于零，近似性能指標函數(shù)越接近于精確的性能指標函數(shù)J,求得的最優(yōu)解也越精確。固定障礙參數(shù)X能夠減少預測控制問題次迭代求解所需的牛頓迭代次數(shù)(最大牛頓迭代步)，從而加快凸優(yōu)化問題的求解。在標準的牛頓法中，只有當殘差達到足夠小或者迭代達到上限時則停止迭代尋優(yōu)。若問題不是發(fā)散的，往往最大迭代步Kmax在3至IJ10之間就可以求出最優(yōu)解。因此，固定的迭代步Kmax可能會使殘差未能達到足夠小，優(yōu)化變量沒有達到最優(yōu)，但這并不影響最終控制效果，還能提高在線求解速度。1 BemporadA,M

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