概率論與數理統(tǒng)計期末復習20題及解答

1、概率論與數理統(tǒng)計期末復習20題及解答【第一章】 隨機事件與概率1、甲袋中有4個白球3個黑球，乙袋中有 2個白球3個黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經此換球過程后甲袋中黑球數增加的概率.2、某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求此人撥號不超過兩次而接通所需電 話的概率.3、已知將0, 1兩字符之一輸入信道時輸出的也是字符0或1 ,且輸出結果為原字符的概率為(01).假設該信道傳輸各字符時是獨立工作的.現以等概率從“ 101 ”，“010 ”這兩個字符串中任取一個輸入信道.求輸出結果恰為“ 000”的概率.4、試卷中的一道選擇題有 4個答案可供選擇，

2、其中只有 1個答案是正確的.某考生如果會做這道題， 則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨隨機選取一個答案.設該考生會做這道題的概率 為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對了此題，求該考生確實會做這道題的概率.【第二章】 隨機變量及其分布5、設連續(xù)隨機變量X的分布函數為(1)求系數A及B ;x .(3)求X的概率密度.F (x) A B arctan x, (2)求X落在區(qū)間(1, 1)內的概率;6、設隨機變量X的概率密度為f(x)ax, 0 x0, 其它求：(1)常數a ； (2)P(0.5 X 1.5); (3)X的分布函數F(x).7、設二維

3、隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為A(1 f (x, y)0,xy),1, y 1;其它.求：(1)系數A； (2)X的邊緣概率密度 fX (x) ; (3)概率P(Y8、設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)2x；0,其它.求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度 fX(x), fY(y)；概率p(x1八,一一 一-,Y 1) ; (3)判斷X , Y是否相互2獨立.9、設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X U 0, 0.2 , Y的概率密度函數為5e 5yMy)5e0,0.(1)求X和Y的聯合概率密度 f(x, y) ； (2)求概率P(Y X).【第三章】數字特征10、設隨機變量X

4、的概率密度為f(x)(a b)x b, 0 x 1, a(2 x),1x2,0, 其它，1已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2) E(2X 3). 211、設隨機變量 X的概率密度為f(x)求：(1)常數 A; (2) E(X)和 D(X).Ae2x, x 0, 0, x 0.(1)求X,Y的數學期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的協方差cov(X,Y)與相 關系數R(X,Y).【第四章】正態(tài)分布13、假設某大學學生在一次概率論與數理統(tǒng)計統(tǒng)考中的考試成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數占考生總數的2.

5、3%. (1)試估計本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計本次考試成績在 65分至85分之間的考生人數占考生總數的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.977214、兩臺機床分別加工生產軸與軸襯.設隨機變量X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機變量 Y (單22位：mm)表不軸襯的內徑，已知 X N(50, 0.3 ), YN(52,0.4 ),顯然X與Y是獨立的.如果軸 襯的內徑與軸的直徑之差在13 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【第五章】 數理統(tǒng)計基本知識15、設總體X N(

6、0,1), Xi,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機樣本，求常數 k 0使k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).16、設總體X N(40, 52),從該總體中抽取容量為 64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】參數估計17、設總體X的概率密度為f（x；）e（x2）, x 2,0,其它，其中參數0 .設Xl,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本，Xl,X2, ,Xn為樣本觀測值(1)求參數 的矩估計量.(2)求參數 的最大似然估計量.18、設總體X的概率密度為f (x；)1-xe0,x 0;x 0,其中參數0 .設X1，X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機

7、樣本 ，0x2, ,4為樣本觀測值(1)求參數 的最大似然估計量.(2)你得到的估計量是不是參數的無偏估計，請說明理由.【第七章】假設檢驗19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時將給人們視覺上的和諧美感.某工藝品廠生產矩形裱畫專用框架.根據該廠制定的技術標準，一批合格產品的寬與長之比必須服從均值為0 0.618的正態(tài)分布.現從該廠某日生產的一批產品中隨機抽取25個樣品，測得其寬與長之比的平均值為x 0.646,樣本標準差為s 0.093.試問在顯著性水平0.05水平上能否認為這批產品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用.臨床統(tǒng)計表明，在服用此藥的人群

8、中收縮壓的增高值服從均值為0 22 (單位：mmHg，毫米汞柱)的正態(tài)分布.現在研制了一種新的替代藥品，并對一批志愿者進行了臨床試驗.現從該批志愿者中隨機抽取16人測量收縮壓增高值，計算得到樣本均值x 19.5(mmHg),樣本標準差s 5.2(mmHg ).試問這組臨床試驗的樣本數據能否支持“新的替代 藥品比原藥品副作用小”這一結論(取顯著性水平0.05).解答部分【第一章】隨機事件與概率1、甲袋中有4個白球3個黑球，乙袋中有 2個白球3個黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經此換球過程后甲袋中黑球數增加的概率【解】設A表示“從甲袋移往乙袋的是白球”，B表示“從乙

9、袋返還甲袋的是黑球” ，C表示“經此換球過程后甲袋中黑球數增加”，則C AB,一 431又P(A) ，P(B A)-于是由概率乘法定理得所求概率為762P(C) P(AB) P(A)P(BA)=4 1 7.2、某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求此人撥號不超過兩次而接通所需電話的概率.【解】 設A表示“此人第i次撥號能撥通所需電話”(i 1, 2), A表示“此人撥號不超過兩次而接通所需電話”，則A A1 耳A2, 由概率加法定理與乘法定理得所求概率為P(A) P(Ai AA2) P(A) P(AlA2)19 1p(A) p(A)p(A2|A)而 6-0.2.3、已知將0,

10、1兩字符之一輸入信道時輸出的也是字符0或1 ,且輸出結果為原字符的概率為(01).假設該信道傳輸各字符時是獨立工作的.現以等概率從“ 101 ”，“010 ”這兩個字符串中任取一個輸入信道.求輸出結果恰為“ 000”的概率.【解】設A-：輸入的是“ 101 ”，A2:輸入的是“ 010 ”，B:輸出的是“ 000 ”，則P(A1) 1/2, P(A2) 1/2, P(B|A) (1)2 , P(B A2)2(1),從而由全概率公式得P(B) P(A)P(B A1) P(A2)P(B A2)12121-(1)22(1)-(1 ).2224、試卷中的一道選擇題有 4個答案可供選擇，其中只有 1個答

11、案是正確的.某考生如果會做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨隨機選取一個答案.設該考生會做這道題的概率為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對了此題，求該考生確實會做這道題的概率.【解】設A表示“該考生會解這道題” ，B表示“該考生選出正確答案”，則P(A)(1)由全概率公式得0.85, P(A) 0.2, P(B A) 1, P(B| A) 0.25.P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A)0.85 1 0.2 0.25 0.9.(2)由貝葉斯公式得P(AB)P(A)P(B A)P(B)0.85 10.9一 0.944.18

12、【第二章】 隨機變量及其分布5、設連續(xù)隨機變量X的分布函數為F (x) A B arctan x, x(1)求系數A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1, 1)內的概率；(3)求X的概率密度. 【解】(1)由分布函數的性質可知F()lim F(x)AB (一)0,x2F()lim F(x)AB 1 ,x211由此解得A -,B -.2(2) X的分布函數為于是所求概率為F(x)arctan x ()，P( 1 X 1) F (3) X的概率密度為1111F ( 1) ( arctan1) ( arctan( 1)22f(x) F (x)1_ (1x2)6、設隨機變量X的概率密度為f(x)ax, 0

13、 x 1,0, 其它求：(1)常數 a ； (2) P(0.5 X1.5); (3) X的分布函數 F(x).【解】(1)由概率密度的性質可知1 af (x)dx oaxdx - 1,由此得a 2. 13/2o 1(2) P(0.5 X 1.5) 2xdx 0dx x20 0.75.1/ 211 /2(3)當x 0時，有xF(x) 0dx 0；當0 x 1時，有0X2F (x) 0dx 0 2xdx x ;當x 1時，有01xF (x) 0dx 2xdx 0dx 1. 01所以，X的分布函數為0, x 0, 2F(x)x2, 0 x 1,1, x 1.7、設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度

14、為f (x, y)A(1 xy),0,x 1, y 1;其它.求：(1)系數A; (2) X的邊緣概率密度fX (x) ; (3)概率P(Y X2).【解】(1)由聯合概率密度的性質可知11f(x, y)dxdy dx A(1 xy)dy 4A 1,由此得(2)當1 x 1時，有f (x, y)dyfX(x)當x 1或x 1時，顯然有所以X的邊緣概率密度fx(X)(3)P(Y X2)f (x, y)dxdy2 xfx(X) 0-1/2,0,1dxix2 11 x 1;其它.xy .dy41 11(x 14 2x2 / 1)dx 2 238、設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)1,

15、0,x 1,0其它.y 2x；1求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度fX(x), fY(y); (2)概率P(X - , Y 1)； (3)判斷X, Y是否相互 2獨立.【解】(1)當0 x 1時，有2xfX(x)f(x, y)dy 0 dy 2x;當x 0或x 1時，顯然有fX(x) 0.于是X的邊緣概率密度為2x, 0x1;fX(x)0,其它.當0 y 2時，有1yfY(y)f (x, y)dx y dx 1 一；52當y 0或y 2時，顯然有fY(y)0.于是Y的邊緣概率密度為0 y 2;其它.11/ 21dy dx .0y/24,11fY(y)12，、1、 P(X 2,Y 1)0,11

16、/2dy f (x, y)dx (3)容易驗證f (x, y) fX(x)fy(y),故X與Y不獨立.9、設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X U 0, 0.2 , Y的概率密度函數為fY(y)5e5y, y 0,0, y 0.(2)求X和Y的聯合概率密度 f(x, y) ； (2)求概率P(Y X).【解】(1)由題意知， X的概率密度函數為fX(x)5,0,0 x 0.2;其它.因為X和Y相互獨立，故 X和Y的聯合概率密度f (x, y) fX(x)fy(y)25e 5y0,0 x 0.2, y 0;其它.(2)P(Y X) f (x,y)dxdyy x0.2dx0x25e05y ,dy0

17、.2(1e 5x)dx【第三章】數字特征10、設隨機變量X的概率密度為f(x)(a b)x a(2 x) 0,b,1,2,其它,1.已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2)2【解】(1)由概率密度的性質可知E(2X解得E(X)聯立方程組f (x) dxxf (x)dx(2) 由數學期望的性質，有10(ab)x bdx10(ab)xE(2X11、設隨機變量 X的概率密度為求：(1)常數 A; (2) E(X)和 D(X).【解】(1)由概率密度的性質可知由此得(2)由數學期望公式得E(X)由于2E(X2)2押2x) dxbxdx21a(2x)x dxb2 b61,12,4,b3) 2E(X

18、)f(x)Ae2x0,0,0.f (x)dxAe2xdx2x 2x ,x 2e dxtetdt1”2)2x t a2e 2xdx一4t2e0dt113)-2!故利用方差計算公式得_2_21 21(一)24D(X) E(X ) E(X)12、設(X,Y)的聯合概率分布如下:_2Y_0101 / 4011 / 41 / 2(1)求X,Y的數學期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的協方差cov(X,Y)與相 關系數R(X,Y).【解】 由(X ,Y)的聯合概率分布知 X ,Y服從"0 1"分布:P(X 0) 1/4, P(X 1) 3/4, P(Y

19、 0) 1/2, P(Y 1) 1/2, 由"0 1"分布的期望與方差公式得E(X)3/4,D(X)3/4 (11/4)3/16,E(Y)1/2,D(Y)1/2 (11/2)1/4,由(X,Y)的聯合概率分布知cov(X,Y)E(XY) 0 0 1/4 0 1 0 1 0 1/4 1 1 1/4 1/2, 從而E(XY) E(X)E(Y) 1/2 3/4 1/2 1/8,R(X,Y)cov(X,Y)1/8,D(X)、D(Y) - 3/16. 1/4【第四章】正態(tài)分布13、假設某大學學生在一次概率論與數理統(tǒng)計統(tǒng)考中的考試成績 知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數

20、占考生總數的X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已2.3%. (1)試估計本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計本次考試成績在 65分至85分之間的考生人數占考生總數的比例.已 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772【解】由題意，可設 X近似服從正態(tài)分布 N(75, 2).已知P(X95 75P(X 95) 1 P(X 95) 1() 195) 2.3%,即(20) 2.3%,由此得 (20) 0.977,于是絲 2,10,從而近似有 X N(75, 102).P(65 X 85)0.0668,0.6826 ,(1)P(X 60)(60 75)( 1.5) 1

21、(1.5) 1 0.933210由此可知，本次考試的不及格率約為6.68% .(2)85 7565 751010(1)( 1) 2 (1) 1 2 0.8413 1由此可知，成績在 65分至85分之間的考生人數約占考生總數的 68.26% .14、兩臺機床分別加工生產軸與軸襯.設隨機變量 X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機變量 Y (單 位：mm)表示軸襯的內徑，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42),顯然X與Y是獨立的.如果軸 襯的內徑與軸的直徑之差在1 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【解】 設Z

22、 Y X,由X與Y的獨立性及獨立正態(tài)變量的線性組合的性質可知,Z即ZN(2,0.52) .于是所求概率為X N(522250,0.30.4 ),P(1 Z3)3 2(-0y)2 (2) 11 2()(2)( 2)0.52 0.9772 1 0.9544.【第五章】 數理統(tǒng)計基本知識15、設總體X N(0,1), X1,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機樣本，求常數 k 0使k(X1 2X2)T r v 1=t (3).X2 X2 X52【解】 由XN(0, 1)知X1 2X2N (0,5),于X1 2X2、5 N (0,1),又由2分布的定義知所以比較可得k3)5 .X； X2X522(3)

23、,(X1 2X2)/ 52224X3 X4X5)/3X1 2X2X； X：= t(3),X516、設總體X 【解】由題設2、N(40, 5 ),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).64,于從而P(|X401 1)P(|X405/885)4058N (0,1)P(|u| -)5(1.6)2 0.9452 1 0.8904.【第六章】參數估計17、設總體X的概率密度為f(x;)e (x0,2)x 2, 其它，其中參數(1)(2)0 .設X1,X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本，x1,x2, ,4為樣本觀測值.求參數 的矩估計量.求參數 的最大似然估計量.x

24、 2 t1(1) E(X) xf (x, )dx2 xe (x2)dx0(t 2)e t出一2,1令 X E(X),即 X 2 ,解得參數的矩估計量為(2)樣本似然函數為L()nf (K,i 1上式兩邊取對數得lnL()上式兩邊對求導并令導數為零得d ln L(d解得nnXi 12n18、設總體X的概率密度為其中參數(1)(2)nln(Xi 2)n(Xii 1nXi2n)(i1的最大似然估計量為f(x；)0,n(Xi 2n)n_ i 1e2n),0,0.設X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本 求參數 的最大似然估計量.你得到的估計量是不是參數的無偏估計，請說明理由.【解】(1)樣本似然函數為L(nf (Xi , i 1n 13T Xie12n上式兩邊取對數得lnL()2n lnnlni 1Xi求導數得JlnL()2n1-20;0,X1, X2,Xi1,Xn為樣本觀測值.Xi1令ln L( ) 0解得 d2nnXi i 1的極大似然估計量為日ZE2n i 1Xi(2) E(X)2n inXi1X2eX/dX/X 2 x/(一)edXt2e tdXE(?)e(91-尸)12E(X)122X 一是的無偏估計.2.某工藝品廠生產矩形裱00.618的正態(tài)分【第七章】假設檢驗19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時將給人們視覺上的和諧美感