矩陣的運算及其運算規(guī)則

1、矩陣根本運算及應(yīng)用202100060牛晨暉在數(shù)學(xué)中,矩陣是一個根據(jù)長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合.矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具,也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中.在物理學(xué)中,矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計算機科學(xué)中,三維動畫制作也需要用到矩陣.矩陣的運算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題.將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算.在電力系統(tǒng)方面,矩陣知識已有廣泛深入的應(yīng)用,本文將在介紹矩陣根本運算和運算規(guī)那么的根底上,簡要介紹其在電力系統(tǒng)新能源領(lǐng)域建模方面的應(yīng)用情況,并展望隨機矩陣?yán)碚摰认嚓P(guān)知識與人工智能電力系統(tǒng)的緊密結(jié)合.1矩陣的運算及其運算規(guī)那么1.1 矩陣的加

2、法與減法1.1.1 運算規(guī)那么那么黃十8_121a啟上LJ'±%I加1士4sl口戕工土r,口此也土也g簡言之,兩個矩陣相加減,即它們相同位置的元素相加減！注意：只有對于兩個行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣即同型矩陣,加減法運算才有意義,即加減運算是可行的.1.1.2 運算性質(zhì)滿足交換律和結(jié)合律交換律AB=B+A;結(jié)合律刃'-1'''1.2 矩陣與數(shù)的乘法1.2.1 運算規(guī)那么數(shù)九乘矩陣A,就是將數(shù)八乘矩陣A中的每一個元素,記為/或*特別地,稱-且稱為於卜群的負(fù)矩陣.1.2.2 運算性質(zhì)滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律：入wA=入wA;入+wA=入A+wA.分配

3、律：入A+B尸入A+入B.1.2.3典型舉例兩個矩陣3-1A=15242177,5=54lA5-21921滿足矩陣方程乂+=求未知矩陣X.解由條件知一42-21-22-22=2-411.3 矩陣與矩陣的乘法1.3.1 運算規(guī)那么設(shè)A*",那么a與b的乘積是這樣一個矩陣：(1)行數(shù)與(左矩陣)A相同,列數(shù)與(右矩陣)B相同,即*(2)C的第工行第1列的元素由A的第工行元素與B的第丁列元素對應(yīng)相乘,再取乘積之和.1.3.2 典型例題設(shè)矩陣解是2W的矩陣.設(shè)它為A8=可得結(jié)論1:只有在以下情況下,兩個矩陣的乘法才有意義,或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)；結(jié)論2在矩陣的乘法中

4、,必須注意相乘的順序.即使在衛(wèi)衛(wèi)與B工均有意義時,也未必有=B刃成立.可見矩陣乘法不滿足交換律；結(jié)論3方陣A和它同階的單位陣作乘積,結(jié)果仍為A,即且豆二瓦4二4.1.3.3 運算性質(zhì)假設(shè)運算都是可行的1結(jié)合律砌2分配律=左分配律；伊土C以二胡士./右分配律.(四b二昨血訓(xùn).1.3.4 方陣的哥定義：設(shè)A是方陣,止是一個正整數(shù),規(guī)定Ax-AA*-'AM二反,1一1顯然,記號#表示比個A的連乘積.1.4矩陣的轉(zhuǎn)置1.4.1 定義定義：將矩陣A的行換成同序號的列所得到的新矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作©或T2、,01P03-1AA=Ar=3QA-例如,矩陣I?1°2)的轉(zhuǎn)

5、置矩陣為2；1.4.2 運算性質(zhì)(假設(shè)運算都是可行的)(1)；一.(2)：.一(3)仁二人是常數(shù).(刖)1二萩兄1.4.3典型例題利用矩陣F2-10月二1-1215=113121驗證運算性質(zhì)：'一2-10一1 13解31-1之山2132-1；而2B'=-10所以2B'A=-10他定義：如果方陣滿足一,即詢=叼,那么稱A為對稱矩陣.對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.1.5方陣的行列式定義：由方陣A的元素所構(gòu)成的行列式各元素的位置不變,稱為方陣A的行列式,記作或det月.1.5.2運算性質(zhì)1川=1可行列式的性質(zhì)Ax=hA-A=1小2第=閡叫特別地：,一%

6、一'3如卜父因只是常數(shù),A的階數(shù)為n思考：設(shè)A為元階方陣,那么"的行列式陷與A的行列式國之間的關(guān)系為什么不是同卜胭,而是悶卜如聞不妨自行設(shè)計一個二階方陣,計算一下國和.A-例如ka|-4=于是.2光伏逆變器的建模光伏并網(wǎng)逆變器是將光伏組件輸出的直流電轉(zhuǎn)化為符合電網(wǎng)要求的交流點再輸入電網(wǎng)的關(guān)鍵設(shè)備,是光伏系統(tǒng)并網(wǎng)環(huán)節(jié)中能量轉(zhuǎn)換與限制的核心.光伏逆變器的性能不僅影響到光伏系統(tǒng)是否運行穩(wěn)定、平安可靠,也是影響整個系統(tǒng)使用壽命的主要因素.本節(jié)將分析主流光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和建模方法.2.1 系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)光伏并網(wǎng)逆變器根據(jù)不同的分類方式可分為多種類型.如根據(jù)交流側(cè)接線數(shù)可分為單相逆變器

7、和三相逆變器,如根據(jù)并網(wǎng)方式可分為隔離型光伏逆變器和非隔離型光伏逆變器.在歐洲,相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求光伏逆變器可以采用非隔離型；而在美國,光伏逆變器必須采用隔離型的；我國目前尚沒有在此方面的明確要求.根據(jù)能量變換級數(shù)來分,光伏并網(wǎng)系統(tǒng)主要包括單級變換、兩級變換和多級變換三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).為方面理解后續(xù)利用矩陣相關(guān)知識建模,下面對這三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點做簡要介紹.1) 單級變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)單級變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與前者相比,只有DC/AC®變局部,該逆變器一般采用單相半橋、全橋電壓型逆變器或者三相全橋電壓型逆變器.這種類型的光伏逆變器具有結(jié)構(gòu)簡單、本錢低廉等優(yōu)點.由于該系統(tǒng)只有一級功率轉(zhuǎn)換電路,所有限制目標(biāo)都要

8、通過這一級功率轉(zhuǎn)換單元實現(xiàn),因而增加了限制系統(tǒng)的復(fù)雜性.圖1為一典型的單極變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).這種光伏逆變器一般會安裝工頻變壓器.變壓器可以有效降低輸出側(cè)電壓,也可以起到有效隔離絕緣的效果,具有可靠性高、維護(hù)量少、開關(guān)頻率低和電磁干擾小等特點圖1單級單相光伏逆變器拓?fù)鋱D2) 兩級變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)兩級變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一般由DC/D度換器和DC/AC®變器兩局部組成.前者一般采用比擬常見的BOOS電路、BUCK-BOO那么或CU府路等,用來實現(xiàn)光伏陣列輸出功率的最大功率跟蹤的功能,DC/AL般采用單相或三相的并網(wǎng)逆變器實現(xiàn)并網(wǎng)、有功調(diào)節(jié)、無功補償或者諧波補償?shù)认嚓P(guān)功能.圖2為一典型的兩

9、級變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).第一級是DC/DCS換環(huán)節(jié),其拓?fù)漕愋蜑閎oost電路,目的是把光伏組件輸出的不穩(wěn)定直流低電壓提升到可并網(wǎng)的穩(wěn)定直流高電壓.第二級是DC/AC逆變環(huán)節(jié),由單相全橋的可逆PW整流器構(gòu)成,這一級的功率開關(guān)可以采用MOSFEiTlGBTo升壓變換器逆變器光伏組件圖2兩級變換單相光伏逆變器拓?fù)鋱D3) 多級變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)采用高頻變壓器絕緣方式的多級變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通過采用帶有整流器的高頻率變壓器來提升輸入電壓,具有體積小、重量輕、本錢低等優(yōu)點,常用于并網(wǎng)型太陽能發(fā)電設(shè)備之中.圖3為一典型的帶高頻變壓器的多級變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由于需要經(jīng)過三級能量變換,通常

10、效率相對較低,并且由于高頻電磁干擾嚴(yán)重,必須采用濾波和屏蔽等相關(guān)舉措.光伏組件逆變器變壓器整流器逆變器圖3帶高頻變壓器的多級式光伏逆變器拓?fù)鋱D2.2 典型光伏逆變器的建模與兩級式光伏逆變器相比,單級式光伏逆變器只有一個能量變換環(huán)節(jié),結(jié)構(gòu)緊湊、元器件少,能量轉(zhuǎn)換效率更高.目前,單級式三相光伏并網(wǎng)逆變器在大中型光伏電站的建設(shè)中得到了大規(guī)模的應(yīng)用.本節(jié)選取此類光伏逆變器作為典型進(jìn)行建模分析.如圖4所示,三相光伏逆變器一般由防反沖二極管、直流母線穩(wěn)壓電容、DC/AC®變環(huán)節(jié)、逆變器輸出濾波器組成圖4三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)電路圖假定三相電感且其等效電感、電阻值分別為Ll=L2=L3=L和R=R=

11、R=R三相全橋都是理想的開關(guān)管.光伏發(fā)電系統(tǒng)在三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型如下：dL一LRiaeaSaudcdtLdrRibebSbUdcdtdL一LRicecScUdc(2.1)dt式中：ia、ib、ic三相并網(wǎng)逆變器的輸出電流;ea、et»ec二相電網(wǎng)電壓；Sa、Sb、Sc開關(guān)函數(shù)；Udc直流母線電壓;考慮直流母線中電流的穩(wěn)壓作用,那么有C管/Sbib弘)(2.2)式中:C一直流母線穩(wěn)壓電容;ipv光伏陣列輸出電流.將公式2.2進(jìn)行同步矢量旋轉(zhuǎn)變換,那么得到dq坐標(biāo)系下的三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)的模型為:diddtdiqdtdudcdtRidLRiqLipviqidedLeqSdUdc

12、LSqUdcL30id2CSqiq)(2.3)式中:id、iq逆變器輸出電流d、q軸有功、無功分量;ed、eq電網(wǎng)電壓d、q軸分量;Sq觸發(fā)三相逆變橋的開關(guān)信號d、q軸分量;3電網(wǎng)電壓白角頻率,即dq坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)速度.SdudcedSqudceq(2.4)公式2.3中兩個電流方程寫成矩陣形式為:didRLidL出iqLRiq對公式2.4兩邊取拉式變換得Id(s)RLId(s)LSIq(s)LRIq(s)SdUdc(s)SqUdc(S)EdEq(s)(2.5)令ud(s)=SdUdc(s),Uq(s)=SqUdc(s),相應(yīng)時域中有*ud一Sdudc,uq=Squdc,那么公式2.5可寫為*Ud

13、(s)Id(s)RLId(s)Ed(s)*Ls(2.6)U；(s)Iq(s)LRIq(s)Eq(s)公式2.6的時域表達(dá)式為：*UdLgIdRLIdedUdt|qLRiqeqq(2.7)3隨機矩陣相關(guān)理論3.1 隨機矩陣相關(guān)理論和要點隨機矩陣?yán)碚?randommatrixtheory,RMT)勺研究起源于原子核物理領(lǐng)域.Wigner在研究量子系統(tǒng)中得出結(jié)論,對于復(fù)雜的量子系統(tǒng),隨機矩陣?yán)碚摰念A(yù)測代表了所有可能相互作用的一種平均.偏離預(yù)測的那局部屬性反映了系統(tǒng)中特殊非隨機的性質(zhì),這為了解和研究潛在的相互作用和關(guān)系提供了理論支撐.RMT以矩陣為單位,可以處理獨立同分布(IndependentIde

14、nticallydistributed,IID)的數(shù)據(jù).RMT并不對源數(shù)據(jù)的分布、特征等做出要求(如滿足高斯分布,為Hermitian矩陣等),僅要求數(shù)據(jù)足夠大(并非無限).故該工具適合處理大多數(shù)的工程問題,特別適合用于分析具有一定隨機性的海量數(shù)據(jù)系統(tǒng).隨機矩陣?yán)碚撜J(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)中僅有白噪聲、小擾動和測量誤差時,系統(tǒng)的數(shù)據(jù)將呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計隨機特性；而當(dāng)系統(tǒng)中有信號源(事件)時,在其作用下系統(tǒng)的運行機制和內(nèi)部機理將會改變,其統(tǒng)計隨機特性將會被打破.單環(huán)定律(RingLaw)、Marchenko-Pastur定律(M-PLaw)均是RMT體系的重大突破.在這些理論根底上,可進(jìn)一步研究隨機矩陣的線性特征

15、根統(tǒng)計量(lineareigenvaluestatistics,LES),而平均譜半徑(meanspectralradius)那么是LESf構(gòu)造出的一個具體對象.3.2 隨機矩陣?yán)碚搶﹄娏ο到y(tǒng)的支撐全球正在經(jīng)歷由信息技術(shù)時代(IT時代)向數(shù)據(jù)技術(shù)時代(DT時代)的過渡,數(shù)據(jù)正逐步成為電力系統(tǒng)等大型民生系統(tǒng)的戰(zhàn)略資源.數(shù)據(jù)的價值在于其所蘊含的信息而并非數(shù)據(jù)本身,信息提取(informationextraction)相關(guān)技術(shù)是數(shù)據(jù)增值業(yè)務(wù)的核心.智能電網(wǎng)的最終目標(biāo)是建設(shè)成為覆蓋電力系統(tǒng)整個生產(chǎn)過程,包括發(fā)電、輸電、變電、配電、用電及調(diào)度等多個環(huán)節(jié)的全景實時系統(tǒng).而支撐智能電網(wǎng)平安、自愈、綠色、堅強

16、及可靠運行的根底是電網(wǎng)全景實時數(shù)據(jù)的采集、傳輸和存儲,以及對累積的海量多源數(shù)據(jù)的快速分析.數(shù)據(jù)化是智能電網(wǎng)建設(shè)的重要目標(biāo),也是未來電網(wǎng)的根本特征.智能電網(wǎng)是繼小型孤立電網(wǎng)、分布式互聯(lián)大電網(wǎng)之后的第三代電網(wǎng),其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜.同時,用戶側(cè)的開放致使新能源、柔性負(fù)荷、電能產(chǎn)消者(如EV)大規(guī)模介入電網(wǎng),這也極大地加劇了電網(wǎng)運行機理和限制模型的復(fù)雜性.傳統(tǒng)的通過對個體元器件建模、參數(shù)辨識及在此機理模型上進(jìn)行仿真的手段缺乏以認(rèn)知日益復(fù)雜的電網(wǎng)；而另一方面,隨著智能電網(wǎng)建設(shè)進(jìn)程的不斷深入,尤其是高級測量體系(advancedmeteringinfrastructure,AMI)和信息通信技術(shù)(info

17、rmationcommunicationtechnology,ICT)的開展,數(shù)據(jù)將越來越容易獲取,電網(wǎng)運行和設(shè)備監(jiān)測產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將呈指數(shù)級增長.然而,各電力部門普遍存在如下問題:1)從如此之多的數(shù)據(jù)中,能得到些什么2)不同部門的數(shù)據(jù)為什么且如何混合在一起3)壞(異常、缺失、時間不同步)數(shù)據(jù)如何處理上述的典型問題也是現(xiàn)階段信息化建設(shè)所呈現(xiàn)的“重系統(tǒng)輕數(shù)據(jù)模式的結(jié)果.該模式忽略了最重要的(也是理論要求最深的)數(shù)據(jù)資源利用環(huán)節(jié),即將收集來的“數(shù)據(jù)原料轉(zhuǎn)換成驅(qū)動力,以數(shù)據(jù)驅(qū)動(data-driven/model-free)為主要方式及時、準(zhǔn)確地認(rèn)知系統(tǒng),故難以滿足系統(tǒng)決策制定(decision-ma

18、king)的需求.從數(shù)據(jù)的角度出發(fā),海量(volume)、多樣(variety)、實時(velocity)、真實(veracity)的4Vs數(shù)據(jù)是未來電網(wǎng)數(shù)據(jù)的開展趨勢,而4Vs數(shù)據(jù)的復(fù)雜性所引起的維數(shù)災(zāi)難(curseofimensionality)等問題將不可防止地產(chǎn)生且日益嚴(yán)峻.而隨機矩陣是元素為隨機變量(randomvariable)的一類矩陣,隨機矩陣?yán)碚?randommatrixtheory,RMT市要研究隨機矩陣的特征根和特征向量的一些統(tǒng)計分析性質(zhì),其核心為線性特征根統(tǒng)計量(lineareigenvaluestatistic,LES).隨機矩陣知識與電力系統(tǒng)的廣泛結(jié)合將有的放矢的緩解這一問題.4結(jié)論與展望本文第二局部簡要介紹了矩陣根本知識在新能源領(lǐng)域建模的應(yīng)用情況.由此可見,矩陣根本知識已經(jīng)廣泛應(yīng)用與電力系統(tǒng)的各個領(lǐng)域多年.但近年來,隨著新能源裝機容量日益增長與新能源遠(yuǎn)距離傳輸消納問題的日益凸顯.包括