自動(dòng)控制原理課程論文(DOC)

1、自動(dòng)控制原理（下）課程論文1011自動(dòng)化XX2010XXXX2013.4非線性控制系統(tǒng)摘要：非線性控制系統(tǒng)是用非線性方程來(lái)描述的非線性控制系統(tǒng)。系統(tǒng)中包含有非線性元件或環(huán)節(jié)。狀態(tài)變量和輸出變量相對(duì)于輸入變量的運(yùn)動(dòng)特性不能用線性關(guān)系描述的控制系統(tǒng)。狀態(tài)變量和輸出變量相對(duì)于輸入變量的運(yùn)動(dòng)特性不能用線性關(guān)系描述的控制系統(tǒng)。線性因果關(guān)系的基本屬性是滿足疊加原理。在非線性控制系統(tǒng)中必定存在非線性元件，但逆命題不一定成立。描述非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，按變量是連續(xù)的或是離散的，分別為非線性微分方程組或非線性差分方程組。非線性控制系統(tǒng)的形成基于兩類原因，一是被控系統(tǒng)中包含有不能忽略的非線性因素，二是為提高控制性

2、能或簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)而人為地采用非線性元件。關(guān)鍵字：非線性系統(tǒng)相平面法描述函數(shù)法正文：一、非線性特性典型非線性特性（1）非線性系統(tǒng)的特點(diǎn) 疊加原理無(wú)法應(yīng)用于非線性微分方程中。 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的輸入信號(hào)和初始條件有關(guān)。 線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，而非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻有關(guān)。 有些非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵(lì)下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的自激振蕩或極限環(huán)。（2）典型非線性特性二、非線性控制系統(tǒng)的應(yīng)用條件非線性系統(tǒng)的分析遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)為復(fù)雜，缺乏能統(tǒng)一處理的有效數(shù)學(xué)工具。在許多工程應(yīng)用中，由于難以求解出系統(tǒng)的精確輸

3、出過(guò)程，通常只限于考慮：系統(tǒng)是否穩(wěn)定。系統(tǒng)是否產(chǎn)生自激振蕩（見非線性振動(dòng)）及其振幅和頻率的測(cè)算方法。如何限制自激振蕩的幅值以至消除它。例如一個(gè)頻率是的自激振蕩可被另一個(gè)頻率是el的振蕩抑制下去，這種異步抑制現(xiàn)象已被用來(lái)抑制某些重型設(shè)備的伺服系統(tǒng)中由于齒隙引起的自振蕩。三、非線性系統(tǒng)的奇特現(xiàn)象非線性系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)一些在線性系統(tǒng)中不可能發(fā)生的奇特現(xiàn)象，歸納起來(lái)有如下幾點(diǎn)：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸出特性只決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸出動(dòng)態(tài)過(guò)程，不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且還與系統(tǒng)的初始條件和輸入信號(hào)大小有關(guān)。例如，在幅值大的初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是收斂的（穩(wěn)定的），而在幅值小的初

4、始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)卻是發(fā)散的（不穩(wěn)定的），或者情況相反。非線性系統(tǒng)的平衡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除平衡點(diǎn)外還可能有周期解。周期解有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩類，前者觀察不到，后者是實(shí)際可觀察到的。因此在某些非線性系統(tǒng)中，即使沒有外部輸入作用也會(huì)產(chǎn)生有一定振幅和頻率的振蕩，稱為自激振蕩，相應(yīng)的相軌線為極限環(huán)。改變系統(tǒng)的參數(shù)可以改變自激振蕩的振幅和頻率。這個(gè)特性可應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題，以達(dá)到某種技術(shù)目的。例如，根據(jù)所測(cè)溫度來(lái)影響自激振蕩的條件，使之振蕩或消振，可以構(gòu)成雙位式溫度調(diào)節(jié)器。線性系統(tǒng)的輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)過(guò)程也是同頻率的正弦函數(shù)，兩者僅在相位和幅值上不同。但非線性系統(tǒng)的輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出則是包含有高

5、次諧波的非正弦周期函數(shù)，即輸出會(huì)產(chǎn)生倍頻、分頻、頻率侵占等現(xiàn)象。復(fù)雜的非線性系統(tǒng)在一定條件下還會(huì)產(chǎn)生突變、分岔、混沌等現(xiàn)象。四、非線性系統(tǒng)的分析方法（1）相平面法1. 相平面：以橫坐標(biāo)表示X，以縱坐標(biāo)X構(gòu)成一個(gè)直角坐標(biāo)系，則該坐標(biāo)平面成為相平面系統(tǒng)某一時(shí)刻的狀態(tài)可以用相平面上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)描述。2. 相軌跡：相平面上的點(diǎn)隨時(shí)間變化描繪出來(lái)的曲線稱為相軌跡。如果把系統(tǒng)在各種出始條件下的相軌跡都畫出來(lái)，則可在相平面上的到一個(gè)想軌跡曲線簇，（描述系統(tǒng)各種可能的運(yùn)動(dòng)）。3相平面圖：相平面和想軌跡曲線簇構(gòu)成相平面圖。清楚的表示系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。4 相平面法：用相圖表示非線性二階系統(tǒng)過(guò)程的方法成

6、相平面法，可分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。5 與描述函數(shù)法不同指數(shù)函數(shù)法實(shí)質(zhì)是令系統(tǒng)線性部分不動(dòng)，而將其非線性部分線性化。想平面法是令系統(tǒng)非線性部分原封不動(dòng)，而將高階系統(tǒng)線性部分簡(jiǎn)化為二階。所以上述兩種方法各有側(cè)重，互補(bǔ)長(zhǎng)短，若同時(shí)用兩種方法分析一個(gè)系統(tǒng)，則分析結(jié)果更加全面。6相平面發(fā)局限性在于只適用在定常系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入只適限于階躍和斜坡。7. 相平面法歸結(jié)為兩個(gè)問(wèn)題（1）繪制相平面。（2）由相軌跡線來(lái)理解系統(tǒng)過(guò)程。8. 相軌跡繪制基本方法：解析法圖解法實(shí)驗(yàn)法應(yīng)用相平面法分析非線性系統(tǒng)的前提就是要繪制相軌跡。I解析法：1. 解析法就是用求解微分方程的方法找出X(t)和x(t)的關(guān)系，從而在相平面撒謊能夠

7、繪制相軌跡。2. 應(yīng)用場(chǎng)合：當(dāng)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程比較簡(jiǎn)單，或者可以分段線性化時(shí)，應(yīng)用分析法比較方便。3. 具體方法：消去變量t法直接積分法消去參變量，即直接解方程x=f(x,x)求出x(t)，通求導(dǎo)得到x(t)，在x(t)和x(t)的表達(dá)式中消去參變量t，就得到直接積分法。因?yàn)閤二dx/dt二dx/dx*dx/dt二xdx/dx則二階系統(tǒng)微分方程的一般式x二f(x,x)可以寫成xdx/dx二f(x,x)若該式可以分解為g(xj*dx二h(x)dx則由/g(x)dx二fh(x)dx可直接找出xx的關(guān)系。Xo，Xo為出始條件。II、圖解法1. 圖解法是一種不必求出微分方程的解，而是通過(guò)各種逐步

8、作圖的方法，直接在相平面上畫出相軌跡的方法。2. 適用場(chǎng)合3. 當(dāng)微分方程用解析法求解比較復(fù)雜，困難甚至不可能時(shí)，對(duì)于非線性系統(tǒng)，圖解法尤為重要。基本思想:光繪出相軌跡的切線方向場(chǎng),然后從初始條件出發(fā),沿方向場(chǎng)繪制相軌跡.二階時(shí)不變系統(tǒng)一般可用常微分方程描述x、+f(x,x、)=Of(x,x')是x',x的解析式函數(shù)，可以是線形也可以是非線形的可寫為x'=dx'/dx*dx/dt二x'dx'/dxdx、/dx二-f(x,x、)/x、該方程的解:x、二g(x)此方程中包含著初始條件對(duì)于不同初始條件，它確定了不同的相軌跡.由相軌跡方程dy/dx=-f

9、(x,y)/y給出在相軌跡在點(diǎn)(x,y)即(x,x、)上的切線的斜率dy/dx二a(相軌跡上某一點(diǎn)斜率)把相軌跡上具備有等斜率點(diǎn)的連線稱為等傾線.-f(x,y)/y=a等傾線方程.若在相平面里作出足夠多的等傾線,并在每跟等傾線上用短線標(biāo)明和相軌跡通過(guò)該線的方向(切線方向)稱方向場(chǎng).按方向場(chǎng)從起點(diǎn)到終點(diǎn),則可繪出相軌跡.令a為不同常數(shù)在相平面上根據(jù)等傾線方可繪出若干等傾III特殊點(diǎn)一.奇點(diǎn)1. 定義:相軌跡方程dx'/dx為不定值的點(diǎn)2. 含義x'=0即狀態(tài)變化率=0,表明系統(tǒng)不再運(yùn)動(dòng),處于平衡狀態(tài)線形系統(tǒng)奇點(diǎn)唯一非線形系統(tǒng)多個(gè)奇點(diǎn)3. 計(jì)算dy/dx=0/04. 奇點(diǎn)類型1)穩(wěn)

10、定焦點(diǎn)(-1VZVO)相軌跡從原點(diǎn)向外發(fā)散，自由運(yùn)動(dòng)不收斂平衡點(diǎn)，是周期性增幅振蕩3)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)1)穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)外部和內(nèi)部起始的相軌跡都漸進(jìn)趨向于這個(gè)極限環(huán)，任何較小的擾動(dòng)使系統(tǒng)離開極限環(huán)后，最后人回到環(huán)上2)不穩(wěn)定極限環(huán)3)半穩(wěn)定極限環(huán)不能產(chǎn)生自振蕩，環(huán)內(nèi)相軌跡發(fā)散原理極限環(huán)外相軌跡收攏極限環(huán)(2)、描述函數(shù)法x1、描述函數(shù)的基本概念設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)x(t)=Asinwt其輸出y(t)一般為非周期正弦信號(hào)，可以展開為傅氏級(jí)數(shù)0y(t)=A+乙(Acosnwt+Bsinnwt)0nnn=1若非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出部分的靜態(tài)特性曲線是奇對(duì)稱的，即y(x)=y(x)，于是輸出中將不

11、會(huì)出現(xiàn)直流分量，從而A0=0。式中：A=J2y(t)cosnwtd(wt)，B=丄J2勺(t)sinnwtd(wt)n兀on兀0同時(shí)，若線性部分的G(s)具有低通濾波器的特性，從而非線性輸出中的高頻分量部分被線性部分大大削弱，可以近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中只包含有=1J冗I式中：A1基波分量，即y(t)=A】cosnwt+Bsinnwt=Ysin(wt+%)=J2y(t)coswtd(wt)，B兀o申=arctgA-12、描述函數(shù)的定義類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來(lái)表示。IYQA2+B2AN(A)=

12、iej%i='1Zarctg1A1AB1顯然，片北0時(shí)，N(A)為復(fù)數(shù)。3、描述函數(shù)的應(yīng)用條件非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化為只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)N和一個(gè)線性環(huán)節(jié)G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。 非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關(guān)系是奇對(duì)稱的，即y(x)=y(x)，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出中不包含直流分量。 系統(tǒng)的線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。4、描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是： 首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 利用傅氏級(jí)數(shù)求出y(t)的基波分量。 將基波

13、分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應(yīng)的描述函數(shù)N(A)。以繼電器非線性特性為例，說(shuō)明描述函數(shù)的求解方法。由于非線性為雙位繼電器，即在輸入大于零時(shí)，輸出等于定值M，而輸入小于零時(shí)，輸出為定值-M，故而，在正弦輸入信號(hào)的作用下，非線性部分的輸出波形為方波周期信號(hào)，且周期同輸入的正弦信號(hào)2“。其波形如下圖所示。于是，輸出信號(hào)y(t)可表示為y(t)=4M(sint+sin3rot+1sin5rot+1sin7rot“357+)4Mx®sin(2n+l)®t兀2n+1n=0取輸出的基波分量，即4My(t)=sin®t“于是，繼電器非線性特性的描述函數(shù)為N(A)=YZqA14

14、M“A顯然，N(A)的相位角為零度，其幅值是輸入正弦信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)。常見非線性特性的描述函數(shù) 繼電器非線性描述函數(shù)N(A)=YZqA14M“A 飽和非線性特性的描述函數(shù)N(A)=B=2kA兀.aa|'arcsin+1AA(A>a)5、組合非線性特性的描述函數(shù)簡(jiǎn)單非線性基本連接形式有串聯(lián)、并聯(lián)。(1)非線性特性的并聯(lián)計(jì)算總的描述函數(shù)為N(A)=N1(A)+N2(A)由此可見，若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。(2)非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。而是應(yīng)該先求出這兩個(gè)串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)。6、非線性系

15、統(tǒng)的穩(wěn)定性在上述所示的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，非線性部分N可以用描述函數(shù)N(A)表示,線性部分G(s)則用頻率特性G(j®)表示。由閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，口得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性(j®)如卜(j®)=C(j嘰N(A)G(j®)R(j®)1+N(A)G(j®)其閉環(huán)特征方程為1+N(A)G(j®)=0從而有G(j®)=-N(A)上式-1N(A)稱為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。給出了常見非線性函數(shù)的負(fù)倒描述函數(shù)-1N(A)曲線，其中箭頭表示了幅值A(chǔ)的增大方向。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)是： 若G(j®

16、)曲線不包圍-1N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 若G(j®)曲線包圍-1N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的; 若G(J®)曲線與-1N(A)曲線相父，理論上將產(chǎn)生振蕩，或稱為自激振蕩。-1N(A)穩(wěn)定7、ImImReRe不穩(wěn)定自激振蕩的分析與計(jì)算®)由上述分析可知，當(dāng)線性部分的頻率特性ImRe振蕩G(J®)d(倒描述函數(shù)曲線-1/N(A)相交時(shí)，非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩。下面進(jìn)一步分析自激振蕩的條件和自激振蕩的穩(wěn)定性。自激振蕩條件可以改寫為G(j®)N(A)=-1=e-洱G(j®)N(A)|=1ZG(j®)+ZN(A)

17、=冗自激振蕩的穩(wěn)定性所謂自激振蕩的穩(wěn)定性是指，當(dāng)非線性系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用而偏離原來(lái)的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠回到原來(lái)的等幅振蕩狀態(tài)的，稱為穩(wěn)定的自激振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自激振蕩。如右圖所示，線性部分的頻率特性G(j®)與負(fù)倒描述函數(shù)曲線-1N(A)有兩個(gè)相交點(diǎn)M、M，2這說(shuō)明系統(tǒng)有兩個(gè)自激振蕩點(diǎn)。對(duì)于M點(diǎn)，若受到擾動(dòng)使幅值A(chǔ)增大，則工作1點(diǎn)將由M1點(diǎn)移至a點(diǎn)。由于a點(diǎn)不被G(j®)包圍系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅A自動(dòng)減小，工作點(diǎn)將-沿N1A)(AIm振蕩dRe點(diǎn)。反之亦然。所以M點(diǎn)是穩(wěn)定的自激振蕩。1對(duì)于M點(diǎn)，若受到擾動(dòng)使幅值A(chǔ)減小，則工作點(diǎn)將由M點(diǎn)移至D

18、點(diǎn)。由于221d點(diǎn)不被G(j®)包圍，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅A進(jìn)一步減小，工作點(diǎn)將沿-1N(A)曲線向幅值不斷減小的方向移動(dòng)，從而不能再回到必2點(diǎn)。反之亦然。所以M點(diǎn)是不穩(wěn)定的自激振蕩。2判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復(fù)平面自激振蕩附近，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿1N(A)曲線移動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿-1N(A)曲線移動(dòng)是從穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。 自激振蕩的計(jì)算對(duì)于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率是確定并且是可以測(cè)量的，具體的計(jì)算方法是：振幅可由-1N(A)曲線的自變量A來(lái)確定，振蕩頻率由G(j®)曲線的自變量來(lái)確定。需要注意的是，計(jì)算得到的振幅和頻率，是非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)x(t)