第十一章 傅里葉級數(shù)

1、1. 二元函數(shù)在某點處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的判定；二元函數(shù)在某點處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的判定；2. 多元數(shù)值函數(shù)的梯度；多元數(shù)值函數(shù)的梯度；3. 二元函數(shù)的極值；二元函數(shù)的極值；4. 多元函數(shù)隱函數(shù)求偏導(dǎo)；多元函數(shù)隱函數(shù)求偏導(dǎo)；5. 二重積分的比較；二重積分的比較；6. 交換二重積分累次積分次序；交換二重積分累次積分次序；7. 二重積分在直角坐標系下的計算二重積分在直角坐標系下的計算8. 三重積分的計算；三重積分的計算；9. 求立體體積；求立體體積；10.重積分對稱性；重積分對稱性；2013-2014高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試考點考試考點11.第一類曲線積分的計算；第一類曲線積分的計

2、算；12.第二類曲線積分的計算；第二類曲線積分的計算；13.第一類曲面積分的計算；第一類曲面積分的計算；14.第二類曲面積分計算；第二類曲面積分計算；15.高斯公式，向量函數(shù)的散度；高斯公式，向量函數(shù)的散度；16.斯托克斯公式；斯托克斯公式；17.數(shù)項級數(shù)斂散性判斷（含絕對收斂和條件收斂）數(shù)項級數(shù)斂散性判斷（含絕對收斂和條件收斂） ；18.冪級數(shù)的收斂半徑，收斂域及和函數(shù)；冪級數(shù)的收斂半徑，收斂域及和函數(shù)；19.函數(shù)的冪級數(shù)展開；函數(shù)的冪級數(shù)展開；20.將函數(shù)展成以將函數(shù)展成以 為周期的傅里葉級數(shù)；為周期的傅里葉級數(shù)；21.周期周期2l的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)。的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)。2情況一：設(shè)情

3、況一：設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的的周期函數(shù)周期函數(shù)21. 將函數(shù)展成以將函數(shù)展成以 為周期的傅里葉級數(shù)；為周期的傅里葉級數(shù)；2情況二：情況二：設(shè)設(shè) f (x) 是是定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù)情況三：情況三：設(shè)設(shè) f (x) 是是定義定義在在0, 上的函數(shù)上的函數(shù)(可展成正弦或余弦級數(shù)可展成正弦或余弦級數(shù))情況一：設(shè)情況一：設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的的周期函數(shù)周期函數(shù) f (x) 的傅的傅里里葉級數(shù)在葉級數(shù)在 收斂收斂 , 且有且有01( )cossin2nnnas xanxbnx, )(xf(0)(0),2f xf x x 為間斷點為間斷點其中其中nnba ,為

4、為 f (x) 的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) . x 為連續(xù)點為連續(xù)點(,) 2( )f x以為周期函數(shù)的傅的傅里里葉展開式為葉展開式為01( )cossin2nnnaf xanxbnx |,( )( )xxxf xs x 即：即：的間斷點的間斷點連續(xù)的點以及連續(xù)的點以及滿足滿足(0)(0)( )2f xf xf x結(jié)論：結(jié)論：例例. 設(shè)的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù).是周期為2 的周期函數(shù),它在上),)(xf解解: 滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件.0dsin)(2xnxxfbn),3,2,1(n0dsin2xnxx02sincos2nnxnnxxnncos21

5、) 1(2nn( )fx 是(-, )的奇函數(shù), ),2,1,0(0nan因此根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的傅傅里里葉展開式為葉展開式為:11( 1)2( )sinnnf xnxn(21),)xRxkk且yxo(21)() ( ),xkkf x又當時連續(xù)=(21) xk當時( +0)(0)0( )2f xf xf x 11( 1)2sinnnnxn故f (x) 的傅傅里里葉級數(shù)為葉級數(shù)為:, )(xxf周期延拓)(xF收斂定理( ),)f xx , )2(kxf其它01( )cossin2nnnas xanxbnx( ),F x(0)(0),2F xF x x 間斷 x 為連續(xù)點注：有相同的

6、注：有相同的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)( )s x, )(xf(0)(0),2f xf xx 為 間斷點 x 為 連續(xù)點(0)(0),2ffx ( )(,)2- , S x 即在上有定義且以為周期，且其在上的表達式為(, ) (, ) 情況二：情況二：設(shè)設(shè) f (x) 是是定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù),( )f x 上的函數(shù)傅傅里里葉展開式為：葉展開式為：01( )cossin2nnnaf xanxbnx |,( )( )xxxf xs x即：即：(, ) (, ) 的間斷點以及的間斷點以及中連續(xù)的點以及中連續(xù)的點以及中滿足中滿足(0)(0)( )2f xf xf x(0)(0)( ) ()2

7、ffff或的使等號成立的端點的使等號成立的端點例例. 將函數(shù),04( ) ,04xf xx展成傅里里葉級數(shù) .11( 1).21nnn并求解解: 先求傅里里葉系數(shù)xnxxfandcos)(1),2,1,0(0nxnxxfbndsin)(102sind4nx x1 ( 1)2nn 11 cos2nn根據(jù)收斂定理可得根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的傅的傅里里葉展開式為葉展開式為:11( )sin(21) ,21nf xnxn(0+0)(00)0(0)24fff11 ( 1)sin2nnnxn 故故f (x) 的傅的傅里里葉級數(shù)為葉級數(shù)為:(,0)(0, ) ( ),xf x 當時連續(xù)=0 x當時(

8、+0)(0)0()2fff= x當時(,0)(0, )x 11( 1)()().21224nnSfn注：正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 對奇函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為 對偶函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里里葉系數(shù)為,0),(xxf)(xF傅里葉級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成傅里葉級數(shù)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x(

9、),0)fxx ( )F x ( ),0,f xx(), 0)fxx 情況三：情況三：設(shè)設(shè) f (x) 是是定義定義在在0, 上的函數(shù)上的函數(shù)x1y將將)(xf則有則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx222( 1)1nn作偶延拓作偶延拓 ,例例. 將函數(shù)將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)數(shù)與余弦級數(shù) . 解解: 先求先求余余弦級數(shù)弦級數(shù).( )F x 1,0,xx1, 0)xx 根據(jù)收斂定理可得根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的傅的傅里里葉展開式為葉展開式為:21141( )cos(21)2(21)nf xnxn0, )( )

10、( ),xF xf x又當時連續(xù)= x當時(+0)(0)1( )2FFf 2112( 1)1 cos2nnnxn故故f (x) 的的傅傅里里葉級數(shù)為葉級數(shù)為:x1yo0, x1xyo將將 f (x) 作奇延拓作奇延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx21 ( 1) (1)nn 再求再求正正弦級數(shù)弦級數(shù).)(xF1,(0,xx0, 0 x1, 0)xx 根據(jù)收斂定理可根據(jù)收斂定理可得得 f (x) 的傅的傅里里葉展開式為葉展開式為:11 ( 1) (1)2( )sinnnf xnxn (0, )( ) ( ),xF xf x又當時連續(xù)= x當時(+0)(0)0( )12

11、FFf121 ( 1) (1) sinnnnxn 故故f (x) 的傅的傅里里葉級數(shù)為葉級數(shù)為:(0, )x1xyo=0 x當時(0+0)(00)0(0)12FFf注：注： 一定要分清三個概念一定要分清三個概念:傅傅里里葉級數(shù)、和函數(shù)、葉級數(shù)、和函數(shù)、傅傅里里葉展開式葉展開式 若若f(x)是奇偶函數(shù)，求傅是奇偶函數(shù)，求傅里里葉系數(shù)一定要利葉系數(shù)一定要利用定積分的對稱性結(jié)論簡化計算用定積分的對稱性結(jié)論簡化計算 求求s(x)是通過是通過f(x)的表達式來求的的表達式來求的 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù),一定要注意一定要注意x的取的取值范圍：值范圍： （1）要屬于）要屬于f (x)

12、 的定義域的定義域 （2）包含定義域中除端點外所有連續(xù)的點）包含定義域中除端點外所有連續(xù)的點 （3）包含滿足）包含滿足“等式等式”的間斷點和端點的間斷點和端點21. 周期周期2l的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)情況一：設(shè)情況一：設(shè) f (x) 是周期為是周期為2l的的周期函數(shù)周期函數(shù)01( )cossin,(,)2nnnanns xaxbxxll , )(xf(0)(0),2f xf x x 為間斷點為間斷點 x 為連續(xù)點為連續(xù)點( )s x, )(xf(0)(0),2f xf xx 為 間斷點 x 為 連續(xù)點(0)(0),2flf l xl (, )l l(, )l l情況二：情況二

13、：設(shè)設(shè) f (x) 是是定義在定義在l ,l上的函數(shù)上的函數(shù)( )s x例：設(shè)例：設(shè) )(xf2,1 0,x2, 01,xx的傅里葉級數(shù)在的傅里葉級數(shù)在( )f x答案答案: B是以是以2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù),在在 （）31. 1 . . . 222ABCD( 1,1上上則則( )f x1x 處收斂于處收斂于( 1+0)(1 0)2 13 222ff解：(8)?S再問呢(0+0)(00)02(8)(0)122ffSS1. 二元函數(shù)在某點處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在二元函數(shù)在某點處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的的判定判定1) 函數(shù)函數(shù)00( , )(,):f x yxy在連續(xù)0000( , )(,)lim( ,

14、)(,)x yxyf x yf xy或有的極限不存在.證明函數(shù)極限不存在: 以不同方式函數(shù)趨于不同值(常用的趨近方式為直線式)證明函數(shù)極限存在: 換元或夾逼準則 先代后求先代后求: 先求后代先求后代: 利用定義利用定義:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000000(,)(,) ( , )|xxxyfxyfx y0),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy例如：分段函數(shù)分段點例如：分段函數(shù)分段點例如：初等函數(shù)定義區(qū)域的內(nèi)點例如：初等函數(shù)定義區(qū)域的內(nèi)點例如：上述兩種例子情況均可、函數(shù)式復(fù)雜例如：上述兩種例子情況均可、函數(shù)式復(fù)雜2)2)某點處偏導(dǎo)數(shù)存在的判定某點處偏導(dǎo)數(shù)

15、存在的判定: : 應(yīng)該用法一和法三0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 連續(xù);知在點(0,0) 處連續(xù)性及偏導(dǎo)數(shù)存在性 .例例. 討論討論法一:偏導(dǎo)存在性偏導(dǎo)存在性: :d(0, 0)( , 0)0dxff xxxd(0, 0)(0,)0dyffyyy000(,0)(0,0) (0,0)limxxfxffx 000lim=0 xx 0(0,)(0,0) (0,0)limyyfyffy 000lim=0yy 法二:( ,0)(0, )0,f xf

16、y因故（A A）連續(xù)連續(xù), ,偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, ,2222225,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy例：二元函數(shù)例：二元函數(shù)在點在點(0 , 0)處（處（ ）（B B）連續(xù)連續(xù), ,偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在, ,（C C）不）不連續(xù)連續(xù), ,偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, ,（D D）不）不連續(xù)連續(xù), ,偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在, ,答案：答案：C2. 多元多元數(shù)值數(shù)值函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxPzfyfxff,grad梯度為:梯度為:grad,fffxy例例. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1

17、(M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)15. 向量場的向量場的散度散度設(shè), ),(RQPA zRyQxPAdiv散度散度:則例例: 設(shè)矢量場設(shè)矢量場22( , , )ln(1) ,zu x y zxy iye jxzk(1,1,0) Pdivu 則該矢量場在點處的散度22: , (1, 1,2)( )=( )uxy zdiv grad u例 設(shè)則在點處 A (0,4,0) B

18、(0,0,0) C 4 D 0.22 =( )grad uy zxyzxy解：，2，( )=2xzdiv grad uC3.3.二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值（1）具體二元函數(shù)求極值）具體二元函數(shù)求極值（2）實際問題求二元函數(shù)的條件極值）實際問題求二元函數(shù)的條件極值可以結(jié)合變力做功等第二類的曲線積分綜合考察可以結(jié)合變力做功等第二類的曲線積分綜合考察（1）具體二元函數(shù)求極值）具體二元函數(shù)求極值第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.第二步 利用充分條件判別駐點是否為極值點 .( , )0( , )0 xyfx yfx y時, 具有極值定理定理 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則

19、: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 00(,)0,xfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy20BAC20BAC20BAC00(,)0,yfxy例例. 求 222,xyf x yxe的極值。解：先求函數(shù)的駐點.2222222,(1)0,0 xyxyxyfx yx efx yxye 解得函數(shù)為駐點為 1,01,0或222222322222(3 ),(1),(1)xyxxxyxyxyyyAfxx eBfy xeCfx ye20,0BACA121,0fe在1,0 點

20、：取極大值20,0BACA12( 1,0)fe 在1,0點：取極小值（2012考研題）考研題）例例. 求 的極值。（2013考研題）考研題）3,()3x yxf x yye答案答案:134 (1,).3fe 有極小值（2）實際問題求二元函數(shù)的條件極值）實際問題求二元函數(shù)的條件極值(a) 簡單問題用代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題條件極值問題.(b) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法求一元函數(shù)的無條件極值問題)(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz引入輔助函數(shù)( , )( , )( , )0 xxxL x yfx yx y( , )( , )( , )0yyyLx yfx yx y( , )0 x y( , )( , )( , )L x yf x yx y 一定要合理轉(zhuǎn)換目標函數(shù)一定要合理轉(zhuǎn)換目標函數(shù):非負可平方、可取倒數(shù)等非負可平方、可取倒數(shù)等 要注意解方程組的技巧要注意解方程組的技巧 ：一般先得出自變量的關(guān)系：一般先得出自變量的關(guān)系再代入約束條件再代入約束條件 隱函數(shù)求導(dǎo)方法：隱函數(shù)求導(dǎo)方法：方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則