高考數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)重難點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題16圓錐曲線(xiàn)與重心問(wèn)題（含答案）

1、專(zhuān)題16 圓錐曲線(xiàn)與重心問(wèn)題一、單選題1已知點(diǎn)是橢圓上的三點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率恒為，則橢圓的離心率為（ ）ABCD2已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）ABCD3設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（ ）ABCD4已知A是雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，G是的重心，若，則為（ ）ABCD與的取值有關(guān)5設(shè)，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，且的重心滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）ABC2D6已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)：，且，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)

2、為的重心，則（ ）A40B38C36D347已知、是拋物線(xiàn)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是的重心，若直線(xiàn)、的斜率存在且分別為、，則（ ）A3BC1D08已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，的重心為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為（ ）A2BCD二、多選題9橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，是橢圓第一象限上的一點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)），的重心是，的角平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)（m，0），下列說(shuō)法正確的有（ ）AG的軌跡是橢圓的一部分B的長(zhǎng)度范圍是C取值范圍是D10若雙曲線(xiàn)， 分別為左、右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上且在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)為的重心，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A雙曲線(xiàn)的離心率為B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線(xiàn)

3、的一部分C若，則.D存在點(diǎn)，使得11瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為“歐拉線(xiàn)”.直線(xiàn)與軸及雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的三個(gè)不同交點(diǎn)構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線(xiàn)的離心率可以是（ ）ABCD12瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線(xiàn)上這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”在平面直角坐標(biāo)系中作，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線(xiàn)”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（ ）A圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為B圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離為C若點(diǎn)在圓

4、上，則的最小值是D圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是三、填空題13已知，分別是雙曲線(xiàn)：（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若為的重心，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi).14已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)若ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為_(kāi)15已知，是拋物線(xiàn)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是的重心，若直線(xiàn)，的斜率存在且分別為，則_16已知拋物線(xiàn)E：y24x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）為拋物線(xiàn)上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x1x2x3且y20，若ABC的重心恰為拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)，且AB、AC、BC三邊

5、中點(diǎn)到拋物線(xiàn)E的準(zhǔn)線(xiàn)的距離成等差數(shù)列，則直線(xiàn)AC的斜率為_(kāi).四、解答題17在雙曲線(xiàn)C：中，分別為雙曲線(xiàn)C的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，的重心為G，內(nèi)心為I.（1）求內(nèi)心I的橫坐標(biāo)；（2）已知A為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)C交于M、N兩點(diǎn)，若、的斜率、滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程；（3）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).18已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，問(wèn)：是否存在過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，使的重心恰好在直線(xiàn)上？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19若橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)

6、原點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)為的重心，證明：.20已知為橢圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)將的面積分為9：7兩部分.（1）求橢圓及拋物線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)：與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的重心恰好在圓上，求的取值范圍.21已知橢圓離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的三點(diǎn)，且為的重心，探究面積是否為定值，若是求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由22設(shè)是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)，是以直線(xiàn)與的漸近線(xiàn)，以為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn).（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若與在第一象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍，并求的最大

7、值；（3）是否存在正數(shù)，使得此時(shí)的重心恰好在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上？如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由.專(zhuān)題16 圓錐曲線(xiàn)與重心問(wèn)題一、單選題1已知點(diǎn)是橢圓上的三點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率恒為，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【解析】設(shè)，又由原點(diǎn)是的重心，得，即，又是橢圓上的點(diǎn)，作差可得：，即，即，故選：D2已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【解析】由題設(shè)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線(xiàn)，得.又B為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，以上兩式相減得，所以，化簡(jiǎn)得由及，解得：，即離心率. 故選：

8、C.3設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（ ）ABCD【解析】由于點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，又 ，故為等腰三角形，以為底的高為： ，故 ， ，故選：C4已知A是雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，G是的重心，若，則為（ ）ABCD與的取值有關(guān)【解析】因?yàn)镚是的重心，所以，又因，所以，又，故選：B5設(shè)，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，且的重心滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）ABC2D【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以，所以，所以，又，解得，設(shè)，所以.所以，解得，所以，代入雙曲線(xiàn)方程得：，解得，所以.故選：C6已知的三個(gè)頂點(diǎn)

9、都在拋物線(xiàn)：，且，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為的重心，則（ ）A40B38C36D34【解析】由題意知，解得，所以設(shè)，則由三角形的重心坐標(biāo)公式得，化簡(jiǎn)得，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，得，故選：B7已知、是拋物線(xiàn)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是的重心，若直線(xiàn)、的斜率存在且分別為、，則（ ）A3BC1D0【解析】設(shè)，則，兩式相減，得，則，設(shè)，同理可得，因?yàn)榻裹c(diǎn)是的重心，所以，則，故選：D.8已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，的重心為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為（ ）A2BCD【解析】由題意，拋物線(xiàn)為，可令直線(xiàn)為，若，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)得且，則，又的重心為點(diǎn)，即，則到直線(xiàn)的距離，當(dāng)時(shí)，.故選：C.二、多選題9橢圓

10、的左、右焦點(diǎn)分別是，是橢圓第一象限上的一點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)），的重心是，的角平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)（m，0），下列說(shuō)法正確的有（ ）AG的軌跡是橢圓的一部分B的長(zhǎng)度范圍是C取值范圍是D【解析】設(shè)重心，又， ，即，又是橢圓上一點(diǎn)，即，故A正確；G的軌跡是橢圓的一部分，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；根據(jù)內(nèi)角平分線(xiàn)定理可知，又，故C正確；同樣利用內(nèi)角平分線(xiàn)定理與焦半徑公式，由可知，故D正確.故選：ACD.10若雙曲線(xiàn)， 分別為左、右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上且在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)為的重心，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A雙曲線(xiàn)的離心率為B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分C若，則.D存在點(diǎn)，使得【解析】由題

11、意，雙曲線(xiàn)，可得，則離心率為，所以A正確；設(shè)，的內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)，與邊切于點(diǎn)，與邊切于點(diǎn)，可得，由雙曲線(xiàn)的定義可得，即，又由，解得，則的橫坐標(biāo)為，由與的橫坐標(biāo)相同，可得的橫坐標(biāo)為，可得在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，所以B不正確；由且，解得，則，可得，所以，同理可得，設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)，聯(lián)立方程組，求得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，即有，可得，由，可得，解得，可得，所以C正確；設(shè)，則，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，于是，可得，若，可得，即，又由，聯(lián)立可得，因此，解得，即存在點(diǎn)，使得，所以D正確.故選：ACD.11瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是

12、重心到垂心距離的一半”，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為“歐拉線(xiàn)”.直線(xiàn)與軸及雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的三個(gè)不同交點(diǎn)構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線(xiàn)的離心率可以是（ ）ABCD【解析】設(shè)，由，得，得，由，得，得，由，得，得，若為重心、為外心、為垂心，則，所以，化簡(jiǎn)得，此時(shí)雙曲線(xiàn)的離心率，若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡(jiǎn)得不成立；若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡(jiǎn)得，此時(shí)雙曲線(xiàn)的離心率，若為重心，為垂心、為外心，則，化簡(jiǎn)得，此時(shí)雙曲線(xiàn)的離心率；若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡(jiǎn)得或，此時(shí)雙曲線(xiàn)的離心率或，若為重心，為垂心、為外心，則，所以，化簡(jiǎn)得或都不成

13、立.綜上所述：或或或.故選：ABD12瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線(xiàn)上這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線(xiàn)”在平面直角坐標(biāo)系中作，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線(xiàn)”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（ ）A圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為B圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離為C若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是【解析】因?yàn)?，由題意可得三角形的歐拉線(xiàn)為的中垂線(xiàn)，由，點(diǎn)可得的中點(diǎn)為，且，所以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為：，即，因?yàn)槿切蔚摹皻W拉線(xiàn)”與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離，所以圓的方程為：，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離，A中，圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為，故A不正確：B中，圓上點(diǎn)到

14、直線(xiàn)的距離的最小值為，故B正確；C中：令，所以，代入圓的方程，可得，整理可得，由于在圓上，所以有根，則，整理可得：，解得：，所以的最小值為1，即的最小值為1，所以C錯(cuò)誤；D中：圓心坐標(biāo)，半徑為；圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距，所以，即解得：，解得，所以D正確；故選：BD三、填空題13已知，分別是雙曲線(xiàn)：（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若為的重心，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi).【解析】設(shè)，則由重心坐標(biāo)公式可得解得點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在曲線(xiàn)上，.（），解得或（舍），.14已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C

15、交于A(yíng)，B兩點(diǎn)若ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為_(kāi)【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減得0.(*)因?yàn)锳BF1的重心為G，所以故代入(*)式得，所以，即a23b2，所以橢圓C的離心率e.15已知，是拋物線(xiàn)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是的重心，若直線(xiàn)，的斜率存在且分別為，則_【解析】設(shè)，則，兩式相減，得，所以，設(shè)，同理可得，由于焦點(diǎn)是的重心，所以，故16已知拋物線(xiàn)E：y24x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）為拋物線(xiàn)上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x1x2x3且y20，若ABC的重心恰為拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)，且AB、AC、BC三邊中點(diǎn)到拋物線(xiàn)E的準(zhǔn)線(xiàn)的距離成等差數(shù)列，

16、則直線(xiàn)AC的斜率為_(kāi).【解析】如圖所示，設(shè)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，由題得，所以，即，同理因?yàn)槭茿BC的重心，所以因?yàn)锳B、AC、BC三邊中點(diǎn)到拋物線(xiàn)E的準(zhǔn)線(xiàn)的距離成等差數(shù)列，所以，所以.由題得.所以因?yàn)椋灾本€(xiàn)AC的斜率為2.四、解答題17在雙曲線(xiàn)C：中，分別為雙曲線(xiàn)C的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，的重心為G，內(nèi)心為I.（1）求內(nèi)心I的橫坐標(biāo)；（2）已知A為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)C交于M、N兩點(diǎn)，若、的斜率、滿(mǎn)足，求直線(xiàn)l的方程；（3）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1)依題意，雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)，作出的內(nèi)切圓，I為圓心，切點(diǎn)分別為S，K，T，如圖：設(shè)點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為t，顯

17、然x軸，由雙曲線(xiàn)定義知，解得，所以?xún)?nèi)心I的橫坐標(biāo)為2；(2)點(diǎn)，顯然直線(xiàn)l不垂直于x軸，否則由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性得，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)l：，由消去y得：，顯然，設(shè)，則，解得，即直線(xiàn)l：，所以直線(xiàn)l的方程為；(3)設(shè)點(diǎn)，則的重心，因，則，而，又，聯(lián)立解得，從而有，解得 ，即點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.18已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，問(wèn)：是否存在過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，使的重心恰好在直線(xiàn)上？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題可得拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，則，所以橢圓的方程為；（2）可得，則直線(xiàn)的方程為，假設(shè)存

18、在符合題意的直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，易得的重心坐標(biāo)為，不滿(mǎn)足在直線(xiàn)上，舍去；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為，顯然，則的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程得，則，要使的重心恰好在直線(xiàn)上，則，即，即，方程無(wú)解.綜上，不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn).19若橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)為的重心，證明：.【解析】（1）設(shè)，則，又，在橢圓上，兩式作差，整理得：，又，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立并整理得：，則，又恰為的重心，故坐標(biāo)為，即因?yàn)樵跈E圓上，即，解得，而，故；.20已知為橢圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)將的面積分為9：7兩部分.（1）求橢圓及拋物線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)：與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的重心恰好在圓上，求的取值范圍.【解析】