【原創(chuàng)】高二數(shù)學(xué)校本課程教材：生活中的數(shù)學(xué)校本課程

1、生活中的數(shù)學(xué)校本課程序百數(shù)學(xué)是打開知識大門的鑰匙，是整個科學(xué)的基礎(chǔ)知識。創(chuàng)新教學(xué)的先行者里斯特伯先生指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要解決生活問題，只有極少數(shù)人才能攻關(guān)艱深的高級數(shù)學(xué)問題，我們不能只為了培養(yǎng)尖端人才而忽略或者犧牲大多數(shù)學(xué)生的利益，所以數(shù)學(xué)首先應(yīng)該是生活概念?！痹谏钪袑W(xué)數(shù)學(xué)，以學(xué)生生活中實實在在的鮮活材料來吸引學(xué)生對科學(xué)的興趣。我們選取的都是從學(xué)生生活實踐中取材，將數(shù)學(xué)知識巧妙地運(yùn)用于生活之中，增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，實現(xiàn)新課改所倡導(dǎo)的情感體驗，培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度和正確價值觀的目標(biāo)。數(shù)學(xué)校本課程的開發(fā)要滿足學(xué)生已有的興趣和愛好，又要激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生新的興趣和愛好，要要求和鼓勵學(xué)生投入生活

2、，親身實踐體驗。選題要尊重學(xué)生的實際、學(xué)生的探究本能和興趣，給與每個學(xué)生主體性發(fā)揮的廣闊空間，從而更好的培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的素質(zhì)和能力。使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)有興趣，習(xí)有方法，必有成功。學(xué)生的個性在社會活動中得以健康發(fā)展，學(xué)生的潛能在自學(xué)自育中得到充分開發(fā)。第一課：讓數(shù)學(xué)幫你理財?shù)诙n：導(dǎo)航的雙曲線第三課：對稱一一自然美的基礎(chǔ)第四課：對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)第五課：斐波那契數(shù)列第六課：蜂房中的數(shù)學(xué)第七課：龜背上的學(xué)問第八課：Music與數(shù)學(xué)第九課：幾何就在你的身邊第十課：巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實存款1個月后，到期本息金額:-A(+4第一課：讓數(shù)學(xué)幫你理財某銀行為鼓勵小朋友養(yǎng)成儲蓄習(xí)慣， 提供

3、一個頗有心思的儲蓄計劃。 參加者除可有較高年息優(yōu)惠外 （見附表），更可以特價換取手表一只。先不論以低價換表是否真的超值，但這種宣傳方法頗具心思。手表與戶口連在一起，正好意味著利息隨時間遞增的關(guān)系。儲蓄計劃優(yōu)惠年息一覽表每月存款（港幣）$1,000存期（月）每年復(fù)息利率到期存款（港幣）利息（港幣）到期本息金額（港幣）96.625%9,0002529,252127.125%12,00047312,473157.375%15,00075915,759187.75%18,0001,14619,146248.00%24,0002,10626,106銀行的宣傳小冊子更注明十一歲至十七歲小朋友已可開個人戶口

4、。這群“準(zhǔn)客戶”大致是接受中學(xué)教育的適齡兒童。無論有興趣參加與否，總希望他們或早或遲懂得儲蓄計劃背后的數(shù)學(xué)原理。這個儲蓄計劃是以每月存入定額存款來計算利息，而存款期限愈長，利率則愈高。為了更有效理解表中“到期本息金額”如何計算出來，且讓我們設(shè)用為每月存款的金額，而叫則為月息利率。月息利率是由“每年復(fù)息利率”除以12而來的。譬如說，存款期限為9個月，從表中得知每年復(fù)息利率是6.625%,因此月息利率為6.625%+12,即約是0.5521%。存款2個月后，到期本息金額:=(金+&)(1+尸)=司Q+r%)+(14/1%)2-周存款3個月后，到期本息金額:=間(1+r%)+(l+r%)a+(1+r

5、%力=4余此類推，存款老個月后，到期本息金額(4)應(yīng)為：兒二用。+%)+產(chǎn)了十+十0十,%)與為了簡化這數(shù)式，設(shè)E+*。因此，；-+-括號內(nèi)的數(shù)式在數(shù)學(xué)上稱為等比數(shù)列：首項是X,公比是X。利用公式，我們便可把4的數(shù)式寫成：4=%-卜)*)x1現(xiàn)在就讓我們運(yùn)用這公式找出表中第一行的“到期本息金額”：上二1000X1+解r6625%-1十12=1.0055211.1.。05521（1口。分21。=1）1005521-19252(準(zhǔn)確至最接近的整數(shù))代入數(shù)式兇，4=iooo表中其余的“到期本息金額”不如留給你算算，看看表中列的數(shù)字是否有錯誤吧第二課：導(dǎo)航的雙曲線我們小時侯都曾夢想，長大以后要當(dāng)上船長

6、就好了。在茫茫的大海上，驚濤駭浪,你能順利地指揮著船隊駛向前方嗎？好，讓我們的雙曲線來幫助你吧。它是大海的導(dǎo)航員。先來看一看原理。假如你站在廣場上，廣場的東西兩側(cè)各裝有一只喇叭，并且放著歡快的音樂：北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太陽，多么溫暖我站在廣場上，聽見第一只喇叭把“金色的太陽”傳到耳朵后的半秒鐘，又聽到了第二聲“金色的太陽”。由于兩個喇叭離耳朵的遠(yuǎn)近不同，所以產(chǎn)生了聽覺上的時間差。再換一個地方，是否還有這樣歌聲相差半秒的情形呢？實際上，只要人站的位置與兩只喇叭的距離差與第一次一樣就可以了。因此可以找到很多這樣的點。這些點就構(gòu)成了雙曲線的一支。輪船航行在海上時， 它就處于人的

7、位置。 岸上有兩個無線電發(fā)射臺， 用電波代替了喇叭里傳出的音樂。輪船行駛在某一位置時，就可以從接收的電波的相位差，測出輪船與電臺的距離差，由此確定了一條以兩個電臺為焦點的雙曲線。若再和另一對電臺聯(lián)系，可以確定出另一條雙曲線，兩條雙曲線有一個交點，船就處于這一點上。這一切都是在一瞬間完成的，因為有很多現(xiàn)代化的工具來幫助我們，你明白了嗎？船長們就是這樣來導(dǎo)航的。第三課：對稱一一自然美的基礎(chǔ)在豐富多彩的物質(zhì)世界中，對于各式各樣的物體的外形，我們經(jīng)?？梢耘龅酵昝绖蚍Q的例子。它們引起人們的注意，令人賞心悅目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚貝殼都使人著迷；蜂房的建筑藝術(shù)，向日葵上種子的排列，以及植物莖上葉子

8、的螺旋狀頒都令我們驚訝。仔細(xì)的觀察表明，對稱性蘊(yùn)含在上述各種事例之中，它從最簡單到最復(fù)雜的表現(xiàn)形式，是大自然形式的基礎(chǔ)花朵具有旋轉(zhuǎn)對稱的性征。花朵繞花心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)位置，每一花瓣會占據(jù)它相鄰花瓣原來的位置，花朵就自相重合。旋轉(zhuǎn)時達(dá)到自相重合的最小角稱為元角。不同的花這個角不一樣。例如梅花為72。，水仙花為60?！皩ΨQ”在生物學(xué)上指生物體在對應(yīng)的部位上有相同的構(gòu)造，分兩側(cè)對稱（如蝴蝶），輻射對稱（放射蟲，太陽蟲等）。我國最早記載了雪花是六角星形。其實，雪花形狀千奇百怪，但又萬變不離其宗（六角星）。既是中心對稱，又是軸對稱。很多植物是螺旋對稱的，即旋轉(zhuǎn)某一個角度后，沿軸平移可以和自己的初始位置重合。例

9、如樹葉沿莖桿呈螺旋狀排列，向四面八方伸展，不致彼此遮擋為生存所必需的陽光。這種有趣的現(xiàn)象叫葉序。向日葵的花序或者松球鱗片的螺線形排列是葉序的另一種表現(xiàn)形式?！熬w閃爍對稱的光輝”，這是俄國學(xué)者費(fèi)多洛夫的名言。無怪乎在古典童話故事中，奇妙的寶石交織著溫馨的幻境，精美絕倫，雍容華貴。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第四課：對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)曾看過這樣一則謎語：“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來將?！眲右粍幽X筋，這說的是什么呢？原來是蜘蛛，后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲的生動情形。我們知道，蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方，也是它賴以謀生的工具。而且，結(jié)網(wǎng)是它的本能，并不需要學(xué)習(xí)。

10、你觀察過蜘蛛網(wǎng)嗎？它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來的呢？你心中是不是有一連串的疑問， 好，下面就讓我來慢慢告訴你吧。在結(jié)網(wǎng)的過程中，功勛最卓著的要屬它的腿了。首先，它用腿從吐絲器中抽出一些絲，把它固定在墻角的一側(cè)或者樹枝上。然后，再吐出一些絲，把整個蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來，用一根特別的絲把這個輪廓固定住。為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架。它每抽一根絲，沿著腳手架，小心翼翼地向前走，走到中心時，把絲拉緊，多余的部分就讓它聚到中心。從中心往邊上爬的過程中，在合適的地方加幾根輻線，為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡，再到對面去加幾根對稱的輻線。一般來說，不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同。絲蛛最多，42條；有帶的蜘蛛次

11、之，也有32條；角蛛最少，也達(dá)到21條。同一種蜘蛛一般不會改變輻線數(shù)到目前為止，蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分，相臨的輻線間的圓周角也是大體相同的?，F(xiàn)在，整個蜘蛛網(wǎng)看起來是一些半徑等分的圓周，畫曲線的工作就要開始了。蜘蛛從中心開始，用一條極細(xì)的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲。這是一條輔助的絲。然后，它又從外圈盤旋著走向中心，同時在半徑上安上最后成網(wǎng)的螺旋線。在這個過程中，它的腳就落在輔助線上，每到一處，就用腳把輔助線抓起來，聚成一個小球，放在半徑上。這樣半徑上就有許多小球。從外面看上去，就是許多個小點。好了，一個完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了。讓我們再來好好觀察一下這個小精靈的杰作：從外圈走向中心的

12、那根螺旋線，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷。只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。小精靈所畫出的曲線，在幾何中稱之為對數(shù)螺線。對數(shù)螺線又叫等角螺線， 因為曲線上任意一點和中心的連線與曲線上這點的切線所形成的角是一個定角。大家可別小看了對數(shù)螺線：在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)；螺線的形狀，抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀，它就會按特定的角度來切割草料，又快又好。第五課：斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的(1)細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花

13、、樓斗菜、百合花、蝴蝶花。(2)細(xì)察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：3百合和蝴蝶花5藍(lán)花樓斗菜、金鳳花、飛燕草8翠雀花13金盞草21紫宛(3)斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0,然后依序點數(shù)葉子(假定沒有折損)，直到到達(dá)與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。 葉子從一個位置到達(dá)下一個正對的位置稱為一個循回。 葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是雛菊34,55,84斐波那契數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序(源自希臘詞，意即葉子的排列)比。多數(shù)的葉序

14、比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。(4)斐波那契數(shù)有時也稱松果數(shù)，因為連續(xù)的斐波那契數(shù)會出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。止匕外，你能發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)的魯卡斯數(shù)嗎？8 8條右旋瞰城和1313條左旋域線向日葵的種子盤(5)菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數(shù)的植物。對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù)0斐波那契數(shù)列與黃金比值相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列:12350Ul.5,1.6,16J625J6153,1.619,-它們交錯地或大于或小于黃金比丘的值。該數(shù)列的極限為小。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線，

15、那里也就會出現(xiàn)斐波那契數(shù)，反之亦然。第六課：蜂房中的數(shù)學(xué)蜜蜂是勤勞的，它們釀造出了最甜的蜜；蜜蜂是聰明的，它們會分工合作，還會用舞蹈的形式告訴同伴：哪里有花源，數(shù)量怎么樣。實際上，不僅如此，蜜蜂還是出色的建筑師。它們建筑的蜂房就是自然界諸多奇跡中的一個。蜂房是正六棱柱的形狀，它的底是由三個全等的菱形組成的。達(dá)爾文稱贊蜜蜂的建筑藝術(shù)，說它是：天才的工程師。法國的學(xué)者馬拉爾狄曾經(jīng)觀察過蜂房的結(jié)構(gòu)，在1712年，他寫出了一篇關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的論文。他測量后發(fā)現(xiàn)，每個蜂房的體積幾乎都是0025立方厘米。底部菱形的銳角是70度32分,鈍角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是這樣的精細(xì)。 物理學(xué)家列奧繆拉也曾研

16、究了這個問題，它想推導(dǎo)出：底部的菱形的兩個互補(bǔ)的角是多大時，才能使得蜂房的容量達(dá)到最大，他沒有把這項工作進(jìn)行下去。蘇格蘭的數(shù)學(xué)家馬克勞林通過計算得出了與前面觀察完全吻合的數(shù)據(jù)。公元4世紀(jì),數(shù)學(xué)家巴普士就告訴我們：正六棱柱的蜂房是一種最經(jīng)濟(jì)的形狀，在其他條件相同的情況下，這種結(jié)構(gòu)的容積最大，所用的材料最少。他給出了嚴(yán)格的證明。看來，我們不得不為蜜蜂的高超的建筑藝術(shù)所折服了。馬克思也高度地評價它：蜜蜂建筑蜂房的本領(lǐng)使人問的許多建筑師感到慚愧?，F(xiàn)在，許多建筑師開始模仿蜂房的結(jié)構(gòu)，并把它們應(yīng)用到建筑的實踐中去第七課：龜背上的學(xué)問傳說大禹治水時，在一次疏通河道中，挖出了一只大龜，人們很是驚訝，爭相觀看，

17、只見龜背上清晰刻著圖1所示的一個數(shù)字方陣。11111111這個方陣，按孫子算經(jīng)中籌算記數(shù)的縱橫相間制：“凡算之法，先識其位。一縱十橫,百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)。六不積算，五不單張?！笨勺g成現(xiàn)代的數(shù)字，如圖2所示c方陣包括了九個數(shù)字，每一行一與列的數(shù)字和均為15,兩條對角線上的數(shù)也有相同的性質(zhì)。當(dāng)時，人們以為是天神相助，治水有望了。后來，人們稱刻在龜背上的方陣為“幻方”（國外稱為“拉丁方”），屬于組合數(shù)學(xué)范疇。使用整數(shù)19構(gòu)成的3X3階“拉丁方”唯一可能的和數(shù)是15,這一點只要把這“拉丁方”中所有數(shù)加起來便可證明，1十2十3十4十5十6十7十8十9=45,要把這幾個數(shù)分配到三行（或列）使得每

18、行（或列）有同樣的和，那么，每行（或列）的和應(yīng)為45/3=150組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個分支，在實際生活中應(yīng)用很廣泛，請看下面的例子。5名待業(yè)青年， 有7項可供他們挑選的工作， 他們是否能找到自己合適的工作呢？由于每個人的文化水平、興趣愛好及性別等原因，每個人只能從七項工作中挑選某些工種，也就是說每個人都有一張志愿表，最后根據(jù)需求和志愿找到一個合適的工作。TT組合數(shù)學(xué)把每一種分配方案叫一種安排。當(dāng)然第一個問題是考慮安排的存在性，這就是存在問題；第二個問題是有多少種安排方法，這就是計數(shù)問題。接下去要考慮在眾多的安排中選擇一種最好的方案，這就是所謂的“最優(yōu)化問題”。存在問題、構(gòu)造問題、計數(shù)問題和最優(yōu)

19、化問題就構(gòu)成了全部組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容。如果你想了解更多的組合數(shù)學(xué)問題，那就要博覽有關(guān)書籍，你會得到許多非常有趣的知識，會給你許多的啟發(fā)和教益。第八課：Music與數(shù)學(xué)動人的音樂常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動頻率不同。人類很早就在實踐中對聲音是否和諧有了感受，但對諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現(xiàn)以后，這是因為弦振動頻率和弦的長度存在著簡單的比例關(guān)系。近代數(shù)學(xué)已經(jīng)得出弦1 1T T振動的頻率公式是W2LP,這里，P是弦的材料的線密度；T

20、是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。那么，決定音樂和諧的因素又是什么呢？人類經(jīng)過長期的研究，發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。首先，最簡單之比是2:1。例如，一個音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2X260、7赫茲， 這就是高八度音。 而與頻率為2X260、7赫茲的音和諧的次一個音是4X260、7赫茲。這樣推導(dǎo)下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂：260、7,2X260、7,22X260、7我們把它簡記為CO,C1,C2,稱為音名。由于我們討論的是音的比較，可暫時不管音的絕對高度（

21、頻率），因此又可將音樂簡寫為為: :C01C2C3C02122232需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2,C與C3等等般說來這些協(xié)和音頻率之比是2ML（其中M是自然數(shù)）第九課：幾何就在你的身邊初學(xué)幾何時，你往往會感到這門學(xué)科枯燥乏味，有的知識似曾相識，似懂非懂；有的知識則似乎很“玄”，離我們很遠(yuǎn)！其實，日常生活中有幾何，幾何就在你的身邊。當(dāng)你騎自行車時，想過自行車的輪子為什么是圓形的，而不能是“雞蛋形”的呢？因為“圓”形的特性可以使自行車平穩(wěn)地前進(jìn)；自行車的輪于有大有小，可供人們選擇；兩個輪子裝的位置必須裝得恰當(dāng)，騎時會感到方便。這說明：物體的形狀、大小、位置關(guān)系與

22、日常生活有著緊密的聯(lián)系，這也正是幾何這門學(xué)科所要研究的。當(dāng)你把一張長方形的紙裁成一個正方形時，你想過這里面有幾何知識嗎？何中叫“比較線段的大??；把陰影部分裁去，可以看成在“長”上截取一段，使它等于“寬”，這就是幾何中的“線段作圖”；長方形的長與寬相等時，就是正方形，這更是幾何中的一個重要結(jié)論。如果把正方形折成相等的兩部分，除了圖2中所示的四種折法外，你還能想到其他的折法嗎？不妨試試：過四條折痕相交的那個點?！?，任意地折一條線，看看這樣把正方形分成的兩部分也一樣嗎？當(dāng)你走進(jìn)用磚塊鋪地的房間時，你注意到這些磚塊的形狀嗎？有的是等邊三角形的，有的是長方形或正方形的。其實，任意形狀的四邊形磚塊也能把地

23、面拼得沒有縫隙，請看圖3o這又將告訴我們幾何中的一個重要結(jié)論 （四邊形的四個角的大小之和恰好等于360度） ,這個結(jié)論，與小學(xué)數(shù)學(xué)里學(xué)過的“三角形的三個角之和等于180度。又有著緊密的聯(lián)系。如果有興趣的話，請你剪兩塊同樣的直角三角形紙片，然后把兩塊紙片拼合成一個圖形，你能拼出6種不同的圖形嗎？這里又包含了許許多多的幾何知識。比如，當(dāng)你拼成一個等腰三角形時，就不難知道：等腰三角形可以分成兩個同樣的直角三角形，中間的那條線位置很特殊，今后研究等腰三角形時常常要用到它！也都是和諧的第十課：巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實在現(xiàn)實生活中，人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟(jì)化，合理化.但怎樣才能達(dá)到這樣的目的呢？在數(shù)學(xué)活動組里，我就遇到了這樣一道實際生活中的問題：某報紙上報道了兩則廣告，甲商廈實行有獎銷售：特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給銷費(fèi)者的實惠大？面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個隨機(jī)調(diào)查。把全組的16名學(xué)員作為調(diào)查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認(rèn)為去兩家都可以。調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實是否如此呢？在實際問題中，甲商厚每組設(shè)獎銷售的營業(yè)額