電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解

1、第1章矢量分析例1.1求標(biāo)量場(chǎng)e=(x+y)xyz通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程.解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是xo=1,y0=0,z°=1,那么該點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)值為*=(x0+y.)2-zo=00其等值面方程為：e=(x+y)2z=0或z=(x+y)2例1.2求矢量場(chǎng)A=axxy2+ayx2y+azzy2的矢量線方程.解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為dxdy-2xydz-2-yz從而有'dxdy2-2jxyxydxdzI一2xyyz解之即得矢量方程產(chǎn)；°：,C1和c2是積分常數(shù)X-y=c例1.3求函數(shù)中=xy2+z2-xyz在點(diǎn)(1,1,2)處沿方向角?二,二丁二的方向?qū)?shù).解：由

2、于_2m=1,1,2)=yyzm=41,1,2)=-1,講M41,1,2)cy=2xy-xzm=(1,1,2)=0,-M41,1,2)=2zxyM41,1,2)=3,tz1：21cos-二一,cos-=,cos=一222所以flM=-cos1-cos-：cos=1x.:y:z例1.4求函數(shù)中=xyz在點(diǎn)5,1,2處沿著點(diǎn)5,1,2到點(diǎn)9,4,19的方向?qū)?shù).解：點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,19)的方向矢量為l-ax(9-5)ay(4-1)az(19-2)=a*4ay3az17其單位矢量一.-.一.-43l=axcos：.aycos：azcos=axayaz.3143147.314(5,1,2

3、)=yz(5,1,2)丁(5,1,2)次I=xz(5,1,2)=10,-(5,1,2)=xy(5,1,2)=5cz所求方向?qū)?shù)cos1cos-cosV7fI=rxr二xcy二z123,314例1.5中=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求在點(diǎn)0,0,0和點(diǎn)1,1,1處的梯度.解：由于Vt=W(2x+y+3)+a"y(4y+x2)+az(6z-6)所以v<p(0,0,0)=ax3-ay-2-az6,V(P=a*6+ay3例1.6運(yùn)用散度定理計(jì)算以下積分：I=axxz2ay(x2y-z3)az(2xyy2z)dSS222S是z=0和z=ax_y所圍成的半球區(qū)域的外外表2

4、解：設(shè)：A=axxz2+ay(x2y-z3)+az(2xy+y2z)那么由散度定理Ad.=；AdSs可得I=；AdS=、Ad.=(z=ax(2x2y-x3)ay(3xyx2y2)d.=r2d.s2:ya4=0o2orsin?drdid：2:-a4=°d:°2sin而rdr25二一二a5例1.7試求V,A和mA:23322A=axxyzayxzazxyA(r,z)=arr2cos:azr2sin;1一.1A(r,F,)=arrsinra-sina2cosi解:(1)ex.生；zax:xAxayyAyaz:zAzax:x23xyzay:y3xzaz.z22xy2_2_2_3z-

5、2xy)az(3xz-2xyz)(2)1FA;-lI-1fQ.：9一一(rcos)0(rsin)=3rcosarracpazarra中az1-_1rerczr療czArA中Azr2cos中02.rsin.z:rrr、A=中2=ar(rcosr=arrcos"：-a2rsin:-0)ra.(0-2rsin')az(0r2sin)azrsin(3)JAMlALTilMai?'7'(r3sini)-1(1sin2)1Jcosi)rsin二frrsin二.：r八2二3sin12cosirar%A=tWrsin65rArraursinia.arra_,-21二二廠rsi

6、n<訐：rs"A.：.一.一rsin二sin二rsin?a；：1.r-sinccos二r_1r2sin1-.1_、一ar(cos2r-0)raQ12r2sin21)rsinb.(0-rcos?)cos2-1.=ara-icos【-a.cosrsin【-r例1.8在球坐標(biāo)中,e=Pec0s2,其中pe、4二；0r%為常數(shù),試求此標(biāo)量場(chǎng)的負(fù)梯度構(gòu)成的矢量場(chǎng),即E一'解：:在球坐標(biāo)戲中,、.?1:1?、'二ar'a-a：r二rr：二rsinf;L,IPecos'1f/Pecos'E-ar(-2)-a-；(-T)_a：二r4；0rr.14；0rP

7、ecos1Pe(-sinu)八二"arr(-2)aU2-£4二；0rr4二；0rPecosuPesinuua73-ar3-2二；0r一4二；0r=Pe-(ar2cos-a-sinu)4二；0rjpecosursin4二；0r2例1.9在由r=5,z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域上,對(duì)矢量A=arr2+az2z驗(yàn)證高斯散度定理.解：由于要求驗(yàn)證高斯散度定理,即需要根據(jù)給出條件分別計(jì)算.仄小和AdS,得到二者結(jié)果相同的結(jié)論.在柱坐標(biāo)系下,有r2rr:；zr；:r；:zA二(四)1巴奧上(r3)0=(2r)=3r2在由r=5,z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域內(nèi)取一個(gè)小體積元di,可知

8、dt=rdrd中dz,其中0ErE5、0E中E2n、0EzW4,故_-52-452-4、Ad.=°°°(3r2)rdrddz=o(3r2)rdr°d：°dz=1502二4=1200二而r=5,z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域的閉合外外表由三局部構(gòu)成：圓柱上外表S1(面元矢量dS=Ordrd中,0ErE5、0M5M2n、z=4)、圓柱下外表$2(面元矢量ds2=-a>drd中,0<r<5>0W邛W2n、z=0)和圓柱側(cè)外表S3(面元矢量dS3=arrd中dz,0W9W2兀、0<z<4>r=5),故有：?Ad

9、S=JSAdS1+?AdS2十上AdS352n2一,聞52冗一2一一,自=01(a.r+az2z)azrdrd*zy+(?(a.r+az2z)(azrdrd中)z田42n一2+&0(a.r+az2z)ajddz士52二2二4=o08rdrd+0,Ii125ddz二4252二1252二4二1200二:.尸Adi=4AdS=1206,即證.'s例1.10現(xiàn)有三個(gè)矢量場(chǎng)A、B、C,分別為：A=asincos中+aecosecos*acpsin中,B=arzsin*+atpzcos*+az2rzsin中,C=ax(3y-2x)ayxaz2z哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示哪些矢量可

10、以由一個(gè)矢量的旋度表示解：此題考查的是矢量場(chǎng)的場(chǎng)源關(guān)系,即：標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)有散無(wú)旋的場(chǎng),并根據(jù)發(fā)放場(chǎng)旋度為零,漩渦場(chǎng)散度為零進(jìn)行反推.故先分別求出矢量的散度和旋度:(sin二1沾rsin竺(-sin)1:一一.1:.二)一(rsin二cos)(sin【cosicos)r；:rrsin1：二0r*2sinrarra.rsin%q.:rAc0ArsinAqarrsinua；：1sin1：:rsincos決rcos【cos一rsin日sin中I1%.B=-r.:r1汨(rBr)7-.9.z=-(rz2sin:)rfr=2rsin:arazari1'B=r.:rBr:zBz：:rz2si

11、n:ra:的rz2cos;azcz2rzsin中-CxC=-xFx-y:z=-202axayazaxay8azexCx-yCy:zCz.x3y2-2x-y2xzz2z=az(2x-6y)故B可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示,C可以由一個(gè)矢量的旋度表示.第2章靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)例2.1半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為下式所示,求電荷分布2lla,、E=aE0F(ra)r-33、L-LLrcr,、E=arE05-3-3(r<a)12a2a3,-p-用球坐標(biāo)中的散度公式2aA2r；r解：由高斯定理的微分形式中E=一,得電荷密度為P=劭E+1*in8Ae)十1二上可得:rsin丁rsin(rE0F)=0

12、rcrr13-r2Eo(5-3J)=；oE.r2；:r2a2a3152a3(ra)/22(a-r)(r；a)例2.2一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球,極化強(qiáng)度是azP0,求極化電荷分布解：建立球坐標(biāo)系,讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn).極化電荷體密度為：p-P_-azB=0極化電荷面密度為：ps=Pn=azP0-ar=P0cos例2.3一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球,帶電量為Q,在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼,殼外是空氣,如圖2.1所示.求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛電荷密度.圖2.1解：由介質(zhì)中的高斯定律可知,在r之a(chǎn)區(qū)域內(nèi)：qDdS=Dr,4nr2=Q,故D=3s由本構(gòu)方程D=/E+P=名/0E=說(shuō)得:介質(zhì)

13、內(nèi)(a<r<b):E=)D=arQ,P=D/E=ag二1Q；4二；r；r4二；r1-Q介質(zhì)外(b<r):E=D=arQ2,P=0；o4,：=or介質(zhì)內(nèi)外表束縛電荷面密度分別為：P1psrzb例2.4假設(shè)真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi),計(jì)算球內(nèi),外的電場(chǎng)強(qiáng)度以及電場(chǎng)能量.解：由電荷分布可知,電場(chǎng)強(qiáng)度是球?qū)ΨQ的,在距離球心為r的球面上,電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等,方向沿半徑方向.在球外(rAa),取半徑為r的球面作為高斯面,利用高斯定理計(jì)算:DdS=Dr4二r2=q故有Dr=q4二；°r2對(duì)球內(nèi)(r<a),也取球面作為高斯面,同樣利用高斯定理計(jì)算:sDdS=Dr4二

14、r2二4二r334_.3-a3l1cED3,-r；0rq一34；°a1c1電場(chǎng)能重We=1V；0E2d=2；0/q)2%.'014皿0；laJ24二dr._2.4rdr3q220二；0a例2.5計(jì)算圖2.2所示深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻.土壤的電導(dǎo)率為仃0解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率,可將導(dǎo)體球看作等位體.用靜電比較法,位于電介質(zhì)中的半徑為a的導(dǎo)體球的電容為C=4naa所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為G=4二二11所以導(dǎo)體球的接地電阻為R=1G4二a.例2.6半徑分別為a,b(a>b),球心距為c(c<a-b)的兩球面之間有密度為P的解：為了使用高斯

15、定理,在半徑為b的空腔內(nèi)分別加上密度為+P和-P的體電荷,這樣,任一點(diǎn)的電場(chǎng)就相當(dāng)于帶正電的大球體和一個(gè)帶負(fù)電的小球體共同產(chǎn)生,正負(fù)帶電體所產(chǎn)生的場(chǎng)分別由高斯定理計(jì)算P1正電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)為Ei=an,3；.2負(fù)電何在空腔內(nèi)廣生的電場(chǎng)為E2=a23；.其中單位向量ai,a2分別以大、小球體的球心為球面坐標(biāo)的原點(diǎn)考慮到ra1ran=cax,最后得到空腔內(nèi)的電場(chǎng)為：c3；0ax例2.7一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓柱體無(wú)限長(zhǎng)的電荷密度是p,求圓柱體內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度.解：由于電荷分布是柱對(duì)稱的,因而選取圓柱坐標(biāo)系求解.在半徑為r的柱面上,電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等,方向沿半徑方向.計(jì)算柱內(nèi)電場(chǎng)時(shí),取半徑為r,

16、高度為1的圓柱面為高斯面.在此柱面上,使用高斯定理,有2一r：；DdS=；0Er2二rl=q,q=rl,Er=s2；.計(jì)算柱外電場(chǎng)時(shí),取通過(guò)柱外待計(jì)算點(diǎn)的半徑為r,高度為1的圓柱面為高斯面.對(duì)此柱面使用高斯定理,有一2：?a2DdS=oEr2-rl=q,q=1二al,Er=s2ro例2.8一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓盤,電荷面密度是Ps.,如圖2.4所示.求軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.解：由電荷的電荷強(qiáng)度計(jì)算公式E(r)=l(r)(r-r')TdS及其電荷的對(duì)稱關(guān)系,可知電場(chǎng)僅有z的分量代入場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)r二zaxr'"axr'cos:ayr'sin:dS=r

17、9;dr'd電場(chǎng)的z向分量為Ezzr'dr'o(z2-r'2)3/2_：S01z二|一(a2+z2)1/21上述結(jié)果適用于場(chǎng)點(diǎn)位于z>0時(shí).但場(chǎng)點(diǎn)位于z<0時(shí),電場(chǎng)的z向量為Ez:S0z-1221/220(az)例2.9半徑為a的球內(nèi),外電場(chǎng)分布為r:a求電荷密度解：從電場(chǎng)分布計(jì)算計(jì)算電荷分布,應(yīng)使用高斯定理的微分形式-D用球坐標(biāo)中的散度公式,并注意電場(chǎng)僅僅有半徑方向的分量,得出r<a時(shí)：P=%p(r2Er)=3E0rcrar-a時(shí)：二；0rEr=0r二r例2.10電荷分布如圖2.5所示.試證實(shí),在r>>l處的電場(chǎng)為Er=3ql42

18、二；°r證實(shí):用點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的公式及疊加原理,有E4二;01(rl)(r-l)2當(dāng)r>>l時(shí),ll22(rl)(1-)2r(1-2-3-)22(r-l)r1l2(1-)r1一J、(12-3)將以上結(jié)果帶入電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式并忽略高階小量,得出Er=3ql22二；°r4圖2.5例2.11真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷,一個(gè)電荷-q位于原點(diǎn),另一個(gè)電荷q/2位于(a,0,0)處,求電位為零的等位面方程.解：由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位公式得電位為零的等位面為q二=04二；0r4二；0rl其中11r=(x2y2z2)2,r1=(x-a)2y2z22等位面方程簡(jiǎn)化為2rl=r2222224(x

19、-a)2y2z2=x2y2z20此方程可以改寫(xiě)為這是球心在絲,0,0,半徑為過(guò)的球面33例2.12如圖2.6所示,一個(gè)圓柱形極化介質(zhì)的極化強(qiáng)度沿其軸方向,介質(zhì)柱的高度為L(zhǎng),半徑為a,且均勻極化,求束縛體電荷分布及束縛面電荷分布.圖2.6解：選取圓柱坐標(biāo)系計(jì)算,并假設(shè)極化強(qiáng)度沿其軸向方向,P=P0ax如圖示,由于均勻極化,束縛體電荷為P=4P=0.在圓柱的側(cè)面,注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向n=ar,極化強(qiáng)度在z方向,故:=Par=0在頂面,外法向?yàn)閚=ax,故isp二Pax二p.在底面,外法向?yàn)閚-ax,故：sp=p-ax=-Po例2.13假設(shè)x<0的區(qū)域?yàn)榭諝?x>0的區(qū)域?yàn)殡娊赓|(zhì),

20、電解質(zhì)的介電常數(shù)為3無(wú),如果空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度E=*+4輸+5?(V/m),求電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E2.解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒(méi)有自由電荷,因而電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù),電位移矢量的法向分量連續(xù).在空氣中,由電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量Eit=4ay+5ax,可以得出介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量E2t=4+51；對(duì)于法向分量,用Din=D2n,即50Eix=£2x,并注意E僅=3,8=3名.,得出E2x=1.將所得到的切向分量相疊加,得介質(zhì)中的電場(chǎng)為E2=ax4ay5az(V/m)例2.14一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球面套一層厚度為b-a的電解質(zhì),電解質(zhì)的介電常數(shù)為£,假設(shè)導(dǎo)體球帶電q,求任意點(diǎn)的

21、電位.解：在導(dǎo)體球的內(nèi)部,電場(chǎng)強(qiáng)度為00對(duì)于電介質(zhì)和空氣中的電場(chǎng)分布,用高斯定理計(jì)算.在電介質(zhì)或空氣中的電場(chǎng)取球面為高斯面,由DdS=4叮2Dr=q得出Dr=s電場(chǎng)為：Er=q在介質(zhì)中(a<r<b);Er=-q-2在空氣中(r>b).4二；r4二；0r電位為E=Edr=f-q-dr+f-q-dr=-q+q-(-)(a<r<b)rb4二0rr4二r4二0b4二；rb,:qq=Edr=-dr=-(r>b)rr4二；024二；0r例2.15真空中有兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a,兩球心之間距離為d,且d>>a試計(jì)算兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容.解：由于球心間距遠(yuǎn)大于導(dǎo)體

22、的球的半徑,球面的電荷可以看作是均勻分布.由電位系數(shù)的定義,可得Pi2=P22=14二；0aP12=P21=14二；0d讓第一個(gè)導(dǎo)體帶電q,第二個(gè)導(dǎo)體帶電-q,那么i=Piq-Pi2q=4二；0a4二；0d2-p2iq-p22q-4二；0d4二；0a由c=9二-U12例2.16球形電容器內(nèi),外極板的半徑分別為a,b,其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為圻,當(dāng)外加電壓為U.時(shí),計(jì)算功率損耗并求電阻解：設(shè)內(nèi),外極板之間的總電流為I.,由對(duì)稱性,可以得到極板間的電流密度為Jau-a2二rE_aE2ar4二二r例2.17一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球作為作為電極深埋地下,土壤的電導(dǎo)率為仃o略去地面的影響,求電極的接地電阻.U0a

23、=bEdr=4二二ab從而4二二U0I=11,二u0-,J-arJ1、2()rab單位體積內(nèi)功率損耗為J2p=二<TJ-Aabj總功率耗損為U2由P=",得Rb2P=氣p4二rdr=224；U0bdr4；U0R=I4二二1abJ解：當(dāng)不考慮地面影響時(shí),這個(gè)問(wèn)題就相當(dāng)于計(jì)算位于無(wú)限大均勻點(diǎn)媒質(zhì)中的導(dǎo)體球的恒定電流問(wèn)題.設(shè)導(dǎo)體球的電流為I,那么任意點(diǎn)的電流密度為J_LaJ2ar,4二rE二2ar4二二r導(dǎo)體球面的電位為去無(wú)窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)a2a4二二dr=4二二a接地電阻為R=U=I4二;二a例2.18如圖2.7所示,平板電容器間由兩種媒質(zhì)完全填充,厚度分別為di和d2,介電常數(shù)分

24、別為鳥(niǎo)和%,電導(dǎo)率分別為巴和.2,當(dāng)外加電壓Uo時(shí),求分界面上的自由電荷面密度.解：設(shè)電容器極板之間的電流密度為J,那么JJEi=E=于是JdiJd2Uo=112二1二2即J;did2"T分界面上的自由面電荷密度為Uo1；2di圖2.7例2.19在電場(chǎng)強(qiáng)度E=a*y+ayX的電場(chǎng)中把帶電量為-2q(C)的點(diǎn)電荷從點(diǎn)(2,1,-1)移到點(diǎn)(8,2,-1),試計(jì)算電場(chǎng)沿以下路徑移動(dòng)電荷所做的功.(1)沿曲線x=2y2;(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線.解：此題要求電場(chǎng)力移動(dòng)電荷所做的功,最直接的方法就是根據(jù)功=作用力x作用距離,由給出的電場(chǎng)強(qiáng)度確定電荷所受電場(chǎng)力,再在對(duì)應(yīng)的移動(dòng)路徑C上進(jìn)行線積分

25、,即W=Fd=-2qEd.但注意到題目給出的場(chǎng)強(qiáng)為靜電場(chǎng)'C'C的電場(chǎng)強(qiáng)度,那么可根據(jù)靜電場(chǎng)為保守場(chǎng),由靜電力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無(wú)關(guān),至于電荷運(yùn)動(dòng)起止點(diǎn)的電位差有關(guān)這一特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.方法一：；DmE=0,此電場(chǎng)為靜電場(chǎng),電場(chǎng)力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無(wú)關(guān).由E=中=a*y+ayX可得,電位中(x,y,z)=xy+C,其中C為常數(shù).點(diǎn)(2,1,1)到點(diǎn)(8,2,-1)之間的電位差U=5(2,1,-1)邛(8,2,-1)=14故無(wú)論是沿曲線x=2y2還是沿連接該兩點(diǎn)的直線,電場(chǎng)力移動(dòng)電荷-2q(C)所做的功W=-2qU=-28q(J).方法二：電場(chǎng)力F=-2qE=ax(-2qy)

26、+ay(-2qx),點(diǎn)2,1,1移到點(diǎn)8,2,1變化的只是x和y,故有dl=axdxaydy,Fdl=-2qydx-2qxdy(1)曲線C:x=2y2有dx=4ydyW=°Fdl2一,一._2、2_2.一1(-2qy4ydy-2qdy2y)=1-12qydy-28q(J)(2)曲線C:y1=1,即x=6y4,有dx=6dyx-2622W=cFdl(-2qy6dy-2qdy(6y4)=1(-24qy8q)dy=-28q(J)例2.20球形電容器內(nèi)外導(dǎo)體球半徑分別為a和b,如果保持內(nèi)外導(dǎo)體間電位差U不變,試證實(shí)當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系a=b/2時(shí),內(nèi)導(dǎo)體球外表的電場(chǎng)最小,并求此最小電場(chǎng)強(qiáng)

27、度.解：要求得內(nèi)導(dǎo)體球外表的最小電場(chǎng)強(qiáng)度,需先求出空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的分布,再根據(jù)高等數(shù)學(xué)中函數(shù)最小值出現(xiàn)在函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的知識(shí),求出內(nèi)導(dǎo)體球外表的電場(chǎng)強(qiáng)度最小值,并得到此時(shí)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑之間的關(guān)系由于內(nèi)外導(dǎo)體球間存在電位差,故內(nèi)導(dǎo)體球外表存在電荷,可設(shè)在內(nèi)導(dǎo)體球面上均勻分布有總量為Q的電荷,因此以導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系,內(nèi)導(dǎo)體球面為r=a,外導(dǎo)體球面為r=b.在a<r<b的區(qū)間包圍原點(diǎn)做一個(gè)半徑為r的閉合球面S,由于電荷和電場(chǎng)的分布滿足球?qū)ΨQ,在S上應(yīng)用高斯定理,有SEdS二0二:Err2sin"h=4二r1二Q.Q2,E-ar24二；0r4二；0rb-U=E

28、dl,aa4二；0r2設(shè)外導(dǎo)體電位為0,那么內(nèi)導(dǎo)體電位為U,將點(diǎn)電荷從內(nèi)導(dǎo)體外表搬到外導(dǎo)體上所需要的電場(chǎng)力所做功為：d旦工：4二；0ab4二；0ab故可反解出Q=WUabU/、,E=ar2(a:二r:二b)b-arbU在內(nèi)導(dǎo)體球外表r=a,有Er=2=Er(a,b)ab-aa=b/2時(shí)有Er的最值bU(2a-b)?Er.:a一-一者,二=0,即b2a=0,(ab-a)faE-E又2>62時(shí),巴>0;a<b/2時(shí),三,<0;故a=b/2時(shí)Er有最小值.；:aja.當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系a=b/2時(shí),內(nèi)導(dǎo)體球外表的電場(chǎng)最小.此最小值為Em-ar型=ar處.ab例2.21電

29、場(chǎng)中一半徑為a的介質(zhì)球,球內(nèi)、外的電位函數(shù)分布為：；-；03cos?1 -E0rcosaE0-,r-a；,2；0r2 =-0-E0rcos,r_a；2十驗(yàn)證球外表的邊界條件,并計(jì)算球外表的束縛電荷密度.解：題目給出的邊界面,是介于介質(zhì)和空氣之間的球面,其法向?yàn)榍虻膹较蚯邢蚰敲礊閍e和右中方向.要驗(yàn)證分界面上的邊界條件,可以從電場(chǎng)矢量方面入手,根據(jù)題目給出電位分布,求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布,得到在邊界面r=a上工=Et；也可以直接根據(jù)電位的邊界條件,在r=a的分界面上,得到巴=匕的結(jié)論.而要計(jì)算球面的束縛電荷密度,可根據(jù)Pps=P6來(lái)計(jì)算.1)驗(yàn)證邊界條件：方法一：直接利用電位的邊界條件,有：r=a時(shí)

30、,%=E0acos9+aE0cos9=-3-0-E0rcos日=92；2；0；2；0,Q二平2,邊界條件成立.方法二：-E二Ei-.I；-032cos二；-03sin-=ar(E0cos-aE0飛)aX-E.sinaE03-),r-a；,2；0r-；-2；0rE2一23；o；,2；0(arEocos二-a,Eosini),r三a分界面r=a上,n=ar_._.;_;o_.3；o.Eit=a4-Eosin【Eosin1)=a-Eosin?-E2t"；-2；o-'；2；o,Eit=E2t,邊界條件成立.2計(jì)算球外表的束縛電荷密度:由上面可得Ei二ar(E0cos二32cos二；一

31、；o3a%丁)iFaEosin、3-),rarE23；o(arE0cos?-a【E0sin),D=；oEP=;E.P=(；-；o)E3；2；.*",-'o2aPl=(-o)Ei=(-o)ar(1FKE0cos式一1P2=(；0-；°)E2=o,r<a例2.22有一半徑為a,帶電荷量為q的導(dǎo)體球,其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上,此兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為小和無(wú),分界面可視為無(wú)限大的平面,求：1球的電容量；2儲(chǔ)存的總靜電能.解：此導(dǎo)體球?yàn)閱螌?dǎo)體系統(tǒng),選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn),球的電容量可由C=Q求出,其中Q為導(dǎo)體球所帶電荷量,即q；為導(dǎo)體球外表電位與零電位點(diǎn)的電位差.故

32、求球的電容量,就需求導(dǎo)體球外電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.同樣,靜電場(chǎng)的能量也可由電場(chǎng)強(qiáng)度求出,故此題的核心在于求電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布._/40年,圖2.8由圖2.8所示,以導(dǎo)體球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系,電荷和電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ特性.在raa處做同心的高斯閉合球面,有22sDdS=Dr12二rDr22r=q在的和與的介質(zhì)分界面上,有Eit=E2t,即Eir=E2r=E.,故有Dir=；1Eir=；1Er,D2r=；2E2r=；2Er,Dr12二r2Dr22二r2=；1Er-工2Er2r2=q2q4二a；i一注：也可計(jì)算為:1_2We二-E2d2n/foFJa11E2r2sinMrdid"-ii

33、i12E2r2sindrdid:0a'a加20222_q4：a；2第4章恒定磁場(chǎng)例4.1半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱,如圖4.1所示,磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量,且與圓柱的軸線平行),求磁化電流Jm和磁化面電流Jms.圖4.1解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合,磁介質(zhì)的下底面位于z=0處,上底面位于z=L處.此時(shí),M=azMo,磁化電流為Jm=1M=1(M0az)=0在界面z=o上,n=3z,JmS=mMn=M0azM(aj=0ziiis0zz在界面z=L上,n=az,Jms=Mn=M03zxaz=0在界面r=a上,n=ar,JmS=M父n=M0az父ar=M0atp例4.

34、2內(nèi)、外半徑分別為a、b的無(wú)限長(zhǎng)空心圓柱中均勻分布著軸向電流I,求柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度.解：使用圓柱坐標(biāo)系.電流密度沿軸線方向?yàn)?,r:二aJ=<azI二b2-a20,rb由電流的對(duì)稱性,可以知道磁場(chǎng)只有圓周分量.用安培環(huán)路定律計(jì)算不同區(qū)域的磁場(chǎng).當(dāng)r<a時(shí),磁場(chǎng)為0.當(dāng)a<r<b時(shí),選取安培回路為半徑等于r且與導(dǎo)電圓柱的軸線同心的圓.該回路包圍的電流為,22=J二r-a22Ir-ab2由Bdl=2irrB(p=N0I',得B(p=oIr2-a2ZT22-2二rb-a當(dāng)r<b時(shí),回路內(nèi)包圍的總電流為I,于是B(p=J°I例4.3半徑為a的長(zhǎng)圓柱面

35、上有密度為J,.的面電流,電流方向分別為沿圓周方向和沿軸線方向,分別求兩種情況下柱內(nèi)、外的Bo解：(1)當(dāng)面電流沿圓周方向時(shí),由問(wèn)題的對(duì)稱性可以知道,磁感應(yīng)強(qiáng)度僅僅是半徑r的函數(shù),而且只有軸向方向的分量,即B=azBz(r)由于電流僅僅分布在圓柱面上,所以在柱內(nèi)或柱外VmB=0.#B=azBz(r)代入VmB=懿嚕=0,即磁場(chǎng)是與r無(wú)關(guān)的常量.在離面無(wú)窮遠(yuǎn)處的觀察點(diǎn),由于電流可以看成是一系列流向相反而強(qiáng)度相同的電流元之和,所以磁場(chǎng)為零.由于B與r無(wú)關(guān),所以,在柱外的任一點(diǎn)處,磁場(chǎng)包為0.為了計(jì)算柱內(nèi)的磁場(chǎng),選取安培回路為圖4.2所示的矩形回路.圖4.2有寸Bdl=hBz=hN0Js0因而柱內(nèi)任

36、一點(diǎn)處,B=azN0Js0ZSzSc(2)當(dāng)面電流沿軸線方向時(shí)候,由對(duì)稱性可知,空間的磁場(chǎng)僅僅有圓分量,且只是半徑的函數(shù).在柱內(nèi),選取安培回路為圓心在軸線并且為于圓周方向的圓.可以得出,柱內(nèi)任一點(diǎn)的磁場(chǎng)為零.在柱外,選取圓形回路,cB,d=N0I,與該回路交鏈的電流為2naJs0,?B.dl=2兀田中,所以B=5鏟.,.9.例4.4如圖4,3所示,一對(duì)無(wú)限長(zhǎng)平行導(dǎo)線,相距2a,線上載有大小相等,方向相反的電流I,求磁矢位A,并求Bo解：將兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位看作是單個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位的疊加.對(duì)單個(gè)導(dǎo)線,先計(jì)算有限長(zhǎng)度產(chǎn)生的磁矢位.設(shè)導(dǎo)線的長(zhǎng)度為1,導(dǎo)線1的磁矢位為(場(chǎng)點(diǎn)選在xoy平面)oll2

37、dzol|l2(l2)2ri212AiazIiazln4二2(r12.z2/2二ri,.Lll當(dāng)1Tg時(shí),有A=azlnL2二r1同理,導(dǎo)線2產(chǎn)生的磁矢位為0lA2-azln2二r2由兩個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位為A=az(A+A2)=az翌J_jLazqnaz四ng/2nIrir2J2nr14n(x-a)+y2相應(yīng)的磁場(chǎng)為二a上y2-xay2x-aolxa2n(x+aj+y2x-a(x-af+y2圖4.3例4.5內(nèi),外半徑分別為a,b的無(wú)限長(zhǎng)鐵質(zhì)圓柱殼磁道率為k沿軸向有恒定的傳導(dǎo)電流I,求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流.解：考慮到問(wèn)題的對(duì)稱性,用安培環(huán)路定律可以得出各個(gè)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度.當(dāng)r<a時(shí),B=

38、07(r2-a2)a2二rb2-a2當(dāng)rab時(shí),(L-1)I二(b2-a2)-0rM:Jm-M=az=ar2ra:2二r.22X當(dāng)rAb時(shí),Jm=0在r=a處,磁化強(qiáng)度M=0,所以JmS=Mn=M(-ar)=0在r=b處,磁化強(qiáng)度(r-1)1a%所以MXDHXDQLrFa.,Jms=Mn=Mar=(rfla-2二b例4.6在半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體內(nèi)有恒定電流I沿軸方向.設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為此,其外充滿磁導(dǎo)率為4的均勻磁介質(zhì),求導(dǎo)體內(nèi)外的磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁化電流分布.解：考慮到問(wèn)題的對(duì)稱性,在導(dǎo)體內(nèi)外分別選取與導(dǎo)體圓柱同軸的圓環(huán)作為安培回路,并注意電流在導(dǎo)體內(nèi)是均勻分布的.可以求出磁場(chǎng)強(qiáng)度如

39、下：一一lr一一IrEa時(shí),H=acpr>a時(shí),H=aqj2a22二r磁感應(yīng)強(qiáng)度如下：ilr2IrMa時(shí),B=a52;r>a時(shí),B=a中2二a2二r為了計(jì)算磁化電流,要求磁化強(qiáng)度:1.LI(胃1,、lrrEa時(shí),M=acp(-1)2,與2二aiLir>a時(shí),Macp(1),JmM0L2二r在r=a的界面上計(jì)算磁化面電流時(shí),可以理解為在兩個(gè)磁介質(zhì)之間有一個(gè)很薄的真空層.這樣,其磁化面電流就是兩個(gè)磁介質(zhì)的磁化面電流之和,即Jms=MiniM2n2這里的ni和n2分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向.如果設(shè)從介質(zhì)1到介質(zhì)2的單位法向是n,那么有Jms=M1n-M2n代入界面兩側(cè)的磁化強(qiáng)

40、度,并注意n=a.,得例4.7空氣絕緣的同軸線,內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a,外導(dǎo)體白半徑為b,通過(guò)的電流為Io設(shè)外導(dǎo)體殼的厚度很薄,因而其儲(chǔ)蓄的能量可以忽略不計(jì).計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的儲(chǔ)能,并有此求單位長(zhǎng)度的自感.,1八Jms-az(1|1)-022,az(d-1)02,100解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電流均勻分布,用安培環(huán)路定律可求出磁場(chǎng).IrIr<a時(shí),H=a(p2;a<r<b時(shí),H=a中2二a2r單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為2.2a1obIo口八|八|bWm=L0H2二rdr+0H22二rdr=0+-0lne02a216二4二ab故得單位長(zhǎng)度的自感為L(zhǎng)=+lnb,其中的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感.8

41、二2二a例4.8一個(gè)長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)圓環(huán)(半徑為a)在同一平面內(nèi),圓心與導(dǎo)線的距離是d,證實(shí)它們之間互感為M=N0(d-Vd2-a2).IJj證實(shí)：設(shè)直導(dǎo)線位于z軸上,由其產(chǎn)生的磁場(chǎng)B=2-：x2二(drcos?)其中各量的含義如圖4.4所示.a2二li磁通重為;Bds:-rdrd-002二(d,rcos1)上式先對(duì)日積分,并用公式2二d-_2-0dacos,d2-a2爾于所以互感為M=°(d-d2-a2)圖4.4例4.9一根通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線埋在不導(dǎo)電的均勻磁性介質(zhì)中.(1)求出H,B,M及磁化電流分布；(2)假設(shè)將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間,電流I沿z方向流動(dòng),在z<0的半無(wú)窮空

42、問(wèn)中充滿導(dǎo)磁率為n的均勻介質(zhì),在zao的半無(wú)窮空間為真空,求出H,B,M及磁化電流分布；(3)假設(shè)將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間,電流I沿z方向流動(dòng),在x<0的半無(wú)窮空問(wèn)中充滿導(dǎo)磁率為n的均勻介質(zhì),在x>0的半無(wú)窮空間為真空,求出H,B,M及磁化電流分布.解：(i)由安培環(huán)路定律,以導(dǎo)線為中央做閉合積分曲線,上-cHdl=H：2二r=II-I二H中=,即H=a(p2二r2二rB"1"-(J-1)I故：B=NH=acp,M=丁一H=(-_1)H=acp,Jm=VMM=0,二r002二r(2)如圖4.5(a)所示,以導(dǎo)線為中央做閉合積分曲線C,由安培環(huán)路定律有：,cHdl二

43、H2r二II2：r那么有:«-1)IB12:r,Mi=H=(7-1)H=a“0"o.-(_2r-1)IJm=VxM=0,Jms=MMn=Mxar=-az;IIISIz2二rza0:B2=N0H=a%：,M2=0,Jm=0,Jms=.如圖4.5(b)所示,以導(dǎo)線為中央做閉合積分曲線C,由安培環(huán)路定律有:伊dl=H1：,j.rH2：；r=I對(duì)于分界面,x=0處a中為法向,根據(jù)邊界條件Bin=B2n,有B仰=B2(p=B(p,即：Hi(p=-y,代入安培環(huán)路定律,有B：二rP0I口,0二rJ.I.0二rH1H2x<0:M1=(r-1)f=a.：Jm=VxM=0,Jms=Mn

44、=M><acp=0;Jms=0.圖4.5(a)圖4.5(b)B一xA0：M2=Yj-_H2=0,Jm=0,-0例4.10半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)線沿軸向通過(guò)電流I.如圖4.6所示,取圖中a=2n處為參考點(diǎn),用拉普拉斯方程求導(dǎo)線外部的標(biāo)量磁位.圖4.6解：對(duì)磁標(biāo)位來(lái)講,它是和磁力線垂直的,而通電長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁力線是以電流為圓心的同心圓,因此磁標(biāo)位就應(yīng)該是r方向的射線,所以中m應(yīng)該與r和z無(wú)關(guān),拉普拉斯方程應(yīng)該是:解出來(lái)m-CD代入條件a=中=2n為參考點(diǎn),有中m=2nC+D再以導(dǎo)線為軸心在導(dǎo)線外做一個(gè)近似閉合的回路l,起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在邛=2n的兩側(cè),由于H=-中m,比照靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)

45、度和電位之間的關(guān)系,B有*mA3mB=aHdl力,中mA=0,9mB=2垢+D,那么2項(xiàng)+口=-IA這樣始終有兩個(gè)未知量不能確定.于是又考慮中=2n和平=0是同一點(diǎn),那么參考點(diǎn)也可以看作是邛=2n,代入中m=CP+D中,中=2n時(shí)中m=D=0,故中m=C平,這就只有一個(gè)未知量了.B-再做參考積分回路,那么mA-；：mB=0-2二C=Hd=IA解得C二一,故m=C-2二例4.11一橫截面為正方形的環(huán)形鐵心上開(kāi)有一空氣隙,長(zhǎng)度6=1mm,鐵心內(nèi)半徑a=8cm,橫截面邊長(zhǎng)b=2cm,相對(duì)磁導(dǎo)率叫=500.鐵心上均有緊密繞有線圈1000匝,如圖4.6所示.忽略氣隙附近的漏磁通,求此線圈的自感.圖4.6

46、解：由于忽略氣隙附近的漏磁通,根據(jù)磁通連續(xù)性方程,可視將磁感應(yīng)線只在磁環(huán)內(nèi)流動(dòng),且垂直磁環(huán)截面,磁感應(yīng)線穿過(guò)空氣隙時(shí)仍均勻分布在截面上.設(shè)磁環(huán)上磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bk,磁場(chǎng)強(qiáng)度為Hr；氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0,磁場(chǎng)強(qiáng)度為H.,由安培環(huán)路定律有：b<Hdl=H即2町一6+小邛石=NI,其中r=a+=9cmC2對(duì)于空氣與鐵心的分界面,a中為法向,根據(jù)邊界條件即=B2n,有B：一BB1p=B2cp=Bcp,可行H聞=h,H0p=-JJ0故有B2叫6+器芯=NI,解得Btp=N-02二r一二,通過(guò)鐵心截面的磁通量=fBepdScp=Bep,Sep="-b2S2二r-'線圈的自感LNb2

47、2二r-、._7十代入數(shù)據(jù)C.=10"m,b=0.02m,r=0.09mN=500%N=1000,得Nb2,200.=0.251(mH)2-：r-'：'：'丁工第5章時(shí)變電磁場(chǎng)例5.1證實(shí)均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部,不會(huì)有永久的自由電荷分布.解：將J=»E代入電流連續(xù)性方程,考慮到媒質(zhì)均勻,有-_cP_cP、(二E)=；：<E)一二0；:tft由于：D=；J、(E)=、E=：-二:-t.所以：一十,P=0,P(t)=Poe6ft；例5.2設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面,z<0一側(cè)為理想導(dǎo)體,分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H(x,y,0,t)=axH0

48、sinaxcos(ot-ay),試求理想導(dǎo)體外表上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度.解：JS=nH=azaxH0sinaxcos(t-ay)=ayH0sinaxcos(t-ay):S-=H0sinaxcos(t-ay)=aH0sinaxsin(t.ay).:t：:yPS=-a0sinaxcos(t-ay)c(x,y)假設(shè)t=0時(shí),ps=0,由邊界條件n-D=Ps以及n的方向可得D(x,y,0,t)=azE(x,y,0,t)=azaH0sinaxcos(t-ay)0aH0sinaxcos(t-ay)0例5.3試求一段半徑為b,電導(dǎo)率為仃,載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線外表的坡印廷矢量,并驗(yàn)證

49、坡印廷定理圖5.1解：如圖5.1,一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線,其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合,直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上,于是有：E=azCT,2二b二在導(dǎo)線外表H因此,導(dǎo)線外表的坡印廷矢量S=EH-arI22.二2b3它的方向處處指向?qū)Ь€的外表.將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段外表積分,有-SSds-SSardS=2-2nbl2.nb)=I例5.4在兩導(dǎo)體平板(2=0和2=)之間的空氣中傳播的電磁波,其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E=ayE0sin(n/d)zcost-kx),其中kx為常數(shù).試求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H;(2)兩導(dǎo)體外表上的面電流密度Js.解：由麥克斯韋方程組得VME=-AxgEy/+az(8Ey/d

50、x)=-6B/祝,對(duì)上式積分得B=ax-E0cos(z)sin(t-kxx)azE£kxsin(-z)cos(t-kxx),dddEEnk.二即H=ax0-cos(z)sin(©t-kxx)+az-0-sin(z)cos(ot-kxx).d0d0d(2)導(dǎo)體外表上得電流存在于兩導(dǎo)體相向的一面,故z=0面上,法線n=a*z,面電流密度Js=az=<Hz=d面上,法線n=-az,面電流密度Js=-Az父Hz-0E0二-ay-'dJ0E0二二ay-'dJ0sin一kxx);sin(©t-kxx).例5.5一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線,內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體半徑為b,長(zhǎng)度為