2019-2020人教A版數(shù)學(xué)必修441平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1 .平聞向量的數(shù)量積.（重點）2 .平聞向量的數(shù)量積的幾何意義.（難點）3 .向量的數(shù)量積與實數(shù)的乘法的區(qū)別.（易混點）1 .通過平面向量的物理背景給出向量數(shù)量積的概念和幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2 .通過向量數(shù)量積的運算學(xué)習(xí)，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)擢新利匚新知初探二1,平面向量數(shù)量積的定義鬻爨非零向量a,b的夾角為0,數(shù)量|a|b|cos8叫做向量a與b的數(shù)量篦爨H積，記作ab,即ab=|a|b|cos8.特別地，零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.思考：向

2、量的數(shù)量積的運算結(jié)果與線性運算的結(jié)果有什么不同？提示數(shù)量積的運算結(jié)果是實數(shù)，線性運算的運算結(jié)果是向量.2,向量的數(shù)量積的幾何意義（1）投影的概念：b在a的方向上的投影為|b|cos0；a在b的方向上的投影為|a|cos0.數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos8的乘積.思考：投影一定是正數(shù)嗎?提示投影可正、可負(fù)也可以為零.3.向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直向量ab=0平行向量同向ab=|a|b|反向ab二一|a|b|向量的模aa=|a|2或|a|=Fa求:夾角a_bcosiaibi不等關(guān)系abCos60=萬.2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4,且ab=

3、2,則a與b的夾角8為()A.B._TC4冗冗c.3d.2_,心,，一.ab21一一九C由條件可知，cos仁氤,=右=不又=0&陽.仁-.|a|b|I/4233 .已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=M,且a與b的夾角為60,那么ab等3ab=|a|b|cos60=2d32=73.4 .已知|b|=3,a在b方向上的投影是2,則ab為322設(shè)a與b的夾角為9,則a在b萬向上的投影|a|cos8=%32一所以ab=|b|a|cos8=3t=2.3合作探究立提素養(yǎng)向量數(shù)量積的計算及其幾何意義35后1/一，、，,、，一一,二一兀一.，【例i】(i)已知單包向重ei,女的夾角為,，a=2ei&,則a

4、在ei上的3投影是.(2)已知向量a與b滿足|a|=i0,|b|=3,且向量a與b的夾角為i20.求:(ab)(a-b);(2a+b)(ab).3)1思路點撥：根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及投影的定義解答.設(shè)a與ei的夾角為仇則a在ei上的投影為|a|cos仁|=aei=(2ei=2ixixco43.32解(ab)(ab)=a2b2=|af|b|2=i009=9i.因為|a|=i0,|b|=3,且向量a與b的夾角為i20,所以ab=i0MCosi20=i5,所以(2a+b)(ab)=2a2abb2=200+i59=206.規(guī)律商論求平面向量數(shù)量積的步驟(i)求a與b的夾角9,斷0,九寸(2)

5、分別求|a|和|b|;(3)求數(shù)量積,即ab=|a|b|cos9,要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“連接，而不能用“乂連接，也不能省去.求投影的兩種方法：(1)b在a方向上的投影為|b|cos8為a,b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cos6(2)b在a方向上的投影為普，2在b方向上的投影為需.1a|b|跟跪訓(xùn)練1 .(1)已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角8為60,求:ab;(2ab)(a+3b).(2)設(shè)正二角形ABC的邊長為2,AB=c,BC=a,CA=b,求ab+bc+ca.解(1)ab=|a|b|cos仁23Cos60=3.(2ab)(a+3b)=2a2+5ab-3b2

6、=2|a|2+5ab-31b|2=222+5M34=4.(2):|a|=|b|=|c|=Cos120刈=3.類型2與向量模有關(guān)的問題【例2】(1)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=(2)已知向量a與b夾角為45,且|a|=1,|2a+b|=V10,求|b|.思路點撥：靈活應(yīng)用a2=|a|2求向量的模.(1)2*|a+2b=(a+2b)2=|a|2+2|a|2b|cos60;(2|b|)2_2_1_2=2+2220o導(dǎo)52=25,3.|a+b|=5V3,|ab|=5.類型3與向量垂直、夾角有關(guān)的問題探究問題1 .設(shè)a與b都是非零向量，若a，b,則ab等于多少？反

7、之成立嗎？提示：ab?ab=0.2 .|ab|與|a|b|的大小關(guān)系如何？為什么？對于向量a,b,如何求它們的火角9?提示:|ab|a|b|,設(shè)a與b的夾角為0,則ab=|a|b|cos0.兩邊取絕對值得：|ab|=|a|b11cos(|a|b|.當(dāng)且僅當(dāng)|cos8|=1,即cos仁蟲，8=0或冗時，取“=”，所以|ab|0,k0.當(dāng)k=1時，ei+ke2=kei+e2,它們的夾角為0,不符合題意，舍去.綜上，k的取值范圍為k0且kwi.(2)解由已知條件得；(a+3b)(7a-5b)=0,(a4b)(7a-2b)=0,7a2+16ab15b2=0,即2一-一2一小7a-30ab+8b=0,得

8、23b246ab=0,.2ab=b2,代入得a2=b2,1b2一一八ab21冏=|b|,-cos仁麗=商=2.一r八九-8C0,兀.仁.3母題探究1 .將本例(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍.解:ei+k&與kei+e2的夾角為鈍角，2.22.(ei+ke2)(kei+e2)=kei+ke2+(k+1)ei&=2k0,.k0.當(dāng)k=1時，ei+ke2與k&+e2方向相反，它們的夾角為冗，不符合題意，舍去.綜上，k的取值范圍是k0時，9|0,冗、_2!；當(dāng)cos90時，院冗當(dāng)cos仁0時，8=萬.課堂小結(jié)口1 .兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可

9、以為正(當(dāng)awqbwQ0y090時)，也可以為負(fù)(當(dāng)awQbwQ90K180時)，還可以為0(當(dāng)a=0或b=0或卜90時).2 .兩非零向量a,b,ab?ab=0,求向量模時要靈活運用公式間=后.3.要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別(1)在實數(shù)運算中,若ab=0,則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中，不能從ab=0推出a=0或b=0.實際上由ab=0可推出以下四種結(jié)論：a=0,b=0;a=0,bab=0;abwQ1ab.(2)在實數(shù)運算中，若a,bCR,則|ab|=|a|b|,但對于向量a,b,卻有|ab|固胛基MJ3富il1,對于向量a,b,c和實數(shù)力下列命題中真命題是()A.若ab=0,貝Ja=0或b=0B.若q=0,則0或a=0C.若a2=b；則a=b或a=bD.若ab=ac,貝b=cBA錯，當(dāng)a與b夾角為刻，ab=0；CIS,a2=b2即|a|=|b|；D錯，數(shù)量積不能約分；只有B對.2. (2018全國卷H)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=1,則a(2ab)=()A.4B.3C.2D.0B因為a(2ab)=2a2ab=2|a|2(1)=2+1=3,所以選B.3 .已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,則向量a在向量b的方向上的投影為.5設(shè)a與b的夾角為9,因為ab=|a|b|c