最優(yōu)控制極小值原理

1、3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理第三章 極小值原理及應(yīng)用3.2 離散系統(tǒng)的極小值原理離散系統(tǒng)的極小值原理3.3 時(shí)間最優(yōu)控制時(shí)間最優(yōu)控制小小 結(jié)結(jié)3.5 時(shí)間時(shí)間-燃料最優(yōu)控制燃料最優(yōu)控制3.4 燃料最優(yōu)控制燃料最優(yōu)控制第三章第三章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理一一. .問題的提出問題的提出 用變分法求解最優(yōu)控制時(shí)，認(rèn)用變分法求解最優(yōu)控制時(shí)，認(rèn)為控制向量為控制向量 不受限制。但是不受限制。但是實(shí)際的系統(tǒng)，控制信號(hào)都是受到實(shí)際的系統(tǒng)，控制信號(hào)都是受到某種限制的某種限制的。)(tu 因此，應(yīng)用控制方程因此，應(yīng)用控制方程來(lái)確定最

2、優(yōu)控制，可能出錯(cuò)。來(lái)確定最優(yōu)控制，可能出錯(cuò)。0uHa)a)圖中所示，圖中所示，H H 最小值出現(xiàn)在左側(cè)，最小值出現(xiàn)在左側(cè)，不滿足控制方程。不滿足控制方程。b)b)圖中不存在圖中不存在 0uHrRUt )(u 古典變分法的局限性古典變分法的局限性u(píng) u( (t t) )受限的例子受限的例子 矛盾矛盾! !例例 3.13.1)()()(tutxtx1)0(x1)(tu10( )dJx tt( )( )( )( )Hx ttx tu t1)()(txHt 協(xié)態(tài)方程協(xié)態(tài)方程 0)(tuH極值必要條件極值必要條件 0) 1 (第三章第三章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理

3、連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理( )min ( ) ( )fu tJ ux t. .s t( )( , ),x tf x u00( ),x tx0 ,fttt( )x t( ) t( )Hx t( )Htx 二二. .自由末端的極小值原理自由末端的極小值原理 定理定理3-13-1：對(duì)應(yīng)如下定常系統(tǒng)、末值型性能指標(biāo)、末端自由、控制受約束：對(duì)應(yīng)如下定常系統(tǒng)、末值型性能指標(biāo)、末端自由、控制受約束的最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制問題 及及滿足下述滿足下述正則方程正則方程: :對(duì)于最優(yōu)解和最優(yōu)末端時(shí)刻、最優(yōu)軌線，存在非零的對(duì)

4、于最優(yōu)解和最優(yōu)末端時(shí)刻、最優(yōu)軌線，存在非零的n n維向量函數(shù)維向量函數(shù) 使使( ) t第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理( , , )( ) ( , )TH x ut f x u( )x t( ) t00()()()ffxtxtxt*( )( , )min( , , )u tH x uH x u式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)及及滿足滿足邊界條件邊界條件哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制為哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制為極小值極小值ft*( ),( ), ( )( ),( ), ( )fffH x t u ttH x tu ttconstft*(),()

5、, ()0ffftttH x tu tt哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)固定固定時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)自由自由時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件。最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件。但對(duì)于線性系統(tǒng)但對(duì)于線性系統(tǒng) ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u t1111( )( )( )( )( )nnnnatatA tatat，1( )( )( )nb tB tb t最小值原理也是使泛函取最小值得充分條件。最小值原理也是使泛函取最小值得充分條件。第三章第三章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的

6、極小值原理第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理/0H u /0Hu *( )( ( ),( ), ( )( ( ), ( ), ( )u tH x t u ttH x t u tt上述極小值原理與變分法主要區(qū)別在于條件上述極小值原理與變分法主要區(qū)別在于條件。不再成立，而代之為不再成立，而代之為當(dāng)控制有約束時(shí)當(dāng)控制有約束時(shí)，極小值原理的重要意義極小值原理的重要意義：（：（P51)P51)（1 1）容許控制條件放寬了。）容許控制條件放寬了。（2 2）最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)取全局極小值。）最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)取全局極小值。（3 3）極小值原

7、理不要求哈密頓函數(shù)對(duì)控制的可微性。）極小值原理不要求哈密頓函數(shù)對(duì)控制的可微性。（4 4）極小值原理給出了最優(yōu)控制的必要而非充分條件。）極小值原理給出了最優(yōu)控制的必要而非充分條件。當(dāng)控制無(wú)約束時(shí)，相應(yīng)條件為當(dāng)控制無(wú)約束時(shí)，相應(yīng)條件為 ；第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理說(shuō)明：說(shuō)明：1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的必要條件。）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的必要條件。2）極小值原理與用變分法求解最優(yōu)問題相比，差別僅在于極）極小值原理與用變分法求解最優(yōu)問題相比，差別僅在于極值條件。值條件。3）非線性時(shí)變系統(tǒng)也有極小值原理

8、。）非線性時(shí)變系統(tǒng)也有極小值原理。例例 3.2 3.2 重解例重解例 3.13.1 ， 哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù) ( )( )( )( )(1) ( )( )Hx ttx tu tx tu t伴隨方程伴隨方程 1)()(txHt0) 1 ( 由極值由極值必要條件必要條件，知，知 1sign1u 00 ， 01)(1tet01t 又又于是有于是有1)(tu第三章第三章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理1)()(txtx ， 1)0(x 12)(tetx110d21Jxte )(tu協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖 第第3

9、章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理二、極小值原理的一些推廣形式二、極小值原理的一些推廣形式1、時(shí)變問題時(shí)變問題定義：描述最優(yōu)控制問題的相關(guān)函數(shù)顯含時(shí)間，稱為時(shí)變問題。定義：描述最優(yōu)控制問題的相關(guān)函數(shù)顯含時(shí)間，稱為時(shí)變問題。解決辦法：引入新狀態(tài)變量，將時(shí)變問題轉(zhuǎn)為定常問題，利用定理解決辦法：引入新狀態(tài)變量，將時(shí)變問題轉(zhuǎn)為定常問題，利用定理3-1。( )min( ) (),ffu tJ ux tt. .st( )( , , ),x tf x u

10、 t00( )x tx0 ,fftt tt未知定理定理3-23-2： ( )Hx t( )Htx 滿足下述滿足下述正則方程正則方程: :( )x t( ) t及及式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)( , , , )( ) ( , , )TH xu tt f x u t第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理( )x t( ) t00()()()ffx txtx t及及滿足滿足邊界條件邊界條件哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制為哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制為極小值極小值在最優(yōu)軌線末端哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足在最優(yōu)軌線末端哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足*( ) ( ), ( ),( ),

11、 min ( ), ( ), ( ), u tH x tt u t tH x tt u t t*( ),( ), ( ),( ),fffffffx ttH x ttu ttt*( , , , ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ftfffftH xuH x tt u t tH x ttu ttd沿最優(yōu)軌線哈密頓函數(shù)變化率沿最優(yōu)軌線哈密頓函數(shù)變化率定理定理3 32 2與定理與定理3 31 1的區(qū)別：的區(qū)別：P61P61第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理2 2、積分型性能指標(biāo)問題、積分型性能指標(biāo)問題. .st

12、( )( , , ),x tf x u t00( )x tx0 ,fftt tt未知定理定理3-33-3： ( )Hx t( )Htx 滿足下述滿足下述正則方程正則方程: :( )x t( ) t及及式中哈密頓函數(shù)式中哈密頓函數(shù)0( )min( ) ( ), ( )fttu tJ uL x t u t dt( )x t( ) t及及滿足滿足邊界條件邊界條件00()x tx()0ft)u, x(f )()u, x(L), u, x(tHT第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制為極小值哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制為極小值ft

13、*( ),( ), ( )( ),( ), ( )fffH x t u ttH x tu ttconstft*(),(), ()0ffftttH x tu tt哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌跡線保持為常數(shù)固定固定時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)自由自由時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)*( )( ), ( ),( )min( ), ( ), ( )u tH x tt u tH x tt u t第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理例例3-23-2：試求：試求： 時(shí)的時(shí)的 ，解：定常系統(tǒng)、積分型解：定常系統(tǒng)、積分型 固定，末端自由，固定，末端自由， 受約束。受約束。

14、取哈密頓函數(shù)取哈密頓函數(shù) x tx tu t 05x 0.51u t 1min0Jx tu tdtJ*u*xftu uxuxuxH11 5 . 01*tu11 1xHt 1tcet 0111ceec 11tte由由協(xié)態(tài)方程協(xié)態(tài)方程由由邊界條件邊界條件注：控制的切換點(diǎn)為注：控制的切換點(diǎn)為(ts)=1第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理10ts 111tstes0.307ts 1*0.5ut00.307t 1307. 0 t控制的切換點(diǎn)處控制的切換點(diǎn)處00.307t 1307. 0 t 5 . 0121ttecectx00.307t 1

15、307. 0 t*41(t)4.370.5ttexe00.307t 1307. 0 t根據(jù)根據(jù)邊界條件邊界條件繼續(xù)求出：繼續(xù)求出： 5 . 01txtxtx 代入代入狀態(tài)方程狀態(tài)方程得得控制的切換時(shí)間：控制的切換時(shí)間：第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理 tt72. 11307. 0105 . 01307. 01t*u0 tx*t1307.0044.653 .12第第3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用 3.1 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理最優(yōu)性能指標(biāo)為：最優(yōu)性能指標(biāo)為： 1307. 0307. 0010*68. 8) 137. 4()24(dtedtedttutxJtt例例3-3：做法與前面得一樣，引入兩個(gè)拉格朗日乘子向量，構(gòu)造廣義泛