第二章定量子力學(xué)

1、 微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。 量子力學(xué)用量子力學(xué)用波函數(shù)波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程波函數(shù)所遵從的方程薛定諤方程薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方是量子力學(xué)的基本方程。程。 這一章開始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。 主要介紹： 1. 二個(gè)基本假設(shè)： A. 微觀粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。 B. 描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。 2. 用定態(tài)薛定諤方程求解三個(gè)簡(jiǎn)單問題： A. 一維無限深勢(shì)阱 B. 一維諧振子 C. 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)） 1.1.理解微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述理解微

2、觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 波函數(shù)波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋。及其統(tǒng)計(jì)解釋。 2.2.通過對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析通過對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析, ,理解態(tài)疊加原理。理解態(tài)疊加原理。 3.3.掌握微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程掌握微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 波函波函數(shù)隨時(shí)間演化的規(guī)律數(shù)隨時(shí)間演化的規(guī)律 Schrdinger方程。方程。 4.4.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。掌握定態(tài)及其性質(zhì)。 5.5.通過對(duì)三個(gè)實(shí)例的討論通過對(duì)三個(gè)實(shí)例的討論, ,掌握定態(tài)掌握定態(tài)Schrdinger 方程的求解。方程的求解。學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求作業(yè)：作業(yè)：2.1; 2.2; 2.32.5,( )0,xaU xaxaxa 在補(bǔ)上這個(gè)范圍： 微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

3、的描微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學(xué)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，即述必有別于經(jīng)典力學(xué)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。1 1微觀粒子狀態(tài)的描述微觀粒子狀態(tài)的描述 德布羅意德布羅意指出指出：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)函數(shù)函數(shù) 來描述，來

4、描述，函數(shù)函數(shù) 稱為稱為波函數(shù)。波函數(shù)。( , )r t( , )r t 描述自由粒子的波是具有確定能量和動(dòng)量的平面波，描述自由粒子的波是具有確定能量和動(dòng)量的平面波，因此自由粒子的波函數(shù)如下：因此自由粒子的波函數(shù)如下：2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋自由粒子的德布羅意波函數(shù)為自由粒子的德布羅意波函數(shù)為 如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中 運(yùn)運(yùn)動(dòng)，它的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒動(dòng)，它的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：寫，

5、一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。()( , )iP rEtPr tAe ( ,t)r( ( ) )U U, ,r r t tr r一個(gè)問題：一個(gè)問題： 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？2 2、玻恩的概率波的統(tǒng)計(jì)解釋、玻恩的概率波的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋光柵衍射光柵衍射電子衍射電子衍射類類比比2oEI 2|INNhINI I大處大處 到達(dá)光子數(shù)多到達(dá)光子數(shù)多I小處小處 到達(dá)光子數(shù)少到達(dá)光子數(shù)少I=0 無光子到達(dá)無光子到達(dá)各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定徑均不確定用用I對(duì)屏上光子數(shù)分布作

6、對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述概率性描述各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定均不確定2|用對(duì)屏上電子數(shù)分布對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述作概率性描述電子到達(dá)該處概率大電子到達(dá)該處概率大電子到達(dá)該處概率為零電子到達(dá)該處概率為零電子到達(dá)該處概率小電子到達(dá)該處概率小光柵衍射光柵衍射電子衍射電子衍射19261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋： 波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率（幾率）成正比。方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率（幾率）成正比。（2 2

7、） 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣. . 可見，波函數(shù)模的平方可見，波函數(shù)模的平方 與粒子與粒子 時(shí)刻在時(shí)刻在 處附近出現(xiàn)的概率成正比。處附近出現(xiàn)的概率成正比。rt2, r t 波波 動(dòng)動(dòng) 觀觀 點(diǎn)點(diǎn) 粒粒 子子 觀觀 點(diǎn)點(diǎn)明紋處明紋處: : 電子波強(qiáng)電子波強(qiáng) (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2大大 電子出現(xiàn)的概率大電子出現(xiàn)的概率大暗紋處暗紋處: : 電子波強(qiáng)電子波強(qiáng) (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2小小 電子出現(xiàn)的概率小電子出現(xiàn)的概率小 （1 1）入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯

8、示衍射圖樣性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣; ;概率波概率波：個(gè)別微觀粒子個(gè)別微觀粒子的出現(xiàn)有一定的的出現(xiàn)有一定的偶然性偶然性，但，但是是大量粒子大量粒子在空間何處出現(xiàn)的空間分布卻服從在空間何處出現(xiàn)的空間分布卻服從一定一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。德布羅意波德布羅意波(物質(zhì)波物質(zhì)波)是概率波。是概率波。補(bǔ)充概率補(bǔ)充概率波的概念波的概念( , )( , , , )r tx y z t 波函數(shù)一般表示為波函數(shù)一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)形式：形式：波函數(shù)的強(qiáng)度波函數(shù)的強(qiáng)度模的平方模的平方*|2波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)

9、模的平方）與波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率（幾率）成正比。粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率（幾率）成正比。2|有意義的不是本身，而是:|2概率密度，粒子在空間分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律概率密度，粒子在空間分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:概率幅概率幅注意：描述同一概率波和在空間各點(diǎn)的比值，的大小，而是重要的不是c22|遵從疊加原理21212122112212*|干涉項(xiàng)干涉項(xiàng)（第二節(jié)課講）（第二節(jié)課講）2*( , )( , ) ( , )r tr tr t設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù) 描述，波的強(qiáng)度是描述，波的強(qiáng)度是( , )r t2( , )( , )dW r tCr td則微觀粒子在則微觀

10、粒子在t t 時(shí)刻出現(xiàn)在時(shí)刻出現(xiàn)在 處體積元處體積元dd內(nèi)的內(nèi)的幾率幾率r 這表明描寫粒子的波是幾率波這表明描寫粒子的波是幾率波( (概率波概率波) ), ,反映微反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù) 有時(shí)有時(shí)也稱為幾率幅。也稱為幾率幅。, r t 按按BornBorn提出的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋提出的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋, ,粒子在空間中粒子在空間中某一點(diǎn)某一點(diǎn) 處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點(diǎn)模的處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點(diǎn)模的平方成比例平方成比例r2( , )( , )( , )dW r tr tCr td （1 1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，微觀

11、粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒描寫粒子的波是幾率波子的波是幾率波”，這是，這是量子力學(xué)的量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)一個(gè)基本假設(shè)（基本原理）基本原理）。 知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進(jìn)一步知道，子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)描寫體系波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱狀態(tài)或態(tài)）的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱狀態(tài)或態(tài)）（2 2）波函數(shù)一般用）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)表示。表示。（3 3）波函數(shù)一般滿足）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性連

12、續(xù)性、有限性、單值性。必 須 注 意必 須 注 意 稱為幾率密度稱為幾率密度( (概率概率密度密度) )( , )( , )r tCr t令令 和和 所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的同的，這里的 是常數(shù)。是常數(shù)。, r t,Cr tC 時(shí)刻，時(shí)刻，在在空間任意兩點(diǎn)空間任意兩點(diǎn) 和和 處找到粒子的處找到粒子的相對(duì)幾率是：相對(duì)幾率是：t1r2r221122( , )( , )(, )(, )Cr tr tCr tr t可見，可見， 和和 描述的是同一幾率波，所描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。, r t, r t3波函數(shù)的歸一

13、化條件波函數(shù)的歸一化條件 非相對(duì)論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實(shí)物粒子非相對(duì)論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實(shí)物粒子不會(huì)產(chǎn)生與湮滅。這樣，對(duì)一個(gè)粒子而言，它在不會(huì)產(chǎn)生與湮滅。這樣，對(duì)一個(gè)粒子而言，它在全全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 和和 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài), r t,Cr t 這與經(jīng)典波截

14、然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大這與經(jīng)典波截然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來的一倍（原來的 2 2 倍）時(shí)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原倍）時(shí)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。無歸一化問題。 為消除波函數(shù)為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利的這種不確定性，利用粒子在用粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一的特性，全空間出現(xiàn)的幾率等于一的特性，提出波函提出波函數(shù)的歸一化條件：數(shù)的歸一化條件：又因又因222( , )( , )1r tdCr td21( , )Cr td其中其中稱為歸一化常

15、數(shù)稱為歸一化常數(shù)于是于是dtrtrtrtr222),(),(),(),(歸一化條件消除了波函數(shù)歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子常數(shù)因子的一種不確定性的一種不確定性。12d)t , r(d )t , r(滿足此條件的波函數(shù)滿足此條件的波函數(shù) 稱為稱為歸一化波函數(shù)歸一化波函數(shù)。, r t經(jīng)典粒子與微觀粒子描述的區(qū)別經(jīng)典粒子與微觀粒子描述的區(qū)別:描述描述經(jīng)典粒子經(jīng)典粒子:坐標(biāo)、動(dòng)量，其它力學(xué)量都可確定坐標(biāo)、動(dòng)量，其它力學(xué)量都可確定描述描述微觀粒子微觀粒子：波函數(shù)：波函數(shù) 各個(gè)力學(xué)量出現(xiàn)各個(gè)力學(xué)量出現(xiàn)的幾率的幾率( , , , )x y z t2 在空間某處發(fā)現(xiàn)實(shí)物粒子的在空間某處發(fā)現(xiàn)實(shí)物粒子的幾率幾率

16、同同波函數(shù)的波函數(shù)的模模的的平方平方成正比。成正比。因此，因此，t時(shí)刻在時(shí)刻在(x,y,z)附近小體積附近小體積dV中出現(xiàn)微觀粒中出現(xiàn)微觀粒子的概率為子的概率為2,dVdV dxdydzdV 和和C 表示同一個(gè)概率波。通常表示同一個(gè)概率波。通常C由總的概率為由總的概率為1的的歸一條件決定。歸一條件決定。微觀粒子幾率波（物質(zhì)波）與經(jīng)典波的本質(zhì)區(qū)別微觀粒子幾率波（物質(zhì)波）與經(jīng)典波的本質(zhì)區(qū)別經(jīng)典波經(jīng)典波的波函數(shù)是實(shí)數(shù)，具有物理意義，可測(cè)量。的波函數(shù)是實(shí)數(shù)，具有物理意義，可測(cè)量?？蓽y(cè)量，具有實(shí)際物理意義可測(cè)量，具有實(shí)際物理意義區(qū)別：區(qū)別：（1）物質(zhì)波物質(zhì)波是復(fù)函數(shù)，本身無具體的實(shí)際物理意義，是復(fù)函數(shù)，

17、本身無具體的實(shí)際物理意義， 一一般是不可測(cè)量的。般是不可測(cè)量的。 2（2）、物質(zhì)波物質(zhì)波是概率波。是概率波。 C 等價(jià)等價(jià)對(duì)于經(jīng)典波對(duì)于經(jīng)典波CAA ECE2 聯(lián)系：都有相干性聯(lián)系：都有相干性解：先把函數(shù)歸一化，利用歸一化條件解：先把函數(shù)歸一化，利用歸一化條件 dx)x(2 例：求波函數(shù)歸一化常數(shù)和概率密度。例：求波函數(shù)歸一化常數(shù)和概率密度。 )0( )0( 0axxasinAeax,xxEti adxaxsinA022 122 aAaA2 2w )0( 2)0( 02axaxsinaax,x Ex.1 已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為221( , )exp22ir tAa x

18、t求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。出現(xiàn)的幾率最大。 dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/ 1/aA歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)Solve: 12 211/222( , )/ia xtr tae 歸一化的波函數(shù)歸一化的波函數(shù)(1).求求歸一化的波函數(shù)歸一化的波函數(shù)（2 2）幾率分布）幾率分布： 222),(),(xaeatxtx（3 3）由幾率密度的極值條件）由幾率密度的極值條件 2 22( , )20a xdx taa xedx 由于由于 220( , )0 xdx tdx0 x 故故 處，粒子出現(xiàn)幾率最大。處，粒子出現(xiàn)

19、幾率最大。0 x1 1、設(shè)波函數(shù)為、設(shè)波函數(shù)為 ( , , , )x y z t2( , , , )dydzx y z tdx求在（求在（x,x+dx )范圍內(nèi)找到粒范圍內(nèi)找到粒子的概率子的概率.補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題2 2、在球坐標(biāo)系中，波函數(shù)表示為、在球坐標(biāo)系中，波函數(shù)表示為 ( , ) ( , , , )rt 求在球殼內(nèi)（求在球殼內(nèi)（r,r+drr,r+dr) )中找到粒子的概率中找到粒子的概率方向的立體角中找到粒子的概率。方向的立體角中找到粒子的概率。在在220( , , )r drrd 22200sin( , , )ddrr dr 22sindVdxdydzrdrd dr drd 2.2

20、2.2 態(tài)的迭加原理態(tài)的迭加原理 態(tài)迭加原理是量子力學(xué)中一個(gè)很重要的原理，這一節(jié)先作一些初步介紹，隨著學(xué)習(xí)量子力學(xué)內(nèi)容的不斷深入，會(huì)不斷加深對(duì)態(tài)迭加原理的理解。21、量子態(tài)和波函數(shù)、量子態(tài)和波函數(shù) 用波函數(shù)用波函數(shù) （r,t）來描述微觀粒子的量子態(tài)。）來描述微觀粒子的量子態(tài)。當(dāng)當(dāng)（r,t）給定后，如果測(cè)量其位置，粒子出現(xiàn)在）給定后，如果測(cè)量其位置，粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為點(diǎn)的幾率密度為 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。 經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個(gè)可能的波動(dòng)過程迭加后經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個(gè)可能的波動(dòng)過程迭加后也是一個(gè)可能的波動(dòng)過程。如：惠更

21、斯原理。也是一個(gè)可能的波動(dòng)過程。如：惠更斯原理。 描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經(jīng)典相同？與經(jīng)典相同？2波的疊加是線性的，所以所有的態(tài)矢都滿足線性關(guān)系。當(dāng)粒子處于當(dāng)粒子處于1和和2的疊加態(tài)的疊加態(tài)時(shí)，粒子在某點(diǎn)時(shí)，粒子在某點(diǎn)P處出現(xiàn)的概率為：處出現(xiàn)的概率為：|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 （1 1） 疊加后的波函數(shù)疊加后的波函數(shù)：= C= C1 11 1 + C + C2 22 2（2 2） 電子的概率分布電子的概率分布：粒子以粒子以1態(tài)態(tài)出現(xiàn)出現(xiàn)在點(diǎn)的在點(diǎn)的概率概率粒子以粒子以2態(tài)出

22、態(tài)出現(xiàn)在點(diǎn)的概現(xiàn)在點(diǎn)的概率率1 和和2的的相干項(xiàng)，相干項(xiàng)，正是由于相干項(xiàng)的正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。射花紋。2 2 態(tài)疊加原理的一般表述態(tài)疊加原理的一般表述（3 3） 態(tài)疊加原理的物理意義態(tài)疊加原理的物理意義： 如果如果1 1和和2 2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加性疊加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是該體系的一個(gè)可能狀也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài)態(tài). . 若若1 1，2 2 ,.,.,n n 是體系的一系列可能的狀態(tài)，則是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加態(tài)這些態(tài)的線性疊加態(tài)= C= C1 11

23、 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n 為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)) )也是體系的一個(gè)可能狀也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)時(shí)，體系部分處在1態(tài)、也處在2態(tài)，等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個(gè)態(tài)i，但是所有幾率和為1。 物理意義物理意義：處于：處于態(tài)的體系，部分的處于態(tài)的體系，部分的處于 1 1態(tài)態(tài)，部分的處于，部分的處于2 2態(tài)態(tài).，部分的處于，部分的處于n n。量子力學(xué)的態(tài)疊加原理可以表示為量子力學(xué)的態(tài)疊加原理可以表示為：nnnc其中其中cn是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù).3. 量子力學(xué)使用最多

24、的是把一個(gè)態(tài)分解為某一個(gè)算符量子力學(xué)使用最多的是把一個(gè)態(tài)分解為某一個(gè)算符本征態(tài)本征態(tài)的迭加。量子力學(xué)的態(tài)的迭加是波函數(shù)的迭加。的迭加。量子力學(xué)的態(tài)的迭加是波函數(shù)的迭加。一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論：任何一個(gè)波函數(shù)：任何一個(gè)波函數(shù) (r,t)都可以看作是各都可以看作是各種不同動(dòng)量的平面波的疊加種不同動(dòng)量的平面波的疊加.zyxppddpdprtpctr)(),(),()3/21( , )(2)ip rEtpr te 數(shù)學(xué)表示式數(shù)學(xué)表示式：是動(dòng)量一定的平面波。這在是動(dòng)量一定的平面波。這在數(shù)學(xué)上是成立的，這正好是數(shù)學(xué)上是成立的，這正好是非周期函數(shù)的傅立葉展開。非周期函數(shù)的傅立葉展開。*( )( ) ( , )pC

25、 prr t dxdydz 三維情況三維情況：具體推導(dǎo)見后面具體推導(dǎo)見后面.一維情況一維情況 ：()12( , )( , )( , )1( , )(2)pipx Etxtc ptxt dpc pt edp()1/21( , )( , )(2)ipx Etc ptxt edx例例電子在晶體表面反射后，電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的電子可能以各種不同的動(dòng)量動(dòng)量 p p 運(yùn)動(dòng)。具有確運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用deBrogliedeBroglie 平面波表示平面波表示 d d根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)的狀態(tài)可表示成可

26、表示成 p p 取各種可能值的平取各種可能值的平面波的線性疊加，即面波的線性疊加，即 )(expEtrpiAp了了求求和和。所所以以后后式式應(yīng)應(yīng)用用積積分分代代替替是是連連續(xù)續(xù)變變化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),( 動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù) 可以證明：波函數(shù)可以證明：波函數(shù) (r,t) (r,t) 可用各種不同動(dòng)量可用各種不同動(dòng)量的平面波表示。的平面波表示。3/21( , )exp ()2pir tp rEt 若（）( , )( , )( )pr tc p tr dp則zyxdpdpd

27、prpitpcexp),()2(12/3 ( , )( )( , )pc p trr t dr3/21( , )exp()2ir tp rEt dxdydz（）根據(jù)傅立葉變化根據(jù)傅立葉變化Fourier 變換變換( )( )ikxF kf x edxFourier 逆變換逆變換1( )( )2ikxf xF k e dk幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明l (r,t) (r,t)是以坐標(biāo)是以坐標(biāo) r r 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象波函數(shù)；波函數(shù)； lC(p, t)C(p, t) 是以動(dòng)量是以動(dòng)量 p p 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 動(dòng)量空間波

28、函數(shù)，動(dòng)量空間波函數(shù)，動(dòng)量表象動(dòng)量表象波函數(shù)；波函數(shù)； l二者描寫同一量子狀態(tài)。二者描寫同一量子狀態(tài)。體體積積元元內(nèi)內(nèi)的的幾幾率率；點(diǎn)點(diǎn)附附近近時(shí)時(shí)刻刻粒粒子子出出現(xiàn)現(xiàn)在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(體體積積元元內(nèi)內(nèi)的的幾幾率率。點(diǎn)點(diǎn)附附近近時(shí)時(shí)刻刻粒粒子子出出現(xiàn)現(xiàn)在在動(dòng)動(dòng)量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(薛定諤薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動(dòng)力學(xué)與狄拉克理論的有效的新形式一波動(dòng)力學(xué)與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對(duì)論性的波動(dòng)方程一狄拉克方程因創(chuàng)立相對(duì)論性的波動(dòng)方程一

29、狄拉克方程,共同分共同分享了享了1933年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。量子力學(xué)中的微觀粒子用波函數(shù)表示。量子力學(xué)中的微觀粒子用波函數(shù)表示。初始狀態(tài)波函數(shù)初始狀態(tài)波函數(shù)薛定諤方程薛定諤方程任意時(shí)刻的波函數(shù)任意時(shí)刻的波函數(shù)質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)、動(dòng)量）質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)、動(dòng)量）、初始狀態(tài)、初始狀態(tài)牛頓定律牛頓定律任意時(shí)刻的狀態(tài)任意時(shí)刻的狀態(tài)薛定諤方程的薛定諤方程的特點(diǎn)特點(diǎn)：1、含有、含有時(shí)間和坐標(biāo)時(shí)間和坐標(biāo)的函數(shù)的函數(shù)2、線性方程線性方程（由疊加原理可得）（由疊加原理可得）3、方程的系數(shù)不含狀態(tài)參量（動(dòng)量、能量），各、方程的系數(shù)不含狀態(tài)參量（動(dòng)量、能量），各種可能狀態(tài)都要滿足方程種可能狀態(tài)都要滿足方程.2.

30、3 Schrdinger方程方程 2 2 一維自由粒子的薛定諤方程一維自由粒子的薛定諤方程()()( , )xxiip x EtEtp xx tAeAe2222xpx Eit 22xEpm1 1 一維自由粒子的性質(zhì)一維自由粒子的性質(zhì)薛定諤方程的建立薛定諤方程的建立一一 含時(shí)含時(shí)SchrodingerSchrodinger方程方程Eti222222xpEmxm 2222itmx Eti222222xpEmxm 三維自由粒子薛定諤方程（具體過程在下一頁(yè)）三維自由粒子薛定諤方程（具體過程在下一頁(yè)）算符算符tiE能量算符：ipp動(dòng)量算符：zkyjxi納波拉算符：（1 1）在外力場(chǎng)中粒子的總能量：）在外

31、力場(chǎng)中粒子的總能量：),(212trVpmE（三維）（三維）titrVm),(222薛定諤方程薛定諤方程 Hti 總結(jié)總結(jié)外力場(chǎng)中微觀粒子的薛定諤方程外力場(chǎng)中微觀粒子的薛定諤方程（2 2）方程）方程titxVxm),(2222（一維）（一維）（3 3）哈密頓算符）哈密頓算符),(222trVmH 薛定諤方程討論薛定諤方程討論1、薛定諤方程也稱波動(dòng)方程，描述在勢(shì)場(chǎng)、薛定諤方程也稱波動(dòng)方程，描述在勢(shì)場(chǎng)U中粒中粒子狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。子狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。2 、薛定諤方程是建立起來的而不是推導(dǎo)出來的、薛定諤方程是建立起來的而不是推導(dǎo)出來的，其正確性由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一，其正確性由實(shí)驗(yàn)

32、驗(yàn)證。薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè)，不能從其他更基本原理或方程推導(dǎo)種基本假設(shè)，不能從其他更基本原理或方程推導(dǎo)出來，它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)出來，它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。來檢驗(yàn)。3、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本方程，其地位相當(dāng)于牛頓方程。方程，其地位相當(dāng)于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式，否則不滿、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式，否則不滿足自由粒子薛定諤方程。足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對(duì)論的方程。、薛定諤方程是非相對(duì)論的方程。22( )2iV rtm （勢(shì)函數(shù)與時(shí)間無關(guān)）（勢(shì)函數(shù)與時(shí)間無關(guān)

33、）( , )( ) ( )r tr f t令令)z , y,x(VmH 222 2.5 2.5 定態(tài)定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程（重點(diǎn)）方程（重點(diǎn)）1 1 條件條件2 2 方程方程22( )2iV rtm Schrodinger方程：方程：22( )2iV rtmH 把它代入把它代入Schrodinger方程方程可得：可得：22( )( )( )( )2firfrV rr ftm221( )( ) ( )2( )idfrV rrf dtmr只是只是時(shí)間時(shí)間的函數(shù)的函數(shù)只是只是空間坐標(biāo)空間坐標(biāo)的函數(shù)的函數(shù)i d fEf dt( )iEtf tCe兩邊同時(shí)除于兩邊同時(shí)除于(

34、 , )( ) ( )r tr f t可得可得兩邊只能等于一個(gè)常數(shù)才能相等，設(shè)常數(shù)為兩邊只能等于一個(gè)常數(shù)才能相等，設(shè)常數(shù)為E。1 d fiEdtf dt2222*( , )( , ).( , )( )( )iEtr tr tr trer （1 1）在）在形如上式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)中，粒子能量形如上式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)中，粒子能量E和概率密度都不隨時(shí)間而變化，即和概率密度都不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間無關(guān)，與時(shí)間無關(guān)，這種這種狀態(tài)叫做狀態(tài)叫做定態(tài)定態(tài)，相應(yīng)的波函數(shù)叫做，相應(yīng)的波函數(shù)叫做定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù).22( )( ) ( )( )2rU rrErm（定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程）討論討論(

35、 , )( ) ( )( )( )iiEtEtr tr f tr Cer e定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)總結(jié)總結(jié):分離變量中引入的常數(shù)分離變量中引入的常數(shù)E為粒子的能量，當(dāng)粒子處在為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由上述波函數(shù)所描述的狀態(tài)時(shí)，粒子的能量由上述波函數(shù)所描述的狀態(tài)時(shí)，粒子的能量E有確定的值，有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的上述波函數(shù)稱為定態(tài)波函這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的上述波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。數(shù)。2222( )() ( )0dmxE Vxdx（2 2）粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中）粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中（一維定態(tài)薛定諤方程）：（一維定態(tài)薛定諤方程）：必須牢記必須牢記適用范圍：?jiǎn)瘟Ｗ?；定態(tài)；一維適用范圍：?jiǎn)?/p>

36、粒子；定態(tài)；一維因此求定態(tài)波函數(shù)歸結(jié)為求波函數(shù)，也叫做因此求定態(tài)波函數(shù)歸結(jié)為求波函數(shù)，也叫做定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)定態(tài)波函數(shù)。定態(tài) Schrdinger方程，其方程，其突出特點(diǎn)是方程中突出特點(diǎn)是方程中不含時(shí)間變量不含時(shí)間變量.定態(tài)定態(tài)：特殊狀態(tài)，能量有確定值，在定態(tài)中，它的幾：特殊狀態(tài)，能量有確定值，在定態(tài)中，它的幾率密度，幾率流密度都與時(shí)間無關(guān)。率密度，幾率流密度都與時(shí)間無關(guān)。具體見課本具體見課本32頁(yè)頁(yè)( , )( , )r tiEr tt22( )( , )( , )2U rr tEr t 這兩個(gè)方程都是以一個(gè)算符作用在定態(tài)波函數(shù)這兩個(gè)方程都是以一個(gè)算符作用在定態(tài)波函數(shù) 上，得出定態(tài)能量乘以該

37、定態(tài)波函數(shù)，因此算符上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，因此算符),(tr（9 9）（7 7）總總 結(jié)結(jié)22( )( )( )2U rrEr 均稱為均稱為能量算符能量算符22( )2U r )(222rUH利用哈密頓算符利用哈密頓算符(能量算符能量算符)可將方程可將方程(9)和定態(tài)和定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程(7)和和分別分別寫成寫成),(),(trEtrH（12） （13） ( )( )HrEr和和兩式均稱為兩式均稱為哈密頓哈密頓算符算符(能量算符能量算符)的的本征方程本征方程 的的本征函數(shù)本征函數(shù)H能量能量本征值本征值 為為本征波函數(shù)本征波函數(shù)),( trit見課本

38、見課本33頁(yè)頁(yè)關(guān)于定態(tài)的關(guān)于定態(tài)的例題在教案例題在教案中中.2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律21( )2iV rtmi *2*1( )2iV rtmi 具體見課本具體見課本高斯定理高斯定理 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律總結(jié)粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律總結(jié)222iVt 222iVt 2222iitt 22it （）2didddt （）dJdtrdtdVV),(1 1 粒子流密度（幾率流密度）粒子流密度（幾率流密度）2iJ SdJdtrdtdSV),(閉區(qū)域上找到粒子閉區(qū)域上找到粒子的總幾率在單位時(shí)的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量間內(nèi)的增量幾率流密度，是幾率流密度，是一矢量。一矢

39、量。單位時(shí)間內(nèi)通過單位時(shí)間內(nèi)通過V V的的封閉表面封閉表面 S S 流入流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）（面積分前面的負(fù)號(hào)）V V內(nèi)的幾率內(nèi)的幾率dJdtrdtdVV),(0 Jt 2 2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程3 3 連續(xù)性方程的應(yīng)用連續(xù)性方程的應(yīng)用2|( , )|()2r tiJJ 質(zhì)量流密度矢量質(zhì)量流密度矢量質(zhì)量密度質(zhì)量密度0Jt質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律電荷守恒定律電荷守恒定律0 eeJt 同理同理四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件 (波函數(shù)是時(shí)間和坐標(biāo)的單值函數(shù)波函數(shù)是時(shí)間和坐標(biāo)的單值函數(shù)) 連續(xù)性，單值性，有限性。連續(xù)性，單值性，有限性。 1、單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所定。、單值與有限

40、，由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所定。 2、連續(xù)，由概率的連續(xù)性方程所確定。、連續(xù)，由概率的連續(xù)性方程所確定。 3、另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。、另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。說明說明： 幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來實(shí)現(xiàn)這種率不變，并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來實(shí)現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。2.6 2.6 一維定態(tài)問題一維定態(tài)問題2 2 求解求解步驟步

41、驟（1 1） 分析勢(shì)函數(shù)，列出薛定諤方程；分析勢(shì)函數(shù)，列出薛定諤方程；（2 2） 求解薛定諤方程；求解薛定諤方程；（3 3）利用標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）確定未知數(shù)和）利用標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）確定未知數(shù)和能量本征值；能量本征值；（4 4） 由歸一化條件定出歸一化系數(shù)由歸一化條件定出歸一化系數(shù)1 1 核心問題核心問題 波函數(shù)；能量波函數(shù)；能量一一 補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)2222( )() ( )0dxE Vxdx0222 )x(kdx)x(d2sincosCkxDkx3sin()Ekx常微分方程的三種形式解常微分方程的三種形式解這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價(jià)的解：這是二階常系數(shù)微分方程，

42、有三種等價(jià)的解：kxkxAeBe 222( )( )0dxkxdx依方便依方便,隨取一種形式的解隨取一種形式的解.其方程的解其方程的解（最常用）最常用）1ikxikxAeBe 二、一維無限深二、一維無限深勢(shì)阱勢(shì)阱 金屬中的自由電子可看作在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)金屬中的自由電子可看作在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)其勢(shì)能函數(shù)為：其勢(shì)能函數(shù)為： )ax,ax()axa()x(V22220 VO2a Vx2a 0 V y束縛態(tài)束縛態(tài)通常將在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一維無限深勢(shì)阱中粒子的勢(shì)能為一維無限深勢(shì)阱中粒子的勢(shì)能為基態(tài)基態(tài)：體系能量最低的態(tài)：體系能量最低的態(tài)222( )2(). ( )d

43、xVExdx V對(duì)對(duì)區(qū)：區(qū)：0 )x( VO2a Vx2a 0 V y波函數(shù)的有限性波函數(shù)的有限性波函數(shù)及其一階、波函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)均有限二階導(dǎo)數(shù)均有限22( )( ) ( )( )2( )dxV xxExdx222( )2( )0dxExdx0 V2 2kE令0222 )x(kdx)x(d 方程簡(jiǎn)化為：方程簡(jiǎn)化為：對(duì)對(duì)區(qū)：區(qū)： VO2a Vx2a 0 V y方程的通解為：方程的通解為：( )ikxikxxCeDe或由波函數(shù)的連續(xù)性由波函數(shù)的連續(xù)性,利用邊界條件利用邊界條件cossin022kakaAB( )cossinxAkxBkxcossin022kakaAB0O2ax2a y0()

44、( )022aa 可得cos02kaAsin02kaBA和和B不能同時(shí)為不能同時(shí)為0。否則。否則 處處處處為為0 。因此我們。因此我們得到兩組解：得到兩組解：.1,2,3,4,kann0,sin02kaA 0,cos02kaB (1,2,3)22kann對(duì)于第一組，對(duì)于第一組，n為偶數(shù)為偶數(shù)對(duì)于第二組，對(duì)于第二組，n為奇數(shù)為奇數(shù)1,2,3,nkan由此可求得由此可求得能量能量2222() 1, 2, 32nEnna2kE1,2,nknaO2ax1 n2 n3 n4 n1E2E3E4E2a 體系能量最低體系能量最低的態(tài)稱為的態(tài)稱為基態(tài)基態(tài)( )cossincossinnnxAkxBkxAxBxa

45、a( )cos1,3,5,nxAx na( )sin2,4,6,nxBx na波函數(shù)波函數(shù)0,sin02kaA 0,cos02kaB (1,2,3)22kann對(duì)于第一組，對(duì)于第一組，n為偶數(shù)為偶數(shù)對(duì)于第二組，對(duì)于第二組，n為奇數(shù)為奇數(shù) ,n)xansin(an)xancos(a)x(64221,3,5, 2 2222cos1aanAxdxa2222sin1aanBxdxa2ABa由歸一化條件求系數(shù)由歸一化條件求系數(shù)2cos() 1,3,5,( )2sin()2,4,6,nxnaaxnxnaa( , )( )2sin(/2),1,2,3nniE tnniE tx tx enxaenaa一維無限

46、深勢(shì)阱中粒一維無限深勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為子的定態(tài)波函數(shù)為)x( 2)x( OO2axx1 n2 n3 n4 n1E2E3E4E2a 2a2a 1,3,5, 2 n)xancos(a)x( ,n)xansin(a)x(6422 )x()x( 相對(duì)于原點(diǎn)是對(duì)稱的，稱為相對(duì)于原點(diǎn)是對(duì)稱的，稱為正宇稱正宇稱或或偶宇稱偶宇稱。)x()x( 相對(duì)于原點(diǎn)是反對(duì)稱的，稱為相對(duì)于原點(diǎn)是反對(duì)稱的，稱為負(fù)宇稱負(fù)宇稱或或奇宇稱奇宇稱。同理，換一下勢(shì)阱的范圍，那么波函數(shù)和能量？同理，換一下勢(shì)阱的范圍，那么波函數(shù)和能量？ )ax,ax()axa()x(V222200()( )(,)axaV xxa xa 0(0)(

47、)(0,)xaV xxxa與例題推導(dǎo)過程類似，同學(xué)們與例題推導(dǎo)過程類似，同學(xué)們自己做。具體見周世勛所編的自己做。具體見周世勛所編的量子力學(xué)量子力學(xué)P34.其答案為：其答案為：這三種勢(shì)阱的類型，同學(xué)們這三種勢(shì)阱的類型，同學(xué)們務(wù)必掌握務(wù)必掌握。1cos() 1,3,5,2( )1sin()2,4,6,2nxnaaxnxnaa2222() 1, 2,38nEnna見作業(yè)題見作業(yè)題 Chapter 2The wave function and Schrdinger EquationaxxaxUxU,000)(0勢(shì)壘貫穿是能量為勢(shì)壘貫穿是能量為E E的粒子的粒子入射入射被勢(shì)場(chǎng)散射的問題被勢(shì)場(chǎng)散射的問題2

48、.82.8 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿 一維方勢(shì)壘一維方勢(shì)壘方勢(shì)壘是一方勢(shì)壘是一種典型勢(shì)壘種典型勢(shì)壘具體圖見具體圖見課本課本 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation222202220 (0,)2()0 (0)dExx adxdE Ux adx （1 1）EUEU0 0 情形情形1. 1. 定態(tài)薜定諤方程定態(tài)薜定諤方程0 aV(x) V0I II IIIE令令 12122kE122022()kE U Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?0(0), 0(0222

49、22122axkdxdaxxkdxd分分區(qū)區(qū)取取解解112211123(0)(1)(0)(2)()(3)ikxikxik xik xikxikxAeA exBeB ex aCeC ex a 2. 2. 方程的求解方程的求解向右傳播的向右傳播的入射平面波入射平面波向左傳播的向左傳播的反射平面波反射平面波由左向右的透射波由左向右的透射波因因區(qū)無由右向左傳播區(qū)無由右向左傳播的平面波，故的平面波，故0C 三式均三式均為兩個(gè)為兩個(gè)左右傳左右傳播的平播的平面波的面波的疊加疊加 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 可得透射波振幅可得透射波振幅

50、 及反射波振幅及反射波振幅 與入射波與入射波振幅振幅 間間的關(guān)系的關(guān)系CAA聯(lián)立這四個(gè)方程式，聯(lián)立這四個(gè)方程式，消除消除 與與BB102012002332( )()()()xxxxx ax ax ax adddxdxdddxdx由由波波函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性條條件件 A AB B 1122k A k Ak B k B221ik aik aik aBeBeCe221221ik aik aikak Bek BekCeAekkekkekkCaikaikaik22122122121)()(4（4 4）2.8 2.8 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿 Chapter 2The wave function and Sc

51、hrdinger EquationAekkekkakkkiAaikaik2222122122221)()(sin)(2（5 5）利用幾率流密度公式利用幾率流密度公式: :*()2iJm 求得入射波求得入射波 的幾率流密度的幾率流密度 xikAe121| AmkJ透射波透射波 的幾率流密度的幾率流密度 xikCe121|CmkJD反射波反射波 的幾率流密度的幾率流密度 xikeA121| |RkJAm Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation 為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率

52、，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。3. 3. 透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)和反射系數(shù)透射透射系數(shù)系數(shù)222122222212221224sin)(4|kkakkkkkACJJDD（6 6）反射反射系數(shù)系數(shù)22 222122222 222212212|() sin|() sin4RJkkakARJAkkakk k（7 7）以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到 的的IIIIII區(qū)域，另一部分則被勢(shì)壘反射回來。區(qū)域，另一部分則被勢(shì)壘反射回來。xa1DR表明粒子數(shù)守恒表明粒子數(shù)守恒透射系數(shù)透射系數(shù)D：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比：

53、透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比反射系數(shù)反射系數(shù)R：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比 一維方勢(shì)壘（隧道效應(yīng)）（一維方勢(shì)壘（隧道效應(yīng)）（具體推導(dǎo)過程見課本，同具體推導(dǎo)過程見課本，同學(xué)們只需要掌握思想即可）學(xué)們只需要掌握思想即可）隧道結(jié)隧道結(jié)：在兩層金屬導(dǎo)體之間夾一薄絕緣層。：在兩層金屬導(dǎo)體之間夾一薄絕緣層。電子的隧道效應(yīng)電子的隧道效應(yīng)：電子可以通過隧道結(jié)。：電子可以通過隧道結(jié)。EE0V0V0VV x1x2xO當(dāng)電子能量低于勢(shì)壘高度時(shí)0VE 22101 00 0 xxxxxVxx)x(V0VE （2 2）區(qū)區(qū)薛定諤方程為：薛定諤方程為：01212

54、12 kx0222222 kx20222 ()VEkEE0V0V0VVx1x2xO2122 EkxikxikBeAe111 區(qū)區(qū)薛定諤方程為：薛定諤方程為：2222( )() ( )0dxE Vxdx0323232 kx2322 EkxkxkeBeA22222 區(qū)區(qū)薛定諤方程為：薛定諤方程為：xikeA333 EE0V0V0VVx1x2xO2iJm 區(qū)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)的概率為區(qū)的概率為022()aVEDe透射系數(shù)為為勢(shì)勢(shì)壘壘的的寬寬度度12xxa02ln2 ()aDVE 勢(shì)壘越寬透過的概率越小，勢(shì)壘越寬透過的概率越小，(V0-E)越大透過的概率越小。越大透過的概率越小。EE0V0V0VVx

55、1x2xO Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation（2 2）EUEU0 0情形情形( (第二種解法第二種解法) )122022()kE U 是虛數(shù)是虛數(shù) 23kik令令123022()kU E是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)其中在在(4)(4)和和(6)(6)式式中，把中，把 換為換為 ，得到，得到2k3ik透射波振幅透射波振幅: : 113221331332()2ik aikk eCAkkshakikkchak（8 8） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation透射系數(shù)透射系數(shù): : 221

56、3222222133134()4k kDkksh akk k（9 9）此結(jié)果表明，即使此結(jié)果表明，即使 ，透射系數(shù)，透射系數(shù) 一般不等于零。一般不等于零。即有透射現(xiàn)象，是純的量子效應(yīng)，這時(shí)即有透射現(xiàn)象，是純的量子效應(yīng)，這時(shí)0EUD0 aV(x)V0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波x2.8 2.8 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿2/2( )Epm V r不在不在成立，這是因?yàn)樽鴺?biāo)與動(dòng)量是不可能同時(shí)確定的。成立，這是因?yàn)樽鴺?biāo)與動(dòng)量是不可能同時(shí)確定的。透射系數(shù)不為透射系數(shù)不為0，這說明粒子，這說明粒子在能量在能量E 小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘！這種現(xiàn)象稱為隧道貫穿勢(shì)壘！這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)

57、。在經(jīng)典力學(xué)中隧道效應(yīng)效應(yīng)。在經(jīng)典力學(xué)中隧道效應(yīng)是不存在的，因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)是不存在的，因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)中，當(dāng)粒子的能量小于勢(shì)能時(shí)中，當(dāng)粒子的能量小于勢(shì)能時(shí)，粒子的動(dòng)能是負(fù)數(shù)，而這是，粒子的動(dòng)能是負(fù)數(shù)，而這是沒有意義的。沒有意義的。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) （tunnel effecttunnel effect） 粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)隧道效應(yīng). .它是粒子具有波動(dòng)性它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條的生動(dòng)表現(xiàn)。當(dāng)然，這

58、種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。上圖給出了勢(shì)壘穿透的件下才比較顯著。上圖給出了勢(shì)壘穿透的波動(dòng)圖象。著名的隧道掃描顯微鏡就是根波動(dòng)圖象。著名的隧道掃描顯微鏡就是根據(jù)這一原理制成的。據(jù)這一原理制成的。隧道效應(yīng)具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。著名的隧隧道效應(yīng)具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。著名的隧道掃描顯微鏡就是依據(jù)這一現(xiàn)象發(fā)明的。道掃描顯微鏡就是依據(jù)這一現(xiàn)象發(fā)明的?？砂讶我庑螤畹膭?shì)壘分割成許可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許 多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近 似用方勢(shì)壘處理。似用方勢(shì)壘處理。0 a bV(x)EdxdxExVbaeDD)(202 2.72.7 線性諧振子線性諧振子1 經(jīng)典諧振子經(jīng)典諧振子222

59、0,d xkmkxxxdtm其中解：解：x=Asin(t+x=Asin(t+) )2221122Vkxmx（1）補(bǔ)充）補(bǔ)充（2）勢(shì)能）勢(shì)能定義：若在一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能為定義：若在一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能為這種體系叫做一維線性諧振子。這個(gè)問題的重要這種體系叫做一維線性諧振子。這個(gè)問題的重要性在于許多體系都可以近似看作是線性諧振子。性在于許多體系都可以近似看作是線性諧振子。2212x在經(jīng)典力學(xué)中，線性諧振子的運(yùn)動(dòng)是在經(jīng)典力學(xué)中，線性諧振子的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2 研究背景研究背景 自然界任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)（分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)、電子在原子核

60、附件的運(yùn)動(dòng)等）都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)（已簡(jiǎn)化）。對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。（1） 背景背景（2） 模型模型V(x)ax0V02222121xkxV諧振子在自然界中廣泛存在，比如諧振子在自然界中廣泛存在，比如原子，分子的振動(dòng)原子，分子的振動(dòng).3、方程的建立方程的建立222221()02dExdx2,Ex令，則222 ( )0dd 有時(shí)有時(shí) 也可用也可用 m注：注：表示表示這是一個(gè)變系數(shù)二級(jí)常微分方程這是一個(gè)變系數(shù)二級(jí)常微分方程2222()0dEVdx具體過程具體過程參看下面參看下面的的ppt.4 方程的解方程的解（1 1）漸近解）漸近解2220dd 當(dāng)