數(shù)值積分方法

1、第五章第五章 數(shù)值積分方法數(shù)值積分方法計算計算 badxxfI)( )( )F aF b 但是在許多實際問題經(jīng)常遇到下列情況：但是在許多實際問題經(jīng)常遇到下列情況：（1）原函數(shù)存在但不能用原函數(shù)存在但不能用初等函數(shù)初等函數(shù)表示；表示； （2）原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示，但原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示，但結構復雜結構復雜； （3）被積函數(shù)沒有表達式，僅僅是一張被積函數(shù)沒有表達式，僅僅是一張函數(shù)表函數(shù)表。 解決以上情況的積分問題，最有效的辦法為數(shù)值積分法。此種方法是利用被積函數(shù)在一些離散點處的函數(shù)值，而求得滿足一定代數(shù)精度要求的定積分近似值。abab取取左左端點端點矩形矩形近似近似 數(shù)值積分的數(shù)值積分的思

2、想：思想：分割分割、近似、近似、求和求和取取右右端點端點矩形矩形近似近似ab 定積分定積分幾何幾何意義：意義：曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 數(shù)值積分公式的數(shù)值積分公式的一般形式一般形式：0()()nnkkkIfA f x ( )baf x dx 其中其中011nnaxxxxb 求積求積節(jié)點節(jié)點求積求積系數(shù)系數(shù)0 1 , ,kAkn 僅與僅與求積節(jié)點求積節(jié)點有關有關求積公式的求積公式的截斷誤差截斷誤差或或余項余項：0()( )()nbnkkakEff x dxA f x 5.1 插值型求積公式插值型求積公式思思想想用被積函數(shù)用被積函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的插值多項式插值多項式近似代替計算近似代

3、替計算( )f x , a b作作n次次Lagrange插值多項式插值多項式: :設已知函數(shù)設已知函數(shù) 在節(jié)在節(jié)點點上的函數(shù)值上的函數(shù)值( )f x01naxxxb 01(),(),()nf xf xf x0( )( ) ()nnkkkLxlx f x ( )( )bbnaaf x dxLx dx ( )( )bbnaaf x dxLx dx 0( ) ()nbkkaklx f x dx 0()( )nbkkakf xlx dx 0()nkkkA f x 其中其中( )bkkaAlx dx 余項余項111()( ) ( )()!nbnnafEfx dxn 011011() ()() ()( )

4、() ()() ()kknkkkkkknx xx xx xx xl xxxxxx xxx 則有數(shù)值積分公式則有數(shù)值積分公式0( )()nbkkakf x dxA f x (5.1)(5.1) 這是用插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似這是用插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似計算公式，稱為計算公式，稱為插值型數(shù)值積分公式插值型數(shù)值積分公式。n=1時的求積公式時的求積公式一、梯形一、梯形公式公式 10011010101( )d()()()( )d( ) ( )( ) ( ) d ( )( ).bkkakbabaf xxA f xA f xA f xL xxlx f alx f bxA f aA

5、f b 00111212 ( )dd() ( )dd()bbaabbaaxblxxxbaabxalxxxbaba 其其中中 2( )d( )( )T(f) (5.2)babaf xxf af b ab用用梯形梯形面積近似面積近似 這是用線性插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近這是用線性插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似計算公式，稱為似計算公式，稱為梯形數(shù)值積分公式梯形數(shù)值積分公式。幾何意義幾何意義11011101321212( ) ( )( )( )()(), ,! ( )( )d( )d( )()()d() ( ), (5.3) bbbaaafR xf xL xxxxxabExf xxL x

6、xfxxxxxbafab 截斷誤差：截斷誤差：已知線性插值的截斷誤差為已知線性插值的截斷誤差為 積分中值定理：積分中值定理： 連連續(xù)、不變號續(xù)、不變號( ) , ( ) , ( )( ) , ( ) , ( )xa bf xa bf x dxxa bf xa bf x dx b b a ab ba a對對(5.3)(5.3)可可作作如如下下的的幾幾何何解解釋釋：當當f f在在上上恒恒為為負負時時，在在上上為為凸凸，表表示示梯梯形形的的面面積積小小于于曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，此此時時（5.25.2）式式計計算算出出的的值值比比積積分分的的值值小小；當當f f在在上上恒恒為為正正時時，在在上

7、上為為凹凹，表表示示梯梯形形的的面面積積大大于于曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，此此時時（5.25.2）式式計計算算出出的的值值比比積積分分的的值值大大. .n=2時的求積公式時的求積公式 2001122020011220122( )d()()()()( )d( ) ()( ) ()( ) () d ( )( ).bkkakbbaaf x xA f xA f xA f xA f xL x xl x f xl x f xl x f xxabA f aA fA f b = =二、二、Simpson公式公式將將 a, b 二二 等分，等分節(jié)點等分，等分節(jié)點 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，

8、x2 = b 作為積分節(jié)點，構造二次作為積分節(jié)點，構造二次Lagrange插值多插值多項式項式L2(x)：00112221264616()/ )() ( )dd()()/ )() ( )d() ( )d().bbaababaxabxbAlxxxbaaababAlxxbaAlxxba 其其中中，2462( )d( )d( )( ) () (5.4)bbaabaabf xxLxxf aff bS f 這是用二次插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似這是用二次插值函數(shù)代替被積函數(shù)導出的定積分近似計算公式，稱為計算公式，稱為辛普森數(shù)值積分公式辛普森數(shù)值積分公式。SimpsonSimpson積分公式的截斷

9、誤差（定理）：積分公式的截斷誤差（定理）：3220122231316( )( )( )( )( )( )()()(), !, ( )( )d( )d( )()()()d (5.5) bbaabafRxf xLxxxxxxxabExf xxLxxfxaxxxbx 542880( )()( ), bafab 積分中值定理：積分中值定理： 連續(xù)、不變號連續(xù)、不變號復合求積法復合求積法 通常把積分區(qū)間等分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)通常把積分區(qū)間等分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上用低階的求積公式（如梯形積分公式間上用低階的求積公式（如梯形積分公式Simpson積分公式），對所有的子區(qū)間求和即得整個區(qū)間積

10、分公式），對所有的子區(qū)間求和即得整個區(qū)間a, b上的積分公式，這種方法稱為上的積分公式，這種方法稱為復合求積法復合求積法。5.2 復合復合求積求積公式公式5.2.1 5.2.1 復化梯形積分復化梯形積分 將將a, b分成若干小區(qū)間，在每個區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個區(qū)間xi, xi+1上用上用梯形積分公式，再將這些小區(qū)間上的數(shù)值積分累加梯形積分公式，再將這些小區(qū)間上的數(shù)值積分累加起來，就得到區(qū)間起來，就得到區(qū)間a, b上的數(shù)值積分。這種方法稱上的數(shù)值積分。這種方法稱為為復化梯形積分復化梯形積分。 計算公式計算公式 將將a, b n等分等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi

11、= a + ih, i = 0,1,2,n, 110110311110121102212111222( )d( )d ()()()()() ()()() ( )()()iinbxaxiniinkniiiiiiiinniiiif xxf xxhf xf xEfxxxxf xf xfhf af xf x 積積分分的的性性質質1301212( )()niihf bf 1122( )( )()( )nnkkhTff af xf b 復化梯形復化梯形公式的幾何意義公式的幾何意義小梯形小梯形面積面積之和之和近似近似復化梯形復化梯形公式公式復化梯形復化梯形公式的余項公式的余項31012()()()nnnkk

12、hRfITff 設設2( ) , f xCa b 101min()()()nkaxbaxbkmfxfmax fxMn 由由介值介值定理定理 , a b 101( )()nkkffn 余項估計式余項估計式133032121212()()()()( )() ( ), , nnniihhEfI fTffnfbafa bn 計算公式計算公式 將將a, b 2m 等分等分, m 為積分子區(qū)間數(shù)，記為積分子區(qū)間數(shù)，記 n = 2m，n+1為節(jié)點總數(shù)為節(jié)點總數(shù) ，h = xi+1- - xi= (b - -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,n, 2221012212201121201

13、442464231802( )()( )d( )d ()()()() ( )()()( )( ) iimbxaximiiinimmiiiiI ff xxf xxhf xf xf xEfhf af xf xf bbahf 5.2.2 復化復化Simpson公式：公式：復化復化Simpson公式公式復化復化Simpson公式的幾何意義公式的幾何意義小拋物小拋物面積面積之和之和近似近似1121201423()( )()()( ) ()mmniiiihSff af xf xf b 5.55.5系數(shù)首尾為系數(shù)首尾為1，奇數(shù)點為，奇數(shù)點為4，偶數(shù)點為，偶數(shù)點為2復化復化Simpson公式的余項公式的余項4

14、1401802( )()()()nnniihhEfISff 設設4( )( ) , f xCa b 144401( )( )( )min( )()( )nka x ba x bkmfxfmax fxMn 由由介值介值定理定理 , a b 14401( )( )( )()niiffn 441802( )()()( )nnbahEfISff 余項估計式余項估計式例：例： 分別利用復化分別利用復化梯形梯形公式、公式、復化復化Simpson公式公式計算計算積分積分 的近似值，要求按復化的近似值，要求按復化Simpson公公式計算時誤差不超過式計算時誤差不超過 。10sin xIdxx 60 5 10.

15、 解：解： 首先來確定首先來確定步長步長1bahnn 444418021802( )()( )nbahbahRffM 復化復化Simpson公式的余項：公式的余項：44( )max( )a x bMfx 其中其中4M本題本題 的求法：的求法：sin( )xf xx 10costxdt 11002( )sincos()fxttxdtttxdt 11220022( )coscos()fxttxdtttxdt 由由歸納法歸納法知知102( )( )cos()kkkfxttxdt 1100121( )( )cos()kkkkfxttxdtt dtk 415M 4441111180 2900 2()nR

16、fMnn 60 5 10. 4n 解不等式得解不等式得將區(qū)間將區(qū)間 8等分，分別采用復化等分，分別采用復化Simpson、梯形梯形公式公式0 1 , 0 1/8 1/4 3/8 10.9973980.9896880.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x復化復化梯形梯形公式公式( (n=8) )復化復化Simpson公式公式( (n=4) )81113022 8848153712848( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )T ffffffffff 18h 0 9456

17、92. 411357046 4888811321424( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Sffffffffff 0 9460832. 14h 0 946083070367.代數(shù)精度代數(shù)精度的判別方的判別方法法1Def 如果求積公式如果求積公式對一切不高于對一切不高于m次的多項式都次的多項式都恒成立恒成立，而對于某個，而對于某個m+1次多項式次多項式不能精確成立不能精確成立，則稱該求積公式具有，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。0()()nnkkkIfA f x 0()()nnkkkIfA f x 定理定理 求積公式求積公式具有次具有次m代數(shù)精度的充要條件是代

18、數(shù)精度的充要條件是 為為 時求積公式時求積公式精確成立精確成立，而，而 為為 時求積公式時求積公式不能成為等式。不能成為等式。( )f x231mxxxx、 、( )f x1mx 5.3 數(shù)值積分公式的代數(shù)精度和數(shù)值積分公式的代數(shù)精度和 Gauss求積求積公式公式21 ( )( )badxf af b b ba af f例例 求求證證梯梯形形公公式式具具有有一一階階(x)(x)代代數(shù)數(shù)精精度度。1( )f xx 證證首首先先驗驗證證、 時時，梯梯形形公公式式準準確確成成立立。11 122 ( )( ),bababadxbaf af b 22222 ( )( ),babababaxdxabf a

19、f b 2( )f xx 再再驗驗證證時時，梯梯形形公公式式不不成成立立。33222222 ( )( ),babababax dxabf af b 11( )f xxa x 0 0由由于于對對于于、 ，梯梯形形公公式式準準確確成成立立，而而任任一一一一次次多多項項式式可可表表示示成成a a的的形形式式，所所以以梯梯形形公公式式具具有有一一階階代代數(shù)數(shù)精精度度。例例2 見見p73的例的例5.5 Gauss求積求積公式公式一、一、 Gauss積分問題的提法積分問題的提法 前述前述的的求積公式中求積節(jié)點是取求積公式中求積節(jié)點是取等距節(jié)點等距節(jié)點，求積系數(shù)，求積系數(shù)計算方便，但計算方便，但代數(shù)精度代數(shù)精度要受到限制；要受到限制； 為了提高為了提高代數(shù)精度代數(shù)精度，需要適當選擇求積節(jié)點，需要適當選擇求積節(jié)點: :當求積節(jié)點個數(shù)確定后，不管這些求積節(jié)點如何選當求積節(jié)點個數(shù)確定后，不管這些求積