第十四章虛位移原理

1、 靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。對(duì)于一般的靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。對(duì)于一般的非自由質(zhì)點(diǎn)（包括可變形的剛體系統(tǒng)）而言，其平衡條件比剛非自由質(zhì)點(diǎn)（包括可變形的剛體系統(tǒng)）而言，其平衡條件比剛體復(fù)雜。體復(fù)雜。 例如，以無(wú)重剛體連接的兩質(zhì)點(diǎn)在等值，反向，共線的兩例如，以無(wú)重剛體連接的兩質(zhì)點(diǎn)在等值，反向，共線的兩軸向拉力和壓力的作用下均可平衡，但是若將剛桿換為柔繩，軸向拉力和壓力的作用下均可平衡，但是若將剛桿換為柔繩，則在軸向壓力下，雖然力系也滿足平衡條件，但此兩質(zhì)點(diǎn)所組則在軸向壓力下，雖然力系也滿足平衡條件，但此兩質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)卻不能平衡。成的系統(tǒng)卻不能平衡。 由此可見，剛體

2、平衡必要充分條件對(duì)一般的非自由質(zhì)點(diǎn)系由此可見，剛體平衡必要充分條件對(duì)一般的非自由質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)就不是充分的。因此，不能只依靠剛體平衡必要充分條統(tǒng)來(lái)說(shuō)就不是充分的。因此，不能只依靠剛體平衡必要充分條件去解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。件去解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題。 本章介紹本章介紹虛位移原理虛位移原理，又稱為，又稱為分析靜力學(xué)分析靜力學(xué)。 虛位移原理是非自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的一般規(guī)律，它給出了任虛位移原理是非自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的一般規(guī)律，它給出了任一非作自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件，是解答平衡問(wèn)題一非作自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件，是解答平衡問(wèn)題的最一般的原理。的最一般的原理。 剛體在力的作用下不變形，在

3、剛體靜力學(xué)中僅從作用于剛剛體在力的作用下不變形，在剛體靜力學(xué)中僅從作用于剛體上的力系的簡(jiǎn)化結(jié)果就可得出剛體的平衡條件。體上的力系的簡(jiǎn)化結(jié)果就可得出剛體的平衡條件。 由于非自由質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置可以改變，并且由于非自由質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置可以改變，并且相對(duì)位置的改變又因約束的存在而受到某些限制，問(wèn)題較為復(fù)相對(duì)位置的改變又因約束的存在而受到某些限制，問(wèn)題較為復(fù)雜。必須首先研究約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，以及質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)雜。必須首先研究約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響，以及質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)所可能發(fā)生的位移等。點(diǎn)所可能發(fā)生的位移等。 約束與約束方程約束與約束方程, ,自由度與廣義坐標(biāo)自由度與廣義坐標(biāo) 在靜力

4、學(xué)中，曾經(jīng)將限制某物體運(yùn)動(dòng)的其它物體稱為在靜力學(xué)中，曾經(jīng)將限制某物體運(yùn)動(dòng)的其它物體稱為約束，約束對(duì)被約束物體的作用表現(xiàn)為約束反力。約束，約束對(duì)被約束物體的作用表現(xiàn)為約束反力。 現(xiàn)在從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看約束的作用，給約束下一廣義現(xiàn)在從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看約束的作用，給約束下一廣義的的： 如一非自由質(zhì)點(diǎn)系的位置和速度受到某些預(yù)定條件的如一非自由質(zhì)點(diǎn)系的位置和速度受到某些預(yù)定條件的限制，這種限制條件稱為約束。限制，這種限制條件稱為約束。例如，車輪限制在直線軌跡上作無(wú)滑動(dòng)例如，車輪限制在直線軌跡上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，這時(shí)約束就表現(xiàn)為限制車輪中的滾動(dòng)，這時(shí)約束就表現(xiàn)為限制車輪中心到軌跡的距離不變，車輪上每瞬時(shí)與心

5、到軌跡的距離不變，車輪上每瞬時(shí)與軌跡接觸點(diǎn)（瞬心）的速度為軌跡接觸點(diǎn)（瞬心）的速度為 0 0。該限。該限制條件就是約束。制條件就是約束。 o yc(x ,y )cc rvc x 約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的限制以通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的限制以通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和速度的數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，這方程稱為約束方程。和速度的數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，這方程稱為約束方程。（1 1）按約束的作用分：）按約束的作用分： 幾何約束幾何約束只限制質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系幾何位置的只限制質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系幾何位置的 約束；約束； 運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束能限制質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)速度的約束；能限制質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)速度的約束； 即質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐

6、標(biāo)在約束的限制即質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)在約束的限制條件下所必須滿足的條件。條件下所必須滿足的條件。 例如圖示小球借剛例如圖示小球借剛桿而懸于桿而懸于 o o，小球運(yùn)動(dòng)限，小球運(yùn)動(dòng)限制在圖示鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)制在圖示鉛垂平面內(nèi)繞點(diǎn)作以桿長(zhǎng)作以桿長(zhǎng)L L為半徑的圓周為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 yom(x,y)xL則其約束方程為確定則其約束方程為確定M M點(diǎn)位置的方程：點(diǎn)位置的方程：222lyxM M點(diǎn)在任何位置都滿足這一方程點(diǎn)在任何位置都滿足這一方程。 又如：圖示曲柄又如：圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)，可簡(jiǎn)化連桿機(jī)構(gòu)，可簡(jiǎn)化為由曲柄銷為由曲柄銷 A A和滑和滑塊塊 B B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系。軸承

7、成的質(zhì)點(diǎn)系。軸承，剛性桿，剛性桿 A A和和ABAB以以及滑道形成了對(duì)質(zhì)及滑道形成了對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的約束，點(diǎn)系的約束，yA(x ,y )oLxB(x ,y )AArBB其相應(yīng)的約束方程為：其相應(yīng)的約束方程為： 0)()(222222BABABAAylyyxxryx(b) (b) 運(yùn)動(dòng)約束的約束方程：運(yùn)動(dòng)約束的約束方程： 約束方程中含有質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)的速度稱為運(yùn)動(dòng)約束方程中含有質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)的速度稱為運(yùn)動(dòng)約束。例如：約束。例如： 沿直線軌道沿直線軌道只滾不滑的車輪只滾不滑的車輪 o y xc rcvc(x ,y )c約束的限制條件為：約束的限制條件為：限制輪緣上與地面相限制輪緣上與地面相接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)I I

8、的速度為的速度為0 0，其約束方程為：其約束方程為： 0rxrycc為輪半徑為輪子的角速度，的速度，為輪心其中rCxc 完整約束完整約束可積分的運(yùn)動(dòng)約束和幾何約束可積分的運(yùn)動(dòng)約束和幾何約束 非完整約束非完整約束不可積分的運(yùn)動(dòng)約束不可積分的運(yùn)動(dòng)約束 如以下的運(yùn)動(dòng)方程中：如以下的運(yùn)動(dòng)方程中：為積分常數(shù)）為積分常數(shù)）積分可得：積分可得：CCrxrxcc(, 0 式中雖然有對(duì)時(shí)間式中雖然有對(duì)時(shí)間t t的微分項(xiàng)，但可以積分的微分項(xiàng)，但可以積分為有限形式。為有限形式。 定常約束定常約束質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件 不隨時(shí)間變化的約束。不隨時(shí)間變化的約束。 非定常約束非定常約束凡

9、約束條件隨時(shí)間變化的約束。凡約束條件隨時(shí)間變化的約束。 定常約束，即質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件定常約束，即質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)其運(yùn)動(dòng)的限制條件不隨時(shí)間變化的約束稱為定常約束，定常約束的約不隨時(shí)間變化的約束稱為定常約束，定常約束的約束方程中不含時(shí)間變量，如前面幾個(gè)例子中的約束束方程中不含時(shí)間變量，如前面幾個(gè)例子中的約束均為定常約束均為定常約束 。 tayOsin 非定常約束的約束方程中顯含時(shí)間變量非定常約束的約束方程中顯含時(shí)間變量 t,t,例如圖示擺，其懸掛點(diǎn)例如圖示擺，其懸掛點(diǎn)oo沿鉛垂方向按沿鉛垂方向按 規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)LM(x,y)yxxooyo,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M M的約束方程為：的約束方程為： 22

10、2sinltayx式中顯含時(shí)間式中顯含時(shí)間t t，屬于非定常約束。，屬于非定常約束。 雙側(cè)約束雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）（固執(zhí)約束）約束方程是等式的約束方程是等式的（同時(shí)限制質(zhì)點(diǎn)某方向及相反方向運(yùn)動(dòng)的約束）（同時(shí)限制質(zhì)點(diǎn)某方向及相反方向運(yùn)動(dòng)的約束）單側(cè)約束單側(cè)約束（非固執(zhí)單側(cè)約束）（非固執(zhí)單側(cè)約束）約束方程為約束方程為不等式的。不等式的。（只能限制質(zhì)點(diǎn)某方向的運(yùn)動(dòng)，不能限制其相（只能限制質(zhì)點(diǎn)某方向的運(yùn)動(dòng)，不能限制其相反方向的運(yùn)動(dòng)）反方向的運(yùn)動(dòng)）本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束； 在一般情況下，若由在一般情況下，若由n n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受到個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)

11、點(diǎn)系，受到S S個(gè)個(gè)定常完整約束的限制，則其約束方程為：定常完整約束的限制，則其約束方程為： Szyxzyxzyxfnnn.3 , 2 , , 10,;.,;,222111 此即確定質(zhì)點(diǎn)系位置的此即確定質(zhì)點(diǎn)系位置的3n3n個(gè)坐標(biāo)所應(yīng)滿足的個(gè)坐標(biāo)所應(yīng)滿足的S S個(gè)關(guān)系式。個(gè)關(guān)系式。由此可見，如果在由此可見，如果在3n3n個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo)x xi i、y yi i、z zi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)中知道中知道了了3n-S3n-S個(gè)彼此獨(dú)立的坐標(biāo)，并利用此個(gè)彼此獨(dú)立的坐標(biāo)，并利用此S S個(gè)約束方程，即可解個(gè)約束方程，即可解出其余出其余S S個(gè)未知的坐標(biāo)，于是，便可完全確定質(zhì)點(diǎn)系的位置。個(gè)

12、未知的坐標(biāo)，于是，便可完全確定質(zhì)點(diǎn)系的位置。 確定具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為確定具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為該質(zhì)點(diǎn)系的該質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)自由度數(shù)。以。以 k k表示自由度數(shù)，則上述具有表示自由度數(shù)，則上述具有S S個(gè)完個(gè)完整約束并由整約束并由n n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)：個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)： k k3n3nS , S , 具有具有k k個(gè)自由度個(gè)自由度 （平面（平面k k2n2nS S ） 例如：雙擺的約束方程為：例如：雙擺的約束方程為： B(x ,y )yo12L2A(x ,y )L1xAABB22222122lyyxxlyxABABAA約束

13、為完整約束，所以在約束為完整約束，所以在確定雙擺位置的確定雙擺位置的 4 4個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo)x xA A,y,yA A,x,xB B,y,yB B中只有中只有 2 2 個(gè)是個(gè)是獨(dú)立的（如獨(dú)立的（如x xA A, y, yB B），因此，雙擺的自由度為：），因此，雙擺的自由度為：k=2n-2=2k=2n-2=2 事實(shí)上，該例中只要確定事實(shí)上，該例中只要確定1 1、2 2，那么，那么A.BA.B的位置坐標(biāo)的位置坐標(biāo)也就完全確定了，位置坐標(biāo)可表示為：也就完全確定了，位置坐標(biāo)可表示為： 22112211111coscossinsincossinllyllxlylxBBAA 1 1、2 2起到了確定該質(zhì)點(diǎn)位

14、置的作用，稱為廣義坐標(biāo)。起到了確定該質(zhì)點(diǎn)位置的作用，稱為廣義坐標(biāo)。 B(x ,y )yo12L2A(x ,y )L1xAABB 凡能借以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量稱為凡能借以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量稱為質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。 廣義坐標(biāo)可以是直角坐標(biāo)廣義坐標(biāo)可以是直角坐標(biāo)x x，y y，z z，球坐標(biāo)或，球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)，弧坐標(biāo)，轉(zhuǎn)角等，也可以是其它的任何柱坐標(biāo)，弧坐標(biāo)，轉(zhuǎn)角等，也可以是其它的任何確定質(zhì)點(diǎn)系位置的量，甚至還可以是壓強(qiáng)和體積。確定質(zhì)點(diǎn)系位置的量，甚至還可以是壓強(qiáng)和體積。 而且，對(duì)于完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，其而且，對(duì)于完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度數(shù)自由度數(shù)與廣義坐標(biāo)數(shù)相等與廣義

15、坐標(biāo)數(shù)相等。如前例中雙擺，自由度數(shù)為。如前例中雙擺，自由度數(shù)為2 2，廣義坐標(biāo)亦為，廣義坐標(biāo)亦為2 2。 一般來(lái)說(shuō)，由一般來(lái)說(shuō)，由n n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的并具有定常的個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的并具有定常的完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，若自由度數(shù)為完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，若自由度數(shù)為k k，則可選取，則可選取k k個(gè)獨(dú)立的參變量個(gè)獨(dú)立的參變量q q1 1,q,q2 2,q,qk k作為其廣義坐標(biāo)。作為其廣義坐標(biāo)。 此即用廣義坐標(biāo)表示的此即用廣義坐標(biāo)表示的n n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置的一般表達(dá)式，其中隱含了約束條件。其中隱含了約束條件。 kkiikiikiiqqqqqqzzqqqyyqqqxx.,.,.,.,2121212

16、1i ii ir rr r即：即：于是有：于是有：在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，所可能在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在約束允許的條件下，所可能發(fā)生的任何的微小位移稱為質(zhì)點(diǎn)的虛位移。發(fā)生的任何的微小位移稱為質(zhì)點(diǎn)的虛位移。xzwyrs如圖所示的質(zhì)點(diǎn)，如圖所示的質(zhì)點(diǎn)，受一曲面約束，質(zhì)點(diǎn)在此曲面受一曲面約束，質(zhì)點(diǎn)在此曲面上運(yùn)動(dòng)，在法線上運(yùn)動(dòng)，在法線w w方向上，約束方向上，約束質(zhì)點(diǎn)限制運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)限制運(yùn)動(dòng)。 約束所能允許的微小位移約束所能允許的微小位移（ 虛位移）只能沿切平面。虛位移）只能沿切平面。 （1 1）虛位移和實(shí)位移都是約束所允許的位移。）虛位移和實(shí)位移都是約束所允許的位移。（2 2）在定常約束條件下，實(shí)位

17、移是若干虛位移中的）在定常約束條件下，實(shí)位移是若干虛位移中的一個(gè)。一個(gè)。質(zhì)點(diǎn)在一定的時(shí)間內(nèi)所完成的真實(shí)位移，可以是質(zhì)點(diǎn)在一定的時(shí)間內(nèi)所完成的真實(shí)位移，可以是有限量，也可以是無(wú)限量的，決定于物體的主動(dòng)力和約束條有限量，也可以是無(wú)限量的，決定于物體的主動(dòng)力和約束條件，初始條件（初速度，初位移等）件，初始條件（初速度，初位移等）不受時(shí)間限制，與力的作用無(wú)關(guān)，決定于約束的不受時(shí)間限制，與力的作用無(wú)關(guān)，決定于約束的幾何位置，只要約束允許，其虛位移即可以沿不同的方向，幾何位置，只要約束允許，其虛位移即可以沿不同的方向，但只能是微小量。但只能是微小量。 （1 1）虛位移是假想的，實(shí)位移是真實(shí)的。）虛位移是假

18、想的，實(shí)位移是真實(shí)的。（2 2）虛位移可以朝約束允許的任意方向運(yùn)動(dòng)，實(shí)位）虛位移可以朝約束允許的任意方向運(yùn)動(dòng)，實(shí)位移只有一運(yùn)動(dòng)方向。移只有一運(yùn)動(dòng)方向。（3 3）靜止時(shí)，可以有虛位移，而無(wú)實(shí)位移。）靜止時(shí)，可以有虛位移，而無(wú)實(shí)位移。（4 4）實(shí)位移可以是微小值實(shí)位移可以是微小值dr,也可能是有限值也可能是有限值r，虛位移只能是虛位移只能是r。（5 5）完成實(shí)位移需要時(shí)間，而虛位移不同的瞬時(shí)處）完成實(shí)位移需要時(shí)間，而虛位移不同的瞬時(shí)處于不同位置就有不同的虛位移。于不同位置就有不同的虛位移。BoxyrArAdrArBArB例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)：例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)： 如果如果方向確定了，方向確定了，A

19、A點(diǎn)及點(diǎn)及B B 點(diǎn)的實(shí)際位移方向就決定于點(diǎn)的實(shí)際位移方向就決定于的轉(zhuǎn)向。而虛位移則不論的轉(zhuǎn)向。而虛位移則不論的方向如何，只要是約束允許的的方向如何，只要是約束允許的即可隨意假設(shè)。符號(hào)區(qū)別：即可隨意假設(shè)。符號(hào)區(qū)別： zyxsrdzdydxddsdr,虛位移：虛位移：實(shí)位移：實(shí)位移： 定常約束情況下，實(shí)位移是所有虛位移中的一個(gè)。對(duì)于定常約束情況下，實(shí)位移是所有虛位移中的一個(gè)。對(duì)于非定常約束，虛位移指某一個(gè)瞬時(shí)將時(shí)間固定，約束所能允非定常約束，虛位移指某一個(gè)瞬時(shí)將時(shí)間固定，約束所能允許的微小位移。而實(shí)位移是不能固定時(shí)間的。許的微小位移。而實(shí)位移是不能固定時(shí)間的。 幾何法：幾何法： 非自由質(zhì)點(diǎn)系在中

20、各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)應(yīng)位置必須非自由質(zhì)點(diǎn)系在中各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)應(yīng)位置必須滿足相應(yīng)的約束條件，因而在各點(diǎn)虛位移之間就滿足相應(yīng)的約束條件，因而在各點(diǎn)虛位移之間就存在著一定的關(guān)系。存在著一定的關(guān)系。 對(duì)于剛體或剛體系統(tǒng)而言，各點(diǎn)虛位移之間對(duì)于剛體或剛體系統(tǒng)而言，各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)各點(diǎn)速度之間的關(guān)系相同。的關(guān)系與該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)各點(diǎn)速度之間的關(guān)系相同。如上述曲柄連桿機(jī)構(gòu)：若給如上述曲柄連桿機(jī)構(gòu)：若給A點(diǎn)虛位移點(diǎn)虛位移rA，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角為：為： rA r。曲柄上各點(diǎn)的虛位移與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各點(diǎn)的速度一樣求法，曲柄上各點(diǎn)的虛位移與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各點(diǎn)的速度一樣求法，為到轉(zhuǎn)軸的距離為到轉(zhuǎn)軸的距離。同

21、理，由于連桿同理，由于連桿AB的限制，的限制，A,B兩點(diǎn)間的距離不能改變，兩點(diǎn)間的距離不能改變，故可以認(rèn)為故可以認(rèn)為B點(diǎn)與點(diǎn)與rA 相應(yīng)相應(yīng)的虛位移的虛位移rB是由于連桿是由于連桿AB繞瞬心繞瞬心I轉(zhuǎn)過(guò)一虛轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)過(guò)一虛轉(zhuǎn)角I 而得到的，且：而得到的，且： AIrAIyCIrALorAIIBxrB-9090-oo從而得到從而得到B B點(diǎn)的虛位移點(diǎn)的虛位移r rB B 為：為： AAIBrrAIBIBIrcos)sin( 顯然，顯然，A,BA,B兩點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與速度關(guān)系完全相同。兩點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系與速度關(guān)系完全相同。對(duì)于作平面運(yùn)動(dòng)的對(duì)于作平面運(yùn)動(dòng)的A,BA,B桿上其余各點(diǎn)的虛位移可以同樣求

22、得。桿上其余各點(diǎn)的虛位移可以同樣求得。（用速度瞬心法）（用速度瞬心法） oBArIC0-90L90-0yrArBIxIcos)sin(coscoscos)90sin(cos)sin()90sin()sin(AIBIlAIlAIlBIlBIoooBArIC0-90L90-0yrArBIxI 解析法是將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)以廣義坐標(biāo)表示，解析法是將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)以廣義坐標(biāo)表示，對(duì)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)之和表示其虛位移。對(duì)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)之和表示其虛位移。 如前述的復(fù)擺，自由度為如前述的復(fù)擺，自由度為2(k=2n-2=2),2(k=2n-2=2),約束方程為約束方程為2 2，

23、這，這時(shí)，只要選擇了兩個(gè)廣義坐標(biāo)時(shí)，只要選擇了兩個(gè)廣義坐標(biāo)1 1，2 2，A,BA,B兩質(zhì)點(diǎn)的位置即兩質(zhì)點(diǎn)的位置即可完全確定?？赏耆_定。2y1oxA(x ,y )B(x ,y )AABBll1211111221122sincossinsincoscosAABBxlylxllyll兩質(zhì)點(diǎn)虛A,B沿x,y方向的位移可以求得：位位移移。兩兩質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)用用坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示的的虛虛即即求求得得BAllyyyllxxxlyyylxxxBBBBBBAAAAAA,sinsincoscossincos22211122112221112211111221111122112y1oxA(x ,y )B(x ,y )A

24、ABBll1211111221122sincossinsincoscosAABBxlylxllyll 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，并且由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，并且由S S個(gè)完整約束，自由度個(gè)完整約束，自由度k k3n3nS S，選擇，選擇k k 個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo)q q1 1，q q2 2，q qk k以表示質(zhì)點(diǎn)系中以表示質(zhì)點(diǎn)系中k k個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。 若給質(zhì)點(diǎn)系以任意的虛位移，則各廣義坐標(biāo)均應(yīng)有相應(yīng)的若給質(zhì)點(diǎn)系以任意的虛位移，則各廣義坐標(biāo)均應(yīng)有相應(yīng)的微小改變（稱為廣義虛位移），并分別以微小改變（稱為廣義虛位移），并分別以q q1 1，q q2 2，q qk k表示。質(zhì)點(diǎn)系中任一

25、點(diǎn)表示。質(zhì)點(diǎn)系中任一點(diǎn)M Mi i的任一坐標(biāo)，如的任一坐標(biāo)，如x xi i 就有相應(yīng)的微小改就有相應(yīng)的微小改變量變量x xi i，則，則M Mi i 以廣義坐標(biāo)表示的位置坐標(biāo)為：以廣義坐標(biāo)表示的位置坐標(biāo)為：iii1122kkxxxqq ,qq ,.,qq 利用多元函數(shù)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上的微量，利用多元函數(shù)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上的微量，則有：則有： kki2i11ik21iiqqx.qxqqxq,.,q,qxxxiiii1k12kiiii1k12kiiii1k12kxxxxq.qqqqyyyyq.qqqqzzzzq.qqqq推得到解析法求虛位移的公式推得到解析法求虛位移的公式

26、kki2i11ik21iiqqx.qxqqxq,.,q,qxxx其表達(dá)式為其表達(dá)式為 01niiNirF 約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作元功約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作元功為為0 0的約束稱為理想約束。的約束稱為理想約束。 換言之：理想約束的換言之：理想約束的約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上不作功。約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上不作功。 （1 1）光滑支承面約束：）光滑支承面約束： rNF0r rF FF Fr rNNW(2) (2) 中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動(dòng)鉸等）中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動(dòng)鉸等）NNrFF F FN N和和F FN N為其兩桿反力，為其兩桿反力，且且

27、有有 F FN NF FN N ，二力的，二力的作用點(diǎn)在作用點(diǎn)在O O點(diǎn)的虛位移所作點(diǎn)的虛位移所作的元功之和為的元功之和為0 0，即：，即： 0 r rF Fr rr rF FNNNNFF(3)(3)連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點(diǎn)連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點(diǎn) A,B兩質(zhì)點(diǎn)以無(wú)重剛體相連，所受的約束反力兩質(zhì)點(diǎn)以無(wú)重剛體相連，所受的約束反力分別為：分別為： rNABNBrFFA0rFrFrrBA,FFFFBNBANAABBABANBNANBNA即：故兩點(diǎn)距離不能改變，和(4)(4)連接兩點(diǎn)不可伸長(zhǎng)的的柔性約束連接兩點(diǎn)不可伸長(zhǎng)的的柔性約束 兩質(zhì)點(diǎn)兩質(zhì)點(diǎn)A A和和B B以不可伸長(zhǎng)且跨過(guò)滑輪的受拉柔繩以不可伸長(zhǎng)且

28、跨過(guò)滑輪的受拉柔繩相連，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力分別為：相連，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力分別為： FTFATBABrr0rFrFABFFFFBTBATATBTATBTA：所作的功之和為所作的功之和為0 0，即，即約束反力在虛位移上約束反力在虛位移上從而，可得出：從而，可得出：繩上的投影應(yīng)相等，繩上的投影應(yīng)相等，兩點(diǎn)的虛位移在兩點(diǎn)的虛位移在繩子不可伸長(zhǎng)，繩子不可伸長(zhǎng)，（大小相等）（大小相等），且有：且有：與與1 1 虛位移原理：虛位移原理： 具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置的具有定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置的必要充分條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力在質(zhì)必要充分條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)處于該位

29、置時(shí)的任何虛位移上所作的元功之和為點(diǎn)處于該位置時(shí)的任何虛位移上所作的元功之和為0 0。 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 0rFin1ii注：注：“處于平衡位置處于平衡位置”是指質(zhì)點(diǎn)系在該位置所受是指質(zhì)點(diǎn)系在該位置所受的主動(dòng)力與約束反力相平衡，從而質(zhì)點(diǎn)系的加速的主動(dòng)力與約束反力相平衡，從而質(zhì)點(diǎn)系的加速度為度為0 0，如速度亦為，如速度亦為0 0，則質(zhì)點(diǎn)系靜止。，則質(zhì)點(diǎn)系靜止。 如圖示單擺：如圖示單擺：在在OAOA位置，位置， 平衡平衡與與g gF FmTyAM oxT1TmgmgFF OAOA為平衡位置。為平衡位置。如采用直角坐標(biāo)，如采用直角坐標(biāo)，則得虛位移原理則得虛位移原理的解析表達(dá)式為：的

30、解析表達(dá)式為： 01niiiiiiizzyyxx2 2 原理的證明：原理的證明： （1 1）必要性）必要性 即要證明：若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡即要證明：若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，上式必然成立。位置，上式必然成立。 若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，其中任一質(zhì)點(diǎn)所受的若質(zhì)點(diǎn)系處于平衡位置，其中任一質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力主動(dòng)力F Fi i與約束反力與約束反力F FNiNi互成平衡，即有：互成平衡，即有： 0FFiNi主動(dòng)力與約束反力在質(zhì)點(diǎn)的虛位移上作的元功：主動(dòng)力與約束反力在質(zhì)點(diǎn)的虛位移上作的元功： 對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫一個(gè)該方程（即認(rèn)為對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫一個(gè)該方程（即認(rèn)為i i1 1，2 2，n n）, ,然后連加起來(lái)得：然后連加起來(lái)

31、得： 0rFFiiNi)(0rFFn1iiiNi)(必要性得證,故得：,理想約束，有：又0rFrFin1iiiiN（2 2）充分性：即要證明若）充分性：即要證明若 成立，成立，質(zhì)點(diǎn)必平衡。質(zhì)點(diǎn)必平衡。采用反證法，設(shè)質(zhì)點(diǎn)不平衡，有采用反證法，設(shè)質(zhì)點(diǎn)不平衡，有 成立，那么質(zhì)點(diǎn)系從靜止開始運(yùn)動(dòng)，并在微元時(shí)間成立，那么質(zhì)點(diǎn)系從靜止開始運(yùn)動(dòng)，并在微元時(shí)間內(nèi)發(fā)生微小實(shí)位移，則有微小動(dòng)能：內(nèi)發(fā)生微小實(shí)位移，則有微小動(dòng)能： 0)(NFF01niii ir rF F 0) 1 ()()21(12是理想約束，是理想約束，jNjjNjmjjjjvmddTr rF Fr rF FF F211:()()(2)200mk

32、kkNkkkjjknmdTdm vvv設(shè)有個(gè)質(zhì)點(diǎn)不動(dòng)，即而，F(xiàn)FrFFr充分性得證。必有質(zhì)點(diǎn)系處于平衡，要上式成立，必有與原題假設(shè)不和，且則質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能：式相加式和0, 0:, 000,)2() 1 (avdTiiir rF Fr rF F3 3 討論：討論：（1 1）如果質(zhì)點(diǎn)系有摩擦力和彈性力，則將其看作）如果質(zhì)點(diǎn)系有摩擦力和彈性力，則將其看作 主動(dòng)力，同樣應(yīng)用虛位移原理；主動(dòng)力，同樣應(yīng)用虛位移原理；（2 2）如質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力包括有主動(dòng)力矩，那么相）如質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力包括有主動(dòng)力矩，那么相 應(yīng)的虛位移應(yīng)為虛轉(zhuǎn)角。應(yīng)的虛位移應(yīng)為虛轉(zhuǎn)角。4 4 虛位移原理的應(yīng)用虛位移原理的應(yīng)用（1 1）利用原理求

33、物體系統(tǒng)平衡時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)間的位置；）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)間的位置；（2 2）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，未知的約束力。）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時(shí)，未知的約束力。 例題例題1 1 在曲柄式壓榨機(jī)在曲柄式壓榨機(jī)OABOAB的中間銷釘?shù)闹虚g銷釘A A上作用一上作用一 水平力水平力F F，此力位于，此力位于OABOAB平面內(nèi)，如平面內(nèi)，如AOBlABOA 求物體求物體M M所受的壓力。所受的壓力。設(shè)設(shè)O O為光滑鉸鏈，壓板為光滑鉸鏈，壓板D D與鉛垂接觸面間為光滑與鉛垂接觸面間為光滑接觸，且板和桿的質(zhì)量接觸，且板和桿的質(zhì)量均不計(jì)。均不計(jì)。 yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll解

34、：（解：（1 1）研究由桿）研究由桿OAOA，OBOB和壓板和壓板D D所組成的系統(tǒng)所組成的系統(tǒng) 的平衡的平衡 （2 2）建立圖示坐標(biāo)，受力分析）建立圖示坐標(biāo)，受力分析( (主動(dòng)力主動(dòng)力) ) （3 3）約束分析：）約束分析： 因光滑鉸且光滑接觸，因光滑鉸且光滑接觸，所以均是定常的理想約束，所以均是定常的理想約束，如對(duì)其建立約束方程，則如對(duì)其建立約束方程，則方程中不會(huì)顯含方程中不會(huì)顯含t t ，所以，所以可用虛位移解題?？捎锰撐灰平忸}。 yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll（4 4）求出虛位移：質(zhì)點(diǎn)系為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，其）求出虛位移：質(zhì)點(diǎn)系為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，其 自由度為自由度為

35、1 1，選，選為廣義坐標(biāo)，由解析法可得：為廣義坐標(biāo)，由解析法可得： cos2sinlylxBAsin2coslyylxxBBAAyB90MRBA90IOx2rrA00090FFll(5) (5) 應(yīng)用虛位移原應(yīng)用虛位移原理求解理求解 ctgFFlFFlRR20sin2cossin2coslylxBAyB90MRBA90IOx2rrA00090FFllsin2)90sin(2sin:0lrrAIBIrABIAAB瞬心，故有：瞬心，故有：桿的速度桿的速度點(diǎn)為點(diǎn)為又又如用幾何法求解：如用幾何法求解： 給一虛位移轉(zhuǎn)角給一虛位移轉(zhuǎn)角，則，則A點(diǎn)虛位移點(diǎn)虛位移lrA的大小為的大小為yB90MRBA90IO

36、x2rrA00090FFllctgFFlFlFRRDA20sin2cos:00:或或得：得：由虛位移原理由虛位移原理r rF FF Fr rF FR R與用幾何法求解的結(jié)果一樣。與用幾何法求解的結(jié)果一樣。 yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll例例2 2 圖示為一多跨靜定梁，試求支座圖示為一多跨靜定梁，試求支座B B的約束反力。的約束反力。 4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB解：為求支座解：為求支座B B的反力，應(yīng)撤去支座的反力，應(yīng)撤去支座B B而代之以相應(yīng)而代之以相應(yīng)的反力的反力R RB B，視

37、其為主動(dòng)力之一，于是系統(tǒng)可有微小，視其為主動(dòng)力之一，于是系統(tǒng)可有微小的移動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）給系統(tǒng)以虛位移，如圖（注意虛位的移動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）給系統(tǒng)以虛位移，如圖（注意虛位移應(yīng)是約束允許的，移應(yīng)是約束允許的，故不能破壞其約束）故不能破壞其約束），由虛位移原理得：，由虛位移原理得：443322114433221110rFrFrFrFrFrFrFrFrFrFBBRBBR4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB241181163346118113681121842244223321BEEBBBBBrrrrrrrrrrrrrrrrrr，各虛

38、位移的關(guān)系：各虛位移的關(guān)系：43212411161181121FFFFFBR：故得4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB例例 均質(zhì)桿均質(zhì)桿OAOA及及ABAB在在A A點(diǎn)用鉸鏈連接，并在點(diǎn)用鉸鏈連接，并在O O處用處用固定鉸支座支承，兩桿長(zhǎng)度分別為固定鉸支座支承，兩桿長(zhǎng)度分別為2a2a和和2b2b，重分別，重分別為為G G1 1 和和G G2 2，設(shè)在，設(shè)在B B點(diǎn)點(diǎn)施加一水平力施加一水平力F F，求，求系統(tǒng)平衡時(shí)兩桿與系統(tǒng)平衡時(shí)兩桿與鉛垂線的夾角鉛垂線的夾角和和。BADC0G12GFxy解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度

39、的系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)和和，建立坐標(biāo)如圖。采用解析法求虛位移：，建立坐標(biāo)如圖。采用解析法求虛位移：sin2sin2coscos2cosbaxbayayBDcBADC0G12GFxycos2cos2sinsin2sinbaxbayayBDc0cos2sincos2sin2sin0)cos2cos2()sinsin2()sin(22121）（）（bFbGaFaGaGbaFbaGaG整理得：由虛位移原理得：BADC0G12GFxy于是有：，相互獨(dú)立，并且：與由于：,000cos2sin0cos2sin2sin221bFbGaFaGaG0cos2sincos2s

40、in2sin221）（）（bFbGaFaGaG221G2Farctan,2GG2Farctan：解得BO1OAMF例：例： 機(jī)構(gòu)如圖，已知：機(jī)構(gòu)如圖，已知：OA=O1BL，O1BOO1，作用于，作用于OA上的力偶矩為上的力偶矩為M，試用虛位移原理求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)，試用虛位移原理求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)F力的大小。力的大小。ABFOO1MrrAerrrB解：解：A點(diǎn)的虛位移如圖所示，點(diǎn)的虛位移如圖所示，sinsinLrrAe1sineerro ALLLrLBoreBsin10BrFMLMF/4m3m3m 3m3m6m4mF1F32F4mM例例 圖示為一多跨靜定梁，試求圖示為一多跨靜定梁，試求

41、B B處約束反力。處約束反力。rMFBrr rr12BE32F3FF1解要求支座解要求支座B B處反力，處反力，應(yīng)將支座應(yīng)將支座B B除去，代之除去，代之以相應(yīng)的約束反力以相應(yīng)的約束反力F FB B，并將其視為主動(dòng)力之一。并將其視為主動(dòng)力之一。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選系統(tǒng)，選r rB B為獨(dú)立虛位為獨(dú)立虛位移。給移。給B B點(diǎn)一虛位移點(diǎn)一虛位移r rB B ，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示形狀。圖中圖中虛線所示形狀。圖中各主動(dòng)力作用點(diǎn)處的虛位各主動(dòng)力作用點(diǎn)處的虛位移分別用移分別用r r1 1、r r2 2 、r r3 3 及及表示。表示。1

42、24111,828BBrrrr33223 11116 816BBrrrrrr23111166696EBBBrrrrrrMFBrr rr12BE32F3FF1由虛位移原理有由虛位移原理有0332211MrFrFrFrFBB解得解得BBBBBrMrrFrrFrrFF332211MFFFFB9611161181121321從而有從而有kN801FkN602FkN/m10qq21FF2m3m3m2m1m4m例例5 圖示為一多跨靜定梁，試求圖示為一多跨靜定梁，試求A A端處約束反力偶矩及鉛垂反端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知力。已知q21FF2m3m3m2m1m4m解要求解要求A A端約束反力偶矩，端約

43、束反力偶矩，可將固定端支座變成固定鉸可將固定端支座變成固定鉸支座，用約束反力偶矩支座，用約束反力偶矩M MA A代之去掉的相應(yīng)約束，并視代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動(dòng)力之一。為主動(dòng)力之一。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選統(tǒng)，選為獨(dú)立虛位移，為獨(dú)立虛位移，給給ABAB梁一虛位移梁一虛位移，則系，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖虛線統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖虛線所示。所示。 M123F12Fqrrr圖中各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移分別用圖中各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移分別用 、 和和 表示。表示。由虛位移原理，得由虛位移原理，得M123F12Fqrrr1r2r3r0432211rqrFrFMA3121

44、24ArrrMFFq解得解得224336, 4236, 3321rrrmkN40084321qFFMA由圖知由圖知從而有從而有要求要求A A處鉛垂反力，可將固定端支座變成定向支座，用鉛垂處鉛垂反力，可將固定端支座變成定向支座，用鉛垂約束反力約束反力F FAYAY代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動(dòng)力。此時(shí)系統(tǒng)代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動(dòng)力。此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選變?yōu)橐粋€(gè)自由度系統(tǒng)，選r rA A為獨(dú)立虛位移，給為獨(dú)立虛位移，給ABAB梁梁A A處一處一虛位移虛位移r rA A，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示。，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示。FAFyF1q1A230432211rqrFrFrFAAy-AAAAyrrqrrFrrFF32211412321,32 11323AAArrrrrrkN7 .1063143221qFFFAy同理，由虛位移原理可得同理，由虛位移原理可得解得解得由圖知由圖知從而有從而有1FF2hahh 剛架受荷載如圖所示，試求支座剛架受荷載如圖所示，試求支座B B處水平反力。處水平反力。r1FrF2rEChBrBxFahh,解解 將將B B處的水平約束解除，處的水平約束解除，代之以相應(yīng)的水平反