單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)A

1、第一章第一章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)系統(tǒng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)系統(tǒng) 線性系統(tǒng)：動(dòng)力學(xué)方程為常系數(shù)線性微分方程線性系統(tǒng)：動(dòng)力學(xué)方程為常系數(shù)線性微分方程)(tfkxxcxm 03xaxx 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng):動(dòng)力學(xué)方程為非線性微分方程動(dòng)力學(xué)方程為非線性微分方程自由振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)是指系統(tǒng)受初始擾動(dòng)后，僅靠系統(tǒng)自自由振動(dòng)是指系統(tǒng)受初始擾動(dòng)后，僅靠系統(tǒng)自身恢復(fù)力維持的振動(dòng)。身恢復(fù)力維持的振動(dòng)。無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)或或0)(xfxm 0kxxm 0kxxcxm ch1 ch1 單自由度系統(tǒng)的自由

2、振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)討論的內(nèi)容討論的內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解 解的一般形式解的一般形式 自由振動(dòng)的頻率自由振動(dòng)的頻率 影響自由振動(dòng)參數(shù)的因素影響自由振動(dòng)參數(shù)的因素單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)初始條件的響應(yīng)求解無(wú)阻尼單度系統(tǒng)自由振動(dòng)問(wèn)題的能量法求解無(wú)阻尼單度系統(tǒng)自由振動(dòng)問(wèn)題的能量法無(wú)阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)無(wú)阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能能T與勢(shì)能與勢(shì)能V之和保持不變。之和保持不變。動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能達(dá)到最大值。將動(dòng)

3、能取最大值動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能達(dá)到最大值。將動(dòng)能取最大值時(shí)的勢(shì)能取作零，則有時(shí)的勢(shì)能取作零，則有 maxmaxVT簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法三角函數(shù)表示法三角函數(shù)表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量投影法旋轉(zhuǎn)矢量投影法 復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法三角函數(shù)表示法三角函數(shù)表示法物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其位移可表示為諧波函數(shù)物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其位移可表示為諧波函數(shù) xAtcos或xAtsin周期：振動(dòng)一次所需的時(shí)間周期：振動(dòng)一次所需的時(shí)間T, 單位：?jiǎn)挝唬?秒（秒（s ）角頻率（圓頻率）角頻率（圓頻率） :振動(dòng)矢量每秒轉(zhuǎn)過(guò)的角度（弧振動(dòng)矢量每秒轉(zhuǎn)過(guò)的角度（弧度），單位度），單位: 弧度弧度 秒（秒

4、（rad/s） 頻率：每秒振動(dòng)的次數(shù)頻率：每秒振動(dòng)的次數(shù) f，單位：赫茲（，單位：赫茲（Hz）（）（s-1）f22f21fT三角函數(shù)表示法（續(xù)）三角函數(shù)表示法（續(xù)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度 )2cos(sintAtAdtdxx 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度 )cos(cos2222tAtAdtxdx 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性系統(tǒng)，其位移、速度、加速度作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性系統(tǒng)，其位移、速度、加速度均為同頻率簡(jiǎn)諧函數(shù)；均為同頻率簡(jiǎn)諧函數(shù)； 相位角：速度超前位移相位角：速度超前位移 /2 ；加速度超前位移加速度超前位移 ，超前速度，超前速度/2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素：頻率、振幅、初始相位頻

5、率、振幅、初始相位 )sin(tAxxAtcos旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量投影法旋轉(zhuǎn)矢量投影法 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為A的矢量以的矢量以勻角速度勻角速度在平面上繞定點(diǎn)在平面上繞定點(diǎn)O逆時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，該矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影均可表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。，該矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影均可表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 頻率：頻率：； 幅值：幅值：A；初始相位：初始相位：t=0時(shí)矢量與坐時(shí)矢量與坐標(biāo)軸的夾角。標(biāo)軸的夾角。 1兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同頻兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。2直觀表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)位直觀表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移速度及加速度之間的移速度及加速度之間的相對(duì)關(guān)系。相對(duì)關(guān)系。 )sin(tAy)

6、cos(tAxOxy121A2AA旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量投影法旋轉(zhuǎn)矢量投影法 1兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同頻兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。2直觀表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)位直觀表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移速度及加速度之移速度及加速度之間的相對(duì)關(guān)系。間的相對(duì)關(guān)系。OxyAxAx x A2復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為A的矢量以的矢量以勻角速度勻角速度在復(fù)平面上繞定點(diǎn)在復(fù)平面上繞定點(diǎn)O逆時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)針旋轉(zhuǎn)，該矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影與矢量端點(diǎn)處，該矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影與矢量端點(diǎn)處復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng)。的實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng)。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的實(shí)部及虛部均可表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。的實(shí)部及虛部

7、均可表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 tiAtAAzetisincos特點(diǎn)：利用復(fù)數(shù)（求導(dǎo)）運(yùn)特點(diǎn)：利用復(fù)數(shù)（求導(dǎo)）運(yùn)算的特點(diǎn)可方便地表示速度算的特點(diǎn)可方便地表示速度和加速度和加速度。 ziAeidtdzztizizAedtzdzti22222)( 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程020 xx mk /0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解tCtCx0201sincos無(wú)阻尼自由振動(dòng)是以平衡位置為中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是以平衡位置為中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 振動(dòng)角頻率振動(dòng)角頻率0是系統(tǒng)的固有特性，與初始條件無(wú)關(guān)是系統(tǒng)的固有特性，與初始條件無(wú)關(guān)kmfT

8、mkf2121200固有頻率及固有頻率及固有周期固有周期)sin(0tAx說(shuō)明什么？說(shuō)明什么？固有頻率固有頻率0稱作無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有（角）頻率，單位為稱作無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有（角）頻率，單位為 rad/stCtCx0201sincosmk /0固有頻率及固有頻率及固有周期固有周期kmfTmkf2121200固有頻率和周期與初始條件無(wú)關(guān)，表現(xiàn)出線性系固有頻率和周期與初始條件無(wú)關(guān)，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的等時(shí)性。統(tǒng)自由振動(dòng)的等時(shí)性。 質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長(zhǎng)；質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，則固有頻率愈低，周期愈長(zhǎng)；反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，則固有頻率愈高，周期反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，則固有

9、頻率愈高，周期愈短。愈短。 )sin(0tAx單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)初始條件初始條件00)0(,)0(:0 xxxxt對(duì)初始條件的響應(yīng)對(duì)初始條件的響應(yīng)txtxx00000sincos)sin(0tAx00020020arctan,xxxxA能量法能量法保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)無(wú)阻尼系統(tǒng)在自由振動(dòng)中任一時(shí)刻的機(jī)械能保持無(wú)阻尼系統(tǒng)在自由振動(dòng)中任一時(shí)刻的機(jī)械能保持常值常值機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒計(jì)算單自由度保守系統(tǒng)固有頻率的能量法計(jì)算單自由度保守系統(tǒng)固有頻率的能量法 保守系統(tǒng)振動(dòng)中動(dòng)能與勢(shì)能之和為常數(shù)常數(shù) VT動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能達(dá)到最大值，將動(dòng)能取最大值（平衡位置）時(shí)的勢(shì)能取作零，

10、則有 maxmaxVT能量法（續(xù)能量法（續(xù)1 1）無(wú)阻尼單度系統(tǒng)無(wú)阻尼單度系統(tǒng)tAxtAx000cos,sin)(cos2121022022mAxmT202max21mAT)(sin21210222kAkxV2max21kAVmaxmaxVT系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)最大動(dòng)能系統(tǒng)最大動(dòng)能系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)最大勢(shì)能系統(tǒng)最大勢(shì)能能量守恒能量守恒mk /0能量法（續(xù)能量法（續(xù)2 2）瑞利法瑞利法計(jì)算固有頻率的近似計(jì)算方法計(jì)算固有頻率的近似計(jì)算方法 （計(jì)算系統(tǒng)的最低固有頻率） 先對(duì)具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動(dòng)形式 （假設(shè)振型：通常按靜變形曲線假設(shè)） 根據(jù)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)諧規(guī)律計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能 寫

11、為標(biāo)準(zhǔn)形式2max202max21,21kAVmAT利用利用maxmaxVT得到系統(tǒng)的（最低階）固有頻率得到系統(tǒng)的（最低階）固有頻率0能量法（等效參數(shù)法）能量法（等效參數(shù)法）所有單自由度黏性阻尼系統(tǒng)都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量所有單自由度黏性阻尼系統(tǒng)都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量- -彈簧彈簧- -阻阻尼系統(tǒng)尼系統(tǒng)選取選取x為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)線性系統(tǒng)的動(dòng)線性系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為能可表示為線性系統(tǒng)的勢(shì)線性系統(tǒng)的勢(shì)能可表示為能可表示為221xmTeq221xkVeq任意兩個(gè)位置任意兩個(gè)位置x1 1和和x2 2間由間由粘性阻尼力所作的功可粘性阻尼力所作的功可表示為表示為21xxeqdxxcW系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率eqeqm

12、k0能量法練習(xí)題能量法練習(xí)題扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)用角位移用角位移 作為獨(dú)立座標(biāo)來(lái)表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)的角作為獨(dú)立座標(biāo)來(lái)表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)的角振動(dòng)問(wèn)題振動(dòng)問(wèn)題 轉(zhuǎn)動(dòng)方程式轉(zhuǎn)動(dòng)方程式 MJ 式中J是轉(zhuǎn)動(dòng)物體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，M為施加于轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的力矩，它的方向與角位移一致時(shí)為正 扭振運(yùn)動(dòng)方程及其振動(dòng)解扭振運(yùn)動(dòng)方程及其振動(dòng)解020 JK20)sin(0tA20020A0001tg課堂練習(xí)課堂練習(xí) 習(xí)題1.8 不計(jì)質(zhì)量的等截面懸臂梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，抗彎剛度為EI，自由端有集中質(zhì)量m1和m2。梁靜止時(shí)突然釋放質(zhì)量m1。試求m2的自由振動(dòng)。課堂練習(xí)課堂練習(xí)單度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)練習(xí)題單度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)練習(xí)題單度系統(tǒng)無(wú)阻尼自

13、由振動(dòng)練習(xí)題參考解答單度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)練習(xí)題參考解答作業(yè)題作業(yè)題單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程020 xx 的解為的解為00)0(,)0(:0 xxxxt滿足初始條件滿足初始條件txtxx00000sincos或或)sin(0tAx00020020arctan,xxxxA自由振動(dòng)的振幅自由振動(dòng)的振幅初相角初相角 單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)設(shè)在初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移和速度分別為設(shè)在初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移和速度分別為 00)0(,)0(:0 xxxxttxtxx00000sincostCtCx0201s

14、incos代入代入得得01xC 002xC單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng) 由一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體由一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物體和彈簧組成。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)和彈簧組成。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為量為m，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，彈簧的質(zhì)量不計(jì)，無(wú)擾動(dòng)時(shí)彈簧不變形，質(zhì)無(wú)擾動(dòng)時(shí)彈簧不變形，質(zhì)點(diǎn)處于平衡狀態(tài)。點(diǎn)處于平衡狀態(tài)。以平衡位置以平衡位置O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸x，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)因初始，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)因初始擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，彈簧產(chǎn)生與位移擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，彈簧產(chǎn)生與位移x成正比，成正比，方向與位移相反的恢復(fù)力方向與位移相反的恢復(fù)力F=-kx作用于質(zhì)點(diǎn)，比例作用于質(zhì)點(diǎn)，比例系數(shù)系數(shù)k稱作彈

15、簧的剛度系數(shù)，單位為稱作彈簧的剛度系數(shù)，單位為N/m。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程(廣義廣義)坐標(biāo)選取坐標(biāo)選取x坐標(biāo)原點(diǎn)：靜平衡位置坐標(biāo)原點(diǎn)：靜平衡位置 根據(jù)牛頓定律列寫質(zhì)點(diǎn)的自根據(jù)牛頓定律列寫質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)方程由振動(dòng)方程 0 kxxm 引入?yún)?shù)引入?yún)?shù)mk /0標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式020 xx 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程020 xx mk /0令令tex代入上面方程代入上面方程 本征方程（特征方程）本征方程（特征方程） 0202相應(yīng)的本征值相應(yīng)的本征值 0i1i線性無(wú)關(guān)特解線性無(wú)關(guān)特解 tiex01tiex02方程的通解為

16、方程的通解為 titibeaebxaxx0021單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解（續(xù)）單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的解（續(xù)）歐拉公式歐拉公式sincosieisincosieitbatbabeaextiti00sin)(cos)(00單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的通解為單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程的通解為 tCtCx0201sincos其中其中C1、C2（或（或A、）為待定常數(shù)，）為待定常數(shù)，由初始條件決定。由初始條件決定。 或或)sin(0tAx等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例例 1.1-2 以質(zhì)量塊以質(zhì)量塊m的水平位移的水平位移為坐標(biāo)，試計(jì)算彈簧的等效為坐

17、標(biāo)，試計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量。質(zhì)量。假定彈簧的變形與離固定點(diǎn)的距離假定彈簧的變形與離固定點(diǎn)的距離成正比，成正比，彈簧端點(diǎn)的位移為彈簧端點(diǎn)的位移為x。微元長(zhǎng)度微元長(zhǎng)度d的質(zhì)量的質(zhì)量ddml彈簧距端點(diǎn)彈簧距端點(diǎn)截面的變形（位移）截面的變形（位移）xl彈簧距端點(diǎn)彈簧距端點(diǎn)截面的速度截面的速度xl解解 設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為l，微元長(zhǎng)度微元長(zhǎng)度d的動(dòng)能的動(dòng)能2)(21xlddTl等效參數(shù)法等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微元長(zhǎng)度微元長(zhǎng)度d的動(dòng)能的動(dòng)能21)(21Txlddl將微元長(zhǎng)度將微元長(zhǎng)度d的動(dòng)能在整個(gè)彈簧范圍內(nèi)積分，計(jì)算

18、彈簧的動(dòng)能的動(dòng)能在整個(gè)彈簧范圍內(nèi)積分，計(jì)算彈簧的動(dòng)能T12002222131212121x ldlxdlxTllllllml1為彈簧質(zhì)量為彈簧質(zhì)量21321xm令彈簧質(zhì)量的令彈簧質(zhì)量的1/3為彈簧的等效質(zhì)量，為彈簧的等效質(zhì)量，則考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)總動(dòng)能為則考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)總動(dòng)能為 21321xmmT彈簧的勢(shì)能與彈簧質(zhì)量無(wú)關(guān)彈簧的勢(shì)能與彈簧質(zhì)量無(wú)關(guān)221kxV 仍利用能量守恒公式仍利用能量守恒公式maxmaxVT導(dǎo)出考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)固有頻率為導(dǎo)出考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)固有頻率為301mmk等效參數(shù)法法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)等效參數(shù)法法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例例1.1-3 以梁端橫

19、向位移為坐標(biāo)，以梁端橫向位移為坐標(biāo)，試計(jì)算懸臂梁的等效質(zhì)量試計(jì)算懸臂梁的等效質(zhì)量 解 設(shè)懸臂梁的長(zhǎng)度為l ，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為l ，抗彎剛度為EI其中E和I分別為梁的彈性模量和截面二次矩。自由端集中質(zhì)量m相對(duì)平衡位置的位移為x。利用材料力學(xué)知識(shí)，當(dāng)自由端有靜撓度x時(shí)，距固定端距離為的截面處的靜撓度為xllf33223)(將梁的靜撓度曲線作為近似振型，計(jì)算梁的動(dòng)能T1llxmdxllT02122332114033212321lml1為梁的質(zhì)量梁質(zhì)量的33/140為梁的等效質(zhì)量。系統(tǒng)的固有頻率為1140330mmk剛度系數(shù)為懸臂梁端點(diǎn)的抗彎剛度33lEIk 等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)等

20、效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例例1.1-4 1.1-4 試計(jì)算串聯(lián)和并聯(lián)彈簧的試計(jì)算串聯(lián)和并聯(lián)彈簧的等效剛度。等效剛度。 解 討論彈簧剛度為k1，k2 的串聯(lián)彈簧。設(shè)A點(diǎn)的位移x，兩彈簧的伸長(zhǎng)分別為x1和x2，則有 21xxx根據(jù)B點(diǎn)的靜力平衡條件列出2211xkxk可以解出xkkkxxkkkx21122121,彈性勢(shì)能為22212122221121212121xkxkkkkxkxkV串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)2121kkkkk等效參數(shù)法等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)對(duì)于并聯(lián)彈簧，兩彈簧的伸長(zhǎng)均等于A點(diǎn)的位移x 2221222121212121xk

21、xkkxkxkV并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為21kkk如果A點(diǎn)處固定物體m，則動(dòng)能為 221xmT不計(jì)彈簧的質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為mk0等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)圖示系統(tǒng)為一內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)簡(jiǎn)圖。已知搖桿AB對(duì)支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，氣閥BC的質(zhì)量為Mv，閥簧質(zhì)量為Ms，計(jì)算時(shí)可近似地將ms/3集中于B點(diǎn)，挺桿AD的質(zhì)量為mt，求此系統(tǒng)簡(jiǎn)化到閥門C點(diǎn)的等效質(zhì)量。等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)等效質(zhì)量廣義坐標(biāo)：閥門C點(diǎn)的垂直位移xc系統(tǒng)動(dòng)能：222023121212121BsAt

22、ABCvvmvmIvmT將系統(tǒng)動(dòng)能表示為廣義坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的二次函數(shù)CCxvbxbvbvCCBABCCBxvvCABAxbaav222222023121212121CsCtCCvxmxbamxbIxmTcx等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)等效參數(shù)法求解單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)等效質(zhì)量廣義坐標(biāo)：閥門C點(diǎn)的垂直位移xc系統(tǒng)動(dòng)能：222222023121212121CsCtCCvxmxbamxbIxmT222203121CstvxmmbabImT此系統(tǒng)簡(jiǎn)化到閥門C點(diǎn)的等效質(zhì)量stveqmmbabImm312220 如果閥簧剛度系數(shù)為k此系統(tǒng)簡(jiǎn)化到閥門C點(diǎn)的等效剛度為k此系統(tǒng)的

23、固有頻率stveqmmbabImkmk3122200扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)討論需要用角位移討論需要用角位移 作為獨(dú)立座標(biāo)來(lái)作為獨(dú)立座標(biāo)來(lái)表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)的角振動(dòng)問(wèn)題。表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)的角振動(dòng)問(wèn)題。在這種情況下，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律在這種情況下，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到轉(zhuǎn)動(dòng)方程式得到轉(zhuǎn)動(dòng)方程式 MJ 式中式中J是轉(zhuǎn)動(dòng)物體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是轉(zhuǎn)動(dòng)物體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 是角加速度，是角加速度，M為施加于轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的力矩，它的方向與為施加于轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的力矩，它的方向與 角位移一致時(shí)為正。角位移一致時(shí)為正。 以扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和復(fù)擺兩種情況為例以扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和復(fù)擺兩種情況為例 扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 如圖所示的一根垂直軸，下端固定著一個(gè)水平圓盤，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。軸的扭轉(zhuǎn)剛度為K。其含義是使軸轉(zhuǎn)動(dòng)一單位轉(zhuǎn)角所需施加的力矩，單位是Nm/rad。對(duì)于一根長(zhǎng)度為，直徑為d的圓軸，根據(jù)材料力學(xué)，它的扭轉(zhuǎn)剛度為 lGdlGIKp324G為材料的剪切彈性模量。軸本身質(zhì)量忽略不計(jì)。 當(dāng)系統(tǒng)受到某種干擾，如在圓盤平面上加一力偶，然后突然除去，系統(tǒng)便作扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)。如果沒(méi)有阻尼，振動(dòng)將永