數(shù)理方法 第八章熱傳導(dǎo)方程付氏解

1、第八章第八章 熱傳導(dǎo)方程的付氏解熱傳導(dǎo)方程的付氏解第一節(jié)第一節(jié) 熱傳導(dǎo)類(lèi)型方程的建立熱傳導(dǎo)類(lèi)型方程的建立 8.1.1熱傳導(dǎo)方程的建立熱傳導(dǎo)方程的建立物理建模物理建模 (1)物質(zhì)是熱量傳遞的媒質(zhì)物質(zhì)是熱量傳遞的媒質(zhì),熱量可以在媒質(zhì)中傳遞熱量可以在媒質(zhì)中傳遞,可以從高溫媒質(zhì)傳到低溫媒質(zhì)可以從高溫媒質(zhì)傳到低溫媒質(zhì),或從媒質(zhì)的高溫部分傳或從媒質(zhì)的高溫部分傳到媒質(zhì)的低溫部分到媒質(zhì)的低溫部分. (2)媒質(zhì)被看成是連續(xù)的媒質(zhì)被看成是連續(xù)的(兩種媒質(zhì)分界面除外兩種媒質(zhì)分界面除外),故故媒質(zhì)的物理性質(zhì)可用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示媒質(zhì)的物理性質(zhì)可用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示,如如:質(zhì)量密度質(zhì)量密度,熱熱傳導(dǎo)系數(shù)傳導(dǎo)系數(shù),等等. (3)

2、熱量在傳遞的過(guò)程中遵守?zé)崃W(xué)第一定律熱量在傳遞的過(guò)程中遵守?zé)崃W(xué)第一定律,第零第零定律定律,以及第二定律以及第二定律. (4)熱量傳導(dǎo)遵守傳里葉定律和牛頓散熱定律熱量傳導(dǎo)遵守傳里葉定律和牛頓散熱定律.熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)建模熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)建模 推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：傳導(dǎo)的傅里葉定律： 熱傳導(dǎo)的傅里葉定律傅里葉定律： dt時(shí)間內(nèi)，通過(guò)面積元時(shí)間內(nèi)，通過(guò)面積元 dS流入小體積元的熱量流入小體積元的熱量 dQ與沿面積元外法線(xiàn)方向的溫度變化率與沿面積元外法線(xiàn)方向的溫度變化率 un成正比成正比 dSdt也與

3、也與和和成正比，即：成正比，即： dd duQkS tn 式中式中k是導(dǎo)熱系數(shù)是導(dǎo)熱系數(shù) 圖8.1取直角坐標(biāo)系取直角坐標(biāo)系Oxyz, Oxyz, 如圖如圖8.1 8.1 ),(tzyxu表示表示t t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,zx,y,z）處的溫度）處的溫度 在d dt t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD面流入的熱量為 d|()| d d d()| d d dxxxuuQkt y zkt y znx 時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為同樣，在dt()d d d dukt x y zyy()d d d dukt x y zzz在d dt t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)EFGH面流入的熱量為 |(

4、)|x dxx dxx dxuudQkdydzdtkdydzdtnx 凈流入量為凈流入量為:|(| )()xx dxx dxxuuudQdQdQkkdydzdtkdtdxdydzxxxx 在在t t到到dtt時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是時(shí)間內(nèi)，小體積元的溫度變化是 dutt0C如果用和分別表示物體的密度密度和比熱比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程 0()()()d d d dd d d duuuukkkt x y zCt x y zxxyyzzt或?qū)懗苫驅(qū)懗?0()()()uuuukkkCxxyyzzt22222222222220()()kkuuuuuuuacxyzxyzt 當(dāng)當(dāng) 是是常常數(shù)

5、數(shù)時(shí)時(shí)2220uuatx 一一維維時(shí)時(shí): :(8.1)8.1.2 擴(kuò)散方程的建立擴(kuò)散方程的建立 2220 (0)uuattx 其中2.aD將一維推廣到三維，即得到將一維推廣到三維，即得到 22222220 (0)uuuuattxyz 上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類(lèi)似的形式上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類(lèi)似的形式 若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為( , , , )f x y z t這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為 2222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz 從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，從上面的推導(dǎo)可知，熱

6、傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類(lèi)方程來(lái)描述但可以用同一類(lèi)方程來(lái)描述. . 8.1.3 8.1.3 熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件 (1) 初始條件初始條件 (2) 邊界條件邊界條件(0)t t 第一類(lèi)第一類(lèi): 已知任意時(shí)刻已知任意時(shí)刻邊界面上的溫度分布 ( , , , )|( , )u x y z tft 直接給出函數(shù)u 在邊界上的數(shù)值,所以是第一類(lèi)邊界條件. ( ,0)( )u xx 一一維維時(shí)時(shí): :( , )( )u l tt 例例: :熱傳導(dǎo)方程的初始條件是給定介質(zhì)初溫?zé)醾鲗?dǎo)方程的初始條件是給定介質(zhì)初溫 ( , , ,0)( , , )u x

7、 y zx y z 第二類(lèi)第二類(lèi) 已知任意時(shí)刻已知任意時(shí)刻(0)t t 從外部通過(guò)邊界流入物體內(nèi)的熱量。從外部通過(guò)邊界流入物體內(nèi)的熱量。 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)邊界上單位面積流入的熱量為設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)邊界上單位面積流入的熱量為( , ) t. ( , )|( ),|0,x lx lxx lu x tjktxul 例例已已知知一一維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)桿桿一一端端的的熱熱流流強(qiáng)強(qiáng)度度: :特特別別地地表表 端端絕絕熱熱. .第三類(lèi)第三類(lèi)給定介質(zhì)與另一種介質(zhì)進(jìn)行熱交換給定介質(zhì)與另一種介質(zhì)進(jìn)行熱交換,遵守牛頓實(shí)驗(yàn)定遵守牛頓實(shí)驗(yàn)定定律定律(熱流強(qiáng)度與兩介質(zhì)溫差成正比熱流強(qiáng)度與兩介質(zhì)溫差成正比)( , ) ( ,

8、 )( )xkul th u l tT t第二節(jié)第二節(jié) 一維熱傳導(dǎo)一維熱傳導(dǎo)(擴(kuò)散擴(kuò)散)混合問(wèn)題的付氏解混合問(wèn)題的付氏解例例:2, (0,0)(8.1)(0, )0, ( , )0, (0)(8.3)( ,0)( ), (0)(8.4)txxua uxl tutu l ttu xxxl 分離變數(shù)解法與第九章相同分離變數(shù)解法與第九章相同思路：求同時(shí)滿(mǎn)足泛定方程思路：求同時(shí)滿(mǎn)足泛定方程8.1和邊界條件和邊界條件8.2的半通的半通解解,再想辦法讓半通解滿(mǎn)足初始條件再想辦法讓半通解滿(mǎn)足初始條件.設(shè)泛定方程具有如下形式的解設(shè)泛定方程具有如下形式的解:( , )( )( )u x tT t X x 代入泛

9、定方程代入泛定方程8.1得得:2T Xa TX 或或:22TXka TX 式中的式中的k稱(chēng)為泛定常數(shù)稱(chēng)為泛定常數(shù)得兩個(gè)常微分方程如下得兩個(gè)常微分方程如下:220()0Xk XTakT 將將( , )( )( )u x tT t X x 代入邊界條件代入邊界條件10.2有有:(0, )(0) ( )0( , )( ) ( )0utXT tu l tX l T t 對(duì)于求非對(duì)于求非0解來(lái)說(shuō)解來(lái)說(shuō),T(t)不恒為不恒為0,所以所以:(0)( )0XX l 得特征值問(wèn)題得特征值問(wèn)題:20(0)0,( )0Xk XXX l 又因又因k是以平方的形式出現(xiàn)在上邊的方程中是以平方的形式出現(xiàn)在上邊的方程中,固負(fù)

10、數(shù)固負(fù)數(shù)時(shí)時(shí)k值與正數(shù)的值與正數(shù)的k值得到的是相同解值得到的是相同解,所以所以k只取正值只取正值,即即:( )( )sin,(1,2,3,)nnnnX xXxAk xnkknl 把把kn代入代入T(t)的方程，得到相應(yīng)的的方程，得到相應(yīng)的T的解為的解為:22( )na ktnnT tC e 得一系列滿(mǎn)足泛定方程和邊界條件的特解得一系列滿(mǎn)足泛定方程和邊界條件的特解22( , )sin,( ,0)sin,(1,2,3,)na ktnnnnnnux tc ek xuxck xn 且且很明顯很明顯,這個(gè)解一般地并不滿(mǎn)足初始條件這個(gè)解一般地并不滿(mǎn)足初始條件( ,0)( )u xx 但因方程和邊界條件都是

11、齊次的但因方程和邊界條件都是齊次的,固可設(shè)其半通解為固可設(shè)其半通解為:221( , )sin(8.5)na ktnnnu x tc ek x 令其滿(mǎn)足初始條件令其滿(mǎn)足初始條件(8.4)得得:1( ,0)sin( )nnnu xck xx 只要只要 是連續(xù)或分段連續(xù)的是連續(xù)或分段連續(xù)的,上式是可以得到滿(mǎn)足上式是可以得到滿(mǎn)足的的,只需取只需取( )x 02( )sin(8.6)lnnnckdl 即即 的付里葉系數(shù)的付里葉系數(shù).( )x 其解為其解為:22102( , )( )sinsinnla ktnnnu x tkd ek xl 對(duì)于非齊次方程和非齊次邊界條件對(duì)于非齊次方程和非齊次邊界條件,其處

12、理方法和第九其處理方法和第九章完全相同章完全相同,這里略過(guò)這里略過(guò).第三節(jié)第三節(jié) 一維熱傳導(dǎo)初值問(wèn)題的付氏解一維熱傳導(dǎo)初值問(wèn)題的付氏解2,(,0)(8.1)( ,0)( ),()(8.11)txxua uxtu xxx 設(shè)泛定方程具有如下形式的解設(shè)泛定方程具有如下形式的解:( , )( )( )u x tT t X x 代入泛定方程代入泛定方程8.1得得:2T Xa TX 或或:22TXka TX 式中的式中的k稱(chēng)為泛定常數(shù)稱(chēng)為泛定常數(shù)得兩個(gè)常微分方程如下得兩個(gè)常微分方程如下:220()0Xk XTakT 由于方程由于方程8.1沒(méi)有邊界條件，固沒(méi)有邊界條件，固X(x)不構(gòu)成特征值問(wèn)題不構(gòu)成特征

13、值問(wèn)題,因而對(duì)因而對(duì)k的取值沒(méi)有限制。固此先解的取值沒(méi)有限制。固此先解T(t)的方程的方程0k 當(dāng)當(dāng):0000,TTXXcd x 有有:0000()uT cd x 00,c d為積分常數(shù)，且只能取為積分常數(shù)，且只能取 否則有：否則有：00d 0 xu 這與初溫有限的無(wú)源熱傳導(dǎo)的實(shí)際不符！這與初溫有限的無(wú)源熱傳導(dǎo)的實(shí)際不符！從而得：從而得：000uT c 當(dāng)：當(dāng)：0k 22( )k a tT te K不能是復(fù)數(shù)，否則溫度會(huì)隨時(shí)間作振蕩，這與能不能是復(fù)數(shù)，否則溫度會(huì)隨時(shí)間作振蕩，這與能量守恒不符，固量守恒不符，固k只能是實(shí)數(shù)。這時(shí)只能是實(shí)數(shù)。這時(shí)( )( )cos( )sinkXXxa kkxb

14、kkx得到一系列特解：得到一系列特解：（稱(chēng)為自然邊界條件。也（稱(chēng)為自然邊界條件。也構(gòu)成一類(lèi)特征值問(wèn)題）構(gòu)成一類(lèi)特征值問(wèn)題）22( , ) ( )cos( )sink a tkux tea kkxb kkx 很顯然這些特解一般地并不滿(mǎn)足初始條件，取這些解很顯然這些特解一般地并不滿(mǎn)足初始條件，取這些解的線(xiàn)性疊加作為問(wèn)題的半通解，并要求其滿(mǎn)足所給初的線(xiàn)性疊加作為問(wèn)題的半通解，并要求其滿(mǎn)足所給初始條件，即始條件，即22( , ) ( )cos( )sin(8.12)k a tu x tea kkxb kkx dk 和：和：( ,0) ( )cos( )sin( )u xa kkxb kkx dkx 這

15、正是這正是 的付里葉積分，而的付里葉積分，而a(k),b(k)正是其付正是其付里葉系數(shù)。里葉系數(shù)。( )x 11( )( )cos, ( )( )sin(8.13)22a kk db kk d 代入得：代入得：221( , )( )coscos21( )sinsin2k a tu x tek dkxk dkx dk 22221( , )( )cos ()21( )cos ()2k a tk a tu x tedkkx dekx dk d 2222220041( , )( )cos ()1( )cos ()(8.14)1( )(8.15)2k a tk a txa tu x tedkkx dde

16、kx dkedat 可以證明上式滿(mǎn)足泛定方程和初始條件可以證明上式滿(mǎn)足泛定方程和初始條件.8.15是熱傳導(dǎo)初值問(wèn)題的積分形式的解是熱傳導(dǎo)初值問(wèn)題的積分形式的解第四節(jié)第四節(jié) 一端有界的熱傳導(dǎo)問(wèn)題一端有界的熱傳導(dǎo)問(wèn)題 2241( , )( )(8.15)2xa tu x tedat 初值問(wèn)題初值問(wèn)題(兩端無(wú)界兩端無(wú)界)的解的解具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì):(1)若若 為奇函數(shù)為奇函數(shù),即即:( )x ()( )xx 則則:(0, )0ut (2)若若 為偶函數(shù)為偶函數(shù),即即:( )x ()( )xx 則則:(0, )0 xut 由性質(zhì)由性質(zhì)(1)可得下列半無(wú)界問(wèn)題的解可得下列半無(wú)界問(wèn)題的解2,(0,0)(0, )0,(0)( ,0)( ),(0)txxua uxtuttu xxx 作奇延拓作奇延拓:2,(,0)( ),(0)( ,0)( )(),(0)txxUa UxtxxU xxxx 此無(wú)界問(wèn)題的解恒滿(mǎn)足此無(wú)界問(wèn)題的解恒滿(mǎn)足:(0, )0Ut 當(dāng)當(dāng):0 x 時(shí)時(shí)22