結(jié)構(gòu)力學(xué)第五章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、第五章第五章 虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算第一節(jié)第一節(jié) 概述概述一、結(jié)構(gòu)的位移一、結(jié)構(gòu)的位移 結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，將產(chǎn)生尺寸形狀的改變，這種改變稱(chēng)結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，將產(chǎn)生尺寸形狀的改變，這種改變稱(chēng)為為變形變形；由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，于是產(chǎn)生；由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，于是產(chǎn)生位移位移。1 1、線位移、線位移 （1 1）水平線位移：）水平線位移： H H （2 2）鉛直線位移：）鉛直線位移： V V2 2、角位移：、角位移： 3 3、位移有、位移有“相對(duì)位移相對(duì)位移”與與“絕對(duì)位移絕對(duì)位移”之分。之分。 4 4、上述各種位移統(tǒng)稱(chēng)為、上述各種位移統(tǒng)

2、稱(chēng)為“廣義位移廣義位移”。相對(duì)應(yīng)的力稱(chēng)為廣義力。相對(duì)應(yīng)的力稱(chēng)為廣義力。5 5、各種位移舉例、各種位移舉例 二、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的二、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的 1 1、剛度驗(yàn)算：電動(dòng)吊車(chē)梁跨中撓度、剛度驗(yàn)算：電動(dòng)吊車(chē)梁跨中撓度 fmaxfmaxl/600l/600。 2 2、計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)必須考慮位移條件。、計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)必須考慮位移條件。 3 3、施工技術(shù)的需要，例如：、施工技術(shù)的需要，例如： 三、計(jì)算位移的有關(guān)假定三、計(jì)算位移的有關(guān)假定 1 1、結(jié)構(gòu)材料服從、結(jié)構(gòu)材料服從“虎克定律虎克定律”，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。 2 2、小變形假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。、小變形

3、假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。 3 3、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計(jì)摩擦阻力。、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計(jì)摩擦阻力。 4 4、當(dāng)桿件同時(shí)承受軸力與橫向力作用時(shí)，、當(dāng)桿件同時(shí)承受軸力與橫向力作用時(shí)， 不考慮由于桿彎曲不考慮由于桿彎曲 所引起的桿端軸力對(duì)彎矩及彎曲變形的影響。所引起的桿端軸力對(duì)彎矩及彎曲變形的影響。 滿足以上要求的體系為滿足以上要求的體系為“線變形體系線變形體系”。因位移與荷載為線。因位移與荷載為線形關(guān)系，故求位移時(shí)可用疊加原理。形關(guān)系，故求位移時(shí)可用疊加原理。P PP PB BA A第二節(jié)第二節(jié) 虛功原理虛功原理一、基本概念一、基本概念 1 1、功：一般來(lái)說(shuō)，力所作的功與

4、其作用點(diǎn)移動(dòng)路線的形狀、路、功：一般來(lái)說(shuō)，力所作的功與其作用點(diǎn)移動(dòng)路線的形狀、路程的長(zhǎng)短有關(guān)。程的長(zhǎng)短有關(guān)。 dsdsPCOSPdTTSS),( 或： dsPT 2 2、實(shí)功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點(diǎn)、實(shí)功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點(diǎn)移動(dòng)路線的形狀、路程的長(zhǎng)短有關(guān)。移動(dòng)路線的形狀、路程的長(zhǎng)短有關(guān)。 PT21 P P當(dāng)靜力加載時(shí)，即：當(dāng)靜力加載時(shí)，即：P P由由0 0增加至增加至P P； 由由0 0增加至增加至 實(shí)功的計(jì)算式為：實(shí)功的計(jì)算式為： 3 3、虛功：當(dāng)位移與作功的力無(wú)關(guān)時(shí)，且在作功的過(guò)程中，力的、虛功：當(dāng)位移與作功的力無(wú)關(guān)時(shí)，且在作功的過(guò)程中，

5、力的大小保持不變，這樣的功稱(chēng)為虛功。大小保持不變，這樣的功稱(chēng)為虛功。 PT P PA AA A D D COSD 式中式中 為總位移為總位移D D在力在力P P方向的投影。方向的投影。虛功的計(jì)算式為：虛功的計(jì)算式為： 4 4、虛功對(duì)應(yīng)的兩種狀態(tài)及應(yīng)滿足的條件：、虛功對(duì)應(yīng)的兩種狀態(tài)及應(yīng)滿足的條件： （1 1）虛力狀態(tài)：虛力狀態(tài)：為求真實(shí)位移而虛設(shè)的力狀態(tài)，它滿足靜力平衡條件。為求真實(shí)位移而虛設(shè)的力狀態(tài)，它滿足靜力平衡條件。 （2 2）虛力狀態(tài)：虛力狀態(tài)：為求真實(shí)力而虛設(shè)的位移狀態(tài)，它滿足變形協(xié)調(diào)條。為求真實(shí)力而虛設(shè)的位移狀態(tài)，它滿足變形協(xié)調(diào)條。二、變形桿件體系的虛功方程二、變形桿件體系的虛功方程

6、 “ “桿件桿件ABAB處于一靜力可能的力狀態(tài)，設(shè)另有一與其無(wú)關(guān)的幾何可能的處于一靜力可能的力狀態(tài)，設(shè)另有一與其無(wú)關(guān)的幾何可能的位移狀態(tài)，則前者的外力由于后者的位移所做的虛外功位移狀態(tài)，則前者的外力由于后者的位移所做的虛外功T T等于前者的切割等于前者的切割面內(nèi)力由于后者的變形所作的虛變形功面內(nèi)力由于后者的變形所作的虛變形功V”V”。 用式子表達(dá)就是下面的虛功方程：用式子表達(dá)就是下面的虛功方程：T=VT=V 虛功方程也可以簡(jiǎn)述為：虛功方程也可以簡(jiǎn)述為：“外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功”。其具體表達(dá)式為：其具體表達(dá)式為：)()()()()(iBAiBABAiIiIiII

7、dsMQNdsmqvpumvQuN當(dāng)所研究的體系為剛體時(shí)，虛功方程則簡(jiǎn)化為：當(dāng)所研究的體系為剛體時(shí)，虛功方程則簡(jiǎn)化為： T=0T=0第三節(jié)第三節(jié) 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法 一、虛功方程的意義及應(yīng)用一、虛功方程的意義及應(yīng)用dsmqvpumvQuNiBABAiIiII)()()( )()(iBAIidsMQN 2 2、虛位移原理：研究實(shí)際的平衡力系在虛設(shè)位移上的功，以計(jì)算結(jié)、虛位移原理：研究實(shí)際的平衡力系在虛設(shè)位移上的功，以計(jì)算結(jié)構(gòu)的未知力等。構(gòu)的未知力等。 3 3、虛力原理：研究虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際位移上的功，以計(jì)算結(jié)構(gòu)虛力原理：研究虛設(shè)

8、的平衡力系在實(shí)際位移上的功，以計(jì)算結(jié)構(gòu)的未知位移。的未知位移。1 1、意義：虛功方程的每一項(xiàng)都是廣義力與廣義位移的乘積。、意義：虛功方程的每一項(xiàng)都是廣義力與廣義位移的乘積。 二、單位荷載法二、單位荷載法 1 1、定義：應(yīng)用虛力原理，通過(guò)加單位力求實(shí)際位移的方法。、定義：應(yīng)用虛力原理，通過(guò)加單位力求實(shí)際位移的方法。2 2、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式 對(duì)下面兩種狀態(tài)應(yīng)用虛功對(duì)下面兩種狀態(tài)應(yīng)用虛功原理：原理：),(aaaaC ),(KKKKRNQM 即：即： aKaKaKaKKaCRdsNdsQdsM dsNdsQdsMCRCRaKaKaKaKaKKa 22111三、如何施加單位

9、荷載（求線位移、相對(duì)線位移）三、如何施加單位荷載（求線位移、相對(duì)線位移） 求哪個(gè)方向的位移就在要求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。求哪個(gè)方向的位移就在要求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。第四節(jié)第四節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu) 在荷載作用下的位移計(jì)算在荷載作用下的位移計(jì)算 一、位移計(jì)算公式的建立一、位移計(jì)算公式的建立 aKaKaKaKKVCRdsNdsQdsM dsEANNdsGAQQKdsEIMMPKPKPKKP于是：于是：0 aC因無(wú)支座移動(dòng)：因無(wú)支座移動(dòng)：根據(jù)材力公式：根據(jù)材力公式：EAPNa GAQQKKa EIMKa 二、位移計(jì)算公式的簡(jiǎn)化二、位移計(jì)算公式的簡(jiǎn)化1 1、梁和剛架（略去軸向變形和剪切

10、變形影響）：、梁和剛架（略去軸向變形和剪切變形影響）：2 2、桁架（只考慮軸力影響）：、桁架（只考慮軸力影響）： dsEIMMPKKP dsEANNPKKP對(duì)扁拱（壓力線與拱軸接近）：對(duì)扁拱（壓力線與拱軸接近）：4 4、組合結(jié)構(gòu)：、組合結(jié)構(gòu)： dsEIMMPKKP dsEANNdsEIMMPKPKKP dsEANNdsEIMMPKPKKP3 3、拱：一般只考慮彎曲變形：、拱：一般只考慮彎曲變形： 例題例題1 1 試求圖示試求圖示剛架剛架A A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 AVAV。各桿材料相同，截面抗各桿材料相同，截面抗彎模量為彎模量為EIEI。三、位移計(jì)算舉例三、位移計(jì)算舉例解：解： （1 1）

11、在）在A A點(diǎn)加一單位力，建立坐標(biāo)系如（圖點(diǎn)加一單位力，建立坐標(biāo)系如（圖2 2）示，寫(xiě)出彎矩表達(dá)式）示，寫(xiě)出彎矩表達(dá)式ABAB段：段：BCBC段：段：1xMK lMK 221qxMP 22qlMP （2 2）將以上彎矩表達(dá)式代入求位移公式）將以上彎矩表達(dá)式代入求位移公式)(85)2)(1)2)(1402210211 EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPKAV 例題例題2 2 試求圖示桁架試求圖示桁架C C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 CVCV。各桿材料相同，截面。各桿材料相同，截面抗拉壓模量為抗拉壓模量為(KN)NP26/102mKNEA KN解：（解：（1 1）在）在C C點(diǎn)加

12、一單位力，作出單位力作用下的桁架內(nèi)力圖（右圖）點(diǎn)加一單位力，作出單位力作用下的桁架內(nèi)力圖（右圖） （2 2）作出荷載作用下的桁架內(nèi)力圖（左圖）作出荷載作用下的桁架內(nèi)力圖（左圖） （3 3）將）將N NK K、N NP P代入求位移公式代入求位移公式dsEANNPKCV)2()20() 1()5()36.22()12. 1 ()5()36.22()49. 1 () 3()10()67. 0(1EA)(03. 0m 例題例題3 3 試求圖示半徑為試求圖示半徑為R R的圓弧形曲梁的圓弧形曲梁B B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 BVBV。梁。梁的抗彎剛度的抗彎剛度EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。 sinPRMP

13、sinRMK 解：（解：（1 1）在）在B B點(diǎn)加一單位力（右圖）點(diǎn)加一單位力（右圖） ，寫(xiě)出單位力作用下的彎矩表達(dá)式，寫(xiě)出單位力作用下的彎矩表達(dá)式 （2 2）寫(xiě)出單位力作用下的彎矩表達(dá)式（左圖）寫(xiě)出單位力作用下的彎矩表達(dá)式（左圖） （3 3）將）將M MK K、M MP P代入求位移公式代入求位移公式 dsEIMMPKBP)(4sin32023 EIPRdEIPR 20)(sin)(sin(1 RdPRREI二、圖乘法證明二、圖乘法證明結(jié)論：在滿足前述條件下，積分式結(jié)論：在滿足前述條件下，積分式 之值等于某一圖之值等于某一圖形形 面積面積 乘以該面積形心所對(duì)應(yīng)的另一直線圖形的縱乘以該面積形心

14、所對(duì)應(yīng)的另一直線圖形的縱y0,y0,再除以再除以EIEI。 lPKdsEIMMyxoyyodxdMP(x)MK(X)xxoBA lPKdsEIMM BAPKdxMMEI1 BAPdxMtgxEI 1 baPdxxMtgEI 1 BAxdtgEI 1PxtgEI 0101yEIP 第五節(jié)第五節(jié) 圖乘法圖乘法 一、圖乘法應(yīng)滿足的條件一、圖乘法應(yīng)滿足的條件1 1、桿件為等截面直桿。、桿件為等截面直桿。2 2、EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。3 3、M MK K、M MP P圖形中至少有一個(gè)為直線圖形。圖形中至少有一個(gè)為直線圖形。三、使用乘法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題三、使用乘法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 1 1、y yo o必須取

15、自直線圖形；必須取自直線圖形；2 2、當(dāng)、當(dāng)M MK K為折線圖形時(shí)，必須分段計(jì)算；為折線圖形時(shí)，必須分段計(jì)算；3 3、當(dāng)桿件為變截面時(shí)亦應(yīng)分段計(jì)算；、當(dāng)桿件為變截面時(shí)亦應(yīng)分段計(jì)算；4 4、圖乘有正負(fù)之分：彎矩圖在桿軸線同側(cè)時(shí)，取正號(hào)；異側(cè)，負(fù)號(hào)。、圖乘有正負(fù)之分：彎矩圖在桿軸線同側(cè)時(shí)，取正號(hào)；異側(cè)，負(fù)號(hào)。5 5、若兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)，則面積、縱標(biāo)可任意分別取自兩圖形；、若兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)，則面積、縱標(biāo)可任意分別取自兩圖形；6 6、圖乘時(shí)，可將彎矩圖分解為簡(jiǎn)單圖形，按疊加法分別圖乘。、圖乘時(shí)，可將彎矩圖分解為簡(jiǎn)單圖形，按疊加法分別圖乘。)22(61)323(2)332(21bcadc

16、daclEIdcbldcalEI 兩兩梯梯形形相相乘乘：7 7、三角形、標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積、形心公式必須牢記。、三角形、標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積、形心公式必須牢記。 練習(xí)題：練習(xí)題： 試求圖示連續(xù)梁試求圖示連續(xù)梁C C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 C CV V和和A A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角A A。截面抗彎模量為截面抗彎模量為EIEI。PCBAl/2l/2答案：答案：)(483EIplcv)(162EIplA答案：答案：)(162EIMlcv)(3EIMlA(1)(2)CBAl/2l/2M（M Mp p圖）圖）（M Mk1k1圖）圖）)(0924. 013860 mEI lPKCVEIdsEIMM)3

17、00()66()26()45632()33002()266(1 例題例題 試求左圖所示剛架試求左圖所示剛架C C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 AVAV和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C。各桿材。各桿材料相同，截面抗彎模量為料相同，截面抗彎模量為: :25105 . 1mKNEI （Mk2圖）圖）).(0168. 02520)1()6300()1()45632()1()26300(1 radEIEIC 第六節(jié)第六節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變和支座移動(dòng)引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變和支座移動(dòng)引起的位移 一、由于溫度改變引起的位移一、由于溫度改變引起的位移 圖示懸臂梁由于溫度改變而引起變形。為求圖示懸臂梁由于溫度改變而引

18、起變形。為求 C CV V，在，在C C點(diǎn)加一單位力，點(diǎn)加一單位力，根據(jù)求位移公式計(jì)算根據(jù)求位移公式計(jì)算 C CV V 。),(aaaaC ),(KKKKRNQM aKaKaKaKKaCRdsNdsQdsM 將以上各式代入求位移的一般公式，可得溫度改變位移計(jì)算式：將以上各式代入求位移的一般公式，可得溫度改變位移計(jì)算式：dstdsa0 ; 0 dsa ; dshtdsa ; 0 ACR 經(jīng)分析：經(jīng)分析： dshtMdstNKKt )()(0 若每一桿件沿其全長(zhǎng)溫度改變相同，且截面高度相同，則：若每一桿件沿其全長(zhǎng)溫度改變相同，且截面高度相同，則： KKMNthtt )()(0 例題：例題：圖示簡(jiǎn)支

19、剛架內(nèi)側(cè)溫度升高圖示簡(jiǎn)支剛架內(nèi)側(cè)溫度升高2525C C，外側(cè)溫度升高，外側(cè)溫度升高5 5C C，各截面，各截面為矩形，為矩形，h=0.5m,h=0.5m,線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù) =1.0=1.010105 5 , ,試求梁中點(diǎn)的豎向位移試求梁中點(diǎn)的豎向位移 DVDV。+25+25C C+5+5C C解：作出解：作出M MK K、N NK K圖后，依求位移公式計(jì)算位移：圖后，依求位移公式計(jì)算位移：M MK K圖圖N NK K圖圖 KKMNthtt )()(0)(00075. 0 m)71(15100 . 1)23621(5 . 020100 . 155 例題：三鉸剛架，支座例題：三鉸剛架，支座B

20、B發(fā)生如圖發(fā)生如圖1 1所示的位移：所示的位移：a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5ma=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。 求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角 A A。解：在要求位移方向上加單位力（圖解：在要求位移方向上加單位力（圖2 2），求出支座反力后依求位移），求出支座反力后依求位移公式計(jì)算位移：公式計(jì)算位移：（圖（圖1 1）（圖（圖2 2） aKACR )05. 0101()03. 061( ).(01. 0 rad二、支座移動(dòng)引起的位移二、支座移動(dòng)引起的位移 因支座移動(dòng)不引起靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，故虛功方程中變形功為零，因支座移動(dòng)不引起靜定

21、結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，故虛功方程中變形功為零， 于是求位移公式簡(jiǎn)化為：于是求位移公式簡(jiǎn)化為： aKKaCR第七節(jié)第七節(jié) 線性變形體的幾個(gè)互等定理線性變形體的幾個(gè)互等定理 一、功的互等定理：一、功的互等定理： 在線性變形體系中，狀態(tài)一的外力由于狀態(tài)二的位移所作的虛功等在線性變形體系中，狀態(tài)一的外力由于狀態(tài)二的位移所作的虛功等于狀態(tài)二的外力由于狀態(tài)一的位移所作的功。于狀態(tài)二的外力由于狀態(tài)一的位移所作的功。P P1 1 1212=P=P2 2 2121二、位移互等定理：二、位移互等定理： 如果作用在體系上的力是單位力，則在第一個(gè)單位力方向上，由于如果作用在體系上的力是單位力，則在第一個(gè)單位力方向上，由于第二個(gè)

22、單位力所引起的位移等于第二個(gè)單位力方向上，由于第一個(gè)單位第二個(gè)單位力所引起的位移等于第二個(gè)單位力方向上，由于第一個(gè)單位力所引起的位移。力所引起的位移。 1212= = 2121三、反力互等定理：三、反力互等定理： 如果結(jié)構(gòu)支座發(fā)生的是單位位移，則支座如果結(jié)構(gòu)支座發(fā)生的是單位位移，則支座1 1由于支座由于支座2 2的單的單位位移所引起的反力位位移所引起的反力r12r12等于支座等于支座2 2由于支座由于支座1 1的單位位移所引起的的單位位移所引起的反力反力r21r21。r r1212=r=r2121四、反力與位移互等定理：四、反力與位移互等定理： 由于單位荷載使體系中某一支座所產(chǎn)生的反力，等于該

23、支由于單位荷載使體系中某一支座所產(chǎn)生的反力，等于該支座發(fā)生與反力方向相一致的單位位移時(shí)，在單位荷載作用處所引起座發(fā)生與反力方向相一致的單位位移時(shí)，在單位荷載作用處所引起的位移，唯符號(hào)相反。的位移，唯符號(hào)相反。r r1212=-=- 2121一、一、 試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。P/2P/2P/2P/2P Pa aa aa aPa/2Pa/2Pa/2Pa/2Pa/2Pa/2Pa/2Pa/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2M M圖圖Q Q圖圖N N圖圖a aa/2a/2a/2a/2P PpapaP P2P2P2P2P2pa2pa1.5pa1.5pa0.5pa0.5pa2P2PP P2P2PM M圖圖Q Q圖圖N N圖圖2pa2paa/2a/2a/2a/2a/2a/22KN2KN16kN/m16kN/m2kN/m2kN/m8kN8kNa/2a/22020363612121 1262613kN13kN5kN5kN6kN6kN2 26 65 5131313135 5M(kN.mM(kN.m) )Q(kNQ(kN) )N(knN(kn) )二、試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。二、試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。30kN30kN3kN/m5m5m10m10m10m4507515037.5M(kN.m)mma2a2aa1.5m