M02n初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 錄像機計數(shù)器的用途錄像機計數(shù)器的用途2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.4 汽車剎車距離汽車剎車距離2.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績2.6 動物的身長和體重動物的身長和體重 2.7 實物交換實物交換2.8 核軍備競賽核軍備競賽2.9 啟帆遠航啟帆遠航2.10 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化2.1 公平的席位分配公平的席位分配系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100

2、.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題三個系學生共三個系學生共200名名(甲甲100，乙，乙60，丙，丙40)，代表會，代表會議共議共20席，按比例分配，三個系分別為席，按比例分配，三個系分別為10, 6, 4席席.因?qū)W生轉(zhuǎn)系因?qū)W生轉(zhuǎn)系, 三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 如何分配如何分配20席席?若代表會議增加若代表會議增加1席，如何分配席，如何分配21席席?比比例例加加慣慣例例對對丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲

3、 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21背背景景Hamilton (比例加慣例比例加慣例) 方法方法-1792年美國國會用于分配各州眾議員名額年美國國會用于分

4、配各州眾議員名額已知已知: m方人數(shù)分別為方人數(shù)分別為 p1, p2, pm, 記總?cè)藬?shù)為記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為待分配的總席位為N.記記 qi=Npi /P, 稱為第稱為第i方的份額方的份額(i =1,2, ,m) 各方先分配各方先分配qi的整數(shù)部分的整數(shù)部分qi, 總余額為總余額為miiqNN1 記記ri =qi-qi, 則第則第i方的分配名額方的分配名額ni為為其他個最大的,iiiiqNrqn1要要求求已知份額向量已知份額向量q=(q1, , qm), 找一個整數(shù)找一個整數(shù)分配向量分配向量n=(n1, , nm), 使使n與與q最最接近接近.Hamilton

5、方法的不公平性方法的不公平性1. p1, p2,pm不變不變, N的增加會使某個的增加會使某個ni減少減少 (上例上例).2. N不變不變, pi 比比pj的增長率大的增長率大, 會使會使 ni減少減少 nj增加增加(例例1).3. p1, p2, pm不變不變, m增加增加1, N的增加會使某個的增加會使某個ni增加增加而某個而某個ni減少減少(例例2).pinii=110310i=2636i=3344總和總和 20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.54 20ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.61

6、 21ni1163121例例1例例2“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的數(shù)量指標衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當當p1/n1= p2/n2 時，分配公平時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對對A的的絕對不公平度絕對不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5 實際上右面對實際上右面對A的不公平程度已大大降低的不公平程度已大大降低! ! 雖然左右兩種情況雖然左

7、右兩種情況的的絕對不公平度相同絕對不公平度相同.若若 p1/n1 p2/n2 ，對，對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案應公平分配方案應使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席席, 若增加若增加1席席, 問應分給問應分給A, 還是還是B?不妨設(shè)分配開始時不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對，即對A不公平不公平.),(/21222211nnrnpnpnpA 對對A的的相對不公平度相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配將一次性的席

8、位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義，定義1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應給則這席應給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應計算應計算rB(n1+1, n2)應計算應計算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應給則這席應給 B“公平公平”分配方分配方法法當當 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給該席給ArA, rB的定義的定義)1()1(11212222nnpnnp該席給該席給A否則否

9、則, 該席給該席給B, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定義定義該席給該席給Q值值較大的一方較大的一方推廣到推廣到m方方分配席位分配席位minnpQiiii, 2 , 1,)1(2計算計算該席給該席給Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法 (Huntington)“公平公平”分配方分配方法法三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21個席位個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢席分配完畢甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21

10、席席第第20席席3 .964334, 5 .9476632322QQ第第21席席, 4 .80121110321QQ2, Q3同上同上Q3最大，第最大，第21席給丙系席給丙系甲系甲系11席席, 乙系乙系6席席, 丙系丙系4席席Q值方法值方法分配結(jié)果分配結(jié)果公平嗎？公平嗎？Q1最大，第最大，第20席給甲系席給甲系, 4 .96111010321Q模型的公理化研究模型的公理化研究Q值方法比值方法比“比例加慣例比例加慣例”方法更公平嗎？方法更公平嗎？席位分配的公理席位分配的公理 (1974)份額份額qi=Npi /P, 分配名額分配名額ni = ni (N, p1, , pm )已知已知p1, p2

11、, pm , P, N1) qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公平分配性公平分配性2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 名額單調(diào)性名額單調(diào)性3) 若若pi車身的平均長度車身的平均長度15英尺英尺(=4.6m)“2秒準則秒準則”與與“10英里英里/小時加一車身小時加一車身”規(guī)則規(guī)則不同不同.剎剎車車距距離離反應時間反應時間司機司機狀況狀況制動系統(tǒng)制動系統(tǒng)靈敏性靈敏性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候制動器作用力、車重、車速、道路、氣候最大制動力與車質(zhì)量成正最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動比，使汽車作勻減速運動.車速車速常數(shù)常數(shù)反反

12、應應距距離離制制動動距距離離常數(shù)常數(shù)假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應距離等于反應距離 d1 與制動距離與制動距離 d2 之和之和.2. 反應距離反應距離 d1與車速與車速 v成正比成正比.3. 剎車時使用最大制動力剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變作功等于汽車動能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應時間為反應時間21ddd且且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比.22kvd 反應時間反應時間 t1的經(jīng)驗估計值為的經(jīng)驗估計值為0.75秒秒.參數(shù)估計參數(shù)估計 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門提供的一組

13、實際數(shù)據(jù)擬合 k.21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間計算剎車距離、剎車時間 車速車速(英里英里/小時小時) (英尺英尺/秒秒)實際剎車距離實際剎車距離（英尺）（英尺）2029.342（44）3044.073.5（78）4058.7116（124）5073.3173（186）6088.0248（268）70102.7343（372）80117.3464（506）計算剎車距離計算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時間剎車時間（秒）（秒）43.91.582.51.8132.12.1192.22.5263.83.0346.53.6439.54.3“2秒準則秒準則

14、”應修正為應修正為 “t 秒準秒準則則”22106. 075. 0vvkvvtd模模 型型車速車速(英里英里/小時小時)剎車時間剎車時間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里車速（英里/小時）小時）010104040606080t（秒）（秒）12342.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績賽艇賽艇 2000m成績成績 t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人

15、5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長艇長l 艇寬艇寬b (m) (m) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 槳槳手數(shù)手數(shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對四種賽艇對四種賽艇 (單人、雙人、四人、八人單人、雙人、四人、八人) 4次國際次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與槳槳手數(shù)有某手數(shù)有某種關(guān)系種關(guān)系. 試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系.問問題題準準備備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l /

16、b, w0/n 基本不變基本不變問題分析問題分析 前進阻力前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進動力前進動力 槳手的劃槳功率槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手數(shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與槳手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定賽艇速度由前進動力和前進阻力決定:劃槳劃槳功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進前進動力動力前進前進阻力阻力漿手漿手數(shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定. . 運用合適的物理定律建立模型運用合適的物理定律建立模型. .模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇

17、形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號：艇速符號：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 槳手數(shù)槳手數(shù) n, 槳手功率槳手功率 p, 槳手體重槳手體重 w, 艇重艇重 W.艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比槳手的特征槳手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績比賽成績 t n 1/9np fv,

18、模型檢驗模型檢驗n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog線性最小二乘法線性最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績對模型成績對模型 t n 1/ 9 進行檢驗進行檢驗.tn12487.216.886.325.84與模型吻合！與模型吻合！劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績 對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題對實際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題. 利用物理基本知識分析問題利用物理基本知識分析問題. 模型假設(shè)比較粗糙模型假設(shè)比較粗糙. 利用合適的物理定律及簡單的比例利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模方法建

19、模(只考慮各種艇的相對速度只考慮各種艇的相對速度). 模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)十分吻合模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！巧合！)2.6 動物的身長和體重動物的身長和體重背景與問題背景與問題 研究四足動物軀干的長度與體重的關(guān)系研究四足動物軀干的長度與體重的關(guān)系. 家畜收購站家畜收購站 (屠宰場屠宰場) 希望從軀干長度估計體重希望從軀干長度估計體重. 不陷入各種動物生理結(jié)構(gòu)的研究不陷入各種動物生理結(jié)構(gòu)的研究.問題分析問題分析 將動物軀干將動物軀干類比類比為圓柱形的彈性梁，四肢為為圓柱形的彈性梁，四肢為支架，借助彈性力學的已有結(jié)果進行分析支架，借助彈性力學的已有結(jié)果進行分析.假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模

20、 1. 軀干為圓柱體，長度軀干為圓柱體，長度 l, 直徑直徑 d, 斷面面積斷面面積 s.2. 圓柱體為彈性梁，四肢為支架圓柱體為彈性梁，四肢為支架.3. 動物在自身體重動物在自身體重 f 作用下，軀干作用下，軀干最大下垂為最大下垂為 b (梁的最大彎曲梁的最大彎曲).4. 彈性力學的已有結(jié)果：彈性力學的已有結(jié)果：dlbf23sdflb 5. 由由 f sl ,得得23dllbb/l是動物軀干的相對下垂度是動物軀干的相對下垂度.在長期進化過程中每種動物的在長期進化過程中每種動物的 b/l 已經(jīng)達到最已經(jīng)達到最合適的數(shù)值，即合適的數(shù)值，即 b/l=常數(shù)常數(shù)(與動物尺寸無關(guān)與動物尺寸無關(guān)). b/

21、l 太大，四肢無法支撐；太大，四肢無法支撐； b/l 太小，四肢的尺寸超過支撐軀干太小，四肢的尺寸超過支撐軀干的需要，不合乎生物進化論的需要，不合乎生物進化論.對于一種四足動物對于一種四足動物( (如生豬如生豬) )由統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定系數(shù)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定系數(shù)k .l3 d2 f sl, s d2, l3 d2 軀干的相對下垂度軀干的相對下垂度b/l l 3/d2 dlbf假設(shè)與建模假設(shè)與建模 f l4f =kl4可以從軀干長度可以從軀干長度 l 估計動物體重估計動物體重 f .動物的身長和體重動物的身長和體重將動物軀干將動物軀干類比類比為彈性梁為彈性梁充滿想像力的充滿想像力的大膽假設(shè)大膽假設(shè)!把不熟

22、悉的問題轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為有確切研究成果的彈性梁在自重下的撓曲問題性梁在自重下的撓曲問題.類比法是數(shù)學建模的一種常用方法類比法是數(shù)學建模的一種常用方法.問問題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案商定相互交換一部分。研究實物交換方案.yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點的偏愛，則矩形內(nèi)

23、任一點 p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyyo0 xo2.7 實物交換實物交換xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無差別曲線甲的無差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度具有同樣的滿意程度,即即p1, p2對甲是無差別的對甲是無差別的.MN將所有與將所有與p1, p2無差別的點無差別的點連接起來連接起來, 得到一條得到一條無差別無差別曲線曲線MN.線上各點的滿意度相同線上各點的滿意度相同, 線的形狀反映對線的形狀反映對X,Y的偏愛

24、程度的偏愛程度.N1M1P3(x3,y3).比比MN各點滿意度更高的點如各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲，在另一條無差別曲線線M1N1上上, 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）.yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點凸向原點) 互不相交互不相交在在p1點占有點占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點占有點占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y.甲的無差別曲

25、線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）甲的無差別曲線甲的無差別曲線xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）相同性質(zhì)（形狀可以不同）. 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標系坐標系xOy, 且反向）且反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上! !因為在因為在AB外的任一點外的任一點p, (雙方雙

26、方)滿意度低于滿意度低于AB上的點上的點p.兩族曲線切點連線記作兩族曲線切點連線記作AB分析與建模分析與建模AB 交換方案的進一步確定交換方案的進一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形內(nèi)任一點矩形內(nèi)任一點交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價交等價交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前交換前x0,y0價值相同，則等價值相同，則等價交換原則下交換路徑為價交換原則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點的連線兩點的連線CD.AB與與CD的交點的交點p設(shè)設(shè)X單價單價a, Y單價

27、單價b, 則等價交換下則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.xp.2.8 核軍備競賽核軍備競賽 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全, 實行實行“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競賽不斷升級核軍備競賽不斷升級. 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過了雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議一系列核裁軍協(xié)議. 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張, 而存在暫時的平衡狀態(tài)而存在暫時的平衡狀態(tài). 當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭

28、導彈等措施時彈頭導彈等措施時, 平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化. 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個數(shù)量受哪些因素影響這個數(shù)量受哪些因素影響.背背景景與與問問題題以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導彈數(shù)量描述核軍備的大小核導彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核

29、導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊.在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地.摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定攻擊精度和另一方的防御能力決定.模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚導彈枚導彈,乙所需的最少導彈數(shù)乙所需的最少導彈數(shù)(乙安全線乙安全線)x=g(y)乙有乙有y枚導彈枚導彈,甲所需的最少導彈數(shù)甲所需的最少導彈數(shù)(甲安全線甲安全線)當當 x=0時時 y=y0，y0

30、乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點平衡點(雙方最少導彈數(shù)雙方最少導彈數(shù))乙安全線乙安全線分析分析模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導彈攻擊乙方一個甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率基地，基地未被摧毀的概率.sx個基地未被摧毀，個基地未被摧毀，yx個基

31、地未被攻擊個基地未被攻擊.xy甲方以甲方以 x枚導彈攻擊乙方枚導彈攻擊乙方 y個基地中的個基地中的 x個個,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個基地被攻擊個基地被攻擊2次次, s2(xy)個未被摧毀個未被摧毀;y (xy)=2y x個被攻擊個被攻擊1次次, s(2y x )個未被摧毀個未被摧毀.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙導彈數(shù)量比甲乙導彈數(shù)量比)x=a y,分析分析模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0

32、威懾值威懾值s殘存率殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線 y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡. s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平.xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標.乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級.),(mmyxP（其他因素不變）（其他因素不變）乙安全線乙安全線 y

33、=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點平衡點PP 甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架.乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0不變不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少.PP 雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標.(x , y仍為雙方核導彈的數(shù)量仍

34、為雙方核導彈的數(shù)量)雙方威懾值雙方威懾值x 0, y0和殘存率和殘存率s均減小均減小.y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP s變小變小 y增加且變陡增加且變陡雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析.?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 核核 軍軍 備備 競競 賽賽 對對“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡化假設(shè)，用圖做一些合理、簡化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達到平衡的過程的模型描述雙方核武器相互制約、達到平衡的過程. 提出提出安全曲線安全

35、曲線概念，給出它的一般形式概念，給出它的一般形式. 通過更精細的分析找到影響安全線的參數(shù)：通過更精細的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值威懾值和殘存率和殘存率，給出安全線的分析表達式，給出安全線的分析表達式. 利用模型對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋利用模型對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.帆船在海面上乘風遠航，確定帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題簡化問題AB 風向風向北北航向航向帆船帆船海面上東風勁吹，設(shè)帆船海面上東風勁吹，設(shè)帆船要從要從A點駛向正東方的點駛向正東方的B點，點，確定起航時的航向確定起航時的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及

36、帆的朝向 .2.9 啟帆遠航啟帆遠航模型分析模型分析 風風(通過帆通過帆)對船的推力對船的推力w 風對船體部分的阻力風對船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風面積與帆迎風面積s1成正比，成正比，p與船迎風面積與船迎風面積s2成正比，比例系數(shù)相同且成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠大于遠大于 s2 .f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型假設(shè)假設(shè) wpw1w

37、2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比.v=k1(f1-p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當當 固定時求固定時求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時時 f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos

38、f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備備注注 只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型. 航行過程中終點航行過程中終點B將不在正東方，應調(diào)整將不在正東方，應調(diào)整 和和 . 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos

39、s22.10 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化物物理理量量的的量量綱綱長度長度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時間時間 t 的量綱記的量綱記 T=t動力學中動力學中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導出量綱導出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對無量綱量對無量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.10.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量

40、綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：單擺運動例：單擺運動)1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動周期求擺動周期 t 的表達式的表達式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無量綱量為無量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達式的量綱表達式2ltg與與 對比對比33212TLMT12003321對對 x,y,z的兩組量測值的兩組量測值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2,

41、y2,z2 )2121pppp為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式?設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp量綱齊量綱齊次原則次原則321glmt 單擺運動單擺運動0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單

42、擺運動中單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式的一般表達式0),(glmtf020041243yyyyy21t l g)/(glt3124yyyyt m l gy1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無量綱量為無量綱量( )0FT) 1, 1, 0, 2(Tyyyyy),(4321基本解基本解設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價, F未定未定.Pi定理定理 (Buckingha

43、m)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, Xn 是是基本量綱基本量綱, n m, q1, q2, qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rrankA若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個基本解，記作個基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個相互獨立的無量綱量個相互獨立的無量綱量, 且且則則)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航

44、船的阻力波浪對航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqf123(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)TTTyyyflgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個基本解個基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個基本解個基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s

45、= 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個無量綱量個無量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力 F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價等價flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達式的顯式表達式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價221213,),(lsglvglf量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力量綱分析法的評注量綱分析法

46、的評注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個數(shù)基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無量綱量未定和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識不需要特定的專業(yè)知識.2.10.2 量綱分析在物理模擬中的應用量綱分析在物理模擬中的應用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力通過航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船

47、的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測量測 f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬2.10.3 無量綱化無量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭。初速星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v, 星星球半徑球半徑r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律.t=0 時時 x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律牛頓第二定律，萬有引力定律)0( xgx grkm223個獨立參數(shù)個獨立參數(shù)用無量綱化方