幾何的五大模型

1、幾何的五大模型一、等積變換模型(1) 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(2) 兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比(3) 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比(4) 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖，S=SABCBAD反之，如果S=S,則可知直線AB平行于CD(ABCD)ABCBCD二、鳥頭定理(共角定理)模型(1) 兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。(2) 共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。如圖在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)如圖.(或D在BA的延長線上，E在AC上),則S:S=(ABXAC):(ADXAE)ABCAD

2、E推埋過程連接BE,再利用等積變換模型即可。證明：圖(1)中設(shè)：過頂點(diǎn)D做底邊AE的高為H1；過頂點(diǎn)B做底邊AC的高為H2ABE中SAADE：SAABE=AD：AB同理SAADE：SAABE=H1：H2AD：AB=H1：H2X6SAABC=AC*H2*1/2得出SAADE：SAABC=AE*H1：AC*H2所以SAADE：SAABC=(ABXAC):(ADXAE)圖(2)中設(shè)過頂點(diǎn)D作底邊AE的高為H1,過頂點(diǎn)B做底邊AC的高為H2ADBE中，SAADE：SAABE=ADSAADE：SAABE=H1：H2SAABC=AC*H2*1/2得出SAADE：SAABC=AE*H1：AC*H2所以SAA

3、DE：SAABC=(ABXAC):(ADXAE)三、蝴蝶定埋模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定埋”) S1：S2=S4：S3或者S1XS3=S2XS4 AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)證明(1)：在AABD中，SI：S2二DO:OB在ADCB中，S4：S3二DO：OB得到S1:S2=S4:S3或者S1XS3=S2XS4(十字相乘法)證明(2)：設(shè)過D點(diǎn)作底邊AC的高為Hl,過B點(diǎn)作底邊AC的高為H2(S1+S2):(S4+S3)=(AO*H1*1/2+AO*H2*1/2)：(OC*H1*1/2+OC*H2*l/2)約分得到：(Sl+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理為我們提

4、供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系?？趎S3=a2：b2梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)Sl：證明：OCSl：S2=a:b*S2由AO：而Sl：S2=DO：而S2：S3=AO：OCS2：S3=a:b，得到S3=S2*b/aS1：S3=a2：b2 S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab:ab證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯形S的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)2證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得四、相似模型相似三角形性質(zhì)(1) AD_AE_DE_AF沙漏模型(2) SSAF2:AG2ADE：ABC=證明：SSADE：ABC=DE*AF*1/2：BC*AG*1/2SSAF2ADE：ABC=AG2DE_AFBCAG所謂相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變，它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：A.相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；B.相似三角形的面積比等于它們相似比的平方五、燕尾定理模型(1)SABG：S=A