第四節(jié)矩與協(xié)方差矩陣

1、概率統(tǒng)計(jì)矩是隨機(jī)變量的更為廣泛的一種數(shù)字特征，前面介矩是隨機(jī)變量的更為廣泛的一種數(shù)字特征，前面介紹的數(shù)學(xué)期望及方差都是某種矩紹的數(shù)學(xué)期望及方差都是某種矩.第四節(jié)第四節(jié) 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣 一一. 矩矩 定義定義: 設(shè)設(shè) 和和 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量XY則稱它為則稱它為 的的 階原點(diǎn)階原點(diǎn)Xk(1).(2).()kE X若若 存在，存在，1,2,k k簡稱簡稱 階矩。階矩。矩矩，1,2,k () kEXE X 若若 存在，存在，則稱它為則稱它為 的的 階中心矩階中心矩。 kX概率統(tǒng)計(jì)(3). 若若 存在，存在，,1,2,k l ()klE X Y則稱它為則稱它為YX和和 的的 階混合矩。

2、階混合矩。kl (4).() ( ) klEXE XYE Y若若 存在，存在，,1,2,k l 則稱它為則稱它為YX和和 的的 階階kl 混合中心矩混合中心矩。注：注：X數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 的一階的一階()E X顯然顯然：()D X原點(diǎn)矩；方差原點(diǎn)矩；方差 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 的的X(,)Cov X Y二階中心矩；協(xié)方差二階中心矩；協(xié)方差 是隨是隨XY的二階混合中心矩。的二階混合中心矩。機(jī)變量機(jī)變量 和和概率統(tǒng)計(jì)二二. 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 21111() cEXE X121122()()cEXE XXE X 將它們排成矩陣的形式將它們排成矩陣的形式:212211()()

3、cEXE XXE X 22222() cEXE X 稱此矩陣為（稱此矩陣為（X1, X2）的）的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.11122122cccc這是這是一個(gè)一個(gè)對稱對稱矩陣矩陣定義定義: 若二維隨機(jī)變量（若二維隨機(jī)變量（X1, X2）的四個(gè)二階中心矩）的四個(gè)二階中心矩都存在，分別記為：都存在，分別記為：概率統(tǒng)計(jì) 類似可定義類似可定義 n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量( X1, X2, , Xn ) 的的 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣.為為( X1, X2, , Xn ) 的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣111212122212nnnnnnccccccCccc 都存在，則都存在，則稱稱矩陣矩陣：i, j = 1, 2,

4、n(,)i jijcCov XX 若若()()iijjEXE XXE X 注注： 概率統(tǒng)計(jì)121 211exp()()(2 )|2nXCXC f ( x1, x2, , xn )則稱則稱 X 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布.C 是是( X1, X2, , Xn ) 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.|C| 是它的行列式，是它的行列式， 表示表示 C 的逆矩陣的逆矩陣.1C X 和和 是是 n 維列向量，維列向量， 表示表示 X 的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置. X 設(shè)設(shè) =( X1, X2, , Xn )是一個(gè)是一個(gè) n 維隨機(jī)向量，若維隨機(jī)向量，若 它的概率密度為：它的概率密度為：X n 維正態(tài)分布的概率密度的定

5、義維正態(tài)分布的概率密度的定義.其中：其中：推導(dǎo)過程見教推導(dǎo)過程見教材材P135概率統(tǒng)計(jì)n 元正態(tài)分布的四條元正態(tài)分布的四條重要性質(zhì)重要性質(zhì)X = ( X1, X2, , Xn ) 服從服從 n 維正態(tài)分布的維正態(tài)分布的充充 分必要條件分必要條件是：對一切不全為零的實(shí)數(shù)：是：對一切不全為零的實(shí)數(shù)： a1, a2, , an ， ( X1, X2, , Xn ) 的任意線性組的任意線性組合：合：a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服從一維正態(tài)均服從一維正態(tài)分布分布.(1).(2). 若若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服從服從 n 維正態(tài)分布，維正態(tài)分布， Y1, Y2, ，Y

6、k 是是 Xj（j = 1, 2, n）的線性）的線性函數(shù)，則函數(shù)，則 ( Y1, Y2, ，Yk ) 也服從多維正態(tài)也服從多維正態(tài)分布分布.這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性.概率統(tǒng)計(jì)若若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服從服從 n 維正態(tài)分布，維正態(tài)分布， 則它的每一個(gè)分量則它的每一個(gè)分量 Xj（j = 1, 2, n）都服從）都服從(3).正態(tài)分布；正態(tài)分布；反之反之，若，若 X1, X2, , Xn 都服從都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則 ( X1, X2, , Xn ) 服從服從 n 維正態(tài)分布。維正態(tài)分布。設(shè)設(shè)

7、 ( X1, X2, , Xn ) 服從服從 n 維正態(tài)分布，則：維正態(tài)分布，則：(4).“ X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 ” 與與 “ X1, X2, , Xn 兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān) ”是是等價(jià)等價(jià)的的。上述的四條性質(zhì)在后續(xù)的上述的四條性質(zhì)在后續(xù)的“隨機(jī)過程隨機(jī)過程”與與“數(shù)理統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)”課程中會(huì)經(jīng)常用到。課程中會(huì)經(jīng)常用到。概率統(tǒng)計(jì)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 和和 Y 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 X N ( 1, 2 ),Y N (0, 1 ). 故故: X 和和 Y 的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X 和和 Y 的任的任 意線性組合是正態(tài)分布意線性組合是正態(tài)分布.X N ( 1, 2 ), Y N ( 0, 1 )，且，且 X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 即：即： Z N (