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1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案(后附教學(xué)反思)永嘉中學(xué)數(shù)學(xué)組 周瑛 08.4.13【教學(xué)目標(biāo)】 知識與技能目標(biāo)：(1)使學(xué)生掌握函數(shù)f(x)在x xo處的導(dǎo)數(shù)Qxo的幾何意義就是函數(shù)f(x)的 圖像在X X0處的切線的斜率。(數(shù)形結(jié)合)，即：f X X f ( X )fz xolim 二切線的斜率x 0 X(2)會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方 法。過程與方法：通過讓學(xué)生在動手實踐中探索、觀察、反思、討論、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，思維能力，應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力 的目的。情感態(tài)度與價值觀：導(dǎo)數(shù)的幾何意義能夠很好地幫助理解導(dǎo)數(shù)的定義，達(dá)到數(shù)與形的結(jié)

2、合；同時又是知識在幾何學(xué)，物理學(xué)方面的遷移應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)， 用數(shù)學(xué)的意識?！窘虒W(xué)手段】采用幻燈片，實物投影等多媒體手段，增大教學(xué)容量與直觀性，有效提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量?！菊n型】探究課【教學(xué)重點與難點】重點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法。難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教學(xué)過程】(一) 課題引入，類比探討：讓學(xué)生回憶導(dǎo)數(shù)的概念及其本質(zhì)。(承上啟下，自然過渡)。師：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么？寫出它的表達(dá)式。(一位學(xué)生板書)，其他學(xué)生在 “學(xué)案”中寫：導(dǎo)數(shù)f / ( X0 )的本質(zhì)是函數(shù)f ( X)在X X0處的瞬時變化率，即：f7 xo lim f-xo-x-fCmx 0

3、 X(注記：教師不能代替學(xué)生的思維活動，學(xué)生將大腦中已有的經(jīng)驗、認(rèn)識轉(zhuǎn)換成 數(shù)學(xué)符號，有利于學(xué)生思維能力的有 效提高，為學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”，感知導(dǎo)數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)）師：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)僅是從代數(shù)（數(shù)）的角度來詮釋導(dǎo)數(shù)，若從圖形（形）的角度來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義（板書課題），應(yīng)從哪兒入手呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生：數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要結(jié)合“數(shù)”）生1:研究導(dǎo)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式。師：那必然就要回憶求導(dǎo)數(shù)f/（xo）的步驟了。生（齊）：分三步：第一步：求y第二步：求平均變化率工xf （ Xf （ X ）第三步：當(dāng)x趨近于0時，平均變化率 "無限趨近于的常x數(shù)就是f/（xo）。（回歸本質(zhì)

4、，數(shù)形結(jié)合）教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生：這是從“數(shù)”的角度來求導(dǎo)數(shù)，若從“形”的角度探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，類比地，也可以分三個步驟：師：第一步：y的幾何意義。（并在學(xué)案的圖（二次函數(shù)）中畫出）生：當(dāng)X0X與X0所對應(yīng)的函數(shù)值的差量。師：很好，那么第二步：平均變化率f（x°x）3的幾何意義是什么?X（同樣請在函數(shù)圖像中畫出來）；由于上節(jié)探究中做過，所以還是比較簡單。f（XX）f （ X ）生2：平均變化率 。的幾何意義是割線AB的斜率。其中xA（ xo , f （ xo ）, B（xo x, f（xo x）。（提醒學(xué)生A、B兩點的坐標(biāo)必須寫清楚。）師：第二步：x 。時，割線AB有什么變化？請用你

5、的筆描繪出來。（有靜態(tài)到動態(tài)的過渡，比較考察學(xué)生的觀察能力，動手能力與獨(dú)立思考能力）很快，有幾個學(xué)生又畫了三條直線（其中橫坐標(biāo)在 xo x與xo之間。）教師讓生3用投影儀展示自己的作品，并向其它學(xué)生介紹自己作圖的意圖，由此引導(dǎo)同伴觀察到：x 0 , B（ Xo x, f （ xo x） A（ xo , f （ xo ）,師（趁勝追擊）：很好，那么當(dāng)x 0,于是A, B之間的差距越來越小，B一直，一直這樣靠近 A,最后會生（齊）:重合。師：那么直線AB ?生（齊）：變成一條切線了。師：大家真不錯，確實，當(dāng) X 0 ,割線AB有一個無限趨近的確定位置，這個確定位置上的直線叫做曲線在 x xo處的切

6、線，下面請把它畫出來。等學(xué)生化出切線 AD后，教師用Flash展示動態(tài)過程，引導(dǎo)學(xué)生回顧過程。結(jié)論：（形）x 0,割線AB 切線AD,則割線AB的斜率切線AD的斜率。（口述）f （ X ）由數(shù)形結(jié)合，得 匚xo lim上多x_ =切線AD的斜率。（板書） 所以，函數(shù)f（x）在x xo處的導(dǎo)數(shù)針xo的幾何意義就是函數(shù) f（x）的圖像在X xo處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合）。（說明：動手實踐，探索發(fā)現(xiàn)。使學(xué)生經(jīng)歷探究”導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的過程以獲 得理智和情感體驗，建構(gòu)“導(dǎo)數(shù)及其幾何意義”的知識結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確理解“導(dǎo)數(shù)的幾 何意義”，掌握“數(shù)形結(jié)合，類比探討”的數(shù)學(xué)思想方法。）（二）深入研究，知識拓展

7、師：好，我們現(xiàn)在清楚導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是在該點處切線的斜率。其中切線 很關(guān)鍵，但是它與以前學(xué)過的切線定義有什么不同呢？見P77的探究問題。生4：初中平面幾何中，如圓的切線的的定義：直線和圓有惟一公共點時， 叫做直線和圓相切。這時，直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點。師：學(xué)得非常知 確實如此，但從剛才那刻開始，將會有變數(shù)。（展7K如卜動迎1, A點 直線1 1B 直線I?）。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)生4講的初中切線的定義已不適合這里了。師：圓是一種特殊的曲線。這種定義并不適用于一般曲線的切線。例如上 圖中，直線h雖然與曲線有惟一的公共點，但我們不能認(rèn)為它與曲線相切；而另一條直線h雖然與曲線有不只一個公共點，

8、我們還是認(rèn)為它是曲線的切線。因此，以上圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不 惟一），適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。 （三）“以直代曲”思想利用PPT做出三個切點附近的近景，而且由小放到大，類似于放大鏡的效 果，讓學(xué)生觀察切點附近曲線與直線的位置關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，它們越來越靠近，幾乎重合。此時，教師點出：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點P附近，曲線f（ x）可以用在點P處的切線近似代 替，這是微積分中重要的思想方法一一以直代曲（以簡單的對象刻畫復(fù)雜的對 象）。（動畫演示：通過信息技術(shù)將函數(shù)曲線某一點附近的圖象放大得到

9、一個近 景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越象直線；大多數(shù)函數(shù)曲線就一小 范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代 替，即“以直代曲”）（說明：適時、有效地采用計算機(jī)等多媒體輔助教學(xué)，可以不僅加強(qiáng)學(xué)生對“導(dǎo) 數(shù)的幾何意義”形象、直觀地理解，還能將學(xué)生的動手實踐（感知體驗）與抽象思維 （深層內(nèi)化）有效結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生的思維能力訓(xùn)練，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。）（四）例題講解，加強(qiáng)理解例1 在函數(shù)h（t） 4.9t2 6.5t 10的圖像上，用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)h，3.3 , hz（0.5） 1.6的幾何意義，并用數(shù)學(xué)語言表述出來。變式：請描述、比較曲線11（1）在10

10、,114 2附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在t 3, 14附近呢？（如下圖）（注記：要求學(xué)生動腦（審題），動手（畫切線），動口（同桌討論、描述運(yùn)動員 的運(yùn)動狀態(tài)），體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以 直代曲”的思想方法。）從中小結(jié)出：1 .點附近的增減-導(dǎo)數(shù)的正負(fù)-過該點切線的斜率正負(fù)；2.增減快慢-導(dǎo)數(shù)的絕對值大小過該點切線的斜率大小的絕對值 一曲線在該點附近的陡峭程度。（板書）位:min ）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計 t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 （min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。（精確到0.1）t0.20.40

11、.60.8藥物濃度的 瞬時變化率（注記：要求學(xué)生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率）進(jìn)一步體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）（五）抽象概括，歸納小結(jié)（先由學(xué)生小結(jié)）1 .抽象概括：由練習(xí)2抽象概括出導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）的概念：f/ xo是確定的數(shù)（靜態(tài)），fz X是X的函數(shù)（動態(tài)）由 “X。 11m fx。 X "）（特殊一般） x 0X f7 x lim x- （靜態(tài) 動態(tài)）x 0 x（說明：體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領(lǐng)會從特殊到一般的辯證思想2 .歸納小結(jié)：由學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)：（1）函數(shù)“刈在* xo處的導(dǎo)數(shù)f

12、/xo的幾何意義就是函數(shù)f（x）的圖像在X X0處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：f X X f （ X ）f/ xo lim 00二切-線 AD 的斜率x 0X（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲” 的思想方法。（3）導(dǎo)函數(shù)（簡稱“導(dǎo)數(shù)”）的概念。尹x lim f x x f（x） v nx（六）作業(yè)布置1 .習(xí)題 P8O.A5,6;B12 .（給好的學(xué)生）請給出求函數(shù)y f（x）在x xo處的切線方程的一個算法，并 小組自編四個求切線的題目。（探索：若把3.“在點（*0,一*（）處”改為“過點（xo ,f（xo ） ”，算法有何不 同？并小組自編四個求

13、切線的題目。）附：教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了 “變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識的基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由于新教材未設(shè)計極限，于是我盡量采用形象直觀的方式，讓學(xué)生通過 動手作圖，自我感受整個逼近的過程，并用形象的幾何畫板及Flash展示動態(tài)的過程, 讓學(xué)生更加深刻地體會導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際問題”兩個教學(xué)重心展開。先回憶導(dǎo)數(shù)的實際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究 導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率一一瞬時變化率”的研究思路，運(yùn)用 逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得 導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點處切線的斜率”。完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師點明，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”,從而達(dá)到“以簡單的對象刻畫復(fù)雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，并感受導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性。本節(jié)課注重以學(xué)生為主體，