河科大振動力學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1河科大振動力學(xué)河科大振動力學(xué)第一頁，共151頁。第1頁/共150頁第二頁，共151頁。緒論緒論(xln)緒論緒論(xln)l 1.1 機械振動的定義及學(xué)習(xí)目的機械振動的定義及學(xué)習(xí)目的(md)l 1.2 機械振動系統(tǒng)機械振動系統(tǒng)l 1.3 機械振動的分類機械振動的分類第2頁/共150頁第三頁，共151頁。1. 1 機械振動的定義機械振動的定義(dngy)及學(xué)及學(xué)習(xí)目的習(xí)目的 緒緒 論論從廣義上講，如果表征某一種從廣義上講，如果表征某一種(y zhn)運動的物理量作時而增大時而減小的反復(fù)運動的物理量作時而增大時而減小的反復(fù)變化，就可以稱這種運動為振動。變化，就可以稱這種運動為振動。振動振動

2、(zhndng)現(xiàn)象現(xiàn)象 心臟的搏動、耳膜和聲帶的振動心臟的搏動、耳膜和聲帶的振動(zhndng)等等 汽車、火車、飛機及機械設(shè)備的振動汽車、火車、飛機及機械設(shè)備的振動(zhndng) 家用電器、鐘表的振動家用電器、鐘表的振動(zhndng) 地震以及聲、電、磁、光的波動等等地震以及聲、電、磁、光的波動等等第3頁/共150頁第四頁，共151頁。緒論緒論(xln)第4頁/共150頁第五頁，共151頁。緒論緒論(xln)機械振動是一種特殊形式的運動。在這種運動過程中，機械機械振動是一種特殊形式的運動。在這種運動過程中，機械系統(tǒng)將圍繞平衡位置作往復(fù)運動。從運動學(xué)的觀點看，機械振動是系統(tǒng)將圍繞平衡位置

3、作往復(fù)運動。從運動學(xué)的觀點看，機械振動是指機械系統(tǒng)的某些物理量指機械系統(tǒng)的某些物理量(位移、速度位移、速度(sd)、加速度、加速度(sd)，在某一數(shù)值附近隨時間在某一數(shù)值附近隨時間t的變化關(guān)系。的變化關(guān)系。機械振動現(xiàn)象：汽輪發(fā)電機組、航空發(fā)動機、火箭等的振動機械振動現(xiàn)象：汽輪發(fā)電機組、航空發(fā)動機、火箭等的振動思考：油膜振動是機械振動嗎？思考：油膜振動是機械振動嗎？第5頁/共150頁第六頁，共151頁。- 各個不同領(lǐng)域中的現(xiàn)象雖然各具特色，但往往有著相似的數(shù)各個不同領(lǐng)域中的現(xiàn)象雖然各具特色，但往往有著相似的數(shù)學(xué)力學(xué)描述。正是在這個共性基礎(chǔ)上，有可能建立某種統(tǒng)一的理學(xué)力學(xué)描述。正是在這個共性基礎(chǔ)上

4、，有可能建立某種統(tǒng)一的理論來處理論來處理(chl)各種振動問題各種振動問題振動振動(zhndng)力學(xué)力學(xué)- 借助數(shù)學(xué)、物理、實驗和計算技術(shù)，探討各種振動現(xiàn)象，闡明振動的借助數(shù)學(xué)、物理、實驗和計算技術(shù)，探討各種振動現(xiàn)象，闡明振動的基本規(guī)律，以便克服振動的消極因素，利用基本規(guī)律，以便克服振動的消極因素，利用(lyng)其積極因素，為合其積極因素，為合理解決各種振動問題提供理論依據(jù)。理解決各種振動問題提供理論依據(jù)。緒論緒論-振動力學(xué)是研究機械振動的規(guī)律的一門課程。振動力學(xué)是研究機械振動的規(guī)律的一門課程。第6頁/共150頁第七頁，共151頁。緒論緒論(xln)許多情況下振動是有害的。許多情況下振動是

5、有害的。它常常是造成機械和結(jié)構(gòu)惡性破壞和失效它常常是造成機械和結(jié)構(gòu)惡性破壞和失效(sh xio)的直接原因。的直接原因。例如：例如： 運載工具的振動；運載工具的振動；噪聲；噪聲；機械設(shè)備以及土木結(jié)構(gòu)的破壞；降低機器及儀表的精度；機械設(shè)備以及土木結(jié)構(gòu)的破壞；降低機器及儀表的精度；日本海南電廠日本海南電廠66千瓦的汽輪發(fā)電機組，因發(fā)生異常而全千瓦的汽輪發(fā)電機組，因發(fā)生異常而全 機毀壞（機毀壞（ 1972年）。年）。美國西屋公司美國西屋公司300MW機組等。機組等。我國秦嶺電廠我國秦嶺電廠200MW機組等、出口伊朗機組等、出口伊朗300MW機組機組 等事故。等事故。第7頁/共150頁第八頁，共151

6、頁。緒論緒論(xln)振動也有可利用的一面振動也有可利用的一面(y min)。 琴弦振動；琴弦振動； 振動沉樁、振動拔樁以及振動搗固；振動沉樁、振動拔樁以及振動搗固； 振動壓路機；振動壓路機； 振動給料機；振動給料機； 振動成型機；振動成型機； 振動篩；振動篩；第8頁/共150頁第九頁，共151頁。學(xué)習(xí)振動力學(xué)的目的：學(xué)習(xí)振動力學(xué)的目的： 掌握振動的基本理論和分析方法，用以確定和限制振掌握振動的基本理論和分析方法，用以確定和限制振動對工程結(jié)構(gòu)和機械產(chǎn)品的性能、壽命和安全的有害影響動對工程結(jié)構(gòu)和機械產(chǎn)品的性能、壽命和安全的有害影響。 運用振動理論去創(chuàng)造和設(shè)計新型運用振動理論去創(chuàng)造和設(shè)計新型(xn

7、xng)(xnxng)的振動設(shè)的振動設(shè)備、儀器及自動化裝置。備、儀器及自動化裝置。緒論緒論(xln)第9頁/共150頁第十頁，共151頁。緒論緒論(xln)緒論緒論(xln)l 1.1 機械振動的定義及學(xué)習(xí)機械振動的定義及學(xué)習(xí)(xux)目的目的l 1.2 機械振動系統(tǒng)機械振動系統(tǒng)l 1.3 機械振動的分類機械振動的分類第10頁/共150頁第十一頁，共151頁。1.2 1.2 機械振動系統(tǒng)機械振動系統(tǒng)(xtng) (xtng) 可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生(chnshng)機械振動的力學(xué)系統(tǒng)，稱機械振動的力學(xué)系統(tǒng)，稱為機械振動系統(tǒng)。為機械振動系統(tǒng)。 機械振動系統(tǒng)可以是一個零部件、一臺機器或者一機械振動系統(tǒng)可

8、以是一個零部件、一臺機器或者一個完整的工程結(jié)構(gòu)等。個完整的工程結(jié)構(gòu)等。 一般來說，任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可一般來說，任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可以產(chǎn)生以產(chǎn)生(chnshng)機械振動。機械振動。緒論緒論(xln)第11頁/共150頁第十二頁，共151頁。系統(tǒng)系統(tǒng)（輸入）（輸入）激勵激勵（輸出）（輸出）響應(yīng)響應(yīng)振動(zhndng)系統(tǒng)的三要素：系統(tǒng)、激勵和響應(yīng) - 把外界對振動系統(tǒng)把外界對振動系統(tǒng)(xtng)的作用，稱為振的作用，稱為振 動系統(tǒng)動系統(tǒng)(xtng)的激勵（輸入的激勵（輸入）。）。系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)對外界影響的反映，稱為振動系統(tǒng)對外界影響的反映，稱為振動系統(tǒng)(xtng)

9、的響應(yīng)（輸出）。的響應(yīng)（輸出）。 緒論緒論第12頁/共150頁第十三頁，共151頁。n 激勵、系統(tǒng)和響應(yīng)三者中知道其中兩者，就可以求出第三者。因此，常見的振動問題按這三個環(huán)節(jié)(hunji)可分為：n第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應(yīng)n第二類：已知激勵和響應(yīng)，求系統(tǒng)n第三類：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵緒論緒論(xln)第13頁/共150頁第十四頁，共151頁。第一類：已知激勵第一類：已知激勵(jl)和系統(tǒng)，求響應(yīng)和系統(tǒng)，求響應(yīng) 動力動力(dngl)響應(yīng)分析響應(yīng)分析 主要任務(wù)主要任務(wù)(rn wu)在于驗算結(jié)構(gòu)、產(chǎn)品等在工作時的動力響應(yīng)（如變形在于驗算結(jié)構(gòu)、產(chǎn)品等在工作時的動力響應(yīng)（如變形、位移、應(yīng)力等）是

10、否滿足預(yù)定的安全要求和其它要求、位移、應(yīng)力等）是否滿足預(yù)定的安全要求和其它要求在產(chǎn)品設(shè)計階段，對具體設(shè)計方案進行動力響應(yīng)驗算，若不符合要求在產(chǎn)品設(shè)計階段，對具體設(shè)計方案進行動力響應(yīng)驗算，若不符合要求再作修改，直到達到要求而最終確定設(shè)計方案，這一過程就是所謂的再作修改，直到達到要求而最終確定設(shè)計方案，這一過程就是所謂的振動設(shè)計振動設(shè)計 正問題正問題系統(tǒng)系統(tǒng)（輸入）（輸入）激勵激勵（輸出）（輸出）響應(yīng)響應(yīng)緒論緒論第14頁/共150頁第十五頁，共151頁。第二類：已知激勵第二類：已知激勵(jl)和響應(yīng)，求系統(tǒng)和響應(yīng)，求系統(tǒng)系統(tǒng)識別系統(tǒng)識別(shbi)（系統(tǒng)辨識（系統(tǒng)辨識 ）求系統(tǒng)，主要是指獲得對于系

11、統(tǒng)的物理求系統(tǒng)，主要是指獲得對于系統(tǒng)的物理(wl)參數(shù)（如質(zhì)量、剛參數(shù)（如質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)等）和系統(tǒng)關(guān)于振動的固有特性（如固有頻率、主度和阻尼系數(shù)等）和系統(tǒng)關(guān)于振動的固有特性（如固有頻率、主振型等）的認識振型等）的認識 以估計物理參數(shù)為任務(wù)的叫做以估計物理參數(shù)為任務(wù)的叫做物理參數(shù)辨識物理參數(shù)辨識，以估計系統(tǒng)振動固有，以估計系統(tǒng)振動固有特性為任務(wù)的叫做特性為任務(wù)的叫做模態(tài)參數(shù)辨識模態(tài)參數(shù)辨識或者或者試驗?zāi)B(tài)分析試驗?zāi)B(tài)分析第一個逆問題第一個逆問題 系統(tǒng)系統(tǒng)（輸入）（輸入）激勵激勵（輸出）（輸出）響應(yīng)響應(yīng)緒論緒論第15頁/共150頁第十六頁，共151頁。第三類：已知系統(tǒng)第三類：已知系統(tǒng)(xtn

12、g)和響應(yīng)，求和響應(yīng)，求激勵激勵環(huán)境環(huán)境(hunjng)預(yù)測預(yù)測 例如：為了避免產(chǎn)品在公路運輸中的損壞，需要通過實地行車記錄汽例如：為了避免產(chǎn)品在公路運輸中的損壞，需要通過實地行車記錄汽車振動和產(chǎn)品振動，以估計運輸過程中是怎樣車振動和產(chǎn)品振動，以估計運輸過程中是怎樣(znyng)的一種振動環(huán)的一種振動環(huán)境，運輸過程對于產(chǎn)品是怎樣境，運輸過程對于產(chǎn)品是怎樣(znyng)的一種激勵，這樣才能有根據(jù)的一種激勵，這樣才能有根據(jù)地為產(chǎn)品設(shè)計可靠的減震包裝地為產(chǎn)品設(shè)計可靠的減震包裝 第二個逆問題第二個逆問題 系統(tǒng)系統(tǒng)（輸入）（輸入）激勵激勵（輸出）（輸出）響應(yīng)響應(yīng)緒論緒論第16頁/共150頁第十七頁，共1

13、51頁。系統(tǒng)系統(tǒng)（輸入）（輸入）激勵激勵（輸出）（輸出）響應(yīng)響應(yīng)緒論緒論(xln)第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應(yīng)：動力響應(yīng)分析，正問題第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應(yīng)：動力響應(yīng)分析，正問題 第二類：已知激勵和響應(yīng)，求系統(tǒng)：系統(tǒng)辨識第二類：已知激勵和響應(yīng)，求系統(tǒng)：系統(tǒng)辨識(bin sh)，第一個逆問，第一個逆問題題 第三類：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵：環(huán)境預(yù)測，第二個逆問題第三類：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵：環(huán)境預(yù)測，第二個逆問題第17頁/共150頁第十八頁，共151頁。緒論緒論(xln)緒論緒論(xln)l 1.1 機械振動的定義及學(xué)習(xí)機械振動的定義及學(xué)習(xí)(xux)目的目的l 1.2 機械振動系統(tǒng)機械振

14、動系統(tǒng)l 1.3 機械振動的分類機械振動的分類第18頁/共150頁第十九頁，共151頁。緒論緒論(xln)l 1.3 機械振動的分類機械振動的分類(fn li) 按描述振動系統(tǒng)的力學(xué)按描述振動系統(tǒng)的力學(xué)(l xu)模型可分為：模型可分為：連續(xù)系統(tǒng)振動連續(xù)系統(tǒng)振動（無限多自由度系統(tǒng)，分布參數(shù)系統(tǒng)）（無限多自由度系統(tǒng)，分布參數(shù)系統(tǒng)） 離散系統(tǒng)振動離散系統(tǒng)振動 結(jié)構(gòu)參數(shù)（質(zhì)量，剛度，阻尼等）在空間上連續(xù)分布結(jié)構(gòu)參數(shù)（質(zhì)量，剛度，阻尼等）在空間上連續(xù)分布數(shù)學(xué)工具：數(shù)學(xué)工具：偏微分方程偏微分方程（多自由度系統(tǒng)（多自由度系統(tǒng) ，單自由度系統(tǒng)），單自由度系統(tǒng)）結(jié)構(gòu)參數(shù)為集中參量結(jié)構(gòu)參數(shù)為集中參量數(shù)學(xué)工具：數(shù)

15、學(xué)工具：常微分方程常微分方程第19頁/共150頁第二十頁，共151頁。緒論緒論(xln)按描述系統(tǒng)按描述系統(tǒng)(xtng)的微分方程可分為的微分方程可分為:線性振動線性振動 非線性振動非線性振動描述其運動的方程為線性微分方程描述其運動的方程為線性微分方程(wi fn fn chn)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個重要特性是線性疊加原理成立個重要特性是線性疊加原理成立描述其運動的方程為非線性微分方程，相應(yīng)的系統(tǒng)描述其運動的方程為非線性微分方程，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。對于非線性振動，線性疊加原理稱為非線性系統(tǒng)。對于非線性振動，線性疊加原理不成立不成立

16、 第20頁/共150頁第二十一頁，共151頁。緒論緒論(xln)按系統(tǒng)的輸入類型按系統(tǒng)的輸入類型(lixng)可分為：可分為： 自由振動自由振動 強迫強迫(qing p)振動振動 自激振動自激振動系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激振力取消后系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)生的振動產(chǎn)生的振動系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)生的振動系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)生的振動 系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有能源補充而產(chǎn)生的振動。有能源補充而產(chǎn)生的振動。 第21頁/共150頁第二十二頁，共151頁。緒論緒論(xln)按系統(tǒng)或激勵的性質(zhì)按系統(tǒng)或激勵的性質(zhì)(xngzh)可分為可分為:確

17、定性振動確定性振動 不確定性振動不確定性振動描述系統(tǒng)或激勵描述系統(tǒng)或激勵(jl)的物理量為確定性參數(shù)。的物理量為確定性參數(shù)。描述系統(tǒng)或激勵的物理量為描述系統(tǒng)或激勵的物理量為不確定性參數(shù)不確定性參數(shù)。例如：本書第五章的隨機激勵下的振動。例如：本書第五章的隨機激勵下的振動。本課程主要研究離散、確定、線性自由或強迫振動本課程主要研究離散、確定、線性自由或強迫振動第22頁/共150頁第二十三頁，共151頁。本章結(jié)束本章結(jié)束(jish)謝謝謝謝第23頁/共150頁第二十四頁，共151頁。第24頁/共150頁第二十五頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)自由度線性系統(tǒng)自由(zyu)振動振動第25

18、頁/共150頁第二十六頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動l1.1 振動振動(zhndng)系統(tǒng)的簡化及系統(tǒng)的簡化及其模型其模型為了建立合適的分析模型，必須對實際系統(tǒng)進為了建立合適的分析模型，必須對實際系統(tǒng)進行簡化。行簡化。 機械振動系統(tǒng)的力學(xué)模型是由三種理想化的元機械振動系統(tǒng)的力學(xué)模型是由三種理想化的元件組成：質(zhì)量塊、阻尼器和彈簧。件組成：質(zhì)量塊、阻尼器和彈簧。質(zhì)量塊：慣性就是能使物體當(dāng)前運動持續(xù)下去質(zhì)量塊：慣性就是能使物體當(dāng)前運動持續(xù)下去的性質(zhì)。的性質(zhì)。彈簧：恢復(fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡彈簧：恢復(fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡(pngh

19、ng)狀態(tài)的性質(zhì)。狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼器：阻尼就是阻礙物體運動的性質(zhì)。阻尼器：阻尼就是阻礙物體運動的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢從能量的角度看，慣性是保持動能的元素，恢復(fù)性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的復(fù)性是貯存勢能的元素，阻尼是使能量散逸的元素元素第26頁/共150頁第二十七頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)(xtng)的模型的模型只有一個只有一個(y )自由度的振動系統(tǒng)，稱為單自由度振動系自由度的振動系統(tǒng)，稱為單自由度振動系統(tǒng)，簡稱單自由度系統(tǒng)。統(tǒng)，簡稱單自由度系統(tǒng)。自由度：自由度：指完整描述

20、一個振動系統(tǒng)時間特性所需的最少的獨指完整描述一個振動系統(tǒng)時間特性所需的最少的獨立坐標(biāo)數(shù)，在理論力學(xué)中用廣義坐標(biāo)數(shù)。立坐標(biāo)數(shù)，在理論力學(xué)中用廣義坐標(biāo)數(shù)。第27頁/共150頁第二十八頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)自由度線性系統(tǒng)自由(zyu)振動振動0mxkkIx0kcm第28頁/共150頁第二十九頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動彈性元件（彈簧彈性元件（彈簧(tnhung)）彈性元件：無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能彈性元件：無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能(shnng)(shnng)的元件的元件 xkFs平動：平動：力、剛度和位移的單位分別

21、力、剛度和位移的單位分別為為N、N / m和和m 。2. ( ) ( )xx tt說明：說明：1.1.本課程彈簧全部為線性彈簧本課程彈簧全部為線性彈簧轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分別為分別為Nm、 Nm / rad和和rad tMk第29頁/共150頁第三十頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動等效等效(dn xio)剛度剛度等效等效(dn xio)彈簧的剛彈簧的剛度稱等效度稱等效(dn xio)剛度剛度等效彈簧：等效彈簧：一個彈簧與某組彈簧的作用效果相同，稱此彈一個彈簧與某組彈簧的作用效果相同，稱此彈簧

22、為該組彈簧的等效彈簧?；蔀樵摻M彈簧的等效彈簧。eqk第30頁/共150頁第三十一頁，共151頁。串聯(lián)串聯(lián)(chunlin)彈簧等效剛彈簧等效剛度度11kP22kP總變形總變形(bin xng)： Pkk)11(21211212eqk kPKkk12111eqKkk在質(zhì)量在質(zhì)量(zhling)塊上施塊上施加力加力 P彈簧彈簧1變形：變形： 彈簧彈簧2變形：變形： 根據(jù)定義：根據(jù)定義： 或或 P mk1k2單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動n個串聯(lián)彈簧：個串聯(lián)彈簧： 111nieqikk第31頁/共150頁第三十二頁，共151頁。并聯(lián)彈簧等效并聯(lián)彈簧等效(dn xio)剛度剛度兩

23、彈簧變形量相等：兩彈簧變形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在質(zhì)量在質(zhì)量(zhling)塊上塊上施加力施加力 P由力平衡由力平衡(pnghng)：)(2121kkPPP 根據(jù)定義：根據(jù)定義：21kkPKe 并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和。并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和。 P mk1k2單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動n個并聯(lián)彈簧：個并聯(lián)彈簧： 1neqiikk第32頁/共150頁第三十三頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動若各彈簧若各彈簧(tnhung)所受作用力相等，即所受作用力相等，即“共

24、力共力”，則為串聯(lián)彈簧則為串聯(lián)彈簧(tnhung)。若各彈簧端部的位移相等若各彈簧端部的位移相等(xingdng)，即，即“共位移共位移”，則為，則為并聯(lián)彈簧。并聯(lián)彈簧。思考：下圖的兩個彈簧為串聯(lián)彈簧還是并聯(lián)彈簧？思考：下圖的兩個彈簧為串聯(lián)彈簧還是并聯(lián)彈簧？第33頁/共150頁第三十四頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動例：確定例：確定(qudng)圖示混聯(lián)彈簧的圖示混聯(lián)彈簧的等效剛度。等效剛度。解：解：k1和和k2并聯(lián)并聯(lián)(bnglin)，再與，再與k3串聯(lián)串聯(lián)k1和和k2并聯(lián)，則：并聯(lián)，則：1212eqkkk12312311111eqeq

25、kkkkkk再與再與k3串聯(lián)，則串聯(lián)，則化簡化簡312123()eqk kkkkkk第34頁/共150頁第三十五頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動例：確定圖示混聯(lián)彈簧的等效例：確定圖示混聯(lián)彈簧的等效(dn xio)剛度。剛度。解：解：k1和和k2并聯(lián)并聯(lián)(bnglin)，再與，再與k3串聯(lián)串聯(lián)k1和和k2并聯(lián)，則：并聯(lián)，則：1212eqkkk12312311111eqeqkkkkkk再與再與k3串聯(lián)，則串聯(lián)，則化簡化簡312123()eqk kkkkkk第35頁/共150頁第三十六頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性

26、系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動自學(xué)自學(xué)(zxu)P13例例1.3材料力學(xué)材料力學(xué)(ci lio l xu)：提示：提示：扭轉(zhuǎn)彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧tMkMLGJ則則tGJkL第36頁/共150頁第三十七頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動阻尼阻尼(zn)元件元件阻尼阻尼(zn)(zn)元件：無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件元件：無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件 說明說明 本課程阻尼全部為粘性阻尼（線性阻尼）本課程阻尼全部為粘性阻尼（線性阻尼）xcFd平動：平動：力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為N、N s/ m和和m/s。力矩、阻尼系數(shù)

27、和角速度的單位分別為力矩、阻尼系數(shù)和角速度的單位分別為Nm、 Nms / rad和和rad/s 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：dMc第37頁/共150頁第三十八頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振振動動質(zhì)量質(zhì)量(zhling)元件元件質(zhì)量元件質(zhì)量元件(yunjin)(yunjin)：無彈性、不耗能的剛體，儲存動：無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件能的元件(yunjin) (yunjin) xmFm 平動：平動：力、質(zhì)量和加速度的單位分力、質(zhì)量和加速度的單位分別為別為N、kg和和m / s2。力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的單位分力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的單位分別為別為N

28、m、kg m2和和rad/s2 轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動：mMI第38頁/共150頁第三十九頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)自由度線性系統(tǒng)自由(zyu)振動振動第39頁/共150頁第四十頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動l1.2 單自由度線性系統(tǒng)的運動單自由度線性系統(tǒng)的運動(yndng)微分方程微分方程圖示為典型圖示為典型(dinxng)的單自由度振動系統(tǒng)的單自由度振動系統(tǒng)取質(zhì)量塊做分離體，做受力圖取質(zhì)量塊做分離體，做受力圖根據(jù)牛頓定律，有根據(jù)牛頓定律，有mxFcxkx整理整理mxcxkxF第40頁/共150頁第四十一頁，共151頁。單自

29、由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動自學(xué)自學(xué)P18：線性系統(tǒng)的運動微分方程線性系統(tǒng)的運動微分方程(wi fn fn chn)中可中可略去恒力及其引起的靜位移。略去恒力及其引起的靜位移。在進行振動分析時，作用在線性系統(tǒng)上恒力（如常見的重力）在進行振動分析時，作用在線性系統(tǒng)上恒力（如常見的重力）及其引起的靜態(tài)位移可同時及其引起的靜態(tài)位移可同時(tngsh)略去不計。略去不計。第41頁/共150頁第四十二頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動例：對于例：對于(duy)圖示單擺，試導(dǎo)出其運動微分方程。圖示單擺，試導(dǎo)出其運

30、動微分方程。思考思考(sko)：本系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？：本系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程，有解：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程，有ooIM2oImLsinoMmgL 整理，得單擺的運動微分方程整理，得單擺的運動微分方程sin0Lg考慮到考慮到考慮到考慮到比較小，有比較小，有sin，線性化運動微分方程為，線性化運動微分方程為0Lg思考：本系統(tǒng)到底是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)？思考：本系統(tǒng)到底是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)？第42頁/共150頁第四十三頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)自由度線性系統(tǒng)自由(zyu)振動振動第43頁/共150頁第四十四頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線

31、性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動l1.3 無阻尼無阻尼(zn)系統(tǒng)的自由振動系統(tǒng)的自由振動 一個系統(tǒng)只在初始時受到外界干擾一個系統(tǒng)只在初始時受到外界干擾(gnro)，例如用力將，例如用力將質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放，或者給質(zhì)量塊以突然一擊使質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放，或者給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到一個初始速度，然后就靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振之得到一個初始速度，然后就靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振動，稱為自由振動。動，稱為自由振動。當(dāng)當(dāng)c=0時為無阻尼系統(tǒng)時為無阻尼系統(tǒng)。第44頁/共150頁第四十五頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由

32、(zyu)振動振動圖示單自由度無阻尼圖示單自由度無阻尼(zn)系統(tǒng)的自由振系統(tǒng)的自由振動微分方程為：動微分方程為：改寫改寫(gixi)為為( )( )0mx tkx t( )( )0kx tx tm記記nkm則則2( )( )0nx tx t通解為：通解為：12( )cossinnnx tXtXt或或( )cos()nx tXt自然（固有）圓頻率，以后也稱為自然（固有）圓頻率，以后也稱為自然（固有）頻率自然（固有）頻率 單位：弧度單位：弧度/秒秒( )cos()nx tXt稱為振幅稱為振幅X稱為初相角稱為初相角第45頁/共150頁第四十六頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度

33、線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動初始條件：初始條件：(0)oxx(0)oxv代入通解代入通解(tngji)12( )cossin nnx tXtXt22arctanoononovXxvx( )cos()nx tXt或或得得10 2 onvXxX第46頁/共150頁第四十七頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振振動動()nxXcoct2( )( )0nx tx t微分方程微分方程(wi fn fn chn): 解：解：單自由度無阻尼的自由振動特性：單自由度無阻尼的自由振動特性：為簡諧振動。為簡諧振動。自由振動的自然自由振動的自然(zrn)頻率僅由系統(tǒng)本

34、身的參數(shù)決定，與系統(tǒng)的頻率僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)決定，與系統(tǒng)的激勵及初始條件無關(guān)。激勵及初始條件無關(guān)。振幅及初相角由初始條件決定。振幅及初相角由初始條件決定。單自由度無阻尼的自由振動為等幅振動。單自由度無阻尼的自由振動為等幅振動。5.振動自然頻率（振動自然頻率（Hz）122nnkfm6.振動周期振動周期12nmTfk第47頁/共150頁第四十八頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振振動動例：提升機系統(tǒng)例：提升機系統(tǒng)重物重量重物重量 鋼絲繩的彈簧鋼絲繩的彈簧(tnhung)剛度剛度重物以重物以 的速度勻速下降的速度勻速下降求：繩的上端被卡住時，求：繩的上端

35、被卡住時，（1）重物的振動頻率）重物的振動頻率(pnl)，（2）鋼絲繩中的最大張力）鋼絲繩中的最大張力51.47 10WN45.78 10kN cm15minvm第48頁/共150頁第四十九頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動解：解：00 x 0vv振動振動(zhndng)(zhndng)系統(tǒng)如圖所示系統(tǒng)如圖所示 重物勻速下降時處于靜平衡位，若重物勻速下降時處于靜平衡位，若將坐標(biāo)將坐標(biāo)(zubio)(zubio)原點取在繩被卡住原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置，振動微分方程瞬時重物所在位置，振動微分方程為為2( )( )0nx tx t初始條

36、件：初始條件：振動頻率振動頻率 19.6nkgkrad smW方程的解方程的解 12( )cossin nnx tXtXt10oXx其中其中 20.0128onvX第49頁/共150頁第五十頁，共151頁。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/無阻尼無阻尼(zn)自由振自由振動動 繩中的最大張力等于繩中的最大張力等于(dngy)靜張力與靜張力與因振動引起的動張力之和：因振動引起的動張力之和：由于由于(yuy)2nvkXkv km為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度降低升降系統(tǒng)的剛度振動解：振動解： ( )0.0128sin(19.6 )( )x ttm

37、max225 2.21 10 ()sTTkXWkXN思考：思考：如何求解振動過程中繩中的張力？如何求解振動過程中繩中的張力？ 第50頁/共150頁第五十一頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動確定確定(qudng)自然頻率的靜變形法自然頻率的靜變形法 在系統(tǒng)作自由振動時，不論在系統(tǒng)作自由振動時，不論(bln)受到什么樣的初始干擾，受到什么樣的初始干擾，均將以一定的頻率作振動。這種頻率只決定于系統(tǒng)本身固有的均將以一定的頻率作振動。這種頻率只決定于系統(tǒng)本身固有的物理性質(zhì)，稱為自然頻率（固有頻率）。物理性質(zhì)，稱為自然頻率（固有頻率）。自然頻率是振動問

38、題中的一個重要參數(shù)。自然頻率是振動問題中的一個重要參數(shù)。 122nkfm12mTfk自然頻率為自然頻率為:周期周期:簡諧振動的圓頻率為簡諧振動的圓頻率為 ，稱為自然圓頻率：，稱為自然圓頻率： nkmn第51頁/共150頁第五十二頁，共151頁。由以上各式可以看出：由以上各式可以看出：（1）自由）自由(zyu)振動的自然頻率和周期僅決定于系統(tǒng)振動的自然頻率和周期僅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，如系統(tǒng)剛度本身的物理性質(zhì)，如系統(tǒng)剛度 K 和振動塊質(zhì)量和振動塊質(zhì)量 m。（2）剛度相同）剛度相同(xin tn)的兩個系統(tǒng)，質(zhì)量大的系統(tǒng)固的兩個系統(tǒng)，質(zhì)量大的系統(tǒng)固有頻率低，質(zhì)量小的系統(tǒng)固有頻率高。質(zhì)量相同有頻

39、率低，質(zhì)量小的系統(tǒng)固有頻率高。質(zhì)量相同(xin tn)的兩個系統(tǒng)，則彈簧剛度小的固有頻率低，彈簧剛度的兩個系統(tǒng)，則彈簧剛度小的固有頻率低，彈簧剛度大的固有頻率高。大的固有頻率高。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動第52頁/共150頁第五十三頁，共151頁。自然自然(zrn)頻率計算的靜變形法：頻率計算的靜變形法： 0 kxxm nkmstmgk在靜平衡位置在靜平衡位置(wi zhi)： nstkgm則有：則有： 對于對于(duy)不易得到不易得到 m 和和 k 的系統(tǒng)，若能測出靜變形的系統(tǒng)，若能測出靜變形 ，則用該式計算是較為方便的。則用該式計算是較為方便

40、的。0mxk單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動st第53頁/共150頁第五十四頁，共151頁。例：例： 圖示簡支梁，跨距圖示簡支梁，跨距 ，彎曲，彎曲(wnq)剛度剛度EI，梁中點放一質(zhì)量為梁中點放一質(zhì)量為m的物體，用靜變形法求系統(tǒng)的的物體，用靜變形法求系統(tǒng)的自然頻率，梁的質(zhì)量不計。自然頻率，梁的質(zhì)量不計。ml/2l/2單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動l第54頁/共150頁第五十五頁，共151頁。解：解：由材料力學(xué)由材料力學(xué)(ci lio l xu) ：自由自由(zyu)振動頻率為振動頻率為 ： 348stmglEIng取平衡位置取平衡

41、位置以梁承受以梁承受(chngshu)重重物時的靜平衡位置為坐標(biāo)物時的靜平衡位置為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系。原點建立坐標(biāo)系。靜變形靜變形st348mlEJm0l/2l/2xst靜平衡位置靜平衡位置單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動第55頁/共150頁第五十六頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動例：設(shè)有一懸臂梁。長度為例：設(shè)有一懸臂梁。長度為L，抗彎剛度，抗彎剛度為為 ，自由端有一集中質(zhì)量，自由端有一集中質(zhì)量m。梁本身。梁本身(bnshn)重量可忽略不計。重量可忽略不計。EI求：求： 系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的自然頻的自然頻率。率。st

42、解：解： 由材料力學(xué)知由材料力學(xué)知33stmgLEI利用靜變形法的公式可得系統(tǒng)自然頻率為：利用靜變形法的公式可得系統(tǒng)自然頻率為：33nstgEImL如上述懸臂梁是變截面的，因而不易用計算方法得到靜撓如上述懸臂梁是變截面的，因而不易用計算方法得到靜撓度，可實測梁的靜撓度度，可實測梁的靜撓度st第56頁/共150頁第五十七頁，共151頁。無阻尼振動系統(tǒng)無阻尼振動系統(tǒng)(xtng)(xtng)是一個保守系統(tǒng)是一個保守系統(tǒng)(xtng)(xtng)，能量守恒。，能量守恒。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動用能量用能量(nngling)(nngling)法確定系統(tǒng)的運動

43、微分方程法確定系統(tǒng)的運動微分方程能量有兩部分：質(zhì)量塊的能量有兩部分：質(zhì)量塊的動能動能T T和彈簧的和彈簧的勢能勢能V V。即即TVconst求導(dǎo)求導(dǎo)()0d TVdt可依據(jù)上式求導(dǎo)系統(tǒng)的振動微分方程可依據(jù)上式求導(dǎo)系統(tǒng)的振動微分方程第57頁/共150頁第五十八頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動例：用能量法求導(dǎo)圖示系統(tǒng)例：用能量法求導(dǎo)圖示系統(tǒng)(xtng)(xtng)的運動微分方程。的運動微分方程。由由()0d TVdt解：取靜平衡位置解：取靜平衡位置(wi zhi)(wi zhi)為原點，為原點， 動能為動能為2211( )22Tmvmx t

44、勢能為勢能為2211()( )22Vklkx t得得( ) ( )( ) ( )0mx t x tkx t x t化簡化簡( )( )0mx tkx t第58頁/共150頁第五十九頁，共151頁。無阻尼振動系統(tǒng)是一個無阻尼振動系統(tǒng)是一個(y )(y )保守系統(tǒng)，能量守恒。保守系統(tǒng)，能量守恒。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動用能量法確定系統(tǒng)的自然用能量法確定系統(tǒng)的自然(zrn)(zrn)頻率頻率即即1122TVTV靜平衡位置有靜平衡位置有最大位移處有最大位移處有不同時刻有不同時刻有TVconstmax0 VTTmax 0VVT則則maxmaxTV 利用這個

45、關(guān)系，適當(dāng)選擇兩個瞬時位置，就可用來直接利用這個關(guān)系，適當(dāng)選擇兩個瞬時位置，就可用來直接計算系統(tǒng)的固有頻率。這對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)常常是一種計計算系統(tǒng)的固有頻率。這對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)常常是一種計算系統(tǒng)固有頻率的簡便方法。算系統(tǒng)固有頻率的簡便方法。 第59頁/共150頁第六十頁，共151頁。解：系統(tǒng)為簡諧振動解：系統(tǒng)為簡諧振動(zhndng)，響應(yīng)為：響應(yīng)為：單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動例：用能量法求圖示系統(tǒng)的自然例：用能量法求圖示系統(tǒng)的自然(zrn)頻率。頻率。( )cos()nx tXt( )sin()nnx tXt 靜平衡位置：靜平衡位置：最大位移

46、處：最大位移處：動能：動能：勢能為零勢能為零222maxmax1122nTmxmX22maxmax1122VkxkX勢能：勢能：動能為零動能為零由能量守恒得：由能量守恒得：2221122nmXkX所以：所以：nkm速度為：速度為：第60頁/共150頁第六十一頁，共151頁。例：如圖所示是一個例：如圖所示是一個(y )倒置的擺倒置的擺 ，擺球質(zhì)量擺球質(zhì)量(zhling) m，剛桿質(zhì)量剛桿質(zhì)量(zhling)忽略忽略 ，每個彈簧的剛度每個彈簧的剛度 k求求: 倒擺作倒擺作微幅微幅振動時的固有頻率。振動時的固有頻率。lmakk單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動系統(tǒng)對系統(tǒng)對O點的轉(zhuǎn)動

47、慣量為點的轉(zhuǎn)動慣量為 ，ooI第61頁/共150頁第六十二頁，共151頁。解解1：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)( ) t最大動能最大動能(dngnng)222maxmax1122oonTII A最大勢能最大勢能(shnng)22nokamglI零勢能零勢能(shnng)位置位置1零勢能位置零勢能位置12maxmaxmax222222max1 V2()(1cos)21 2sin22kamglkA amglkA amglAlmakk單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動 此搖桿做間歇擺動，即角振動，則此搖桿做間歇擺動，即角振動，則 cos()nAtsin()nnAt maxmaxTV222221

48、122onI Aka AmglA第62頁/共150頁第六十三頁，共151頁。解法解法2：（先求運動：（先求運動(yndng)微微分方程）分方程）零勢能零勢能(shnng)位置位置2任一時刻任一時刻(shk)動能動能212oTI勢能勢能212cos2Vkamgl220oIkamgl0ddVTt220okamglI22nokamglI零勢能位置零勢能位置22sin2121 222mglka2221 2kamglmgllmakk單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動第63頁/共150頁第六十四頁，共151頁。例：復(fù)擺例：復(fù)擺剛體剛體(gngt)質(zhì)量質(zhì)量 m對懸點的轉(zhuǎn)動慣量對懸點的轉(zhuǎn)動慣

49、量 0I重心重心(zhngxn) C 求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(zhndng)時的微分方程和自時的微分方程和自然頻率然頻率 。mg0Il0C單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動第64頁/共150頁第六十五頁，共151頁。解：解：取廣義坐標(biāo)取廣義坐標(biāo) ， 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程由定軸轉(zhuǎn)動微分方程(wi fn fn chn)得得 ：0sin0Imgl因為因為(yn wi)微振動：微振動：sin則有則有 ：00mglI0/nmgl I自然自然(zrn)頻頻率率 ：實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法。實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法。 若已

50、測出物體的固有頻率若已測出物體的固有頻率 ，則可求出，則可求出 ，再由移軸定理，可，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量： n0I20maIIcmg0Il0C單自由度線性系統(tǒng)的自由振動單自由度線性系統(tǒng)的自由振動第65頁/共150頁第六十六頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)自由度線性系統(tǒng)自由(zyu)振動振動第66頁/共150頁第六十七頁，共151頁。l 1.4 有阻尼有阻尼(zn)的自由振動的自由振動 前述的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統(tǒng)前述的自由振動都沒有考慮運動中阻力的影響，實際系統(tǒng)的機械能不可能守恒，因為存在各種各樣的機械能不可能守恒

51、，因為存在各種各樣( zhn yn)的阻力。的阻力。振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼、電磁阻尼等。實振動中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼、電磁阻尼等。實際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)很難確定。最常用的一種阻尼力際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)很難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼，或稱為粘滯阻尼，在流體中低速運動學(xué)模型是粘性阻尼，或稱為粘滯阻尼，在流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常認為受到了粘性阻尼?；蜓貪櫥砻婊瑒拥奈矬w，通常認為受到了粘性阻尼。單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)(xtng)的振動的振動/有阻尼的自由振有阻尼的自由振動動第67頁/共150頁第六十八頁，共151頁。 Fd為粘性阻尼力，為粘性

52、阻尼力， v為相對速度，為相對速度， c 稱為粘性阻尼系數(shù)，單位為：稱為粘性阻尼系數(shù)，單位為：Ns/m。 粘性阻尼由于它與速度成正比，又稱線性阻尼。線性阻尼在粘性阻尼由于它與速度成正比，又稱線性阻尼。線性阻尼在分析振動同題時使求解大為簡化分析振動同題時使求解大為簡化(jinhu)。若不特加說。若不特加說明，則本課以粘性阻尼為基本模型來分析有阻尼的振動。明，則本課以粘性阻尼為基本模型來分析有阻尼的振動。單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動/有阻尼有阻尼(zn)的自由振動的自由振動dFcv粘性阻尼粘性阻尼(zn)與相對速度成正比，即：與相對速度成正比，即：第68頁/共150頁第六十九頁，共151頁

53、。 圖示系統(tǒng)，以靜平衡位置為原點。設(shè)圖示系統(tǒng)，以靜平衡位置為原點。設(shè)x坐標(biāo)向下為正。受力分析，坐標(biāo)向下為正。受力分析， 利用利用(lyng)牛頓運動定律得運動牛頓運動定律得運動方程：方程：單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動( )( )( )0mx tcx tkx t22nccmmk2nkm則運動則運動(yndng)方程為：方程為：變化為：變化為： 為相應(yīng)的無阻尼時的自然頻率為相應(yīng)的無阻尼時的自然頻率n2( )2( )( )0nnx tx tx t( )( )( )0ckx tx tx tmm令：令： 為為粘滯阻尼因子粘滯阻尼因子或阻尼率，無量綱或阻尼率，無

54、量綱第69頁/共150頁第七十頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振振動動對于對于(duy)二階齊次常微分二階齊次常微分方程：方程：兩個兩個(lin )特征根為：特征根為：21,2(1)ns ( )stx tXe2( )2( )( )0nnx tx tx t通解為：通解為：得到特征方程：得到特征方程：2220nnss其中，其中，X為實數(shù)，為實數(shù)，s為復(fù)數(shù)：為復(fù)數(shù)：特征根的性質(zhì)主要取決于特征根的性質(zhì)主要取決于 ，下面分別討論。，下面分別討論。第70頁/共150頁第七十一頁，共151頁。（2）當(dāng)）當(dāng) 時，稱為小阻尼時，稱為小阻尼(zn)狀態(tài)狀態(tài)（3）當(dāng)）

55、當(dāng) 時，稱為過阻尼時，稱為過阻尼(zn)狀態(tài)狀態(tài)（4）當(dāng)）當(dāng) 時，稱為臨界阻尼時，稱為臨界阻尼(zn)狀狀態(tài)態(tài)單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動特征方程：特征方程：動力學(xué)方程動力學(xué)方程(fngchng)：取不同值時，微分方程有不同性質(zhì)的解。取不同值時，微分方程有不同性質(zhì)的解。2( )2( )( )0nnx tx tx t2220nnss111（1）當(dāng)）當(dāng) 時，稱為時，稱為無阻尼狀態(tài)無阻尼狀態(tài)0第71頁/共150頁第七十二頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動無阻尼無阻尼(zn)情況：情況：自學(xué)自學(xué)(zxu)

56、P32:無阻尼情況無阻尼情況提示：歐拉公式為提示：歐拉公式為cossincossinixixexixexix無阻尼情況即無阻尼情況即1.3節(jié)：無阻尼系統(tǒng)的自由振動節(jié)：無阻尼系統(tǒng)的自由振動第72頁/共150頁第七十三頁，共151頁。 小阻尼小阻尼(zn)情況情況 單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動01小阻尼小阻尼(zn)21dn代入方程通解代入方程通解則：則：21,2(1)ns 則特征根則特征根為共軛復(fù)根：為共軛復(fù)根：21,2(1)nsi 1,2ndsi 令令稱為有阻尼自然頻率稱為有阻尼自然頻率d1212( )s ts tx tX eX e整理，可得振動解整

57、理，可得振動解第73頁/共150頁第七十四頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振振動動振動振動(zhndng)解：解：( )cos()ntdx tXet1.初始初始(ch sh)條件條件 和和 只影響初始只影響初始(ch sh)振幅振幅 和初相位角和初相位角其中：其中：22000()ndvxXxarctanonoodvxx分析：分析：oxovX第74頁/共150頁第七十五頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動nT2.阻尼阻尼(zn)自然自然頻率：頻率：21dn阻尼振動阻尼振動(z n zhn dn)周

58、期：周期：222211nddnTTn無阻尼自然頻率無阻尼自然頻率無阻尼振動周期無阻尼振動周期dndnTT第75頁/共150頁第七十六頁，共151頁。3.振動振動(zhndng)解為：解為： 單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動振幅為振幅為 ，阻尼振動的振幅是按指數(shù)規(guī)律，阻尼振動的振幅是按指數(shù)規(guī)律(gul)逐漸衰減逐漸衰減的。的。 ( )cos()ntdx tXetntXe阻尼率阻尼率 越大，振幅衰減越快。越大，振幅衰減越快。第76頁/共150頁第七十七頁，共151頁。 過阻尼情況過阻尼情況(qngkung) 單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的

59、自由(zyu)振動振動1過阻尼過阻尼21,2(1)ns 則特征則特征(tzhng)根根為實數(shù)為實數(shù)系統(tǒng)不產(chǎn)生振動，很快系統(tǒng)不產(chǎn)生振動，很快趨于平衡位置。趨于平衡位置。振動解振動解1212( )s ts tx tX eX e第77頁/共150頁第七十八頁，共151頁。 臨界阻尼情況臨界阻尼情況(qngkung) 單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動1臨界阻尼臨界阻尼阻尼阻尼(zn)率也可率也可定義為定義為根據(jù)定義根據(jù)定義2cmk則臨界阻尼系數(shù)則臨界阻尼系數(shù)2ocmkocc臨界阻尼系數(shù)只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)臨界阻尼系數(shù)只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì): 質(zhì)量與剛度

60、。質(zhì)量與剛度。第78頁/共150頁第七十九頁，共151頁。單自由單自由(zyu)度線性系統(tǒng)的自由度線性系統(tǒng)的自由(zyu)振動振動12nss 則振動則振動(zhndng)解為：解為：設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：00(0)(0)xxxv000( )() ntnx texvxt 臨界阻尼狀態(tài)仍是按指臨界阻尼狀態(tài)仍是按指數(shù)衰減數(shù)衰減(shui jin)的非周期運動，但比的非周期運動，但比過阻尼狀態(tài)的蠕動衰過阻尼狀態(tài)的蠕動衰減減(shui jin)的快。的快。臨界阻尼臨界阻尼 1則特征根則特征根21,2(1)ns 為兩重根：為兩重根：12( )()ntx tAA t e則振動解為：則振動解為：第79頁/共