北師大版初中數(shù)學八年級下冊全套教學課件

1、第一章第一章 三角形的證明三角形的證明1.11.1等腰三角形（第等腰三角形（第1 1課時）課時）1.回顧全等三角形的判定和性質(zhì)回顧全等三角形的判定和性質(zhì);2.理解并掌握理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論；等腰三角形的性質(zhì)及其推論；( (重點重點) )3.3.能運用能運用等腰三角形的性質(zhì)及其推論等腰三角形的性質(zhì)及其推論解決基本的幾何問題解決基本的幾何問題. .問題問題1：圖中有些你熟悉的圖形嗎圖中有些你熟悉的圖形嗎? ?它們有什么共同特點它們有什么共同特點? ?斜拉橋梁斜拉橋梁埃及金字塔埃及金字塔體育觀看臺架體育觀看臺架問題問題3 ： 在八上的在八上的“平行線的證明平行線的證明”這一章中，我們學

2、了哪這一章中，我們學了哪8條基本事條基本事實？實？1.兩點確定一條直線；兩點確定一條直線；2.兩點之間線段最短；兩點之間線段最短；3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線 垂直；垂直；4.同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；8.三邊分別相等的兩個三角形全等三邊分別相等的兩個三角形全等

3、.定理定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全（兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全（AAS）.問題：問題：你能運用基本事實及已經(jīng)學過的定理證明上面的推論嗎？你能運用基本事實及已經(jīng)學過的定理證明上面的推論嗎？證明一個命題的一般步驟證明一個命題的一般步驟:(1)弄清題設(shè)和結(jié)論；弄清題設(shè)和結(jié)論； (2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證；根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證； (4)分析證明思路分析證明思路,寫出證明過程寫出證明過程.1.1.全等三角形的判定和性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)已知：如圖已知：如圖,A=D,B=E,BC=E

4、F.求證：求證：ABCDEF.證明：證明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形內(nèi)角和等于（三角形內(nèi)角和等于180），），C=180(A+B)，F(xiàn)=180(D+E).A=D,B=E（已知），（已知）， C=F（等量代換）（等量代換）.BC=EF（已知），（已知），ABCDEF（ASA）.FEDCBA定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（角形全等（AAS）. 根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到： 全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.問題問題1：你還記得

5、我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?推論推論:等腰三角形頂角的平分線等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線底邊上的中線 底邊底邊上的高互相重合上的高互相重合(三線合一三線合一).問題問題2：你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎嗎?定理定理:等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等.2.2.等腰三角形的性質(zhì)及其推論等腰三角形的性質(zhì)及其推論等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等.ABC已知：已知：ABC中，中，AB=AC,求證：求證：B= C.思考：思考：如何構(gòu)造兩個全等的三角形？如何構(gòu)造兩個全等的三角形？定理

6、定理:等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）.議一議：議一議：在七下學習軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰在七下學習軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實際上，折痕三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等的三角形將等腰三角形分成了兩個全等的三角形.由此，你得到了什么解由此，你得到了什么解題的啟發(fā)？題的啟發(fā)？已知：已知： 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC.求證：求證： B= C.ABCD證明：證明： 作底邊的中線作底邊的中線AD， 則則BD=CD.AB=AC

7、( 已知已知 )，BD=CD ( 已作已作 )，AD=AD (公共邊公共邊)， BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等).在在BAD和和CAD中中方法一：作底邊上的中線方法一：作底邊上的中線還有其他的證還有其他的證法嗎？法嗎？已知：已知： 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC.求證：求證： B= C.ABCD證明：證明： 作頂角的平分線作頂角的平分線AD，則則BAD=CAD.AB=AC ( 已知已知 ),BAD=CAD ( 已作已作 ),AD=AD (公共邊公共邊), BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形

8、的對應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線方法二：作頂角的平分線在在BAD和和CAD中中想一想：想一想：由由BAD CAD，除了可以得到，除了可以得到B= C之外，你還之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？ 解：解：BAD CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90 ，即即AD是等腰是等腰ABC底邊底邊BC上的中線、頂角上的中線、頂角BAC的角平的角平分線、底邊分線、

9、底邊BC上的高線上的高線 . ABCD定理定理:等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角等邊對等角).ACB如圖如圖,在在ABC中中, AB=AC(已知已知),B=C(等邊對等角等邊對等角).證明后的結(jié)論證明后的結(jié)論,以后可以直接運用以后可以直接運用. 推論推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合合(三線合一三線合一）.ACBD1 2AB=AC, 1=2(已知已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）.AB=AC, BD=CD (已知已知)，1=2,ADBC（等腰三

10、角形三線合一）（等腰三角形三線合一）.AB=AC, ADBC(已知已知)，BD=CD, 1=2（等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）.綜上可得：如圖綜上可得：如圖,在在ABC中中, ABCD例例1 如圖，在如圖，在ABC中中 ，AB=AC，點點D在在AC上，上，且且BD=BC=AD，求求ABC各角的度數(shù)各角的度數(shù). .分析：分析：（1）找出圖中所有相等的角；找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個等腰三角形？）指出圖中有幾個等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x（3）觀察）觀察BDC與與A、ABD的關(guān)的關(guān)系，系，ABC、C呢？呢？BD

11、C= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A.（4）設(shè)）設(shè)A=x,請把請把 ABC的內(nèi)的內(nèi)角和用含角和用含x的式子表示出來的式子表示出來. A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 ,ABCD解：解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC， A=ABD.設(shè)設(shè)A=x,則則BDC= A+ ABD=2x,從而從而ABC= C= BDC=2x,于是在于是在ABC中，有中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得解得x=36 ，在在ABC中，中， A=36，ABC=C=72.x2x2x2x例例2 如圖如圖，點，點D、E在在ABC的

12、邊的邊BC上，上，ABAC.(1)若若ADAE，求證：，求證：BDCE；(2)若若BDCE，F(xiàn)為為DE的中點，如圖的中點，如圖，求證：，求證： AFBC.解析：解析：(1)過過A作作AGBC于于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BGCG，DGEG即可證明；即可證明；(2)先證先證BFCF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明圖圖圖圖ABDGECABDECF證明：證明：(1)如圖如圖，過，過A作作AGBC于于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F(xiàn)為為DE的中點，的中點，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，

13、AFBC.圖圖圖圖ABDGECABDECF75, 3072,72或或36,10830,30結(jié)論結(jié)論: :在等腰三角形中在等腰三角形中, ,注意對角的分類討論注意對角的分類討論. . 頂角頂角+ +2底角底角= =180 頂角頂角= =1802底角底角 底角底角= =（180頂角頂角）20頂角頂角1800底角底角90等 腰等 腰三 角三 角形 的形 的性 質(zhì)性 質(zhì)等 邊 對 等 角等 邊 對 等 角三 線 合 一三 線 合 一注意是指同一個三角形中注意是指同一個三角形中注意是指頂角的平分線注意是指頂角的平分線, ,底邊上的高和底邊上的高和中線才有這一性質(zhì)中線才有這一性質(zhì). .而腰上高和中線與而腰

14、上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì)底角的平分線不具有這一性質(zhì). .定理定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（全等（AAS）. 全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.1 1、等腰三角形一個底角為等腰三角形一個底角為7070, ,它的頂角為它的頂角為_._.2 2、等腰三角形一個角為等腰三角形一個角為7070, ,它的另外兩個角為它的另外兩個角為_._.3 3、等腰三角形一個角為等腰三角形一個角為110110, ,它的另外兩個角為它的另外兩個角為_._.40 35 ，35 70,40 或或 55

15、,554 4、一個等腰三角形的周長是一個等腰三角形的周長是13cm13cm，其中一條邊是，其中一條邊是3cm3cm，那么，那么 腰長是腰長是_5cm謝謝謝謝大大家家第 一章 三角形的證明第一章第一章 三角形的證明三角形的證明1.11.1等腰三角形等腰三角形第第2 2課時課時 等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)1.進一步學習等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角進一步學習等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角 形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì)形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì);( (重點重點) )2.學習等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運用其解決問題學習等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運用其解決問題

16、. .( (重點、難點重點、難點) )在七下我們已經(jīng)知道了在七下我們已經(jīng)知道了“三邊相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形”，生活中有，生活中有很多等邊三角形，如交通圖標、臺球室的三角架等，它們都是等邊三角很多等邊三角形，如交通圖標、臺球室的三角架等，它們都是等邊三角形形. .思考：思考：在上一節(jié)課我們證明等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的在上一節(jié)課我們證明等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的各角之間有什么關(guān)系呢？各角之間有什么關(guān)系呢？D DE EABCABCACBACBAB=ACAB=AC 1122 ABCABCACBACB1122 BCBCCBCB BDBDCECE1

17、12 2D DE EACB證明：在證明：在ABC中，中，AB=AC(已知已知)，B=C(等邊對等角等邊對等角).同理同理A=B又又A+B+C=180(三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180)，A=B=C=60定理：定理： 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60.BCDAE例例.如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形ABC中中, ,BD是是AC邊上的中邊上的中線線, ,BD=BE, ,求求EDA的度數(shù)的度數(shù). .解：解： ABC是等邊三角形，是等邊三角形，CBA=60.BD是是AC邊上的中線，邊上的中線，BDA=90, DBA=30. BD=B

18、E， BDE=(180 DBA) 2 = (18030) 2=75. EDA=90 BDE=9075=15.ACBDE1. .如圖如圖, ,ABC和和ADE都是等邊三角形，已都是等邊三角形，已ABC的周的周長為長為18cm,EC =2cm,則則ADE的周長是的周長是 cm.122.如圖所示，如圖所示，ACM和和BCN都為等邊三角形，都為等邊三角形，連接連接AN、BM，求證：，求證：AN=BM.證明：證明：ACM和和BCN都為等邊三角形，都為等邊三角形，1360，123 2，即即ACNMCB.CACM，CBCN，CANCMB(SAS)，ANBM.等腰三角形兩底角上的平分線、兩腰上的高、兩腰上的中

19、線的相關(guān)等腰三角形兩底角上的平分線、兩腰上的高、兩腰上的中線的相關(guān)性質(zhì)：性質(zhì)：底角的兩條平分線相等；底角的兩條平分線相等；兩條腰上的中線相等；兩條腰上的中線相等；兩條腰上的高線相等兩條腰上的高線相等. .定理：定理： 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60.等腰三角形的一邊長為等腰三角形的一邊長為5,5,一邊長為一邊長為4 4，則，則它的周長為它的周長為_._.14 14 或或 1313D DE EF F4.4.已知，已知，ABCABC，AB=AC,DAB=AC,D是底邊上一點，是底邊上一點，D D到兩到兩腰的距離分別是腰的距離分別是DED

20、E，DF;DF;當當D D在什么位置時，在什么位置時，DE=DF?DE=DF?并證明。并證明。謝謝謝謝大大家家第 一章 三角形的證明第一章第一章 三角形的證明三角形的證明1.11.1等腰三角形（第等腰三角形（第3 3課時）課時）1. .學會證明等角對等邊進行等腰三角形的判定學會證明等角對等邊進行等腰三角形的判定; ;( (重點重點) )2.體會反證法的含義并會用反證法進行證明體會反證法的含義并會用反證法進行證明. .等腰三角形有哪些性質(zhì)？1.等腰三角形的兩底角相等（簡寫成 “等邊對等角”） A AB BC CAB=AC(AB=AC(已知已知) )B=B=C(C(等邊對等角等邊對等角) ) 2.

21、 2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（高互相重合（ 簡寫成簡寫成“三線合一三線合一” ）A AB BC CD DAB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD（已知）（已知）BAD=CADBAD=CAD， ADBCADBC（三線合一）（三線合一）AB=ACAB=AC，BAD=CAD BAD=CAD （已知）（已知） BD=CD BD=CD ，ADBCADBC（三線合一）（三線合一）AB=ACAB=AC， ADBC ADBC （已知）（已知） BD=CD BD=CD ，BAD=CAD BAD=CAD （三線合一）（三線合一）

22、 前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎角相等的三角形是等腰三角形嗎? ?已知：在已知：在ABCABC中，中，B=CB=C，求證：求證：AB=ACAB=AC 分析：只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了. 比如作BC的中線，或作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個全等的三角形 A AB BC C定理：有兩個角相等的三角形是等定理：有兩個角相等的三角形是等 腰三角形腰三角形.(.(等角對等邊等角對等邊) )等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：例例2.2.已知

23、：如圖，已知：如圖，AB=DC,BD=CA,AB=DC,BD=CA,求證：求證：AEDAED是等腰三角形。是等腰三角形。A AB BC CD DE E證明：證明：AB=DC,BD=CA,AD=DA,AB=DC,BD=CA,AD=DA,ABDABDDCA(SSS)DCA(SSS)ADB=ADB=DAC(DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等）全等三角形的對應(yīng)角相等）AE=DE(AE=DE(等角對等邊）等角對等邊） AEDAED是等腰三角形。是等腰三角形。如圖，在某次海上巡邏中，一艘巡邏艦在如圖，在某次海上巡邏中，一艘巡邏艦在A A處測得海島處測得海島B B在北偏東在北偏東4949方向上，方向上，上午上午

24、8 8點該巡邏艦從點該巡邏艦從A A處出發(fā)，以處出發(fā)，以3030海里海里/ / 時的速度向正東航行，上午時的速度向正東航行，上午9 9點點3030分到達分到達C C處，此時測得海島處，此時測得海島B B在北偏東在北偏東8 8，求此時巡邏艦與海島，求此時巡邏艦與海島B B的距離。的距離。解：BAC=90-MAB=41,BCN=90-PCB=82,B=BCN-BAC=41,B=BAC,BC=AC=301.5=45(海里)答：此時巡邏艦與海島B的距離為45海里. 小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?A AB BC C 我

25、們來看一位同學的想法： 如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與AC要么相等，要么不相等 假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此 ABAC。你能理解他的推理過程嗎你能理解他的推理過程嗎? ?A AB BC C 小明在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這種證明方法稱為反證法 反證法反證法是一種重要的數(shù)學證明方法是一種重要的數(shù)學證明方法. .在解決某些問題時常常會有出人意料的作用在解決某些問題時常常會有出人意料的作用. . 再例如，我們要證明再例如，我們

26、要證明ABCABC中不可能有兩個直角，也可中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法以采用這位同學的證法. . 假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)A=90A=90，B=90B=90，可得可得A+B=180A+B=180，但，但ABCABC中中A+B+C=180A+B+C=180“A+B=180“A+B=180”與與“A+B+C=180A+B+C=180”相矛盾，相矛盾，因此因此ABCABC中不可能有兩個直角中不可能有兩個直角 例例3.3.用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角。用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角。已知：已知：ABCABC求證：求證：A A、B

27、 B、C C中不能有兩個角是直角。中不能有兩個角是直角。證明：假設(shè)證明：假設(shè)A A、B B、C C中有兩個角是直角，中有兩個角是直角， 不妨設(shè)不妨設(shè)A A和和B B是直角，是直角， 即即A=90A=90，B=90B=90 ， 于是于是 A+B+C=90A+B+C=90+90+90+C+C180180。 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾， 因此，因此，“A A和和B B是直角是直角”的假設(shè)不成立。的假設(shè)不成立。 所以，一個三角形中不能有兩個角是直角。所以，一個三角形中不能有兩個角是直角。用反證法證題的一般步驟：用反證法證題的一般步驟：1.1.現(xiàn)有等腰三角形紙片現(xiàn)有等腰三角形紙片

28、, ,如果能從一個角的頂點出發(fā)如果能從一個角的頂點出發(fā), ,將將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片, ,問此時的等腰三問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)角形的頂角的度數(shù)? ? 10836902.2.如圖如圖, ,ABCABC中中,D.E,D.E分別是分別是AC.ABAC.AB上的點上的點,BD,BD與與CECE交于點交于點O,O,給出下列四個條給出下列四個條件件: :EBO=DCO EBO=DCO BEO=CDO BEO=CDO BE=CD BE=CD OB=OCOB=OC(1)(1)上述四個條件中上述四個條件中, ,哪兩個條件可判定哪兩個條件可判定ABCABC是

29、等腰三角形是等腰三角形( (用序號寫出所用序號寫出所有情形有情形) )(2)(2)選擇的選擇的1 1小題的一種情形小題的一種情形, ,證明證明ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .B BA AE ED DC CO O; ; ; ; ; 3.3.用反證法證明用反證法證明: :在一個三角形中在一個三角形中, ,至少有一個內(nèi)角小于至少有一個內(nèi)角小于或等于或等于6060證明證明: 假設(shè)假設(shè)A ,B, CA ,B, C是是ABCABC的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角, , 且都大于且都大于6060, , 則則A 60A 60,B 60,B 60, C 60, C 60, , A+B+C180 A+B+C180;

30、 ;這與三角形的內(nèi)角和是這與三角形的內(nèi)角和是180180定理矛盾定理矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立在一個三角形中在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于至少有一個內(nèi)角小于或等于6060. .關(guān)于相等與不等關(guān)系（、=、），我們有如下的否定形式：大于反義：小于或等于都大于 反義：至少有一個不大于小于 反義：大于或等于都小于 反義：至少有一個不小于1.1.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定：（1 1）有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義法）；）有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義法）；（2 2）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（判定定）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）理）. .2.2.反證法反

31、證法. .謝謝謝謝大大家家第 一章 三角形的證明第一章第一章 三角形的證明三角形的證明1.11.1等腰三角形（第等腰三角形（第4 4課時）課時）1.能用所學的知識證明等邊三角形的判定定能用所學的知識證明等邊三角形的判定定理理.(重點重點)2.掌握掌握含含30角的直角三角形的性質(zhì)并角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)解決有關(guān)問題問題.(難點難點)觀察與思考觀察下面圖片，說說它們都是由什么圖形組成的？觀察下面圖片，說說它們都是由什么圖形組成的？思考：思考：上節(jié)課我們學習了等腰三角形的判定定理，那等邊三角形上節(jié)課我們學習了等腰三角形的判定定理，那等邊三角形的判定定理是什么呢？的判定定理是什么呢？由等腰三角

32、形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定定理：定理：1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個角等于有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形.1.1.等邊三角形的判定等邊三角形的判定ABC A= B, AC=BC. B=C, AB=AC.AB=AC=BC.證明：證明：定理定理2：有一個角是有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形.ABC已知：已知： 若若AB=AC , A= 60.求證：求證： AB=AC=BC.證明：證明：AB=AC , A= 60 .BC (1

33、80。A)= 60.A= B=C.AB=AC=BC.12證明證明:AB=AC,B=60(已知已知),C=B=60(等邊對等角等邊對等角)，A=60(三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理)A=B =C=60 ABC是等邊三角形是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形).已知已知:如圖如圖,在在ABC中，中，AB=AC,B=60求證求證:ABC是等邊三角形是等邊三角形第二種情況：有一個底角是第二種情況：有一個底角是60.ACB60【驗證】【驗證】等腰三角形(含等邊三角形)性質(zhì)判定的條件等邊對等角等邊對等角等角對等邊等角對等邊“三線合一三線合一”, ,即等腰三即等腰

34、三角形頂角平分線，底邊上角形頂角平分線，底邊上的中線、高線互相重合的中線、高線互相重合有一角是有一角是6060的等腰三的等腰三角形是等邊三角形角形是等邊三角形等邊三角形三個內(nèi)角都相等邊三角形三個內(nèi)角都相等，且每個角都是等，且每個角都是6060三個角都相等的三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形是等邊三角形歸納總結(jié)例例1 如圖如圖, ,在等邊三角形在等邊三角形ABC中，中，DEBC, 求證：求證：ADE是等邊三角形是等邊三角形. .ACBDE證明：證明： ABC是等邊三角形，是等邊三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等邊三角

35、形是等邊三角形. .想一想：想一想：本題還有其他證法嗎？本題還有其他證法嗎？變式：變式：上題中上題中, ,若將條件若將條件DEBC改為改為AD=AE, , ADE還是等還是等邊三角形嗎邊三角形嗎? ?試說明理由試說明理由. .ACBDE 如圖如圖, ,在等邊三角形在等邊三角形ABC中，中，AD=AE, 求證：求證：ADE是等邊三角形是等邊三角形. .證明：證明： ABC是等邊三角形，是等邊三角形， A= B= C=60. AD=AE, ADE是等腰三角形是等腰三角形 ADE是等邊三角形是等邊三角形. . 又又 A=60. .操作操作: :用兩個含有用兩個含有30300 0角的三角尺，你能拼成一

36、個怎樣角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？的三角形？300300300300能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30, 300 0角所對的直角邊與斜邊角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？有怎樣的大小關(guān)系？3003002.2.含含3030角的直角三角形的性質(zhì)角的直角三角形的性質(zhì)已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,ACB=90，A=30.求證求證:BC= AB.12A30BC分析：分析：突破如何證明突破如何證明“線段的倍、分線段的倍、分”問題問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化“線段相等線段相等”問題問題猜想驗證30 30

37、ACB=90, (已知已知) ACD=90，(平角意義平角意義)在在ABC與與ADC中，中， BC=DC，（作圖），（作圖） ACB=ACD，（已證），（已證） AC=AC，（公共邊），（公共邊） ABCADC（SAS） ， AD=AB； ACB=90,BAC=30，(已知已知) B=60，ABD是等邊三角形，是等邊三角形，BC= BD= AB (等式性質(zhì)等式性質(zhì))30ABCD證明證明: 延長延長BC至至D,使使CD=BC,連接連接AD，BC:AC:AB=定理定理:在直角三角形中在直角三角形中, 如果有一個銳角等于如果有一個銳角等于30,那么它所那么它所對的直角邊等于斜邊的一半對的直角邊等于斜

38、邊的一半幾何語言：幾何語言：在在ABC中中,ACB=90,A=30BC= AB(在直角三角形中在直角三角形中, 30角所對的直角邊角所對的直角邊等于斜邊的一半等于斜邊的一半)12ABC30推論：推論：13 2： ：例例2 如圖，在如圖，在ABC中，已知中，已知AB=AC=2a,B=ACB=15, CD是腰是腰AB上的高，求上的高，求CD的長的長.解：解：B=ACB=15，(已知已知) DAC=B+ACB= 15+15=30， ADC=90，CD= AC=a（在直角三角形中（在直角三角形中, 如果有一個銳角等于如果有一個銳角等于30,那么它所對的直角邊那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）等于斜邊的

39、一半）12例例3 已知已知:如圖如圖,在在ABC中，中，ACB=90，A=30，CDAB于于D求證求證:BD=DACB30證明：證明：A=30，CDAB，ACB=90BC= B=60BCD=30， BD=BD=AB4AB2，CB2，AB.41.1.如圖如圖(1):(1):四邊形四邊形ABCDABCD是一張正方形紙片是一張正方形紙片,E,F,E,F分別是分別是AB,CDAB,CD的中點的中點, ,沿沿著過點著過點D D的折痕將的折痕將A A角翻折角翻折, ,使得使得A A落在落在EFEF上上( (如圖如圖(2), (2), 折痕交折痕交AEAE于點于點G,G,那么那么ADGADG等于多少度等于多

40、少度? ?你能證明你的結(jié)論嗎你能證明你的結(jié)論嗎? ?DACBEFDACBEF(1)(2)GAA AC CB BM MN NE EF F2.2.已知：如圖，已知：如圖，C C為線段為線段ABAB上一點上一點ACM,ACM,CBNCBN都是等邊三角形。都是等邊三角形。求證：求證：(1)AN=BM(1)AN=BM(2) (2) EFCEFC是等邊三角形是等邊三角形1 12 23 34 45 5 1.已知已知ABC中，中，A=B=60，AB=3cm，則則ABC的周的周長為長為_cm.92.在在ABC中，中，B90，C30，AB3則則AC=_;BC=_ABC33063 33. 已知：如圖，已知：如圖，A

41、B=BC ，CDE= 120， DFBA，且，且DF平分平分CDE.求證：求證：ABC是等邊三角形是等邊三角形.證明證明: AB=BC，ABC是等邊三角形是等邊三角形.又又CDE=120，DF平分平分CDE. FDC=ABC=60， ABC是等腰三角形，是等腰三角形， EDF=FDC=60，又又DFBA，證明：延長證明：延長BC至至D，使，使CD=BC，連接，連接AD.ACB=90，ACD=90又又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又又BC= AB，AB=BDAB=AD=BD，即即ABD是等邊三角形是等邊三角形B=60在在RtABC中，中，BAC=304已知：在已

42、知：在RtABC中，中，C=90, BC= AB求證：求證：BAC=30CBAD1212121.等邊三角形的判定等邊三角形的判定:有一個角是有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形2.特殊的直角三角形的性質(zhì)特殊的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中在直角三角形中, 如果有一個銳角等于如果有一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜那么它所對的直角邊等于斜邊的一半邊的一半在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于對的銳角等

43、于303.數(shù)學方法：數(shù)學方法：分類的思想分類的思想謝謝謝謝大大家家第 一章 三角形的證明第一章第一章 三角形的證明三角形的證明1.21.2直角三角形（第直角三角形（第1 1課時）課時）1.了解勾股定理及其逆定理的證明方法了解勾股定理及其逆定理的證明方法( (重點重點) )2.2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立知道原命題成立，其逆命題不一定成立 1. 1.如圖，在高為米，坡角為如圖，在高為米，坡角為3030的樓梯表面鋪地毯，地毯長的樓梯表面鋪地毯，地毯長度約為多米？度約為多米？3030米米 2.

44、2.我們曾經(jīng)探索過直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？我們曾經(jīng)探索過直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？ 知識回顧知識回顧3.3.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？ 一般性質(zhì)：直角三角形的邊具有一般三角一般性質(zhì)：直角三角形的邊具有一般三角 形的所有性質(zhì)形的所有性質(zhì). . 特殊性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳特殊性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳 角等于角等于3030，那么它所對的直角，那么它所對的直角 邊等于斜邊的一半邊等于斜邊的一半. . 1. 1.直角三角形的角有哪些性質(zhì)？直角三角形的角有哪些性質(zhì)？ 2.2.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？ 3.3.如果一個三角

45、形有兩個銳角互余，那么這個三如果一個三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？角形是直角三角形嗎？為什么？思考思考閱讀課本閱讀課本14-1814-18頁，回答問題：頁，回答問題：1.1.什么是直角三角形？什么是直角三角形？2.2.直角三角形的角有哪些性質(zhì)？反之，任意一個三角形的兩銳角具備直角三角形的角有哪些性質(zhì)？反之，任意一個三角形的兩銳角具備這種關(guān)系就是直角三角形嗎？請說明理由。這種關(guān)系就是直角三角形嗎？請說明理由。3.3.直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？勾股定理內(nèi)容是什么？反之，在一個直角三角形的邊有哪些性質(zhì)？勾股定理內(nèi)容是什么？反之，在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的

46、平方時，這個三角形是直角三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，這個三角形是直角三角形嗎？請說明理由。三角形嗎？請說明理由。4.4.逆命題、逆定理的概念是什么？兩個互逆命題、互逆定理的關(guān)系是逆命題、逆定理的概念是什么？兩個互逆命題、互逆定理的關(guān)系是什么？真命題的逆命題是真命題嗎？定理的逆命題也是定理嗎？什么？真命題的逆命題是真命題嗎？定理的逆命題也是定理嗎？ 勾股定理勾股定理: :如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a a、b b，斜邊為斜邊為c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .即直角三角形兩直角邊的平即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平

47、方方和等于斜邊的平方. .勾股定理在西方文獻中又稱為勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理1.1.勾股定理勾股定理c ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab b (a+b) (a+b)2 2 = = c c2 2 + 4+ 4 ab/2ab/2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 = = c c2 2 +2ab+2abaa2 2+b+b2 2=c=c2 2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 也可以表示為也可以表示為(a+b)(a+b)2 2c c2 2 +4+4 ab/2ab/2 c c2 2= 4= 4 ab/2 +(b-a)ab

48、/2 +(b-a)2 2 c c2 2 =2ab+b =2ab+b2 2-2ab+a-2ab+a2 2 c c2 2 =a =a2 2+b+b2 2aa2 2+b+b2 2=c=c2 2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 也可以表示為也可以表示為c c2 24 4 ab/2+(b- a)ab/2+(b- a)2 2c ca a b bc ca a b bc ca a b b c cb ba a直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, ,那么這個那么這

49、個三角形是直角三角形三角形是直角三角形。 提問：這個命題的條件是什么？結(jié)論是什么？請你根據(jù)條件和結(jié)提問：這個命題的條件是什么？結(jié)論是什么？請你根據(jù)條件和結(jié)論寫出已知和求證論寫出已知和求證. 已知：如圖（已知：如圖（1 1），在），在ABCABC中，中， ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2. .求證：求證：ABCABC是直角三角形是直角三角形. .A AB BC C圖（圖（1 1）A AB BC C圖（圖（1 1）AABBCC圖（圖（2 2）證明：如圖（證明：如圖（2 2）作）作RtRtABC,ABC,使使A=90A=90， AB=AB,AC=AC, AB=AB,AC=AC,AB

50、AB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2（勾股定理）（勾股定理）. . ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2 , , BCBC2 2=BC=BC2 2. . BC=BC. BC=BC. ABCABCABC(SSS). ABC(SSS). A=A=90A=A=90( (全等三角全等三角形的對應(yīng)角相等形的對應(yīng)角相等).).即，即，ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 直角三角形兩條直角邊的平方直角三角形兩條直角邊的平方 和等于斜邊的平方。和等于斜邊的平方。如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, ,那么那么這個三形是直角三角形。這個三

51、形是直角三角形。議一議議一議觀觀 察察如果兩個角是對頂角，那么他們相等；如果兩個角是對頂角，那么他們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角。如果兩個角相等，那么它們是對頂角。一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等。一個三角形中相等的角所對的邊相等。如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎。如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎。 在兩個命題中在兩個命題中, ,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件論和條件, ,那么這兩

52、個命題稱為那么這兩個命題稱為互逆命題互逆命題, ,其中一個命題稱為另一個命其中一個命題稱為另一個命題的題的逆命題逆命題. .2.2.互逆命題互逆命題 你能寫出命題你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等如果兩個有理數(shù)相等, ,那么它們的平方那么它們的平方相等相等”的逆命題嗎的逆命題嗎? ?它們都是真命題嗎它們都是真命題嗎? ?思考：思考： 說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假： （1 1）四邊形是多邊形；）四邊形是多邊形； （2 2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補； （3 3）如果）如果ab=0ab=0，那么，那么a=0,b=0.

53、a=0,b=0. 提問：一個命題是真命題，它的逆命題一定是真命題嗎？提問：一個命題是真命題，它的逆命題一定是真命題嗎？一個命題是真命題一個命題是真命題, ,它逆命題卻不一定是真命題它逆命題卻不一定是真命題. .你還能舉出一些例子嗎你還能舉出一些例子嗎? ?想一想想一想: :互逆命題與互逆定理有何關(guān)系互逆命題與互逆定理有何關(guān)系? ? 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題, ,那么它是那么它是一個定理一個定理, ,這兩個定理稱為這兩個定理稱為互逆定理互逆定理, ,其中一個定理稱另其中一個定理稱另一個定理的一個定理的逆定理逆定理. .3.3.互逆定理互逆定理 判斷

54、正誤：判斷正誤： （1 1）互逆命題一定是互逆定理；）互逆命題一定是互逆定理； （2 2）互逆定理一定是互逆命題）互逆定理一定是互逆命題. . 我們已經(jīng)學習了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、我們已經(jīng)學習了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“兩直兩直線平行，內(nèi)錯角相等與線平行，內(nèi)錯角相等與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行”等等. .請你再舉出請你再舉出一些互逆定理的例子一些互逆定理的例子. . 1. 1.寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：寫出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：baba，那么如果22)1(2)(2)矩形是正方形；矩形是正方形；(3)(3)如果如果

55、x x2 20 0，那么，那么x x0;0;(4)(4)直角都相等直角都相等. .2.2.已知：線段已知：線段abcabc的值如下，則能夠組成直角三角形的值如下，則能夠組成直角三角形的是（的是（ ）(A)346 (B)51213(A)346 (B)51213(C)124 (4)135(C)124 (4)135B B3.3.在在ABCABC中，已知，中，已知，AB=13cmAB=13cm，BC=10cmBC=10cm，BCBC邊上邊上的中線的中線AD=12cm AD=12cm ，求證：求證：AB=AC AB=AC DBACCABDE 4. 4.已知：在已知：在ABCABC中，中， C=90C=9

56、00 0， ADAD是是BCBC邊上的中線，邊上的中線，DEABDEAB，垂足為，垂足為E E，求證：求證：ACAC2 2=AE=AE2 2-BE-BE2 2解后反思解后反思 證明線段的平方和或差，常?？紤]運用勾股定理，若證明線段的平方和或差，常?？紤]運用勾股定理，若無直角三角形，可通過作垂線構(gòu)造直角三角形，以便運無直角三角形，可通過作垂線構(gòu)造直角三角形，以便運用勾股定理。用勾股定理。互逆命題互逆命題定理：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形定理：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形. .勾股定理勾股定理: :直角三角形兩直角邊的平方和等于直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方斜邊的平方. .

57、如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, ,那么這個三形是那么這個三形是直角三角形。直角三角形。定理：直角三角形兩銳角互余定理：直角三角形兩銳角互余. .互逆定理互逆定理謝謝謝謝大大家家第 一章 三角形的證明第一章第一章 三角形的證明三角形的證明1.21.2直角三角形（第直角三角形（第2 2課時）課時）1.1.會證明直角三角形全等的判定定理；會證明直角三角形全等的判定定理；2.2.會用判定定理（會用判定定理（HLHL）解決有關(guān)問題。）解決有關(guān)問題。1、判定一般三角形全等的條件有哪幾種？、判定一般三角形全等的條件有哪幾種？SSS、SAS、ASA 、 AAS知

58、識回顧2、判斷：如圖具有下列條件的RtABC與RtABC（其中CC90）是否全等，在（）里填寫理由；如果不全等，在（）里打“”：（1）ACAC,AA （ ）（2）ACAC，BCBC （ ）（3）AA，BB （ ） （4）ACAC，ABAB （ ） ASASAS？1、兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎?證明: 這是一個假命題, 只要舉一個反例即可. 如圖:ABCABCABC(1)(2)(3)由圖(1)和圖(2)可知,這兩個三角形全等;由圖(1)和圖(3)可知,這兩個三角形不全等;因此, 兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.做一做：已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角

59、形.已知：如圖，線段a=4cm，c=5cm（ac），直角 .求作：Rt ABC，使C= ，BC=a，AB=c. 2、如果其中一組等邊的所對的角是直角, 那么這兩個三角形全等嗎？.（1）作MCN= =90 （2）在射線CM上截取CB=a.（3）以點B為圓心，線段c 的長為半徑作弧，交射線CN與點A.（4）連接AB，得到Rt ABC.3、觀察對比同桌作出的三角形是否全等？4、把你們所作的三角形剪下來重疊在一起看是否重合？ 1、在上面的做一做中，如果分別取其他長度，且滿足（ac），那么我們剛獲得的結(jié)論還成立嗎？2、由此你是否能發(fā)現(xiàn)判定直角三角形全等的一種“特有”方法？請嘗試用規(guī)范數(shù)學語言概括你的發(fā)現(xiàn)

60、。（學生通過小組討論或交流） 得出定理： 3、如何證明它的正確性呢？證明：在ABC中，C=90，BC2=AB2-AC2（勾股定理）.同理，BC2=AB2-AC2 .AB=AB，AC=AC，BC=BC. ABC ABC（SSS）. 已知：如圖, 在ABC和ABC中, C=C=90, AC=AC , AB=AB 求證：ABC ABC .ABCABC斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等簡述為：“斜邊、直角邊”或“HL”幾何語言:在ABC和ABC中, C=C=900 BC=BC , AB=AB RtABCRtABC.（HL）ABCABC 例 如圖，有兩個長度相等的滑梯，左邊滑梯的高度如圖，有兩