多項式的最大公因式

1、1.4 1.4 多項式的最大公因式多項式的最大公因式第一章第一章 多項式多項式一、兩個多項式的最大公因式定義1： ,f xg xh xF x若 ,h x g xh xfx則 h x是 ,f xg x的一個公因式。的一個公因式。定義2：設(shè) d x是 ,f xg x的一個公因式。若 ,f xg x的任一個公因式 h x均有 ,h x d x則稱 d x是 ,f xg x的最大公因式。332,1fxx gxxx1hx是 例如第一章第一章 多項式多項式問題：1、如何求兩個多項式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若 ,f xg x q xr x與 公因式和最大公因式。證： 1、設(shè) h x是 ,

2、f xg x的公因式 h x是 ,g xr x的公因式。 反之，設(shè) h x是 ,g xr x的公因式 h x是 ,f xg x的公因式。則兩對多項式 f x與 g x， g x r x有相同的第一章第一章 多項式多項式2、設(shè) d x是 ,f xg x的最大公因式 d x是 ,g xr x的公因式，對 ,g xr x的任一公因式 m x m x是 ,f xg x的公因式 m x d x故 d x是 ,g xr x的最大公因式。反之同樣成立。 ,f xg x的最大公因式可以由引理知，要求轉(zhuǎn)化為求 g x與 r x的最大公因式。由于 r xg x 根據(jù)這種思想，我們可以對第一章第一章 多項式多項式

3、,f xg x進(jìn)行如下的輾轉(zhuǎn)相除： 11112221123332211111,0,0.kkkkkkkkkkf xg x qxr xr xg xg xr x qxrxrxr xr xrx qxrxrxrxrxrx qxrxrxrxrxrx qxrx （1.4.1）當(dāng)進(jìn)行到某一步時，余式為0。例如 10,krx則上一個式子的余式 krx就是 ,f xg x的最大公因式。第一章第一章 多項式多項式 10,krx于是得定理1.4.1： ,f xg x若兩個多項式經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后得一系列等式（1.4.1），則 f xg x與的最大公因式為 。 krx定理1.4.2： F x中任意兩個多項式 f xg x與的

4、最大公因式必存在，且若 d x是 ,f xg x ,u xv xF x的最大公因式， 則必存在，使由于余式的次數(shù)不斷降低，而 g x的次數(shù)是有限的，故經(jīng)過有限次輾轉(zhuǎn)相除之后，必然有余式 .d xf x u xg x v x第一章第一章 多項式多項式證明： 1、若 0,f xg x則 ,f xg x的最大公因式是0。顯然有 ,d xf x u xg x v x ,u xv x任意。2、若 0,0,f xg x則 ,f xg x的最大公因式是 1.f xf xg x v x v x任意。3、若 0,0,f xg x使 kd xrxf x u xg x v x則由定理1.4.1知，經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后可求出

5、它們的最由（1.4.1）可求得 ,u xv x大公因式為 krx第一章第一章 多項式多項式設(shè) 12,dxdx都是 ,f xg x的最大公因式，則有 122121,dx dxdx dxdxc dx 即兩個最大公因式之間僅差一個零次因子。若用 ,f xg x表示 ,f xg x中首項系數(shù)為1的最大公因式，則 ,f xg x唯一確定。第一章第一章 多項式多項式例1.4.1： 設(shè) 432343,f xxxxx 3231023.g xxxx求 ,f xg x，和 ,u xv x使 ,f xg xu x f xv x g x 解：（利用輾轉(zhuǎn)相除法）二、兩個多項式互素 ,f xg xF x若 ,1,f xg

6、 x定義3：則稱 ,f xg x互素。定理1.4.5： ,1f xg x ,u xv xF x的充要條件是存在 1f x u xg x v x使 第一章第一章 多項式多項式多項式互素的性質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1： 若 ,1,1,f xh xg xh x則 ,1.f x g xh x證：1,fuhvfguhgvg( )( ) ( ),( )( )d xf x g xd x h x( )( )( )1.d x g xd x性質(zhì)性質(zhì)2：若 ,h xf x g x且 ,1,h xf x則 .h x g x證：1,.hufvhgufgvgh g第一章第一章 多項式多項式性質(zhì)性質(zhì)3： 若 ,g xfxh xfx又

7、,1,g xh x則 .g x h xfx證：1,guhvgfufhvf11,fggfhh代入上式即知三、多個多項式的情況定義4： 設(shè) 1,1,nifxfxF xh xfxin則稱 h x是這組多項式的公因式， 若 d x是 1,nfxfx的公因式， 且這組多項式的任一公因式 d x都能整除。則稱 d x是的最大公 1,nfxfx因式。第一章第一章 多項式多項式則稱 d x是 1,nfxfx的最大公因式。用 12,nfff表示首一的最大公因式，則 1211,nnnffffffd x性質(zhì)1、若12,nfffd則 12,nu uuF x使 。 1 122nnf uf uf ud性質(zhì)2、若12,1,nfff則稱12,nfff互素。性質(zhì)3、若,1,1,ijffiji jn則稱12,nfff兩兩互素。性質(zhì)4、互素12,nfff12,nfff兩兩互素。第一章第一章 多項式多項式例1.4.2 設(shè)22212343,68,3