實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法_誤差理論與最小二乘法

1、 5.1 誤差的定義與分類誤差的定義與分類ar22hehp)(21h222)(21)(axexp 根據(jù)隨機(jī)誤差的這些特征，當(dāng)不存在系統(tǒng)誤差的影響時(shí)，多次測(cè)量結(jié)果的平均值將更接近于真值。隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因很多，觀測(cè)時(shí)環(huán)境因素的微小變化，設(shè)備中的熱噪聲等都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差的重要原因。5.2 觀測(cè)精度觀測(cè)精度ii Nixi1,axii,)(22NaxNii |置信水平誤差限置信水平誤差限50.0 %68.3 %95.0 %0.674 1.0 1.96 95.5 %99.0 %2 2.58 | 可見(jiàn)，誤差落在 3 中的概率為99.7,亦即絕對(duì)值大于3的誤差僅有0.3%,這顯然是一個(gè)小概率事件。所以在有限

2、次觀測(cè)中，誤差值大于3的觀測(cè)值可能含有過(guò)失誤差，應(yīng)考慮舍去該觀測(cè)值; 當(dāng)然, 也有可能這個(gè)值并不含有過(guò)失誤差, 如舍去它會(huì)犯“棄真”錯(cuò)誤，但這種誤差的最大概率也只有0.3%。這種取舍觀測(cè)值的原則稱為或簡(jiǎn)稱為。 uxx0),(21mxxxfymkkkkmxxxfxxxfy10002010,),(0kkxxmkkkyvxfv10kkvxfkxf)1(mkkmkjkkjmjkjkjkkkyxfxfxf1, 1,22mkkkyxf122mkiixky122222221212mmykkk利用IRAF進(jìn)行測(cè)光時(shí)，其會(huì)根據(jù)誤差傳遞以如下的公式給出測(cè)光誤差： 根據(jù)信噪比的定義：S/N = Flux/Err，故

3、1/MerrS/N，即IRAF里給出的測(cè)光誤差的倒數(shù)即為信噪比。除了信噪比會(huì)引起測(cè)光誤差外，還有很多其他的因素也會(huì)帶來(lái)誤差，如減本底、除平場(chǎng)、減暗流等過(guò)程都會(huì)帶來(lái)附加的誤差：一般平場(chǎng)的精度可以達(dá)到千分之五左右。 為多顆比較星測(cè)光誤差的平均值，為目標(biāo)源測(cè)光誤差，為其他誤差，根據(jù)不同的情況確定，比如誤差小于千分之五的時(shí)候“其他誤差”就可能需要包括平場(chǎng)誤差，再比如比較星的定標(biāo)誤差等。,xxviix,)()(iiiivaxxxax,2222iiivv,222NvNii,/Nx,1222NNvi,12NvNipii1,/221iiip xxp 2(1)pvNp5.3 直接觀測(cè)量的最或然值及其精度直接觀測(cè)

4、量的最或然值及其精度,min*)(22xxvQii)1(2NNvx,min*)(22xxvQiiNiiiixvvvxQ120*NiiixxNx11*,Nxmiiv12minNNxpxpxp,2211), 1( ,Nivpviii,0*)()(2*1*NiiiixxpxxxQ,*11NiiNiiipxpx則為 ,112221*NiiiNiixppiip/,*ixp)1(,NivpiiNiixpNpv12*) 1( 實(shí)例5.4 間接觀測(cè)量的最或然值及其精度間接觀測(cè)量的最或然值及其精度 1 ,2211 Nixbxbxblmimiii,v lxbxbxb,v lxbxbxb, v lxbxbxbNNm

5、NmNNmmmm2211222222121111212111 式中1,2,N 分別為l1,l2,lN 的殘差。min,2112 NimkikikilxbvQ , 0 , 0 , 021kxQxQxQ, 022 2 , 022 2, 022 2221111222221112122211111kNkNkNmkkkmkkkmkNkNkNkkkkkkkNkNkNkkkkkklxbblxbblxbblxbblxbblxbblxbblxbblxbb,lb xbb xbb xbb ,lb xbb xbb xbb,lb xbb xbb xbbmmmmmmmmmm22112222211211221111 12(

6、 ,),1.iimyf x xxiN,0202101mmiiiixxfxxfxxfy0kixfNivyxbxbxbiimimii1,2211 22112222211211221111, ybxbbxbbxbb, ybxbbxbbxbb, ybxbbxbbxbbmmmmmmmmmm,22mNv=,21mxxx,21mxxxppp,/iipmkpkkxx1,/1/1xp2/12xpx 5.5 最小二乘曲線擬合最小二乘曲線擬合1,2121,(;,;,),NNmdd x xxy yycc,1|( , )|Niiidyf x c21( , )Niiidyf x c2221(, )Niiiiiippyfx

7、 c21/,iip21Niiikpc1( , )( , )0,1,Niiiiikf x cp yf x ckmc01( , )( )( )mkkkyf x cyxc fx()0111( )( )( ),imNNkik xjiiiijikiicp ffxp yy xfx 1.jm( , )iiyf x c01( )( ),1mikkikyxc fxiN01 122.mmycc xc xc x例例1 1： 是一個(gè)多項(xiàng)式模型，盡管觀測(cè)值y對(duì)自變量而言是非線性的，但它對(duì)參數(shù)是線性的，因此仍屬線性問(wèn)題。只要作變量代換：21 12momycc xc xc x212,mmxx xxxx則多項(xiàng)式即可化為標(biāo)準(zhǔn)的

8、線性形式 10,c xyc e01lnln,ycc x0011ln ,ln,Yy Cc Cc01,YCC x0011,CcecC21cos(2/),jijjjyAtp 式中A Aj，j (j1，2)分別為周期函數(shù)的振幅和初相位，它們都是擬合過(guò)程中待估計(jì)的參數(shù)pj為已知的周期。111211322422cos,sin,cos,sin,cAcAcAcA1121cos2/,sin2/,iiiixtpxtp3242cos2/,sin2/,iiiixtpxtp1 1223344,iiiiiyc xc xc xc x這是以c1, c2, c3, c4參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化模型。由線性情況的最小二乘擬合的參數(shù)估計(jì)公式解

9、得參數(shù)c1,c2,c3 ,c4 后可得周期函數(shù)的擬合參數(shù)2222112234,AccAcc121243tan(/),tan(/)arcccarccc 將它們代入周期函數(shù)公式中即得周期函數(shù)擬合曲線 變量變換的方法可以把看來(lái)較復(fù)雜的模型化簡(jiǎn)，且變換既適用于待定參數(shù)也適用于觀測(cè)量和自變量。這種能通過(guò)變量代換的方法化為線性模型的理論或經(jīng)驗(yàn)公式稱為。 對(duì)dy 對(duì)dx 對(duì)(dx2+dy2)1/2 Using RBLR the central mass is: V is the BLR clouds velocity (either from FWHM or LINE) f is a dimensionle

10、ss factor that depends on the geometry and kinematics of the BLR. 如何測(cè)定 RBLR ?GVfRMBLR2 Finding the central (black hole) mass is one of the “holy grails” of reverberation mapping in the past decade. (but the sample might be biased.) Continuum luminosity vary. BLR respond to the variations (via photoi

11、onization).)cos1 (cRtThe entire BLR does not respond at the same time.A cloud at a distance R from the central source and angle to the line of sight will appear to respond after a time: Line ContinuumFor a thick shell BLR the response to a continuum flash will be:0crin2crout2TimeLinefluxTimeLine Flu

12、xContinuum FluxHbKaspi et al. 2000測(cè)定 RBLR 進(jìn)而計(jì)算黑洞質(zhì)量的更普適方法Uncertainties in both quantities andIntrinsic scatter in the relationTwo regression methods:1. FITEXY from Press et al. (1992) implemented by Tremaine et al. (2002).2. BCES (Bivariate Correlated Errors and intrinsic Scatter) by Akritas & Be

13、rshady (1996).and also outlier pointsRBLR lLl(5100 ) (0.690.05)Kaspi et al. 2005RBLR lLl(1450 ) (0.560.05)Kaspi et al. 20052/52( , , )(1),hc kTAhcBT Aelll(0)(0)(0)11100( ,).mmmffyf x ccccccc利用線性擬合公式求出參數(shù)c c的一級(jí)改正值： 將上述公式中的c c(0)換成c c(1)，又可以得到c c的二級(jí)近似值c c(2)c(1)+(2)。如此反復(fù)迭代計(jì)算，由r級(jí)近似值c c(r)求r +1級(jí)近似值c c(r+1)的公式為(1)(1)(0)cc(1)( )(1),rrrcc若從迭代的第r步到第r + 1步參數(shù)c c的改正值變化很小，即|i(r) | ；或最小2量減小得很少，即2( )2(1)minmin2(1)min()()()rrr2221( ; )Niiiiyf x c22min21( ; )Niiiiyf x c22min,Nm21( ;)minNiiidyf xc 然后將搜索區(qū)間劃分成nj-1等分，則參數(shù)空間c c被劃分成(nl-1)(n2-1)(nm-1)個(gè)網(wǎng)格，如果每個(gè)參數(shù)區(qū)間均分成(n-1)個(gè)小區(qū)間的話，則它們共構(gòu)成(n-1)m個(gè)網(wǎng)格。而對(duì)應(yīng)于這些網(wǎng)格有Mnm個(gè)網(wǎng)