帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)zhuanti

1、題型題型3 3 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問(wèn)題【例例3 3】 如圖如圖7 7所示所示, , 勻強(qiáng)磁場(chǎng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B, ,寬度為寬度為d d, ,邊界邊界為為CDCD和和EFEF. .一電子從一電子從CDCD邊界外邊界外側(cè)以速率側(cè)以速率v v0 0垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入, ,入射方向與入射方向與CDCD邊界間夾角為邊界間夾角為. .已知電子的質(zhì)量為已知電子的質(zhì)量為m m, ,電荷量為電荷量為e e, ,為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EFEF射射出出, ,求電子的速率求電子的速率v v0 0至少多大至少多大? ?

2、圖圖7 7思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖解析解析 當(dāng)入射速率當(dāng)入射速率v v0 0很小時(shí)很小時(shí), ,電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從一段圓弧后又從CDCD一側(cè)射出一側(cè)射出, ,速率越大速率越大, ,軌道半徑軌道半徑越大越大, ,當(dāng)軌道的邊界與當(dāng)軌道的邊界與EFEF相切時(shí)相切時(shí), ,電子恰好不能從電子恰好不能從EFEF射出射出, ,如圖所示如圖所示. .電子恰好射出時(shí)電子恰好射出時(shí), ,由幾何知識(shí)可由幾何知識(shí)可得得: :r r+ +r rcoscos= =d d又又r r= =由得由得v v0 0= =故電子要射出磁場(chǎng)時(shí)速率至少應(yīng)為故電子要射出磁場(chǎng)時(shí)速率至少應(yīng)為答案答案Bem0v)cos1

3、(mBed)cos1 (mBed)cos1 (mBed規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.1.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是: :找準(zhǔn)臨界點(diǎn)找準(zhǔn)臨界點(diǎn). .2.2.找臨界點(diǎn)的方法是找臨界點(diǎn)的方法是: :以題目中的以題目中的“恰好恰好”“”“最大最大”“”“最高最高”“”“至少至少”等詞等詞語(yǔ)為突破口語(yǔ)為突破口, ,借助半徑借助半徑R R和速度和速度v v（或磁場(chǎng)（或磁場(chǎng)B B）之間的約）之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡分析束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡分析, ,確定軌跡圓和邊界的關(guān)確定軌跡圓和邊界的關(guān)系系, ,找出臨界點(diǎn)找出臨界點(diǎn), ,然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值, ,常用結(jié)論常用結(jié)論如下

4、如下: :（1 1）剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)）剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切動(dòng)的軌跡與邊界相切. .（2 2）當(dāng)速度）當(dāng)速度v v一定時(shí)一定時(shí), ,弧長(zhǎng)（或弦長(zhǎng)）越長(zhǎng)弧長(zhǎng)（或弦長(zhǎng)）越長(zhǎng), ,圓周角越圓周角越大大, ,則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng). .（3 3）當(dāng)速率）當(dāng)速率v v變化時(shí)變化時(shí), ,圓周角大的圓周角大的, ,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng). .題型題型1 1 帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【例例1 1】 在以坐標(biāo)原點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)O O為圓心、半徑為為圓心、半徑為r r的圓形

5、的圓形區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi), ,存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B B、方向垂直于、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng), ,如圖如圖4 4所示所示. .一個(gè)不計(jì)重力的帶電一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與粒子從磁場(chǎng)邊界與x x軸的交軸的交點(diǎn)點(diǎn)A A處以速度處以速度v v沿沿- -x x方向射入方向射入磁場(chǎng)磁場(chǎng), ,它恰好從磁場(chǎng)邊界與它恰好從磁場(chǎng)邊界與y y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)C C處沿處沿+ +y y方向飛出方向飛出. .題型探究題型探究圖圖4 4（1 1）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷）請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷, ,并求出其比荷并求出其比荷 . .（2 2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變）若磁

6、場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變, ,而磁感應(yīng)而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)閺?qiáng)度的大小變?yōu)锽 B,該粒子仍從該粒子仍從A A處以相同的速度射處以相同的速度射入磁場(chǎng)入磁場(chǎng), ,但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了變了6060角角, ,求磁感應(yīng)強(qiáng)度求磁感應(yīng)強(qiáng)度B B多大？此次粒子在磁多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t t是多少？是多少？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 如何確定帶電粒子的圓心和運(yùn)動(dòng)軌跡如何確定帶電粒子的圓心和運(yùn)動(dòng)軌跡? ?磁磁場(chǎng)圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系場(chǎng)圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系? ?mq解析解析 （1 1）由粒子的運(yùn)行軌跡

7、）由粒子的運(yùn)行軌跡, ,利用左手定則可利用左手定則可知知, ,該粒子帶負(fù)電荷該粒子帶負(fù)電荷. .粒子由粒子由A A點(diǎn)射入點(diǎn)射入, ,由由C C點(diǎn)飛出點(diǎn)飛出, ,其速度方向改變了其速度方向改變了9090, ,則粒子軌跡半徑則粒子軌跡半徑R R = =r r又又q qv vB B= =則粒子的比荷則粒子的比荷（2 2）粒子從）粒子從D D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了方向改變了6060角角, ,故故ADAD弧所弧所對(duì)圓心角為對(duì)圓心角為6060, ,如右圖所示如右圖所示. .粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑BrmqvRm2vR R=r rcot 30cot 30= = r r又又R

8、R=所以所以B B= = B B粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行時(shí)間t t= =答案答案 （1 1）負(fù)電荷）負(fù)電荷 （2 2）3Bqmv33v3326161rBqmTBrvv33 rB33SvvBPSvSQPQQ量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)PovBdabcvB量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）V0OabcdV0Oabcd300600MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.2RR2RMNO變式練習(xí)變式練習(xí)2 2

9、 電子質(zhì)量為電子質(zhì)量為m m, , 電荷電荷量為量為e e, ,從坐標(biāo)原點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O O處沿處沿xOyxOy平面平面射入第一象限射入第一象限, ,射入時(shí)速度方向不射入時(shí)速度方向不同同, ,速度大小均為速度大小均為v v0 0, ,如圖如圖8 8所示所示. .現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOyxOy平面的勻平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)強(qiáng)磁場(chǎng), ,磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B B, ,若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏能垂直射到熒光屏MNMN上上, ,熒光屏與熒光屏與y y軸平行軸平行, ,求求: :（1 1）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度.

10、 .（2 2）所加磁場(chǎng)范圍的最小面積）所加磁場(chǎng)范圍的最小面積. .圖圖8 8解析解析 （1 1）如右圖所示）如右圖所示, ,求光斑的長(zhǎng)度求光斑的長(zhǎng)度, ,關(guān)鍵是找關(guān)鍵是找到兩個(gè)邊界點(diǎn)沿弧到兩個(gè)邊界點(diǎn)沿弧OBOB運(yùn)運(yùn)動(dòng)到動(dòng)到P P, ,初速度方向沿初速度方向沿y y軸軸正方向的電子正方向的電子, ,初速度方向沿初速度方向沿x x軸正方向的電子軸正方向的電子, ,沿沿弧弧OCOC運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到Q Q. .設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R R, ,由由牛頓第二定律得牛頓第二定律得: :q qv v0 0B B= =m m , ,即即R R= =從圖中可以看出從圖中可以看出PQPQ

11、= =R R= =R20vBem0vBem0v（2 2）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏后都能垂直打到熒光屏MNMN上上, ,所加最小面積的磁場(chǎng)所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以的邊界是以O(shè) O為圓心、坐標(biāo)為（為圓心、坐標(biāo)為（0,0,R R）、半徑為）、半徑為R R的圓的一部分的圓的一部分, ,如圖中實(shí)線包圍面積如圖中實(shí)線包圍面積. .所以磁場(chǎng)范所以磁場(chǎng)范圍的最小面積圍的最小面積S S= = R R2 2+ +R R2 2- - R R2 2= =（ +1+1）（）（ ）2 2答案答案 （1 1）（2 2）（ +1+1）（）（ ）24

12、3412Bem0vBem0v2Bem0v5.5.如圖如圖1414所示所示, ,邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為L(zhǎng) L的等邊三角形的等邊三角形ABCABC為兩個(gè)有為兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的理想邊界界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的理想邊界, ,三角形內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂三角形內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外直紙面向外, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B B, ,三角形外的磁三角形外的磁場(chǎng)場(chǎng)( (足夠大足夠大) )方向垂直紙面向里方向垂直紙面向里, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為也為B B. .把粒子源放在頂點(diǎn)把粒子源放在頂點(diǎn)A A處處, ,它將沿它將沿A A的角平的角平分線發(fā)射質(zhì)量為分線發(fā)射質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q、初速度為、初速度為

13、v v= = 的負(fù)電粒子的負(fù)電粒子( (粒子重力不計(jì)粒子重力不計(jì)).).求求: :mqBL圖圖1414(1)(1)從從A A射出的粒子第一次到達(dá)射出的粒子第一次到達(dá)C C點(diǎn)所用時(shí)間為多少點(diǎn)所用時(shí)間為多少? ?(2)(2)帶電粒子在題設(shè)的兩個(gè)有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期帶電粒子在題設(shè)的兩個(gè)有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期. .解析解析 (1)(1)帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)帶電粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng), ,做勻速圓周運(yùn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)q qv vB B= =T T= =將已知條件代入有將已知條件代入有r r = =L L從從A A點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)到達(dá)C C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示跡如圖所示, ,可得可得qBm2rm2vt tACA

14、C= = T Tt tACAC= =(2)(2)帶電粒子在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的周期運(yùn)動(dòng)軌跡如第帶電粒子在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的周期運(yùn)動(dòng)軌跡如第(1)(1)問(wèn)圖所示問(wèn)圖所示. .粒子通過(guò)圓弧從粒子通過(guò)圓弧從C C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B B點(diǎn)的時(shí)間為點(diǎn)的時(shí)間為t tCBCB= =帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期為帶電粒子運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén) TABCABC=3(=3(t tACAC+ +t tCBCB) )解得解得T TABCABC= =答案答案 (1) (1) (2)(2)61qBm3qBmT3565qBm6qBm3qBm66.6.如圖如圖1515所示所示, ,在直角坐標(biāo)系的第在直角坐標(biāo)系的第象限和第象限和第象限中象限中的直角三角形區(qū)域內(nèi)的

15、直角三角形區(qū)域內(nèi), ,分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度均為分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B B=5.0=5.01010-2-2 T T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng), ,方向分別垂直紙面向外和向里方向分別垂直紙面向外和向里. .質(zhì)質(zhì)量為量為m m=6.64=6.641010-27-27 kg kg、電荷量為、電荷量為q q=+3.2=+3.21010-19-19 C C的的 粒子粒子( (不計(jì)不計(jì) 粒子重力粒子重力),),由靜止開(kāi)始經(jīng)加速電壓為由靜止開(kāi)始經(jīng)加速電壓為U U=1 205 V=1 205 V的電場(chǎng)的電場(chǎng)( (圖中未畫(huà)出圖中未畫(huà)出) )加速后加速后, ,從坐標(biāo)點(diǎn)從坐標(biāo)點(diǎn)M M(-4, )(-4, )處平行于處平行于x

16、x軸向右運(yùn)動(dòng)軸向右運(yùn)動(dòng), ,并先后通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)并先后通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域區(qū)域. .圖圖15152(1)(1)請(qǐng)你求出請(qǐng)你求出 粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑. .(2)(2)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出請(qǐng)你在圖中畫(huà)出 粒子從直線粒子從直線x x=-4=-4到直線到直線x x=4=4之間的之間的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡, ,并在圖中標(biāo)明軌跡與直線并在圖中標(biāo)明軌跡與直線x x=4=4交點(diǎn)的坐標(biāo)交點(diǎn)的坐標(biāo). .(3)(3)求出求出 粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時(shí)間粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時(shí)間. .解答解答 (1) (1) 粒子在電場(chǎng)中被加速粒子在電場(chǎng)中被加速, ,由動(dòng)能定理得由動(dòng)能定理得qUqU= =

17、m mv v2 2 粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn), ,由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得q qv vB B= = 聯(lián)立解得聯(lián)立解得r r= =21rmv2qmUB21= = m m= = 1010-1-1 m m(2)(2)如下圖所示如下圖所示1927102 . 320511064. 6205. 012(3)(3)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T T= = 粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度均為粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度均為 , ,在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)總時(shí)間總時(shí)間t t= = =6.5=6.51010-7-7 s sqBm24qBmT241s105102 . 32106

18、4. 614. 321927反思總結(jié)反思總結(jié)小結(jié)1. 1.帶電粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng)帶電粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng), ,運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧線軌跡為一段弧線. .2.2.當(dāng)同源粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡當(dāng)同源粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡3.3.注意圓周運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)對(duì)稱(chēng)規(guī)律注意圓周運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)對(duì)稱(chēng)規(guī)律: :(2) (2) 粒子進(jìn)入單邊磁場(chǎng)時(shí)粒子進(jìn)入單邊磁場(chǎng)時(shí), ,入射速度與邊界夾角等于出射速入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角度與邊界的夾角; ;(1) (1) 在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi), ,沿徑向射入的粒子沿徑向射入的粒子, ,必沿徑向射出必沿徑向射出. .O3rrO4rrO2rrO1rrOS運(yùn)動(dòng)軌

19、跡賞析運(yùn)動(dòng)軌跡賞析O1O2O3LdaaOxyvvP075030甲甲乙乙tB-B0B00T2TaaOxPv075030O1aaOxPv075030O1O3O2oABv0o1rrPQaaBv0v0v0 一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面，在平面，在xy平面上，磁場(chǎng)分布在以平面上，磁場(chǎng)分布在以O(shè)為中心的一個(gè)圓為中心的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為、電荷量為q的帶的帶電粒子，由原點(diǎn)電粒子，由原點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速度為開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，初速度為v，方向沿方向沿x正方向。后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)正方向。后來(lái)，粒子經(jīng)過(guò)y上的上的P點(diǎn)，點(diǎn)，此時(shí)速度方向與此時(shí)速度方向與y軸的夾

20、角為軸的夾角為30，P到到O的的距離為距離為L(zhǎng)，如圖所示。不計(jì)，如圖所示。不計(jì) 重力影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)重力影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng) 強(qiáng)度強(qiáng)度B的大小和的大小和 xy平面上磁平面上磁 場(chǎng)區(qū)域的半徑場(chǎng)區(qū)域的半徑R。30LxyOPv由幾何關(guān)系知由幾何關(guān)系知 r=L/3解得解得 30LxyOPvQOArvmqvB2qLmvB3又由幾何關(guān)系知磁場(chǎng)區(qū)域的半又由幾何關(guān)系知磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為徑為 LR331212月月2323日作業(yè)日作業(yè)1.1.如圖如圖1414所示所示, ,邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為L(zhǎng) L的等邊三角形的等邊三角形ABCABC為兩個(gè)有為兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的理想邊界界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的理想邊界, ,三角形內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂三角形內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外直紙面向外, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B B, ,三角形外的磁三角形外的磁場(chǎng)場(chǎng)( (足夠大足夠大) )方向垂直紙面向里方向垂直紙面向里, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為也為B B. .把粒子源放在頂點(diǎn)把粒子源放在頂點(diǎn)A A處處, ,它將沿它將沿A A的角平的角平分線發(fā)射質(zhì)量為分線發(fā)射質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q、初速度為、初速度為v v= = 的負(fù)電粒子的負(fù)電粒子( (粒子重力不計(jì)粒子重力不計(jì)).).求求: :mqBL圖圖1414(1)(1)從從A A射出