帶電粒子在磁場中運動zhuanti

1、題型題型3 3 帶電粒子在磁場中運動的極值問題帶電粒子在磁場中運動的極值問題【例例3 3】 如圖如圖7 7所示所示, , 勻強磁場勻強磁場的磁感應強度為的磁感應強度為B B, ,寬度為寬度為d d, ,邊界邊界為為CDCD和和EFEF. .一電子從一電子從CDCD邊界外邊界外側(cè)以速率側(cè)以速率v v0 0垂直勻強磁場射入垂直勻強磁場射入, ,入射方向與入射方向與CDCD邊界間夾角為邊界間夾角為. .已知電子的質(zhì)量為已知電子的質(zhì)量為m m, ,電荷量為電荷量為e e, ,為使電子能從磁場的另一側(cè)為使電子能從磁場的另一側(cè)EFEF射射出出, ,求電子的速率求電子的速率v v0 0至少多大至少多大? ?

2、圖圖7 7思維導圖思維導圖解析解析 當入射速率當入射速率v v0 0很小時很小時, ,電子會在磁場中轉(zhuǎn)動電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從一段圓弧后又從CDCD一側(cè)射出一側(cè)射出, ,速率越大速率越大, ,軌道半徑軌道半徑越大越大, ,當軌道的邊界與當軌道的邊界與EFEF相切時相切時, ,電子恰好不能從電子恰好不能從EFEF射出射出, ,如圖所示如圖所示. .電子恰好射出時電子恰好射出時, ,由幾何知識可由幾何知識可得得: :r r+ +r rcoscos= =d d又又r r= =由得由得v v0 0= =故電子要射出磁場時速率至少應為故電子要射出磁場時速率至少應為答案答案Bem0v)cos1

3、(mBed)cos1 (mBed)cos1 (mBed規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.1.解決此類問題的關(guān)鍵是解決此類問題的關(guān)鍵是: :找準臨界點找準臨界點. .2.2.找臨界點的方法是找臨界點的方法是: :以題目中的以題目中的“恰好恰好”“”“最大最大”“”“最高最高”“”“至少至少”等詞等詞語為突破口語為突破口, ,借助半徑借助半徑R R和速度和速度v v（或磁場（或磁場B B）之間的約）之間的約束關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析束關(guān)系進行動態(tài)運動軌跡分析, ,確定軌跡圓和邊界的關(guān)確定軌跡圓和邊界的關(guān)系系, ,找出臨界點找出臨界點, ,然后利用數(shù)學方法求解極值然后利用數(shù)學方法求解極值, ,常用結(jié)論常用結(jié)論如下

4、如下: :（1 1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切動的軌跡與邊界相切. .（2 2）當速度）當速度v v一定時一定時, ,弧長（或弦長）越長弧長（或弦長）越長, ,圓周角越圓周角越大大, ,則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長. .（3 3）當速率）當速率v v變化時變化時, ,圓周角大的圓周角大的, ,運動時間越長運動時間越長. .題型題型1 1 帶電粒子在有界磁場中的運動帶電粒子在有界磁場中的運動【例例1 1】 在以坐標原點在以坐標原點O O為圓心、半徑為為圓心、半徑為r r的圓形

5、的圓形區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi), ,存在磁感應強度大小為存在磁感應強度大小為B B、方向垂直于、方向垂直于紙面向里的勻強磁場紙面向里的勻強磁場, ,如圖如圖4 4所示所示. .一個不計重力的帶電一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與粒子從磁場邊界與x x軸的交軸的交點點A A處以速度處以速度v v沿沿- -x x方向射入方向射入磁場磁場, ,它恰好從磁場邊界與它恰好從磁場邊界與y y軸的交點軸的交點C C處沿處沿+ +y y方向飛出方向飛出. .題型探究題型探究圖圖4 4（1 1）請判斷該粒子帶何種電荷）請判斷該粒子帶何種電荷, ,并求出其比荷并求出其比荷 . .（2 2）若磁場的方向和所在空間范圍不變）若磁

6、場的方向和所在空間范圍不變, ,而磁感應而磁感應強度的大小變?yōu)閺姸鹊拇笮∽優(yōu)锽 B,該粒子仍從該粒子仍從A A處以相同的速度射處以相同的速度射入磁場入磁場, ,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了變了6060角角, ,求磁感應強度求磁感應強度B B多大？此次粒子在磁多大？此次粒子在磁場中運動所用時間場中運動所用時間t t是多少？是多少？思路點撥思路點撥 如何確定帶電粒子的圓心和運動軌跡如何確定帶電粒子的圓心和運動軌跡? ?磁磁場圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系場圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系? ?mq解析解析 （1 1）由粒子的運行軌跡

7、）由粒子的運行軌跡, ,利用左手定則可利用左手定則可知知, ,該粒子帶負電荷該粒子帶負電荷. .粒子由粒子由A A點射入點射入, ,由由C C點飛出點飛出, ,其速度方向改變了其速度方向改變了9090, ,則粒子軌跡半徑則粒子軌跡半徑R R = =r r又又q qv vB B= =則粒子的比荷則粒子的比荷（2 2）粒子從）粒子從D D點飛出磁場速度點飛出磁場速度方向改變了方向改變了6060角角, ,故故ADAD弧所弧所對圓心角為對圓心角為6060, ,如右圖所示如右圖所示. .粒子做圓周運動的半徑粒子做圓周運動的半徑BrmqvRm2vR R=r rcot 30cot 30= = r r又又R

8、R=所以所以B B= = B B粒子在磁場中運行時間粒子在磁場中運行時間t t= =答案答案 （1 1）負電荷）負電荷 （2 2）3Bqmv33v3326161rBqmTBrvv33 rB33SvvBPSvSQPQQ量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)PovBdabcvB量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）V0OabcdV0Oabcd300600MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.2RR2RMNO變式練習變式練習2 2

9、 電子質(zhì)量為電子質(zhì)量為m m, , 電荷電荷量為量為e e, ,從坐標原點從坐標原點O O處沿處沿xOyxOy平面平面射入第一象限射入第一象限, ,射入時速度方向不射入時速度方向不同同, ,速度大小均為速度大小均為v v0 0, ,如圖如圖8 8所示所示. .現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOyxOy平面的勻平面的勻強磁場強磁場, ,磁感應強度為磁感應強度為B B, ,若這些電子穿過磁場后都若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏能垂直射到熒光屏MNMN上上, ,熒光屏與熒光屏與y y軸平行軸平行, ,求求: :（1 1）熒光屏上光斑的長度）熒光屏上光斑的長度.

10、 .（2 2）所加磁場范圍的最小面積）所加磁場范圍的最小面積. .圖圖8 8解析解析 （1 1）如右圖所示）如右圖所示, ,求光斑的長度求光斑的長度, ,關(guān)鍵是找關(guān)鍵是找到兩個邊界點沿弧到兩個邊界點沿弧OBOB運運動到動到P P, ,初速度方向沿初速度方向沿y y軸軸正方向的電子正方向的電子, ,初速度方向沿初速度方向沿x x軸正方向的電子軸正方向的電子, ,沿沿弧弧OCOC運動到運動到Q Q. .設粒子在磁場中運動的半徑為設粒子在磁場中運動的半徑為R R, ,由由牛頓第二定律得牛頓第二定律得: :q qv v0 0B B= =m m , ,即即R R= =從圖中可以看出從圖中可以看出PQPQ

11、= =R R= =R20vBem0vBem0v（2 2）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏后都能垂直打到熒光屏MNMN上上, ,所加最小面積的磁場所加最小面積的磁場的邊界是以的邊界是以O O為圓心、坐標為（為圓心、坐標為（0,0,R R）、半徑為）、半徑為R R的圓的一部分的圓的一部分, ,如圖中實線包圍面積如圖中實線包圍面積. .所以磁場范所以磁場范圍的最小面積圍的最小面積S S= = R R2 2+ +R R2 2- - R R2 2= =（ +1+1）（）（ ）2 2答案答案 （1 1）（2 2）（ +1+1）（）（ ）24

12、3412Bem0vBem0v2Bem0v5.5.如圖如圖1414所示所示, ,邊長為邊長為L L的等邊三角形的等邊三角形ABCABC為兩個有為兩個有界勻強磁場的理想邊界界勻強磁場的理想邊界, ,三角形內(nèi)的磁場方向垂三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外直紙面向外, ,磁感應強度大小為磁感應強度大小為B B, ,三角形外的磁三角形外的磁場場( (足夠大足夠大) )方向垂直紙面向里方向垂直紙面向里, ,磁感應強度大小磁感應強度大小也為也為B B. .把粒子源放在頂點把粒子源放在頂點A A處處, ,它將沿它將沿A A的角平的角平分線發(fā)射質(zhì)量為分線發(fā)射質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q、初速度為、初速度為

13、v v= = 的負電粒子的負電粒子( (粒子重力不計粒子重力不計).).求求: :mqBL圖圖1414(1)(1)從從A A射出的粒子第一次到達射出的粒子第一次到達C C點所用時間為多少點所用時間為多少? ?(2)(2)帶電粒子在題設的兩個有界磁場中運動的周期帶電粒子在題設的兩個有界磁場中運動的周期. .解析解析 (1)(1)帶電粒子垂直進入磁場帶電粒子垂直進入磁場, ,做勻速圓周運做勻速圓周運動動q qv vB B= =T T= =將已知條件代入有將已知條件代入有r r = =L L從從A A點到達點到達C C點的運動軌點的運動軌跡如圖所示跡如圖所示, ,可得可得qBm2rm2vt tACA

14、C= = T Tt tACAC= =(2)(2)帶電粒子在一個運動的周期運動軌跡如第帶電粒子在一個運動的周期運動軌跡如第(1)(1)問圖所示問圖所示. .粒子通過圓弧從粒子通過圓弧從C C點運動至點運動至B B點的時間為點的時間為t tCBCB= =帶電粒子運動的周期為帶電粒子運動的周期為T TABCABC=3(=3(t tACAC+ +t tCBCB) )解得解得T TABCABC= =答案答案 (1) (1) (2)(2)61qBm3qBmT3565qBm6qBm3qBm66.6.如圖如圖1515所示所示, ,在直角坐標系的第在直角坐標系的第象限和第象限和第象限中象限中的直角三角形區(qū)域內(nèi)的

15、直角三角形區(qū)域內(nèi), ,分布著磁感應強度均為分布著磁感應強度均為B B=5.0=5.01010-2-2 T T的勻強磁場的勻強磁場, ,方向分別垂直紙面向外和向里方向分別垂直紙面向外和向里. .質(zhì)質(zhì)量為量為m m=6.64=6.641010-27-27 kg kg、電荷量為、電荷量為q q=+3.2=+3.21010-19-19 C C的的 粒子粒子( (不計不計 粒子重力粒子重力),),由靜止開始經(jīng)加速電壓為由靜止開始經(jīng)加速電壓為U U=1 205 V=1 205 V的電場的電場( (圖中未畫出圖中未畫出) )加速后加速后, ,從坐標點從坐標點M M(-4, )(-4, )處平行于處平行于x

16、x軸向右運動軸向右運動, ,并先后通過勻強磁場并先后通過勻強磁場區(qū)域區(qū)域. .圖圖15152(1)(1)請你求出請你求出 粒子在磁場中的運動半徑粒子在磁場中的運動半徑. .(2)(2)請你在圖中畫出請你在圖中畫出 粒子從直線粒子從直線x x=-4=-4到直線到直線x x=4=4之間的之間的運動軌跡運動軌跡, ,并在圖中標明軌跡與直線并在圖中標明軌跡與直線x x=4=4交點的坐標交點的坐標. .(3)(3)求出求出 粒子在兩個磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時間粒子在兩個磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時間. .解答解答 (1) (1) 粒子在電場中被加速粒子在電場中被加速, ,由動能定理得由動能定理得qUqU= =

17、m mv v2 2 粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)粒子在磁場中偏轉(zhuǎn), ,由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得q qv vB B= = 聯(lián)立解得聯(lián)立解得r r= =21rmv2qmUB21= = m m= = 1010-1-1 m m(2)(2)如下圖所示如下圖所示1927102 . 320511064. 6205. 012(3)(3)帶電粒子在磁場中的運動周期帶電粒子在磁場中的運動周期T T= = 粒子在兩個磁場中偏轉(zhuǎn)的角度均為粒子在兩個磁場中偏轉(zhuǎn)的角度均為 , ,在磁場中的運動在磁場中的運動總時間總時間t t= = =6.5=6.51010-7-7 s sqBm24qBmT241s105102 . 32106

18、4. 614. 321927反思總結(jié)反思總結(jié)小結(jié)1. 1.帶電粒子進入有界磁場帶電粒子進入有界磁場, ,運動運動軌跡為一段弧線軌跡為一段弧線. .2.2.當同源粒子垂直進入磁場的運動軌跡當同源粒子垂直進入磁場的運動軌跡3.3.注意圓周運動中的有關(guān)對稱規(guī)律注意圓周運動中的有關(guān)對稱規(guī)律: :(2) (2) 粒子進入單邊磁場時粒子進入單邊磁場時, ,入射速度與邊界夾角等于出射速入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角度與邊界的夾角; ;(1) (1) 在圓形磁場區(qū)域內(nèi)在圓形磁場區(qū)域內(nèi), ,沿徑向射入的粒子沿徑向射入的粒子, ,必沿徑向射出必沿徑向射出. .O3rrO4rrO2rrO1rrOS運動軌

19、跡賞析運動軌跡賞析O1O2O3LdaaOxyvvP075030甲甲乙乙tB-B0B00T2TaaOxPv075030O1aaOxPv075030O1O3O2oABv0o1rrPQaaBv0v0v0 一勻強磁場，磁場方向垂直于一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在平面，在xy平面上，磁場分布在以平面上，磁場分布在以O為中心的一個圓為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為、電荷量為q的帶的帶電粒子，由原點電粒子，由原點O開始運動，初速度為開始運動，初速度為v，方向沿方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過正方向。后來，粒子經(jīng)過y上的上的P點，點，此時速度方向與此時速度方向與y軸的夾

20、角為軸的夾角為30，P到到O的的距離為距離為L，如圖所示。不計，如圖所示。不計 重力影響。求磁場的磁感應重力影響。求磁場的磁感應 強度強度B的大小和的大小和 xy平面上磁平面上磁 場區(qū)域的半徑場區(qū)域的半徑R。30LxyOPv由幾何關(guān)系知由幾何關(guān)系知 r=L/3解得解得 30LxyOPvQOArvmqvB2qLmvB3又由幾何關(guān)系知磁場區(qū)域的半又由幾何關(guān)系知磁場區(qū)域的半徑為徑為 LR331212月月2323日作業(yè)日作業(yè)1.1.如圖如圖1414所示所示, ,邊長為邊長為L L的等邊三角形的等邊三角形ABCABC為兩個有為兩個有界勻強磁場的理想邊界界勻強磁場的理想邊界, ,三角形內(nèi)的磁場方向垂三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外直紙面向外, ,磁感應強度大小為磁感應強度大小為B B, ,三角形外的磁三角形外的磁場場( (足夠大足夠大) )方向垂直紙面向里方向垂直紙面向里, ,磁感應強度大小磁感應強度大小也為也為B B. .把粒子源放在頂點把粒子源放在頂點A A處處, ,它將沿它將沿A A的角平的角平分線發(fā)射質(zhì)量為分線發(fā)射質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q、初速度為、初速度為v v= = 的負電粒子的負電粒子( (粒子重力不計粒子重力不計).).求求: :mqBL圖圖1414(1)(1)從從A A射出