微積分 平面曲線的弧長(zhǎng)

1、 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)1小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)弧長(zhǎng)的概念弧長(zhǎng)的概念直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)第第7 7章章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)2,0MA 設(shè)設(shè)A、B是曲線是曲線在在弧上插入分點(diǎn)弧上插入分點(diǎn)依次用弦將依次用弦將記每條弦記每條弦的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為折線長(zhǎng)度的極限折線長(zhǎng)度的極限如果當(dāng)分點(diǎn)無限增加如果當(dāng)分點(diǎn)無限增加, ,|lim110存在存在iniiMM 弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)( (長(zhǎng)度長(zhǎng)度).).,1 nM弧上的兩個(gè)端點(diǎn)弧上的兩個(gè)端點(diǎn),光滑曲線弧是可求長(zhǎng)光滑曲線弧是可求長(zhǎng)

2、.Oxy A B0M nM 1M 2M iM 1 nM 則稱則稱此極限此極限為曲線弧為曲線弧 AB的的,1iMM ,BMn 相鄰兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來相鄰兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來, 得到一條內(nèi)接折線得到一條內(nèi)接折線., 2 , 1|,|1niMMii . |max11iiniMM 令令,0時(shí)時(shí)且且 一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)3xoyabxxxd yd22)d()d(yx xy d12 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素,d1d2xys 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).d12xysba 小切線段的長(zhǎng)為小切線段的長(zhǎng)為:弧段的長(zhǎng)弧段的長(zhǎng),)(xfy 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為y = f (x),(bxa 其中其

3、中f (x)在在a, b上有上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).取積分變量為取積分變量為x,任取小區(qū)間任取小區(qū)間,d,xxx xd在在a, b上上二、直角坐標(biāo)情形二、直角坐標(biāo)情形現(xiàn)在計(jì)算這現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度曲線弧的長(zhǎng)度.(弧微分弧微分)以對(duì)應(yīng)小以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小切線段的長(zhǎng)代替小 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)4解解2)(1y 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為xaxsdch axaayaxaxch)ee (2 bxbx 與與,chaxay axysh xaxbdch20 .sh2sh20abaaxab 2sh1 axaxch 例例xysbad12 b b懸鏈線方程懸鏈線方程計(jì)算介于計(jì)算介于 之間一

4、段弧長(zhǎng)度之間一段弧長(zhǎng)度.xyObb axxsh)ch( Cxxx shdch 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)5解解nxnysin ,sinnx sxnxndsin10 tntdsin1 tttttnd2cos2sin22cos2sin022 tttnd2cos2sin0 .4n ntx 例例xysbad12 計(jì)算曲線計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) dsin0 nynxtnxdd 000nn1 ).0(nx 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)6曲線弧為曲線弧為 )(),(tytx )( t22)d()d(dyxs tttd)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).d)()(22ttts 其中其中)(),(tt 在在

5、a, b上上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).三、參數(shù)方程情形三、參數(shù)方程情形現(xiàn)在計(jì)算這現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度曲線弧的長(zhǎng)度.取參數(shù)取參數(shù)t為積分變量為積分變量, 其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為., 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于, 上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間d,ttt 的小弧段的的小弧段的長(zhǎng)度的近似值長(zhǎng)度的近似值, 即即弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素為為 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)7解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t對(duì)稱性對(duì)稱性14ss tyxd)()(422 tttadcossin3420 .6a tttsd)()(22 02例例 求星形線求星形線的全長(zhǎng)的全長(zhǎng).323232ayx

6、 )0( aaaOxyaa 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)8證證xysd12021 xxadcos12022 設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于s1設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為s2tyxsd)()(20222 證明正弦線證明正弦線例例的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng))20(sin xxay等于橢圓等于橢圓的周長(zhǎng)的周長(zhǎng).)20(sin1cos2 ttaytx對(duì)稱性對(duì)稱性ttatd)(cos1 ()(sin20222 ttadcos12022 xxadcos12022 .1s 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)9曲線弧為曲線弧為)( )( rr sincosryrx)( 22)d()d(dyxs d)()(

7、22rr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).d)()(22 rrs具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).上上在在其中其中,)( r sin)(cos)(ryrx四、極坐標(biāo)情形四、極坐標(biāo)情形現(xiàn)在計(jì)算這現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度曲線弧的長(zhǎng)度.由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素為為 為參數(shù)的為參數(shù)的參數(shù)方程參數(shù)方程 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)10)0( a)30( 解解 d)()(22 rrs d3cos3sin3sin3024262 aa d3sin302 a.23a d)()(22 rrs求極坐標(biāo)系下曲線求極坐標(biāo)系下曲線例例33sin ar的長(zhǎng)的長(zhǎng).3cos3sin2 a23sin3 ar3

8、cos 31 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)11解解 d)()(22 rrs d20222 aa d1202 a求阿基米德螺線求阿基米德螺線 上相應(yīng)于上相應(yīng)于)0( aar.20的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)到到從從例例xaxd22 Caxxaaxx |ln2222222).412ln(412222 axa2o 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)12平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下求弧長(zhǎng)的公式求弧長(zhǎng)的公式 四、小結(jié)四、小結(jié) 7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)13思考題思考題解答解答僅僅有曲線連續(xù)還不夠僅僅有曲線連續(xù)還不夠, 不一定