高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合問題一輪專練

1、2015高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合問題一輪專練 【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)圓錐曲線的綜合問題2、4、6、11直線與圓錐曲線的綜合問題3、8、9、14圓與圓錐曲線的綜合問題7、10、12、13圓錐曲線與其他內(nèi)容的綜合1、5一、選擇題1.橢圓+=1(ab0)的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn),若3=+2,則該橢圓的離心率為(D)(A)(B)(C)(D)解析:設(shè)D(0,b),則=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=.故選D.2.(2012年高考福建卷)已知雙曲線-=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則

2、該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(A)(A)(B)4(C)3(D)5解析:拋物線y2=12x的焦點(diǎn)是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.雙曲線的漸近線方程為y=x,焦點(diǎn)(3,0)到y(tǒng)=x的距離d=.故選A.3.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A、B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)直線的斜率為,則的值為(A)(A)(B)(C)(D)解析:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)為M(x0,y0),將y=1-x代入ax2+by2=1得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,y1+y2=2-=,y0=,k=.故選A.4.(2013山東淄博一中高三上期末考試

3、)過橢圓+=1(ab0)的焦點(diǎn)垂直于x軸的弦長(zhǎng)為,則雙曲線-=1的離心率e的值是(B)(A)(B)(C)(D)解析:設(shè)橢圓的半焦距為c1,在橢圓中當(dāng)x=c1時(shí),+=1,y2=b21-=,y=.=,即a2=4b2,設(shè)雙曲線的半焦距為c2,在雙曲線中=a2+b2=5b2,e=.故選B.5.(2013河北省衡水中學(xué)高三模擬)點(diǎn)P在雙曲線-=1(a0,b0)上,F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),F1PF2=90,且F1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率是(D)(A)(B)(C)2(D)5解析:不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,F1為左焦點(diǎn),設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1-r2=2a,2

4、r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,兩邊同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e1,所以e=5.故選D.6.(2013福建泉州質(zhì)檢)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,ABCD,且,AB=2AD.設(shè)DAB=,0,以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1,以C、D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2,則(B)(A)隨著角度的增大,e1增大,e1e2為定值(B)隨著角度的增大,e1減小,e1e2為定值(C)隨著角度的增大,e1增大,e1e2也增大(D)隨著角度的增大,e1減小,e1e2也減小解析:設(shè)AD=1,則AB=2

5、,DC=2-2cos ,在ABD中,由余弦定理得BD=,e1=,0,所以隨著角度的增大,e1減小;又e2=,e1e2=1,故選B.7.過雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P,若T為線段FP的中點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為(B)(A)xy=0(B)2xy=0(C)4xy=0(D)x2y=0解析:如圖所示,設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F,連結(jié)OT、PF.FT為圓的切線,FTOT,且|OT|=a,又T、O分別為FP、FF的中點(diǎn),OTPF且|OT|=|PF|,|PF|=2a,且PFPF.又|PF|-|PF|=2a,|PF|=4a.在RtPFF中

6、,|PF|2+|PF|2=|FF|2,即16a2+4a2=4c2,=5.=-1=4,=2,即漸近線方程為y=2x,即2xy=0.故選B.二、填空題8.(2012年高考重慶卷)設(shè)P為直線y=x與雙曲線-=1(a0,b0)左支的交點(diǎn),F1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=.解析:由消去y得x=a.又PF1x軸,a=c,e=.答案:9.(2013東莞模擬)已知拋物線C的方程為x2=y,過點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.解析:當(dāng)t=0時(shí),直線AB與拋物線C有公共點(diǎn),當(dāng)t0,則過點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線方程為=,即4x-ty-

7、t=0,由得2tx2-4x+t=0,=16-42t20,解得t.答案:(-,-)(,+)10.過雙曲線C:-=1(a0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.若AOB=120(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為.解析:如圖,由題知OAAF,OBBF且AOB=120,AOF=60.又OA=a,OF=c,=cos 60=,=2.答案:211.(2013安徽蚌埠二模)點(diǎn)A是拋物線C1:y2=2px(p0)與雙曲線C2:-=1(a0,b0)的一條漸近線的交點(diǎn),若點(diǎn)A到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于.解析:設(shè)A(x0,y0),A在拋物線上,x0+=p,

8、x0=,由=2px0得y0=p或y0=-p.雙曲線漸近線的斜率=2.e=.答案:三、解答題12.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2y=0的圓心C.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.解:(1)圓C方程可化為(x-2)2+(y+)2=6,圓心C(2,-),半徑r=設(shè)橢圓的方程為+=1(ab0),則所求橢圓的方程是+=1.(2)由(1)得橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|=)的右焦點(diǎn)F在圓D:(x-2)2+y2=1上,直線l:x=my+3(m0)交橢圓于M、N兩點(diǎn).(1)求橢圓C的

9、方程;(2)若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值;(3)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,0),試問PMN的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)由題意知,圓D:(x-2)2+y2=1的圓心坐標(biāo)是(2,0),半徑是1,故圓D與x軸交于兩點(diǎn)(3,0),(1,0),所以在橢圓中c=3或c=1,又b2=3,所以a2=12或a2=4(不滿足a,舍去),于是,橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l與橢圓C方程聯(lián)立化簡(jiǎn)并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)+6=,x1x2=m2y1y2+3m(y1+

10、y2)+9=+9=.,=0,即x1x2+y1y2=0得=0,所以m2=,m=.(3)SPMN=|FP|y1-y2|=1=2=22=1.當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=3,即m=時(shí)等號(hào)成立.故PMN的面積存在最大值1.14.(2013黃岡一模)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的方程為+=1(ab0),它的離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是(-1,0),過直線x=4上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別是A、B.(1)求橢圓的方程;(2)若橢圓:+=1(ab0)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程是:+=1.求證:直線AB恒過定點(diǎn)C,并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)求證:+為定值 (點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)).(1)解:橢圓的焦點(diǎn)是(-1

11、,0),故c=1,又=,所以a=2,b=,所以所求的橢圓方程為+=1.(2)解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(4,t),則切線AM、BM的方程分別為+=1,+=1.又兩切線均過點(diǎn)M,所以x1+y1=1,x2+y2=1,即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程x+y=1,故直線AB的方程是x+y=1,顯然直線x+y=1恒過點(diǎn)(1,0),故直線AB恒過定點(diǎn)C(1,0).(3)證明:將直線AB的方程x=-y+1,代入橢圓方程,得3-y+12+4y2-12=0,即+4y2-2ty-9=0,y1+y2=,y1y2=,不妨設(shè)y10,y2b0)的離心率為,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)

12、為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓O相切.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C與曲線|y|=kx(k0)的交點(diǎn)為A、B,求OAB面積的最大值.解:(1)由題設(shè)可知,圓O的方程為x2+y2=b2,因?yàn)橹本€l:x-y+2=0與圓O相切,故有=b,所以b=.又e=,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)(x00,y00),則y0=kx0,設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D,如圖,由對(duì)稱性知:SOAB=2SOAD=2x0y0=k.由解得=.所以SOAB=k=.當(dāng)且僅當(dāng)=3k,即k=時(shí)取等號(hào).所以O(shè)AB面積的最大值為.3.(2013泉州五中模擬)已知拋物線C

13、:x2=2py(p0)上一點(diǎn)P(a,)到焦點(diǎn)距離為1.(1)求拋物線C的方程;(2)直線y=kx+2交C于M,N兩點(diǎn),Q是線段MN的中點(diǎn),過Q作x軸的垂線交C于點(diǎn)T.證明:拋物線C在點(diǎn)T處的切線與MN平行;是否存在實(shí)數(shù)k使=0?若存在,求k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)依據(jù)拋物線的定義知,P到拋物線焦點(diǎn)F的距離為PF=+=1,所以p=,拋物線的方程為x2=y.(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),聯(lián)立得2x2-kx-2=0,所以x1+x2=,x1x2=-1,所以x0=.因?yàn)閥=2x2,所以y=k,所以拋物線y=2x2在T點(diǎn)處的切線與MN平行.由可得T,則=

14、x1-x2-+y1-y2-=(k2+1)x1x2+k-(x1+x2)+2-2=-(k2-4)(k2+16)=0,解得k=2,所以存在k=2滿足=0.4.(2012年高考江西卷)已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足|+|=(+)+2.(1)求曲線C的方程;(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2x00,關(guān)于m的方程m2-m+2-3=0有解.在x軸上存在點(diǎn)C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.7.(2013年高考廣東卷)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|BF|的最小值.解:(1)拋物線C的焦點(diǎn)F(0,c)(c0)到直線l:x-y-2=0的距離為,=,得c=1,F(0,1),即拋物線C的方程為x2=4y.(2)設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y=x,切線PA:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切線PA:y=x1x-y1,同理可得切線PB:y=x2x-y2.兩切線均過定點(diǎn)P(x0,y0),y0=x1x0-y1,y0=x