一階電路分析

1、 由一階微分方程描述的電路稱為一階電路由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。本章主要。本章主要討論由直流電源驅(qū)動的含一個(gè)動態(tài)元件的線性一階電路。討論由直流電源驅(qū)動的含一個(gè)動態(tài)元件的線性一階電路。含一個(gè)電感或一個(gè)電容加上一些電阻元件和獨(dú)立電源組成含一個(gè)電感或一個(gè)電容加上一些電阻元件和獨(dú)立電源組成的線性一階電路，可以將連接到電容或電感的線性電阻單的線性一階電路，可以將連接到電容或電感的線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧諾頓等效電路來代替（如圖口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧諾頓等效電路來代替（如圖81和和82所示）。所示）。圖圖81圖圖82 我們的重點(diǎn)是討論一個(gè)電壓源與電阻及電容串聯(lián)，或我們的重點(diǎn)是討論一個(gè)電壓源與電阻及電容

2、串聯(lián)，或一個(gè)電流源與電阻及電感并聯(lián)的一階電路。一個(gè)電流源與電阻及電感并聯(lián)的一階電路。 與電阻電路的電壓電流僅僅由獨(dú)立電源所產(chǎn)生不同，與電阻電路的電壓電流僅僅由獨(dú)立電源所產(chǎn)生不同，動態(tài)電路的完全響應(yīng)則由獨(dú)立電源和動態(tài)元件的儲能共同動態(tài)電路的完全響應(yīng)則由獨(dú)立電源和動態(tài)元件的儲能共同產(chǎn)生。產(chǎn)生。 僅由動態(tài)元件初始條件引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)僅由動態(tài)元件初始條件引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。 僅由獨(dú)立電源引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)僅由獨(dú)立電源引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。 動態(tài)電路分析的基本方法是建立微分方程，然后用數(shù)動態(tài)電路分析的基本方法是建立微分方程，然后用數(shù)學(xué)方法求解微分方程，得到電壓電流響應(yīng)的表達(dá)式。學(xué)

3、方法求解微分方程，得到電壓電流響應(yīng)的表達(dá)式。81 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 圖圖8-3(a)所示電路中的開關(guān)原來連接在所示電路中的開關(guān)原來連接在1端，電壓源端，電壓源U0通過電阻通過電阻Ro對電容充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓對電容充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)達(dá)到已經(jīng)達(dá)到U0。在。在t=0時(shí)開關(guān)迅速由時(shí)開關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到端轉(zhuǎn)換到2端。已經(jīng)充電端。已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻的電容脫離電壓源而與電阻R并聯(lián)，如圖并聯(lián)，如圖(b)所示。所示。 圖圖8-3一、一、RC電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng) 我們先定性分析我們先定性分析t0后電容電壓的變化過程。當(dāng)開關(guān)倒后電容電壓的變化過程。當(dāng)

4、開關(guān)倒向向2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即端的瞬間，電容電壓不能躍變，即 0CC)0()0(Uuu 由于電容與電阻并聯(lián)，這使得電阻電壓與電容電壓相由于電容與電阻并聯(lián)，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即同，即 0CR)0()0(Uuu 電阻的電流為電阻的電流為 RUi0R)0( 該電流在電阻中引起的功率和能量為該電流在電阻中引起的功率和能量為 tdiRtWtRitp 0 2RR2R)( )()()( 電容中的能量為電容中的能量為 )(21)(2CtCutW 隨著時(shí)間的增長，電阻消耗的能量需要電容來提供，隨著時(shí)間的增長，電阻消耗的能量需要電容來提供，這造成電容電壓的下降。一直到電容上電壓變?yōu)榱愫碗娙?/p>

5、這造成電容電壓的下降。一直到電容上電壓變?yōu)榱愫碗娙莘懦鋈看鎯Φ哪芰繛橹?。也就是電容電壓從初始值放出全部存儲的能量為止。也就是電容電壓從初始值uC(0+)=U0逐漸減小到零的變化過程。這一過程變化的快慢逐漸減小到零的變化過程。這一過程變化的快慢取決于電阻消耗能量的速率。取決于電阻消耗能量的速率。 為建立圖為建立圖(b)所示電路的一階微分方程，由所示電路的一階微分方程，由KVL得到得到 0CRuu 由由KCL和電阻、電容的和電阻、電容的VCR方程得到方程得到 tuRCRiRiuddCCRR 代入上式得到以下方程代入上式得到以下方程 ) 18()0(0ddCCtutuRC 這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊

6、次微分方程。其通解為這是一個(gè)常系數(shù)線性一階齊次微分方程。其通解為 stKtue)(C 代入式代入式(81)中，得到特征方程中，得到特征方程 )28 (01RCs 其解為其解為 ) 38 (1RCs 稱為電路的固有頻率。稱為電路的固有頻率。 于是電容電壓變?yōu)橛谑请娙蓦妷鹤優(yōu)?0 te)(CRCtKtu 式中式中K是一個(gè)常量，由初始條件確定。當(dāng)是一個(gè)常量，由初始條件確定。當(dāng)t=0+時(shí)上式變時(shí)上式變?yōu)闉?KKuRCte)0(C 根據(jù)初始條件根據(jù)初始條件 0CC)0()0(Uuu 求得求得 0UK ) c48 ()0( e )()()b48 ()0(edd)()a48 ()0( e)( 0CR 0CC

7、 0CtRUtititRUtuCtitUtuRCtRCtRCt 最后得到圖最后得到圖83(b)電路的零輸入響應(yīng)為電路的零輸入響應(yīng)為 圖圖8-3 從式從式84可見，各電壓電流的變化快慢取決于可見，各電壓電流的變化快慢取決于R和和C的的乘積。令乘積。令 =RC，由于，由于 具有時(shí)間的量綱，故稱它為具有時(shí)間的量綱，故稱它為RC電電路的時(shí)間常數(shù)。引入路的時(shí)間常數(shù)。引入 后，式后，式84表示為表示為 圖圖8 84 4 RC電路零輸入響應(yīng)的波形曲線電路零輸入響應(yīng)的波形曲線 ) c58()0( e )()()b58()0(edd)()a58()0( e)( 0CR 0CC 0CtRUtititRUtuCti

8、tUtuttt 下面以電容電壓下面以電容電壓 為例，說明電壓的變化與為例，說明電壓的變化與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系。時(shí)間常數(shù)的關(guān)系。 0Ce)(tUtu 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)，uC(0)=U0，當(dāng)，當(dāng)t= 時(shí)，時(shí)，uC( )=0.368U0。表。表81列出列出t等于等于0， ，2 ，3 ，4 ，5 時(shí)的電容電壓值，由于波時(shí)的電容電壓值，由于波形衰減很快，實(shí)際上只要經(jīng)過形衰減很快，實(shí)際上只要經(jīng)過45 的時(shí)間就可以認(rèn)為放電的時(shí)間就可以認(rèn)為放電過程基本結(jié)束。過程基本結(jié)束。t0 2 3 4 5 uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00 電阻在電容放電過程中消耗的全部能量

9、為電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為 0 0 20202RR21d)e(d)(CUtRRUtRtiWRCt 計(jì)算結(jié)果證明了電容在放電過程中釋放的能量的確全計(jì)算結(jié)果證明了電容在放電過程中釋放的能量的確全部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量。部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量。圖圖8 84 4 RC電路零輸入響應(yīng)的波形曲線電路零輸入響應(yīng)的波形曲線 由于電容在放電過程中釋放的能量全部轉(zhuǎn)換為電阻消由于電容在放電過程中釋放的能量全部轉(zhuǎn)換為電阻消耗的能量。電阻消耗能量的速率直接影響電容電壓衰減的耗的能量。電阻消耗能量的速率直接影響電容電壓衰減的快慢，我們可以從能量消耗的角度來說明放電過程的快慢。快慢，我們可以從能量消耗的角度來說

10、明放電過程的快慢。 例如在電容電壓初始值例如在電容電壓初始值U0不變的條件下，增加電容不變的條件下，增加電容C，就增加電容的初始儲能，使放電過程的時(shí)間加長；若增加就增加電容的初始儲能，使放電過程的時(shí)間加長；若增加電阻電阻R，電阻電流減小，電阻消耗能量減少，使放電過程，電阻電流減小，電阻消耗能量減少，使放電過程的時(shí)間加長。的時(shí)間加長。 這就可以解釋當(dāng)時(shí)間常數(shù)這就可以解釋當(dāng)時(shí)間常數(shù) =RC變大，電容放電過程會變大，電容放電過程會加長的原因。加長的原因。例例8-1 電路如圖電路如圖85(a)所示，已知電容電壓所示，已知電容電壓uC(0-)=6V。 t=0閉合開關(guān)，求閉合開關(guān)，求t 0的電容電壓和電容

11、電流。的電容電壓和電容電流。 圖圖85 例例81 解：在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到解：在開關(guān)閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到 V6)0()0(CCuu 將將連接于電容兩端的電阻單口網(wǎng)絡(luò)連接于電容兩端的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效于一個(gè)電阻，等效于一個(gè)電阻，其電阻值為其電阻值為 k10k)36368(oR 得到圖得到圖(b)所示電路，其時(shí)間常數(shù)為所示電路，其時(shí)間常數(shù)為 s05. 0s105 s1051010263RC 根據(jù)式根據(jù)式85得到得到 )0(mAe6 . 0mAe10106edd)()0(Ve6e)(20203 0CC20 0CtRUtuCtitUtuttttt 電阻中的電流電阻中

12、的電流iR(t)可以用與可以用與iC(t)同樣數(shù)值的電流源代替同樣數(shù)值的電流源代替電容，用電阻并聯(lián)的分流公式求得電容，用電阻并聯(lián)的分流公式求得 iR(t) mAe2 . 0mAe6 . 031)(633)(2020CRtttiti二、二、RL電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng) 電感電流原來等于電流電感電流原來等于電流I0，電感中儲存一定的磁場能，電感中儲存一定的磁場能量，在量，在t=0時(shí)開關(guān)由時(shí)開關(guān)由1端倒向端倒向2端，換路后的電路如圖端，換路后的電路如圖(b)所所示。示。圖圖8-6 我們以圖我們以圖86(a)電路為例來說明電路為例來說明RL電路零輸入響應(yīng)的電路零輸入響應(yīng)的計(jì)算過程。計(jì)算過程。

13、在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，這個(gè)電感電流通過電阻，這個(gè)電感電流通過電阻R時(shí)引起能量的消耗，這時(shí)引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹?。就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹埂?綜上所述，圖綜上所述，圖(b)所示所示RL電電路是電感中的初始儲能逐漸釋路是電感中的初始儲能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。放出來消耗在電阻中的過程。與能量變化過程相應(yīng)的是各電與能量變化過程相應(yīng)的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。零的過程。 列出列出KCL方程方程 0

14、LRLRiRuii 代入電感代入電感VCR方程方程 dtdiLuuLLR 得到以下微分方程得到以下微分方程 )68(0ddLL itiRL 這個(gè)微分方程與式這個(gè)微分方程與式(81)相似，其通解為相似，其通解為 ) 0(e)(LtKtitLR 代入初始條件代入初始條件iL(0+)=I0求得求得 0IK 最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為 )b78( )0(dd)()a78( )0( ee)( 0 0LL 0 0LteRIeRItiLtutIItittLRttLR 其波形如圖所示。其波形如圖所示。RL電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律衰減

15、，衰減的快慢取決于常數(shù)衰減，衰減的快慢取決于常數(shù) 。由于。由于 =L/R具有時(shí)間的量具有時(shí)間的量綱，稱為綱，稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)。電路的時(shí)間常數(shù)。 圖圖8-7例例8-2 電路如圖電路如圖88(a)所示，開關(guān)所示，開關(guān)S1連接至連接至1端已經(jīng)很久，端已經(jīng)很久， t=0時(shí)開關(guān)時(shí)開關(guān)S由由1端倒向端倒向2端。求端。求t 0時(shí)的電感電流時(shí)的電感電流iL(t) 和電感電壓和電感電壓uL(t)。 圖圖8-8解：開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，電感電流不能躍變，故解：開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，電感電流不能躍變，故 A1 . 0)0()0(LLii 將連接到電感的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)的電阻，得將連接到電感的電阻單口網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)的電阻，得到的電路如圖到的電路如圖(b)所示。該電路的時(shí)間常數(shù)為所示。該電路的時(shí)間常數(shù)為 1mss10200H2 . 03RL 根據(jù)式根據(jù)式87得到電感電流和電感電壓為得到電感電流和電感電壓為)0( Ve20Ve101 . 02 . 0dd)()0( A e1 . 0e)(33310103LL10 0LttiLtutItitttt 通過對通過對RC和和RL一階電路零輸入響應(yīng)的分析和計(jì)算表一階電路零輸入響應(yīng)的分析和計(jì)算表明，電路中各電壓電流均從其初始值開始，按照指