位移法和力矩分配法

1、All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.1 概述概述 對于線彈性結構，體系中桿件的對于線彈性結構，體系中桿件的內力分布與其變形之間內力分布與其變形之間存在著一一對應的關系存在著一一對應的關系。在結構分析時，可以根據位移。在結構分析時，可以根據位移變變形形內力之間對應的函數關系，利用某些結點位移表達出桿內力之間對應的函數關系，利用某些結點位移表達出桿件變形，據此以尋求內力分布。件變形，據此以尋求內力分布。 位移法計算中重要的一環(huán)內容位移法計算中重要的一環(huán)內容在于桿件變形分布的描述在于桿件變形分布的描述。線彈性體系桿件的變形可以由桿端位移和其上作用的荷載分線彈性體系桿件的變形

2、可以由桿端位移和其上作用的荷載分布惟一確定布惟一確定。由于荷載分布對內力和變形的影響比較容易確。由于荷載分布對內力和變形的影響比較容易確定，因此，關注的焦點在于桿件的桿端位移值對變形分布的定，因此，關注的焦點在于桿件的桿端位移值對變形分布的影響。體系中各桿件的桿端位移可以通過結點和支座的位移影響。體系中各桿件的桿端位移可以通過結點和支座的位移表達，因而，當支座位移和結點位移確定后，體系中所有的表達，因而，當支座位移和結點位移確定后，體系中所有的桿件都將具有一個明確的桿端位移值。桿件都將具有一個明確的桿端位移值。第第6章位移法章位移法All Rights Reserved重慶大學土木工程學院AA

3、AqBDCABAAAAACAADqA 對整個結構來說，求解的關鍵就是如何確定基本未知量對整個結構來說，求解的關鍵就是如何確定基本未知量A的值。的值。 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院BAABABBMABFNABABQFAP3FBFP2P3FP1FABAMBANFFQBAABAFP3BBBABAlAB2BB1A1AA11BB2A11BB2從剛架中取出桿件從剛架中取出桿件AB進行分析進行分析All Rights Reserved重慶大學土木工程學院在位移法分析中，需要解決的三個問題：在位移法分析中，需要解決的三個問題： 選取結構上哪些結點位移作為基本未知量。選取結構上哪些

4、結點位移作為基本未知量。確定桿件的桿端內力與桿端位移及桿上荷載之間的函確定桿件的桿端內力與桿端位移及桿上荷載之間的函數關系（單元分析）。數關系（單元分析）。建立求解這些基本未知量的位移法方程（整體分析）。建立求解這些基本未知量的位移法方程（整體分析）。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.2等截面直桿的轉角位移方程等截面直桿的轉角位移方程應用位移法需要解決的一個關鍵問題是：確定桿件的桿端內力與桿端位應用位移法需要解決的一個關鍵問題是：確定桿件的桿端內力與桿端位移及桿上荷載之間的函數關系，即桿件的轉角位移方程，也就是位移法移及桿上荷載之間的函數關系，即桿件的轉角位移方程，

5、也就是位移法計算中單元分析的過程。計算中單元分析的過程。6.2.1 桿端內力及桿端位移的正負號規(guī)定桿端內力及桿端位移的正負號規(guī)定1）桿端內力的正負號規(guī)定）桿端內力的正負號規(guī)定桿端彎矩對桿端而言，以桿端彎矩對桿端而言，以順時針方向為正，反之為負順時針方向為正，反之為負。對結點。對結點或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負。桿端剪力和桿或支座而言，則以逆時針方向為正，反之為負。桿端剪力和桿端軸力的正負號規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。端軸力的正負號規(guī)定，仍與前面規(guī)定相同。ABABMMBAABEI, l弦轉角BABAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院2）桿端位移的正負號規(guī)定）桿端位移

6、的正負號規(guī)定ABABMMBAABEI, l弦轉角BAB角位移以順時針為正，反之為負。角位移以順時針為正，反之為負。 線位移以桿的一端相對于另一端產生順時針方向轉動線位移以桿的一端相對于另一端產生順時針方向轉動的線位移為正，反之為負。例如，圖中，的線位移為正，反之為負。例如，圖中，AB為正。為正。 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.2.2 一般等截面直桿桿單元的轉角位移方程一般等截面直桿桿單元的轉角位移方程2BB11A2BB11AAABBBBP3FAABBAQFFNBAMBAFP3AFQABABNFABM 位移法中，內力分布與變形對應，而變形則會受到桿端位位移法中，內

7、力分布與變形對應，而變形則會受到桿端位移的影響，為了描述上的方便，在計算中一般利用一個兩端固移的影響，為了描述上的方便，在計算中一般利用一個兩端固定的桿單元來描述體系中的一般桿件，桿端位移即可以根據該定的桿單元來描述體系中的一般桿件，桿端位移即可以根據該桿單元的支座位移來表達桿單元的支座位移來表達 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院由荷載或溫度變化引起的桿端內力稱為由荷載或溫度變化引起的桿端內力稱為載常數載常數。其中的。其中的桿端彎矩也常稱為固端彎矩，用桿端彎矩也常稱為固端彎矩，用 和和 表示；桿端表示；桿端剪力也常稱為固端剪力，用剪力也常稱為固端剪力，用 和和 表示。

8、常見荷表示。常見荷載和溫度作用下的載常數列入表載和溫度作用下的載常數列入表6.1中。中。 FABMFBAMFABFQFBAFQ由桿端單位位移引起的桿端內力稱為由桿端單位位移引起的桿端內力稱為形常數形常數，列入表，列入表6.1中。表中引入記號中。表中引入記號i=EI/l，稱為桿件的，稱為桿件的線剛度線剛度。 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1利用表利用表6.1中的形常數與載常數，可得中的形常數與載常數，可得FBABABAFABBAABFBABABAFABBAABFlililiFFlililiFMliiiMM

9、liiiMQ2QQ2Q12661266642624All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.2.3 特殊等截面直桿桿單元的轉角位移方程特殊等截面直桿桿單元的轉角位移方程 若在結構中存在非剛性結點和非固定支座時，即體系若在結構中存在非剛性結點和非固定支座時，即體系出現(xiàn)了鉸結點和定向結點（對應于支座位置，則為可動鉸出現(xiàn)了鉸結點和定向結點（對應于支座位置，則為可動鉸支座、固定鉸支座或定向支座），在桿端力的幾個分量中支座、固定鉸支座或定向支座），在桿端力的幾個分量中則會出現(xiàn)某桿端力分量為已知的現(xiàn)象。則會出現(xiàn)某桿端力分量為已知的現(xiàn)象。ABCD 即在這樣的單元中，式（即在這樣的單元中，

10、式（6.1）的三個函數關系將不再）的三個函數關系將不再完全獨立，由于其中一個方程左端項（桿端力）為已知，完全獨立，由于其中一個方程左端項（桿端力）為已知，那么在桿端位移中，將只能存在兩個獨立的未知桿端位移那么在桿端位移中，將只能存在兩個獨立的未知桿端位移分量，而剩余的另一個桿端位移一定可以由這兩個獨立桿分量，而剩余的另一個桿端位移一定可以由這兩個獨立桿端位移來線性描述。端位移來線性描述。 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院ABCD 由于位移法計算過程的計算量在很大程度上取決于基由于位移法計算過程的計算量在很大程度上取決于基本未知量的數目，上述情形的存在，使得在計算中可以

11、根本未知量的數目，上述情形的存在，使得在計算中可以根據單元桿端的約束模式，在計算前對基本未知量進行篩選，據單元桿端的約束模式，在計算前對基本未知量進行篩選，去除非獨立的桿端位移分量，以減少計算線性方程組的工去除非獨立的桿端位移分量，以減少計算線性方程組的工作量。由此即在一般桿元的基礎上衍生出了兩種特殊桿單作量。由此即在一般桿元的基礎上衍生出了兩種特殊桿單元模型。元模型。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院1) 一端固定另一端鉸支桿單元一端固定另一端鉸支桿單元AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非獨立角位移)1BFBAABAFABAABBAFABAABFlili

12、FFliliFMMliiMQ2QQ2Q3333033All Rights Reserved重慶大學土木工程學院2) 2) 一端固定另一端定向支承桿單元一端固定另一端定向支承桿單元ABMlAAMqPFAEIABQFB(非獨立線位移)BB10QQQBAFABABFBABABAFABBAABFFFMiiMMiiMAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院在在3種桿單元模型中，第一種即種桿單元模型中，第一種即兩端固定支承梁的模兩端固定支承梁的模型在不考慮軸向變形時具有三個未知桿端位移型在不考慮軸向變形時具有三個未知桿端位移，它完全可，它完全可以取代后兩種衍生模型。若全部用第一種單元模型

13、進行計以取代后兩種衍生模型。若全部用第一種單元模型進行計算，在位移法分析時所有單元的桿端位移描述和轉角位移算，在位移法分析時所有單元的桿端位移描述和轉角位移方程將具有一致的形式，對應的計算方法可以較為容易地方程將具有一致的形式，對應的計算方法可以較為容易地移植到計算機化的程序分析中；但用于手算時，卻會導致移植到計算機化的程序分析中；但用于手算時，卻會導致因未知量數目較多，而計算量偏大的情況。因未知量數目較多，而計算量偏大的情況。一端固定一端鉸支、一端固定一端定向支承模型的引一端固定一端鉸支、一端固定一端定向支承模型的引入，則可以簡化分析計算量，所以手算時一般都會使用這入，則可以簡化分析計算量，

14、所以手算時一般都會使用這兩種衍生模型來進行計算。但應該注意形常數與載常數的兩種衍生模型來進行計算。但應該注意形常數與載常數的選用必須與所選擇的桿件單元模型相對應。選用必須與所選擇的桿件單元模型相對應。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院桿端剪力，根據平衡條件導出為桿端剪力，根據平衡條件導出為0QQ0QQ)()(BABAABBAABBAABABFlMMFFlMMFAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.3 位移法的基本概念位移法的基本概念 6.3.1 位移法的基本未知量位移法的基本未知量 如果結構中每根桿件兩端的桿端角位移和桿端相對如果結構中每根桿件兩

15、端的桿端角位移和桿端相對線位移都已求得，則全部桿件的內力即可確定。在位移線位移都已求得，則全部桿件的內力即可確定。在位移法中，基本未知量應是各結構的角位移和線位移法中，基本未知量應是各結構的角位移和線位移 lynnnAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院1) 結點角位移的確定結點角位移的確定 未知獨立的結點角位移在通常情況下對應于體系中的剛未知獨立的結點角位移在通常情況下對應于體系中的剛結點，但須注意，當有階形桿截面改變處的轉角或抗轉動彈結點，但須注意，當有階形桿截面改變處的轉角或抗轉動彈性支座的轉角時，應一并計入在內。性支座的轉角時，應一并計入在內。 結構固定支座處，因其

16、轉角等于零或為已知的支座移動結構固定支座處，因其轉角等于零或為已知的支座移動值，不應計入；值，不應計入； 鉸結點或鉸支座處，因其轉角不是獨立的，引入特殊桿鉸結點或鉸支座處，因其轉角不是獨立的，引入特殊桿端約束模式下桿單元模型（一端固定、一端鉸支單元）后，端約束模式下桿單元模型（一端固定、一端鉸支單元）后，其桿端轉角也不再作為位移法的基本未知量。其桿端轉角也不再作為位移法的基本未知量。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院C C C CFGC4ZZ32ZBZ1EDABCCGGFBB11D12EDAPFAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院2) 結點線位移的

17、確定結點線位移的確定 確定位移法中線位移未知量的方法：確定位移法中線位移未知量的方法：由觀察確定由觀察確定。即。即設定體系中設定體系中每一個結點在平面坐標系的兩個主軸方向上最每一個結點在平面坐標系的兩個主軸方向上最多可能具有兩個線位移多可能具有兩個線位移，然后，然后篩選出其中的未知、獨立分篩選出其中的未知、獨立分量量。主要考慮以下的篩選原則：。主要考慮以下的篩選原則： 因剛性支座的存在，線位移為零或為已知值（對應于因剛性支座的存在，線位移為零或為已知值（對應于支座移動）的不計入未知量；支座移動）的不計入未知量； 因軸向變形忽略不計而多個結點線位移相同的，則因軸向變形忽略不計而多個結點線位移相同

18、的，則只計其中一個；只計其中一個； 定向支承桿端力已知，對應的線位移非獨立，不計定向支承桿端力已知，對應的線位移非獨立，不計入獨立的線位移內。入獨立的線位移內。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院Z4EA6ZZ812ZZ102ZZ13ZZ57ZZ119Z5ZZ3EAAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.3.2 位移法的基本結構和基本體系位移法的基本結構和基本體系 為了為了在分析過程有效在分析過程有效控制控制結構中結構中每一結點位移每一結點位移，通過，通過在體系中在體系中增設附加約束來增設附加約束來控制結點位移的發(fā)生。控制結點位移的發(fā)生。 增設了附加

19、約束的結構模型，即為位移法計算中的基增設了附加約束的結構模型，即為位移法計算中的基本結構本結構。 附加約束：角位移處的附加剛臂和線位移處的附加支附加約束：角位移處的附加剛臂和線位移處的附加支桿。桿。 附加剛臂，就是在每個可能發(fā)生獨立角位移的剛結點附加剛臂，就是在每個可能發(fā)生獨立角位移的剛結點和組合結點上，人為地加上的一個能控制其角位移和組合結點上，人為地加上的一個能控制其角位移( (但并但并不阻止其線位移不阻止其線位移) )的附加約束的附加約束 附加支桿，就是在每個可能發(fā)生獨立線位移的結點上附加支桿，就是在每個可能發(fā)生獨立線位移的結點上沿線位移的方向，人為地加上的一個能控制其線位移大小沿線位移

20、的方向，人為地加上的一個能控制其線位移大小的附加支座鏈桿。的附加支座鏈桿。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院a)原結構及其基本未知量原結構及其基本未知量b)基本結構基本結構2ZZ41Z5Z6ZZ3ACFGDHEBFCADGHEBAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 通過控制基本結構上的附加約束，令其發(fā)生與原結構相通過控制基本結構上的附加約束，令其發(fā)生與原結構相同的結點位移，從而形成一個在荷載與結點位移共同作用下同的結點位移，從而形成一個在荷載與結點位移共同作用下的，與原結構變形完全相同的受力模型。該受力模型即為位的，與原結構變形完全相同的受力模型。

21、該受力模型即為位移法計算中的基本體系，移法計算中的基本體系，基本體系與原結構完全靜力等效基本體系與原結構完全靜力等效。6.3.3 位移法的基本方程與基本原理位移法的基本方程與基本原理基本體系的變形與原結構完全一致，其受力也完全相同?；倔w系的變形與原結構完全一致，其受力也完全相同。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院1) 只有一個結點角位移的情況只有一個結點角位移的情況 圖示圖示(a)結構，具有一個獨立的未知結點角位移，不存結構，具有一個獨立的未知結點角位移，不存在結點線位移。根據基本結構的概念，在角位移處增設剛在結點線位移。根據基本結構的概念，在角位移處增設剛臂，得基本

22、結構臂，得基本結構 APFBCZ1Z1EI=常數l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常數l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常數l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAa)原結構原結構c)基本體系基本體系b)基本結構基本結構 荷載作用下，原結構變形圖如圖荷載作用下，原結構變形圖如圖(a)所示，則其基本體系所示，則其基本體系應如圖應如圖 (c)所示。當剛臂轉角與原結構所示。當剛臂轉角與原

23、結構A點轉角相同時，圖點轉角相同時，圖(a)與圖與圖(c)變形、內力均完全相同。變形、內力均完全相同。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院0P1111FFFCBAFPF1P1Z1ZCBA11FZ11Z=0F1PFCABZ1Z1 根據疊加原理，基本體系的變形可以由荷載和角位移根據疊加原理，基本體系的變形可以由荷載和角位移Z1分別作用在基本結構這兩個獨立受力狀態(tài)下的變形結果的疊分別作用在基本結構這兩個獨立受力狀態(tài)下的變形結果的疊加加 由于基本體系與原結構由于基本體系與原結構完全靜力等效，基本體系中完全靜力等效，基本體系中角位移位置處的附加剛臂不角位移位置處的附加剛臂不可能存在

24、外力，必然有可能存在外力，必然有 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院1ZF11ABCZ1Z1CBA11k11Z11形常數，將形常數，將Z1角位移作用下的變形圖利用單位角位移作用下的變形圖來表示角位移作用下的變形圖利用單位角位移作用下的變形圖來表示 11111ZkF 從而得到從而得到0P1111 FZk 這就是求解基本未知量這就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其實質的位移法基本方程，其實質是表達了基本體系在結點位移處的平衡條件是表達了基本體系在結點位移處的平衡條件 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院i 24i2ii 4=11ZCBAAF1PP

25、F l88lFPPF l88lFP1PFPFCBAk11k11Ai 44i8PP1lFFiiik84411ilFkFZ64P111P1All Rights Reserved重慶大學土木工程學院11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAMP圖圖 1M圖圖M圖圖結構的最后彎矩可由疊加公式計算結構的最后彎矩可由疊加公式計算 P11MZMMAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 圖示剛架的基本未知量為結點圖示剛架的基本未知量為結點C、D的水平線位

26、移的水平線位移Z1。在結點。在結點D加一附加支座鏈桿，就得到基本結構。其相應的基本體系如圖加一附加支座鏈桿，就得到基本結構。其相應的基本體系如圖所示，它的變形和受力情況與原結構完全相同。所示，它的變形和受力情況與原結構完全相同。 01P111FZk位移法方程位移法方程 1ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=0All Rights Reserved重慶大學土木工程學院1ZEI1212EI1PF90(90)CABDBADC4572EI11kDCEI72F1PQFFDB=0=CAFFQDCk11=1kN1PQQ45kN045 kNFFCADBFFF 36

27、727211EIEIEIkAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院將將k11和和F1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得EIZ16201P11MZMM135CABD225(90)M (kN.m)All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6. 4 位移法的典型方程位移法的典型方程 =02FZ22ZqZ11ZF1=0qlCDBAll/2/2l1ZqlZ2CDBAq(a) 原結構原結構 (b) 基本結構基本結構 (c) 基本體系基本體系基本體系上附加剛臂的反力矩基本體系上附加剛臂的反力矩F1及附加支桿的反力及附加支桿的反力F2都應等于零都應等于零

28、即即F1=0和和F2=0 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院 設基本結構由于設基本結構由于Z1、Z2及荷載單獨作用，引起相應于及荷載單獨作用，引起相應于Z1的附加剛臂的反力矩分別為的附加剛臂的反力矩分別為F11、F12及及F1P，引起相應，引起相應于于Z2的附加支座鏈桿的反力分別為的附加支座鏈桿的反力分別為F21、F22及及F2P。根據。根據疊加原理，可得疊加原理，可得002P222121P12111FFFFFFFFqABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12FA

29、ll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 又設單位位移又設單位位移Z1=1及及Z2=1單獨作用時，在基本結構附加剛臂上單獨作用時，在基本結構附加剛臂上產生的反力矩分別為產生的反力矩分別為k11及及k21，在附加支座鏈桿中產生的反力分別，在附加支座鏈桿中產生的反力分別為為k12及及k22，則有，則有 將式（將式（b）代入式（）代入式（a），得），得002P222121P12111FFFFFFFF(a)22222121212121211111,ZkFZkFZkFZkF(b)002P2221211P212111FZkZkFZkZk上式稱為位移法典型方程上式稱為位移法典型方程 All

30、Rights Reserved重慶大學土木工程學院 其物理意義是：基本體系每個附加約束中的反其物理意義是：基本體系每個附加約束中的反力矩和反力都應等于零。因此，力矩和反力都應等于零。因此，它實質上反映了原它實質上反映了原結構的靜力平衡條件結構的靜力平衡條件。002P2221211P212111FZkZkFZkZk位移法典型方程位移法典型方程 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院F1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6BADCBADC3ilq2ql0=2PFql26ilBC0k21=li 6BCCBli

31、12223il215ilk22=Z2=121kF2P22k02156006722121qlZliZliZliiZ聯(lián)立解以上兩個方程求聯(lián)立解以上兩個方程求出出Z1和和Z2后，即可按疊后，即可按疊加原理作出彎矩圖加原理作出彎矩圖 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院 對于具有對于具有n個獨立結點位移的結構，相應地在基本結構中需加入個獨立結點位移的結構，相應地在基本結構中需加入n個附加個附加約束，根據每個附加約束的附加反力矩或附加反力都應為零的平衡條件，同樣約束，根據每個附加約束的附加反力矩或附加反力都應為零的平衡條件，同樣可建立可建立n個方程如下：個方程如下： 上式即為典型方

32、程的一般形式。式中，主斜線上的系數上式即為典型方程的一般形式。式中，主斜線上的系數kii稱為主稱為主系數或主反力；其他系數系數或主反力；其他系數kij稱為副系數或副反力；稱為副系數或副反力；FiP稱為自由項。稱為自由項。 000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZkAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 系數和自由項的符號規(guī)定是：以與該附加約束所設系數和自由項的符號規(guī)定是：以與該附加約束所設位移方向一致者為正。主反力位移方向一致者為正。主反力kii的方向總是與所設位移的方向總是與所設位移Zi的方向一致，故

33、恒為正，且不會為零。副系數和自由的方向一致，故恒為正，且不會為零。副系數和自由項則可能為正、負或零。此外，根據反力互等定理可知，項則可能為正、負或零。此外，根據反力互等定理可知，kij=kji。 000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZkAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 選擇基本體系選擇基本體系。加附加約束，鎖住相關結點，使之不發(fā)。加附加約束，鎖住相關結點，使之不發(fā)生轉動或移動，而得到一個由若干基本的單跨超靜定梁組成的生轉動或移動，而得到一個由若干基本的單跨超靜定梁組成的組合體作為基本結構（可不單

34、獨畫出）；使基本結構承受原來組合體作為基本結構（可不單獨畫出）；使基本結構承受原來的荷載，并令附加約束發(fā)生與原結構相同的位移，即可得到所的荷載，并令附加約束發(fā)生與原結構相同的位移，即可得到所選擇的基本體系。選擇的基本體系。 建立位移法的典型方程建立位移法的典型方程。根據附加約束上反力矩或反力。根據附加約束上反力矩或反力等于零的平衡條件建立典型方程。等于零的平衡條件建立典型方程。 求系數和自由項求系數和自由項。在基本結構上分別作出各附加約束。在基本結構上分別作出各附加約束發(fā)生單位位移時的單位彎矩圖圖和荷載作用下的荷載彎矩圖發(fā)生單位位移時的單位彎矩圖圖和荷載作用下的荷載彎矩圖MP圖，由結點平衡和截

35、面平衡即可求得。圖，由結點平衡和截面平衡即可求得。 解方程解方程，求基本未知量（，求基本未知量（Zi）。）。 6.5.1 典型方程法的計算步驟典型方程法的計算步驟6.5用典型方程法計算超靜定結構在荷載作用下的內力用典型方程法計算超靜定結構在荷載作用下的內力 確定基本未知量數目確定基本未知量數目：n=ny+nl。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院作最后內力圖作最后內力圖。按照。按照疊加得出最后彎矩圖；根據彎矩圖作出剪力圖；利用剪力圖疊加得出最后彎矩圖；根據彎矩圖作出剪力圖；利用剪力圖根據結點平衡條件作出軸力圖。根據結點平衡條件作出軸力圖。 P2211MZMZMZMMnn校

36、核校核。由于位移法在確定基本未知量時已滿足了變形協(xié)調。由于位移法在確定基本未知量時已滿足了變形協(xié)調條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平條件，而位移法典型方程是靜力平衡條件，故通常只需按平衡條件進行校核。衡條件進行校核。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.5.2舉例舉例【例【例6.16.1】試用典型方程法計算圖所示連續(xù)梁，并作彎矩圖，各桿】試用典型方程法計算圖所示連續(xù)梁，并作彎矩圖，各桿EIEI為常數。為常數。ABC8m15kN/m8m【解解】(1) 確定基本未知量數目該連續(xù)梁的基本未知量為結點B的轉角Z1，即n=1。All Rights Reserve

37、d重慶大學土木工程學院(2) 確定基本體系。確定基本體系?；倔w系如圖所示。基本體系如圖所示。由于由于超靜定結構在荷載作用下的內力分布與桿件的相對剛度相關超靜定結構在荷載作用下的內力分布與桿件的相對剛度相關，因此，分析，因此，分析時可令時可令i=1，根據桿件的相對剛度進行計算，如圖所示。但需要注意，在相對剛，根據桿件的相對剛度進行計算，如圖所示。但需要注意，在相對剛度設定后，計算得到的未知量將不再直接對應于結點的真實位移數值，而是一個度設定后，計算得到的未知量將不再直接對應于結點的真實位移數值，而是一個與所設定的相對剛度對應的數值。與所設定的相對剛度對應的數值。ABC15kN/m1Z=i EI

38、/8=1=1i(3) 建立典型方程建立典型方程01P111FZkAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院(4) 求系數和自由項求系數和自由項Z1CBA=0120(120)342=1ABC1Z711k120P1F(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量將以上各系數及自由項之值代入典型方程，解得將以上各系數及自由項之值代入典型方程，解得143.171ZAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院(6) 作最后彎矩圖作最后彎矩圖34.29(120)68.57ABCM圖（圖（kN m）在本例的求解中，在本例的求解中，BC桿采用了一端固定一端鉸支的單元，減

39、少了桿采用了一端固定一端鉸支的單元，減少了位移法分析的計算量，在計算中也可以直接使用一般桿單元（即兩位移法分析的計算量，在計算中也可以直接使用一般桿單元（即兩端固定端桿元）進行分析，只是計算量會增加，但不會改變計算結端固定端桿元）進行分析，只是計算量會增加，但不會改變計算結果。果。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院【例【例6.2】試對上例所有桿元使用統(tǒng)一的一般桿單元模型進行位移法分析?！吭噷ι侠袟U元使用統(tǒng)一的一般桿單元模型進行位移法分析?！窘狻窘狻?1) (1) 確定基本未知量數目確定基本未知量數目在本例分析中基本未知量將確定為所有的未知結點位移，而非未知獨在本例分

40、析中基本未知量將確定為所有的未知結點位移，而非未知獨立結點位移，因此，該連續(xù)梁的基本未知量為體系中所有可能發(fā)生的結點立結點位移，因此，該連續(xù)梁的基本未知量為體系中所有可能發(fā)生的結點位移，即結點位移，即結點B B的轉角的轉角Z Z1 1和結點和結點C C的轉角的轉角Z Z2 2。因此，。因此，n n=2=2(2) (2) 確定基本體系確定基本體系基本體系如圖所示。基本體系如圖所示。ABC15kN/mZ21ZABC8m15kN/m8mAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院(3) (3) 建立典型方程建立典型方程根據結點根據結點B B和結點和結點C C附加剛臂上反力偶均為零的平衡

41、條件，有附加剛臂上反力偶均為零的平衡條件，有002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4) 求系數和自由項求系數和自由項2Z=080C2Z=0=024Z242=1AB1ZZ1CBA=124(120)80=0ABC1Z811k212k80P1F221k422k80P2FAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z Z1 1和和Z Z2 2將以上各系數及自由項之值代入典型方程，解得將以上各系數及自由項之值代入典型方程，解得143.171Z572.282Z (6) 作最后彎矩圖作最后彎矩圖CBA68.57(120

42、)34.29All Rights Reserved重慶大學土木工程學院【例【例6.3】試用典型方程法計算圖示結構，并作彎矩圖。設】試用典型方程法計算圖示結構，并作彎矩圖。設EI=常數。常數。 解：解： (1)確定基本未知量數目確定基本未知量數目可以利用對稱性取結構的可以利用對稱性取結構的1/4部分進行計算，其基本未知量只有部分進行計算，其基本未知量只有結點結點A的轉角的轉角Z1。 llqABCDEFEI=常數=常數EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql

43、2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()llqABCDEFEI=常數=常數EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()All Rights Reserved重慶大學土木工程學院(2)選擇基本體系選擇基本體系 llqABCDEFEI=常數=常數EIlql/2G2BAiiq

44、l1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()c)基本體系基本體系llqABCDEFEI=常數=常數EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)

45、(ql8228ql()d)M1圖圖e)MP圖圖(kNm)(3)建立典型方程建立典型方程 01P111FZk(4)求系數和自由項求系數和自由項 iiik6241121P121qlF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量 iqlZ7221All Rights Reserved重慶大學土木工程學院(6)作最后彎矩圖作最后彎矩圖llqABCDEFEI=常數=常數EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2AD

46、BEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()All Rights Reserved重慶大學土木工程學院【例【例6.4】試用典型方程法計算圖示結構，并作彎矩圖，】試用典型方程法計算圖示結構，并作彎矩圖，EI為常數。為常數。EIEIEI22EIEDCBA4m5m2m2m120kN16kN/m【解【解】(1) (1) 確定基本未知量數目確定基本未知量數目 此剛架的基本未知量為結點此剛架的基本未知量為結點B B和和C C的角位移的角位移Z Z1 1和和Z Z2 2，即，即n n=2=2。 (2) (2) 確定基本體系，如圖所示。確定基本體系，如圖所示。EDCBA120kN16kN/m

47、Z12Zi=1.6=2ii=1=1iAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 (3) 建立典型方程建立典型方程 根據基本體系每個附加剛臂的總反力矩為零的條件，可列出位移法方程如下：根據基本體系每個附加剛臂的總反力矩為零的條件，可列出位移法方程如下：00P2222121P1212111FZkZkFZkZk(50)Z1=02Z=0602ZZ1ABCDE=1=04.848244284=0=1EDCBA(120)50DCBA601Z2ZE (4) 求系數和自由項求系數和自由項k11 = 4.848 = 16.8 k k2121 = = 4 4k12 = 4 k22 =8+4 = 12

48、 F1P=5060=10kNm F2P = 60 kNm All Rights Reserved重慶大學土木工程學院(5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量將求得的各系數和自由項代入位移法方程，解得將求得的各系數和自由項代入位移法方程，解得 Z Z1 1 = = 1.941.94，Z Z2 2 = =5.655.65(6) 作最后彎矩圖作最后彎矩圖11.3E3.97.867.1ABCD59.3(120)22.6(50)All Rights Reserved重慶大學土木工程學院【例【例6.5】試用典型方程法計算圖示等高排架?！吭囉玫湫头匠谭ㄓ嬎銏D示等高排架。 解：解： (1)確定基本未知

49、量數目確定基本未知量數目ABDCEFh1PF1EIEI2EA=EA2hh3FPFPFPACBDEFACBDEFACBDEFZ1F1P=1Z111kh21EI1332EI22hh23EI33EI3k110001PF31EI13hh32EI23h33EI33b)基本體系基本體系a)原結構原結構只有一個獨立的結點線位移未知量，即只有一個獨立的結點線位移未知量，即A、C、E的水平位移的水平位移Z1。 (2)確定基本體系，如圖確定基本體系，如圖b所示所示 (3)建立典型方程建立典型方程01P111FZkAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院(4)求系數和自由項求系數和自由項ABDCE

50、Fh1PF1EIEI2EA=EA2hh3FPFPFPACBDEFACBDEFACBDEFZ1F1P=1Z111kh21EI1332EI22hh23EI33EI3k110001PF31EI13hh32EI23h33EI33331211333311233333iiiEIEIEIEIkhhhhp1PFF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z1313P111P13iihEIFkFZ(6)按疊加原理即可作出彎矩圖。按疊加原理即可作出彎矩圖。 All Rights Reserved重慶大學土木工程學院令令 33iiihEI式中，式中，ri為當排架柱頂發(fā)生單位側移時，各柱柱頂產為當排架柱頂發(fā)生單位

51、側移時，各柱柱頂產生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，稱為排架柱的稱為排架柱的側移剛度系數。側移剛度系數。 于是，各柱頂的剪力為于是，各柱頂的剪力為P1QFZFiiiiAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院再令再令iii稱為第稱為第i根柱的剪力分配系數，則各柱所分配得的柱頂剪力為根柱的剪力分配系數，則各柱所分配得的柱頂剪力為 PQFFii（i=1，2，3） 以上分析表明，當等高排架僅在柱頂受水平集中力作用時，可首以上分析表明，當等高排架僅在柱頂受水平集中力作用時，可首先求出各柱的剪力分配系數；然后由算出各柱頂剪力先求出各柱

52、的剪力分配系數；然后由算出各柱頂剪力FQi；最后把；最后把每根柱視為懸臂梁繪出其彎矩圖。這樣就可不必建立典型方程而每根柱視為懸臂梁繪出其彎矩圖。這樣就可不必建立典型方程而直接得到解答。這一方法稱為直接得到解答。這一方法稱為剪力分配法剪力分配法.All Rights Reserved重慶大學土木工程學院6.6直接利用平衡條件建立位移法方程直接利用平衡條件建立位移法方程 在位移法典型方程法中，通過增設附加約束、借助基在位移法典型方程法中，通過增設附加約束、借助基本結構這一計算工具，利用基本體系表達出原結構變形模本結構這一計算工具，利用基本體系表達出原結構變形模式，從而建立的位移法方程，實質上就是反

53、映原結構的平式，從而建立的位移法方程，實質上就是反映原結構的平衡條件，即有結點角位移處，是結點的力矩平衡條件；有衡條件，即有結點角位移處，是結點的力矩平衡條件；有結點線位移處，是截面的投影平衡條件。結點線位移處，是截面的投影平衡條件。 因此，根據位移法的基本原理，也可以不通過基本結因此，根據位移法的基本原理，也可以不通過基本結構，而借助于桿件的轉角位移方程，利用結點位移與桿端構，而借助于桿件的轉角位移方程，利用結點位移與桿端位移之間的協(xié)調關系，根據先位移之間的協(xié)調關系，根據先“拆散拆散”、后、后“組裝組裝”結構結構的思路，直接由原結構的結點和截面平衡條件來建立位移的思路，直接由原結構的結點和截

54、面平衡條件來建立位移法方程，這就是直接平衡法。法方程，這就是直接平衡法。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院【例【例6.9】試用直接平衡法計算圖所示剛架，并作彎矩圖。已知】試用直接平衡法計算圖所示剛架，并作彎矩圖。已知EI=常量常量 ADCBlEI=常數qll/2/2l【解】【解】(1) 確定基本未知量，并繪出示意圖確定基本未知量，并繪出示意圖 qBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ21Z(a) 基本未知量基本未知量 (b) 結點位移處的平衡條件結點位移處的平衡條件All Rights Reserved重慶大學土木工程學院ADCBqlEI=常數qll/2/2lqB

55、CFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)1163281Z(2) “拆散拆散”，利用結點位移表示出各對應桿件的桿端位移，進行桿件分析，利用結點位移表示出各對應桿件的桿端位移，進行桿件分析，即根據轉角位移方程，逐桿寫出桿端內力：即根據轉角位移方程，逐桿寫出桿端內力：對于左柱對于左柱BA（視為兩端固定梁）（視為兩端固定梁）862221qllZiiZMAB864221qllZiiZMBA2126222QqlliZliZFBAAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院對于橫梁對于橫梁BC（視為（視為B端固定，端固定，C端鉸支）端鉸支） 8321ql

56、iZMBC0CBMADCBqlEI=常數qll/2/2lqBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)1163281Z對于右柱對于右柱CD（視為（視為D端固定，端固定，C端鉸支）端鉸支） 0CDMlZiMDC2322Q3lZiFCBAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院(3)“組裝組裝”，進行整體分析，即根據結點平衡條件和截面平衡條，進行整體分析，即根據結點平衡條件和截面平衡條件建立位移法方程件建立位移法方程 ADCBqlEI=常數qll/2/2lqBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)116

57、3281Z0BM取橫梁取橫梁BC為隔離體，由截面平件為隔離體，由截面平件0 xF06721ZliiZ0BABCMM(a)0QQCDBAFF02156221qlZliZli(b)以上式（以上式（a）和式（）和式（b）即為用直接平衡法建立的位移法方程，與）即為用直接平衡法建立的位移法方程，與6.4節(jié)中節(jié)中用典型方程法解同一例題所建立的位移法方程（典型方程）式（用典型方程法解同一例題所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全）完全相同。也就是說，兩種本質上相同的解法在此殊途同歸。相同。也就是說，兩種本質上相同的解法在此殊途同歸。All Rights Reserved重慶大學土木工程學院(4)聯(lián)立求解

58、方程（聯(lián)立求解方程（a）和（）和（b），求基本未知量：），求基本未知量：211386qliZ 321387qliZ(5)計算桿端內力計算桿端內力 將將Z1和和Z2代回第（代回第（2）步所列出的各桿的桿）步所列出的各桿的桿端彎矩表達式，即可求得端彎矩表達式，即可求得 218463qlMAB21841qlMBA21841qlMBC218428qlMDC(6)作最后彎矩圖作最后彎矩圖 ADCBqlEI=常數qll/2/2lqBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)1163281Zd)M圖圖(ql2/184)All Rights Reserved重慶大學土木工

59、程學院力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念轉動剛度轉動剛度 結構或體系抵抗轉動變形的能力，即為結構或體系抵抗轉動變形的能力，即為轉動剛度轉動剛度 . 對于桿件來說，令某一桿端截面發(fā)生單位轉角（另一桿端位移在特對于桿件來說，令某一桿端截面發(fā)生單位轉角（另一桿端位移在特定約束模式下），此時在該桿端需施加的桿端力矩，稱為定約束模式下），此時在該桿端需施加的桿端力矩，稱為桿端轉動剛度桿端轉動剛度。 桿端轉動剛度的大小主要取決于兩個方面的因素：一是與桿件自身桿端轉動剛度的大小主要取決于兩個方面的因素：一是與桿件自身的線剛度，即與截面抗彎剛度和桿件長度相關；二是與桿件的桿端約束的線剛度，即與截面抗彎剛

60、度和桿件長度相關；二是與桿件的桿端約束模式相關。模式相關。=0SABABSi=3SABi=4iSAB1111BABABAlEIBAAll Rights Reserved重慶大學土木工程學院 若多根桿件匯交于某一結點（通常為剛性若多根桿件匯交于某一結點（通常為剛性結點），令該結點發(fā)生單位轉角時，需要在該結點），令該結點發(fā)生單位轉角時，需要在該結點施加的結點力矩，稱為結點施加的結點力矩，稱為結點轉動剛度結點轉動剛度。根。根據位移法中結點位移與桿端位移之間的協(xié)調關據位移法中結點位移與桿端位移之間的協(xié)調關系可知，結點的轉動剛度與桿端轉動剛度之間系可知，結點的轉動剛度與桿端轉動剛度之間有以下關系：有以下