(完整版)不等式常見題型分析

1、不等式的基本知識（一）不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系； 不等式的主要性質(zhì)：（1） 對稱性： a b b a （2） 傳遞性： a b,b c a c（3） 加法法則：abacbc；ab,c d a c b d ( 同向可加 )(4)乘法法則：ab,c0 acbc ；a b,c 0acbcab0,c d0 acbd （ 同向同正可乘)(5)倒數(shù)法則：ab,ab110(6)乘方法則abab0n abn(nN*且n 1)(7)開方法則：ab 0 n an b(nN * 且 n 1)2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個實數(shù)的大?。鹤鞑罘ǎㄗ鞑钭冃闻袛喾柦Y(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式（二

2、）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax2 bx c 0或 ax2 bx c 0 a 0 的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的兩根為 x1、x2 且 x1 x2，b2 4ac ，則2ax bx c 0 (a 0)的解集x x1 x x22、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式， 并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正 ，最后用標(biāo)根法求解。 解分式不等式時， 一般 不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。gf(xx) 0 f(x)g(x) 0; gf (xx) 0gf(xx)g(0x) 0g(x)g (

3、x)g(x) 03、不等式的恒成立問題 ：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題 若不等式 f x A在區(qū)間 D 上恒成立 ,則等價于在區(qū)間 D 上 f xAmin 若不等式 f x B在區(qū)間 D 上恒成立 ,則等價于在區(qū)間 D 上 f xBmax(三) 線性規(guī)劃1、用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域二元一次不等式 Ax+By+C> 0 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0 某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域 . (虛線表示區(qū)域不包括邊界直線)2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線 Ax+By+C=0 同一側(cè)的所有點 ( x, y ) ，把它的坐標(biāo)( x, y

4、)代入 Ax+By+C，所得 到實數(shù)的符號都相同， 所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點 (x0,y0)，從 Ax0+By0+C的正負(fù)即可 判斷 Ax+By+C> 0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域 . (特殊地，當(dāng) C 0時，常把 原點作為此特殊點)3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念： 線性約束條件 ：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y 的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于 x、y 的一次不等式，故又稱線性約束條件 線性目標(biāo)函數(shù) ：關(guān)于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、 y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù) 線性規(guī)劃問題 ： 一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小

5、值的問題， 統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題 可行解、可行域和最優(yōu)解 ：滿足線性約束條件的解( x,y)叫可行解 由所有可行解組成的集合叫做可行域 使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：(1) 尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；(2) 由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；(3) 依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線 ax+by0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu) 解(四)基本不等式 ab a b21若 a,b R ,則 a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取等號 .2如果 a,b 是正數(shù)，那么 a bab(當(dāng)且僅當(dāng) a b時取 &qu

6、ot; "號).2變形：ab有:a+b2 ab；ab,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取等號23如果 a,bR+,a·b=P（定值）,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時,a+b 有最小值 2 P;如果 a,b R+,且 a+b=S （定值）,當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時,ab有最大值注：（ 1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，可以求 它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大” （2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1）a2 b22ab2ab 2 （ 根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)11ab選用）；（2） a、b、c R，a2b2c2 a

7、bbc ca （當(dāng)且僅當(dāng) ac 時，取等號） ；（ 3）若ab 0,m 0 ，則 ba糖水的濃度問題） 。am第8面不等式主要題型講解不等式與不等關(guān)系（一） 題型一：不等式的性質(zhì) 1. 對于實數(shù) a,b,c 中，給出下列命題：其中正確的命題是 題型二：比較大?。ㄗ鞑罘?、函數(shù)單調(diào)性、設(shè) a 2 ， p a 1 ， qa22.、中間量比較，基本不等式）a2 4a 22 a 4a 2，試比較 p,q 的大小若ab,22則 ac bc ；2 若 ac2bc2 ,則ab；若ab0,則a2ab b2 ；若a1 b 0, 則1ab若ab0,則 ba；若ab 0,則 ab；ab若cab 0, 則ab； 若ab

8、,1 1 ，則a0,b 0 。caca3. 比較 1+ log x 3與2 log x2(x 0且x 1)的大小1 a b4. 若 a b 1,P lga lgb,Q (lga lgb),R lg( ) ，則 P,Q,R的大 小關(guān)系22是 .(二) 解不等式題型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式 (x 1)(x 2)2 0 。7.解不等式 2 5 xx2 2x 318.不等式 ax2 bx 120的解集為 x|-1 <x<2，則 a=_, b=9.關(guān)于 x 的不等式 axb 0的解集為 (1, ) ，則關(guān)于x 的不等式 ax b 0 的解集為 x210. 解關(guān)于 x 的不等式

9、 ax2 (a 1)x 1 0題型四：恒成立問題11. 關(guān)于 x 的不等式 a x2+ a x+1>0 恒成立，則 a 的取值范圍是 12. 若不等式 x2 2mx 2m 1 0對0 x 1的所有實數(shù) x都成立，求 m的取值范圍 .1913. 已知 x 0,y 0 且1，求使不等式 x y m恒成立的實數(shù) m 的取值范圍。xy（三）基本不等式 ab a b2 題型五：求最值14. （直接用）求下列函數(shù)的值域11（ 1） y 3x 22x 2（2）yxx15. （配湊項與系數(shù)）51（1）已知 x，求函數(shù) y 4x 2 1 的最大值。4 4x 52）當(dāng)時，求 y x（8 2x） 的最大值。1

10、6.耐克函數(shù)型）求 y7xx110(x1） 的值域。注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù) 性。x2 517. （用耐克函數(shù)單調(diào)性）求函數(shù) y 的值域。x2 4af (x) x 的單調(diào)x18.（條件不等式）（1）若實數(shù)滿足 a b 2 ，則 3a 3b的最小值是.（2）19已知 x 0,y 0 ，且1 ，求 x y 的最小值。xy3）已知 x， y為正實數(shù)，且 x 2y2 1，求 x 1 y 2 的最大值 .14） 已知 a，b 為正實數(shù)， 2baba 30，求函數(shù) y 1 的最小值 .題型六：利用基本不等式證明不等式2 2 219. 已知 a,b,c 為兩兩不相等的

11、實數(shù)，求證： a b c ab bc ca20. 正數(shù) a，b，c 滿足 abc 1，求證： （1 a）（1 b）（1c）8abc 11121. 已知 a、 b、c R ，且 a b c 1。求證：1 1 1 8abc題型七：均值定理實際應(yīng)用問題：22. 某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2 的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米 400 元，中間兩條隔墻建筑單價為每米 248 元，池底建造單價為每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不計，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。四）線性規(guī)劃 題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值2x y 3 023. 滿足不等式組7x y 8 0 ，求目標(biāo)函數(shù) k 3x y 的最大值x, y 0已知實系數(shù)一元二次方程x2 （1 a）x a b 1 0的兩個實根為 x1、 x2,并且 24.0 x1 2 , x2 2 則 b 的取值范圍是a1x03x 4y 4 2225. 已知 x, y滿足約束條件：y 0,則 xy 2x的最小值是x 2 y 3026. 已知變量 x, y滿足約束條件x 3 y 30.若目標(biāo)函數(shù) z ax y （其中 a>0）僅在點y 1 0（3，0）處取得最大值，則a 的取值范圍為。y1，27