第二章_靜態(tài)電磁場(chǎng)I靜電場(chǎng)

1、第2章 靜電場(chǎng) 基本方程與場(chǎng)的特性基本方程與場(chǎng)的特性 自由空間的電場(chǎng)自由空間的電場(chǎng) 導(dǎo)體和電介質(zhì)導(dǎo)體和電介質(zhì) 電介質(zhì)中的電場(chǎng)電介質(zhì)中的電場(chǎng) 邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題 電容電容 部分電容部分電容 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 恒定電場(chǎng)基本方程與場(chǎng)的特性恒定電場(chǎng)基本方程與場(chǎng)的特性 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬 第第2 2章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)靜態(tài)電磁場(chǎng)I I：靜電場(chǎng)：靜電場(chǎng) 靜電場(chǎng)：靜電場(chǎng)： 由相對(duì)于觀察者為靜止的、且量值不隨時(shí)間變化的電荷所激發(fā)的由相對(duì)于觀察者為靜止的、且量值不隨時(shí)間變化的電荷所激發(fā)的電場(chǎng)。電場(chǎng)。 本章任務(wù)：本章任務(wù)： 闡述靜電荷與電場(chǎng)之間的關(guān)系，建立靜電場(chǎng)基本方程并分析其物理意闡述靜電荷

2、與電場(chǎng)之間的關(guān)系，建立靜電場(chǎng)基本方程并分析其物理意義，研究真空中、導(dǎo)體中及電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)特性，在已知電荷或電位的義，研究真空中、導(dǎo)體中及電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)特性，在已知電荷或電位的情況下求解電場(chǎng)的各種計(jì)算方法，或者反之。情況下求解電場(chǎng)的各種計(jì)算方法，或者反之。 靜電場(chǎng)是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一靜電場(chǎng)是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一 定條件下可類比推廣到恒定電場(chǎng)定條件下可類比推廣到恒定電場(chǎng), ,恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)及時(shí)變場(chǎng)。 靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖靜電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖第第2 2章章 靜態(tài)電磁場(chǎng)靜態(tài)電磁場(chǎng)I I：靜電場(chǎng)：靜電場(chǎng) 演繹法（補(bǔ)充）：演繹法（補(bǔ)充）：演

3、繹法是與歸納法相反的一種研究方法，是從既有的普遍性結(jié)論或演繹法是與歸納法相反的一種研究方法，是從既有的普遍性結(jié)論或一般性事理，推導(dǎo)出個(gè)別性結(jié)論的一種方法，即由較大范圍，逐步縮小一般性事理，推導(dǎo)出個(gè)別性結(jié)論的一種方法，即由較大范圍，逐步縮小到所需的特定范圍。它是從一般到特殊，由定義、根本規(guī)律等出發(fā)一步到所需的特定范圍。它是從一般到特殊，由定義、根本規(guī)律等出發(fā)一步步遞推，邏輯嚴(yán)密結(jié)論可靠，且能體現(xiàn)事物的特性。步遞推，邏輯嚴(yán)密結(jié)論可靠，且能體現(xiàn)事物的特性。演繹法的基本形式是三段論式，它包括：演繹法的基本形式是三段論式，它包括：（1 1）大前提，是已知的一般原理或一般性假設(shè)；）大前提，是已知的一般原理

4、或一般性假設(shè)； （2 2）小前提，是關(guān)于所研究的特殊場(chǎng)合或個(gè)別事實(shí)的判斷，小前）小前提，是關(guān)于所研究的特殊場(chǎng)合或個(gè)別事實(shí)的判斷，小前提應(yīng)與大前提有關(guān)；提應(yīng)與大前提有關(guān)；（3 3）結(jié)論，是從一般已知的原理（或假設(shè)）推出的，對(duì)于特殊場(chǎng)）結(jié)論，是從一般已知的原理（或假設(shè)）推出的，對(duì)于特殊場(chǎng)合或個(gè)別事實(shí)作出的新判斷。合或個(gè)別事實(shí)作出的新判斷。由相對(duì)于觀察者為靜止的、且量值不隨時(shí)間變由相對(duì)于觀察者為靜止的、且量值不隨時(shí)間變化的電荷所激發(fā)的電場(chǎng)?；碾姾伤ぐl(fā)的電場(chǎng)。 本章先驗(yàn)知識(shí)：本章先驗(yàn)知識(shí)：整個(gè)這本書的脈絡(luò)是演繹法，采用第整個(gè)這本書的脈絡(luò)是演繹法，采用第1 1章（以數(shù)學(xué)物理方法為研究手章（以數(shù)學(xué)物理

5、方法為研究手段）給出的電磁場(chǎng)矢量分析、場(chǎng)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、麥克斯韋方程組等宏觀電段）給出的電磁場(chǎng)矢量分析、場(chǎng)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、麥克斯韋方程組等宏觀電磁場(chǎng)分析基本理論，對(duì)電磁場(chǎng)分類中的最簡(jiǎn)單的一種類型磁場(chǎng)分析基本理論，對(duì)電磁場(chǎng)分類中的最簡(jiǎn)單的一種類型- -靜態(tài)電場(chǎng)進(jìn)行靜態(tài)電場(chǎng)進(jìn)行分析。分析。2.1.1 2.1.1 靜態(tài)電磁場(chǎng)靜態(tài)電磁場(chǎng)2.1 2.1 靜電場(chǎng)的基本方程和場(chǎng)的特性靜電場(chǎng)的基本方程和場(chǎng)的特性 電磁場(chǎng)中的源量不隨時(shí)間而變化，這時(shí)場(chǎng)中的場(chǎng)量也將不隨著時(shí)電磁場(chǎng)中的源量不隨時(shí)間而變化，這時(shí)場(chǎng)中的場(chǎng)量也將不隨著時(shí)間而變化，而僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)。間而變化，而僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)。（按源量和場(chǎng)量的性質(zhì)分類

6、）（按源量和場(chǎng)量的性質(zhì)分類） 源量有哪些？場(chǎng)量有哪些？源量有哪些？場(chǎng)量有哪些？ 微分形式的麥克斯韋方程微分形式的麥克斯韋方程 回顧：積分形式反映場(chǎng)量在某一大尺度空間的特性；微分形式能精回顧：積分形式反映場(chǎng)量在某一大尺度空間的特性；微分形式能精確反映場(chǎng)量在空間任一點(diǎn)的特性，即反映細(xì)節(jié)。確反映場(chǎng)量在空間任一點(diǎn)的特性，即反映細(xì)節(jié)。;0cDHJtBEtBD 00cHJBED 方程表明靜態(tài)電磁方程表明靜態(tài)電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)沒(méi)有場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)沒(méi)有相互耦合關(guān)系，因此相互耦合關(guān)系，因此可以在單一電場(chǎng)或磁可以在單一電場(chǎng)或磁場(chǎng)效應(yīng)下分別進(jìn)行分場(chǎng)效應(yīng)下分別進(jìn)行分析和討論。析和討論。 時(shí)不變時(shí)不變 其媒質(zhì)的構(gòu)成方程為

7、其媒質(zhì)的構(gòu)成方程為: :D = E0E D = 微分形式微分形式:積分形式積分形式:0l E dlVSdVdSD顯然，靜電場(chǎng)是有散顯然，靜電場(chǎng)是有散( (有源有源) )、無(wú)旋場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng)。 2.1.2 2.1.2 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程在理想的真空狀態(tài)介電常數(shù)在理想的真空狀態(tài)介電常數(shù) = = 0 0 亥姆霍茲定理（回顧）：亥姆霍茲定理（回顧）：無(wú)界空間矢量場(chǎng)唯一地由其散度和旋度所確定，因此場(chǎng)的散度和旋無(wú)界空間矢量場(chǎng)唯一地由其散度和旋度所確定，因此場(chǎng)的散度和旋度是研究場(chǎng)特性的首要問(wèn)題。度是研究場(chǎng)特性的首要問(wèn)題。（本書討論的總體脈絡(luò)就是分析場(chǎng)的散度和旋度特性！）（本書討論的總體脈絡(luò)就是分析

8、場(chǎng)的散度和旋度特性?。?.1.3 2.1.3 真空中靜電場(chǎng)的高斯定理真空中靜電場(chǎng)的高斯定理1. 1. 靜電場(chǎng)的散度靜電場(chǎng)的散度真空中靜電場(chǎng)高斯定律的微分形式真空中靜電場(chǎng)高斯定律的微分形式其物理意義表示為其物理意義表示為0E0E0E 高斯定律說(shuō)明了高斯定律說(shuō)明了靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)，電荷就是場(chǎng)的散度（通量源），電力線，電荷就是場(chǎng)的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。0E 靜電場(chǎng)是有散靜電場(chǎng)是有散( (有源有源) )場(chǎng)場(chǎng)若場(chǎng)中某點(diǎn)若場(chǎng)中某點(diǎn) E E00，則，則 0 (0 (正電荷正電荷) )，該點(diǎn)電力線向外發(fā)散，且為，該點(diǎn)電力線向外發(fā)散，且

9、為“源源”的所在的所在處；處；若某點(diǎn)若某點(diǎn) E E00，則，則 dr d的遠(yuǎn)場(chǎng)情況）的遠(yuǎn)場(chǎng)情況） 。圖圖 電偶極子電偶極子現(xiàn)采用球坐標(biāo)系，設(shè)原點(diǎn)在電偶極子的中心，現(xiàn)采用球坐標(biāo)系，設(shè)原點(diǎn)在電偶極子的中心，z軸與軸與d相重。應(yīng)用疊加原理，相重。應(yīng)用疊加原理，任意點(diǎn)的電位為任意點(diǎn)的電位為 211202104114rrrrqrrq當(dāng)當(dāng)r很大時(shí)，很大時(shí)，r1、r2和和r三者將近乎平行，此三者將近乎平行，此時(shí)時(shí)r2 r1 dcos ，r1r2 r2代入上式，得代入上式，得 2r020r41r4qdepcos30(2cossin)4prr Eeep E 線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度線：曲線上每一

10、點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E E的方向一致，若的方向一致，若 是電力線是電力線的長(zhǎng)度元，的長(zhǎng)度元，E E 矢量將與矢量將與 方向一致，方向一致，l dl d0dlE故電力線微分方程故電力線微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為微分方程的解即為電力線電力線 E E 的方程。的方程。當(dāng)取不同的當(dāng)取不同的 C 值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即C)z ,y,x(等位線等位線( (面面) )方程方程: :2.2.4 2.2.4 電場(chǎng)線與等位線（面

11、）電場(chǎng)線與等位線（面） 電場(chǎng)線與等位線（面）的性質(zhì)：電場(chǎng)線與等位線（面）的性質(zhì)： E線不能相交線不能相交; ; E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷; ; E線愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大線愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大; ; E線與等位線（面）正交；線與等位線（面）正交；圖圖1.2.3 1.2.3 電偶極子的等位線和電力線電偶極子的等位線和電力線圖圖 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng)點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場(chǎng)圖圖 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場(chǎng)例例2-72-7 畫出電偶極子的等位線和電場(chǎng)線畫出電偶極子的等位線和電場(chǎng)線 。)(dr 圖 均勻場(chǎng)中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場(chǎng)圖 均勻場(chǎng)中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場(chǎng)圖

12、 點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場(chǎng)圖 點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面； 導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面； 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度E為零，靜電平衡；為零，靜電平衡； 電荷分布在導(dǎo)體表面，且電荷分布在導(dǎo)體表面，且。0E 任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ） 一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ） 接地導(dǎo)體都不帶電。（接地導(dǎo)體都不帶電。（ ） 圖圖 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體2.3 2.3 導(dǎo)體和電介質(zhì)導(dǎo)體和電介質(zhì)

13、2.3.12.3.1靜電場(chǎng)中導(dǎo)體的性質(zhì)靜電場(chǎng)中導(dǎo)體的性質(zhì) 電介質(zhì)在外電場(chǎng)E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源。式中 為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。pV無(wú)極性分子有極性分子圖 電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P P表示電介質(zhì)的極化程度，即V0VpPlimC/m2電偶極矩體密度2.3.2 靜電場(chǎng)中的電介質(zhì) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中EP0e 電介質(zhì)的極化率,無(wú)量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場(chǎng)的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)

14、的參數(shù)不隨電場(chǎng)的值而變化； 一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：202r0R4cosqdR41ep 極化強(qiáng)度 P 是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：dV)()(41V30rrrrrPzqd ep 式中圖1.2.15 電偶極子產(chǎn)生的電位edVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：uu)u(FFF 圖1.2.16 體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理 令PpnpeP 極化電荷體密度極化電荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr) (

15、) ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr 在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度 。0p 這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷 和體極化電荷 共同作用在真空 中產(chǎn)生的電位。0p) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE 根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和0dSdVVSnePP)()()(VSpfpf0dSdV41rrrrr 有電介質(zhì)存在的場(chǎng)域中，任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度表示為p1、高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（ Displacement）PED0則有 D電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入 ,得Pp)(1fPE0f0)(PE

16、D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。2.4 電介質(zhì)的電場(chǎng)2.4.1 電介質(zhì)中的高斯定律1S1dSD( )2S2dSD( )2321r4qDDD( )qq D 的通量與介質(zhì)無(wú)關(guān)，但不能認(rèn)為D 的分布與介質(zhì)無(wú)關(guān)。 D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的 D 是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。2、 高斯定律的積分形式DdVdVVVDqdSSD散度定理圖 點(diǎn)電荷q分別置于金屬球殼的內(nèi)外圖 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中置入任意一塊介質(zhì)例 求電荷線密度為 的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體的電場(chǎng)。解：電場(chǎng)分布特點(diǎn)： D 線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)； 等 r 處D 值相等；取長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑為 r 的封閉圓柱面為高

17、斯面。,qdSSD由 得LrL2D1rr2eD1r0eDEr2011122SS33S2211SddddSDSDSDSDL圖1.2.20 電荷線密度為 的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電體3. 高斯定律的應(yīng)用計(jì)算技巧： a）分析給定場(chǎng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使 容易積分。SDd 高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對(duì)稱性的場(chǎng)才能得到解析解。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D 線、E 線和P 線的分布。 D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷； P 線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；ED線E

18、線P線圖1.2.17 D、E與 P 三者之間的關(guān)系2.4.2 介電常數(shù)其中相對(duì)介電常數(shù)相對(duì)介電常數(shù)；介電常數(shù)介電常數(shù)，單位（F/m）er1 EEEEEPED0re00e001)( 在各向同性介質(zhì)中例2-9 同軸電纜其長(zhǎng)度L遠(yuǎn)大于截面半徑，已知內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b。其間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，將該電纜的內(nèi)外導(dǎo)體與直流電壓源U0相聯(lián)接。試求：(1)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E；(2)介質(zhì)中Emax位于哪里？其值多大？ 圖 同軸電纜的電場(chǎng)圖 同軸電纜的電場(chǎng)LL2DdSSD 解解 ：（：（1 1）設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體沿軸線方向線電荷密）設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體沿軸線方向線電荷密度分別為度分別為+ + 和和- - 。由應(yīng)用高斯定

19、理，得。由應(yīng)用高斯定理，得即即 eD2所以所以eDE2 (a b) 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?ab2dEdUbal0lnlEabUln20則則得得eEabU0ln (a a，此時(shí)，此時(shí)bh，故，故adah2C00llnln此外，對(duì)于此外，對(duì)于h a的情況，也可以采用高斯定理計(jì)算。設(shè)均勻傳輸線單位長(zhǎng)線的情況，也可以采用高斯定理計(jì)算。設(shè)均勻傳輸線單位長(zhǎng)線電荷密度為電荷密度為 ，則兩導(dǎo)體軸心連線上距帶正電荷導(dǎo)體，則兩導(dǎo)體軸心連線上距帶正電荷導(dǎo)體x處的電場(chǎng)強(qiáng)度為處的電場(chǎng)強(qiáng)度為)(xd2x2E00 x兩導(dǎo)體間的電位差為兩導(dǎo)體間的電位差為adaadadaaad2dxEU000adaxlnln)ln(ln顯然，有上式計(jì)

20、算的電容與電軸法獲得的結(jié)果相同。顯然，有上式計(jì)算的電容與電軸法獲得的結(jié)果相同。 從本例電容表達(dá)式可以看出，電容與導(dǎo)體之間施加的電壓或攜帶的電荷量從本例電容表達(dá)式可以看出，電容與導(dǎo)體之間施加的電壓或攜帶的電荷量無(wú)關(guān)，只與導(dǎo)體的形狀、相互位置和電介質(zhì)有關(guān)，是導(dǎo)體系統(tǒng)自身固有電氣參無(wú)關(guān)，只與導(dǎo)體的形狀、相互位置和電介質(zhì)有關(guān)，是導(dǎo)體系統(tǒng)自身固有電氣參數(shù)。數(shù)。 對(duì)于多導(dǎo)體需要引入部分電容概念。對(duì)于多導(dǎo)體需要引入部分電容概念。靜電獨(dú)立系統(tǒng)靜電獨(dú)立系統(tǒng)：系統(tǒng)的電場(chǎng)分布只與系統(tǒng)內(nèi)各帶電導(dǎo)體的形狀、相互位置和電介質(zhì)的分布有關(guān)，而與系統(tǒng)外的帶電導(dǎo)體無(wú)關(guān)，并且所有電位移通量全部從系統(tǒng)內(nèi)的帶電導(dǎo)體發(fā)出又全部終止于系統(tǒng)

21、內(nèi)的帶電導(dǎo)體。 現(xiàn)考察由(n+1)個(gè)導(dǎo)體組成的靜電獨(dú)立系統(tǒng)。令各導(dǎo)體按0 - n順序編號(hào)，其相應(yīng)的帶電量分別為q0，q1，qk，qn。由定義，知 q0 + q1 + + qk + + qn = 0 選0號(hào)導(dǎo)體為電位參考點(diǎn)，即 0= 0，應(yīng)用疊加原理，可得各個(gè)導(dǎo)體電位與各個(gè)導(dǎo)體上電荷的關(guān)系為 2.6.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)的電荷和電位 部分電容 （n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立方程，即nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對(duì)各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；ii, 自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體i上電荷

22、對(duì)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)；j , i互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體j上的電荷對(duì)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn) ；寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注： 的值可以通過(guò)給定各導(dǎo)體電荷 ,計(jì)算各導(dǎo)體的電位 而得。q 已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù) 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對(duì)導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；ii,自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體 電位對(duì)導(dǎo)體 電荷的貢獻(xiàn)；iiji,互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體j電位對(duì)導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。 通常， 的值可以通過(guò)給定各導(dǎo)體的電位 ，測(cè)量各導(dǎo)體的電荷 而得。q 已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容)()(q2k2k1k1kk)

23、(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUC UCq （矩陣形式）式中：C部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對(duì)各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；knkn2k2k1k1kC,C,C（互有部分電容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分電容）。kknkk2k1k)(部分電容性質(zhì): 所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的 值有關(guān)； 互有部分電容i , jj , iCC ，即為對(duì)稱陣； C (n+1) 個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有 個(gè)部分電容；2)1n(n 部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。靜電獨(dú)立系統(tǒng)中靜電獨(dú)立系統(tǒng)中n1個(gè)導(dǎo)體有個(gè)導(dǎo)體有 個(gè)部分電容個(gè)部分電容2) 1(

24、 nn部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連；有否電力線相連；部分電容可將場(chǎng)的概念與電路結(jié)合起來(lái)部分電容可將場(chǎng)的概念與電路結(jié)合起來(lái)設(shè)在建立帶電系統(tǒng)電場(chǎng)的某一瞬時(shí)，場(chǎng)中某一點(diǎn)的電位是(r)，引入增量電荷q需作功 W = (r) q將轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)能量存貯在電場(chǎng)之中。由于靜電場(chǎng)的能量?jī)H取決于電荷的最終分布狀態(tài)，與電荷怎樣達(dá)到該狀態(tài)的過(guò)程無(wú)關(guān)。因此，可設(shè)想這樣一種充電方式，使任何瞬間所有帶電體的電荷密度都按同一比例增長(zhǎng)。充電開始時(shí)各處電荷密度都為零(相當(dāng)于m = 0)，充電結(jié)束時(shí)各處電荷密度都等于其最終值(相當(dāng)于m=1)。由此可知，在充電過(guò)程中的任何時(shí)刻，電荷

25、密度的增量 = m (r)= (r) m = m (r)= (r) m 2.7 電場(chǎng)能量 2.7.1 帶電體系統(tǒng)中的電場(chǎng)能量 對(duì)對(duì)m積分，得總電場(chǎng)能量為積分，得總電場(chǎng)能量為 S10V10edSm,rrmdVm,rrmW由于所有電荷按同一比例由于所有電荷按同一比例m增長(zhǎng)，故電位增長(zhǎng)，故電位 (m，r)= m (r)。上式得上式得SVdS21dV21W e如果系統(tǒng)中無(wú)空間電荷，只有帶電導(dǎo)體的情況，其電場(chǎng)能量為如果系統(tǒng)中無(wú)空間電荷，只有帶電導(dǎo)體的情況，其電場(chǎng)能量為SdS21W e式中的積分面積式中的積分面積S應(yīng)為全部導(dǎo)體表面。由于每一導(dǎo)體表面都是應(yīng)為全部導(dǎo)體表面。由于每一導(dǎo)體表面都是等位面，而對(duì)于第

26、等位面，而對(duì)于第k個(gè)導(dǎo)體，可有個(gè)導(dǎo)體，可有 kkSkSq21dS21dS21kk (k = 1，n) 從而，得從而，得nkkkqW1e2121d21d21eSSSSWS1S2S圖 電場(chǎng)能量enen q2enen q1V 不失討論的一般性，現(xiàn)以兩個(gè)帶電導(dǎo)體在無(wú)界空間建立的靜電場(chǎng)為例。設(shè)兩導(dǎo)體攜帶的電量分別為q1和q2，其表面積對(duì)應(yīng)為s1和s2，如圖所示。該系統(tǒng)的總電場(chǎng)能量為由于導(dǎo)體表面的電荷面密度為 = D en = - D en 式中en 為導(dǎo)體表面的外法線方向的單位矢量；en為導(dǎo)體表面的內(nèi)法線方向上的單位矢量。代入前式，得 21d21d21eSSWSDSD2.7.2 電場(chǎng)能量密度 在無(wú)限遠(yuǎn)處

27、如圖示作一個(gè)無(wú)限大的球面在無(wú)限遠(yuǎn)處如圖示作一個(gè)無(wú)限大的球面S ，則由于電荷分布在有，則由于電荷分布在有限區(qū)域，無(wú)限遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)按限區(qū)域，無(wú)限遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)按R-2及電位按及電位按R-1趨于零。因此，該系趨于零。因此，該系統(tǒng)總的電場(chǎng)能量為統(tǒng)總的電場(chǎng)能量為SSSSedSD21dSD21dSD21dSD21W21應(yīng)用高斯定理，上式改寫為應(yīng)用高斯定理，上式改寫為VVV21V21WdDDdDe考慮到場(chǎng)域中沒(méi)有自由電荷分布，故考慮到場(chǎng)域中沒(méi)有自由電荷分布，故D = 0，又由，又由E = - ，代入上式，最終得代入上式，最終得VVWd21eED由此可見(jiàn)，電場(chǎng)能量密度為由此可見(jiàn)，電場(chǎng)能量密度為 we = (D E)

28、/2 對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，D = E，代入上式，得，代入上式，得we = E2/2 ()DDD 例例2-21：試計(jì)算半徑為：試計(jì)算半徑為a，帶電量為，帶電量為q的孤立導(dǎo)體球所具有的電場(chǎng)能量。的孤立導(dǎo)體球所具有的電場(chǎng)能量。 解解：采用如下三種方法進(jìn)行計(jì)算。：采用如下三種方法進(jìn)行計(jì)算。aqaqW842122e（1）孤立導(dǎo)體球的電位為）孤立導(dǎo)體球的電位為 = q/4 a，于是得，于是得a8qrdr8qdrr4r4q21dVD21dV21W2a22a222V2VEDe（2）應(yīng)用電場(chǎng)能量密度公式，積分得）應(yīng)用電場(chǎng)能量密度公式，積分得CqCUqUqqWkkk2212121212

29、22121e（3）由電容計(jì)算公式，電場(chǎng)能量）由電容計(jì)算公式，電場(chǎng)能量而該系統(tǒng)電容為而該系統(tǒng)電容為C=4 a，代入上式得，代入上式得aqCqW8222e可見(jiàn)上述三種方法可見(jiàn)上述三種方法所得結(jié)果相同。所得結(jié)果相同。第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)II：恒定電流的電場(chǎng)3.1 恒定電場(chǎng)的基本方程與場(chǎng)的特性3.1.1 恒定電場(chǎng)的基本方程 由電荷守恒定律，可得恒定電流連續(xù)性原理0SdSJc導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)一樣，滿足環(huán)路定理：0ldlE0cJ0EEJc電媒質(zhì)的構(gòu)成方程為(歐姆定律的微分形式)，-電導(dǎo)率 引入標(biāo)量電位函數(shù)(r r) ，即 E02結(jié)論： 恒定電場(chǎng)是無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)。例3-1 設(shè)一扇形導(dǎo)電片，如圖所示，給定

30、兩端面電位差為U0。試求導(dǎo)電片內(nèi)電流場(chǎng)分布及其兩端面間的電阻。 解解：采用圓柱坐標(biāo)系，設(shè)待求場(chǎng)量為電：采用圓柱坐標(biāo)系，設(shè)待求場(chǎng)量為電位位 ，其邊值問(wèn)題為：，其邊值問(wèn)題為：電流密度分布為電流密度分布為 對(duì)于圖示厚度為對(duì)于圖示厚度為t的導(dǎo)電的導(dǎo)電片兩端面的電阻為片兩端面的電阻為 圖 扇形導(dǎo)電片中的恒定電流場(chǎng)0022220,01,UDz01UC 20C 0U積分，得積分，得 =C1 + C2由邊界條件，得由邊界條件，得 ， 故導(dǎo)電片內(nèi)的電位故導(dǎo)電片內(nèi)的電位 eeEJ00UUabttdUUdUIURba00S00lneeSJdt時(shí)間內(nèi)有dq電荷自元電流管的左端面移至右端面，則電場(chǎng)力作功為dW = dU

31、dq 3.1.2 電功率EJdVdddUdIdtdWdP)(SJlE2EEJdVdPp電功率體密度電功率體密度 p E J(1) (1) 兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的邊界條件 0SdSJcnnJJ210ldlEttEE21對(duì)線性各向同性媒質(zhì)， 111EJ222EJ2121tgtg3.1.3 不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件 (2) (2) 良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體分界面上的邊界條件良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體分界面上的邊界條件 21o901o02例如例如，鋼的電導(dǎo)率 1 = 5106 S/m，周圍土壤的電導(dǎo)率2 = 10-2 S/m，1 = 89，可知，2 8。良導(dǎo)體表面可近似看作為等位

32、面PJ2n21J121(3) (3) 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件 02nJ01nJ01nE1121/tttJEE導(dǎo)體的電導(dǎo)率 1 很大02nE很小。E2nJ2tE2t(4) (4) 兩種有損電介質(zhì)分界面上的兩種有損電介質(zhì)分界面上的邊界條件邊界條件 PJ2J12, 21, 1nnJJ21nnEE2211nnDD12nnEE1122nJ2212112圖 輸電線電場(chǎng)示意圖+UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc1123.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬3.2.1 比擬方法0 DEDSqSD d02)(0靜電場(chǎng)0E恒定電場(chǎng)（電源外）EJSISJ d0 J0E02恒定電場(chǎng)JIE靜電場(chǎng)EDq 兩種場(chǎng)各物理量滿足相同的定解問(wèn)題，則解也相同。那么，通過(guò)對(duì)一個(gè)場(chǎng)的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對(duì)應(yīng)量關(guān)系便可得到另一個(gè)場(chǎng)的解。U0lSlSddddUIGlESElESJclSlSddddUqClESElESDCG 接地電阻接地電阻 接地器和接地接地器和接地導(dǎo)線的電阻導(dǎo)線的電阻 接地器與大地接地器與大地的接觸電阻的接觸電阻 兩接地器之間兩接地器之間土壤的電阻土壤的電阻 當(dāng)滿足比擬條件時(shí)，用比擬法由電容計(jì)算電導(dǎo)。aRG41 跨步電壓跨步電壓 半球形接地器場(chǎng)強(qiáng)： rrIeE22場(chǎng)中任意點(diǎn)P的電位為 ：