高中三角函數(shù)教學設計及習題及答案

1、. 薆螀節(jié)薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肅聿薀螞袆莈蕿螄肂芄薈袇裊膀蚇薆肀肆蚆蠆袃蒞蚅螁肈莁蚄羃袁芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇羋薇羈芃莈蝕膃腿莇螂羆肅莆襖蝿蒄蒞蚄羄莀莄螆袇芆莃衿肅膂莂薈裊肈莂蝕肁莆蒁螃襖節(jié)蒀裊聿膈葿薅袂肄蒈螇肇肀蕆衿羀荿蒆蕿膆芅蒆蟻罿膁蒅螄膄肇薄袆羇莆薃薆螀節(jié)薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肅聿薀螞袆莈蕿螄肂芄薈袇裊膀蚇薆肀肆蚆蠆袃蒞蚅螁肈莁蚄羃袁芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇羋薇羈芃莈蝕膃腿莇螂羆肅莆襖蝿蒄蒞蚄羄莀莄螆袇芆莃衿肅膂莂薈裊肈莂蝕肁莆蒁螃襖節(jié)蒀裊聿膈葿薅袂肄蒈螇肇肀蕆衿羀荿蒆蕿膆芅蒆蟻罿膁蒅螄膄肇薄袆羇莆薃薆螀節(jié)薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肅聿薀螞袆莈蕿螄肂芄薈袇裊膀蚇薆肀肆蚆蠆袃蒞蚅螁肈莁蚄羃袁

2、芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇羋薇羈芃莈蝕膃腿莇螂羆肅莆襖蝿蒄蒞蚄羄莀莄螆袇芆莃衿肅膂莂薈裊肈莂蝕肁莆蒁螃襖節(jié)蒀裊聿膈葿薅袂肄蒈螇肇肀蕆衿羀荿蒆蕿膆芅蒆蟻罿膁蒅螄膄肇薄袆羇莆薃薆螀節(jié)薂蚈羅芇薁袀螈膃薀薀肅聿薀螞袆莈蕿螄肂芄薈袇裊膀蚇薆肀肆蚆蠆袃蒞蚅螁肈莁蚄羃袁芇蚄蚃膇膃芀螅罿聿艿袈膅莇羋薇羈芃莈蝕膃腿莇螂 第三章 三角函數(shù)章節(jié)結構圖三角函數(shù)是高中數(shù)學的一個重要知識板塊，也是高考的熱點和重點內容在考察中，以容易題和中檔題為主在復習本部分內容時，應該充分利用數(shù)形結合的思想，把圖象和性質有機結合利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質，同時也要學會利用函數(shù)的性質來描繪函數(shù)的圖象而在三角變換中，角的變換，三角函數(shù)名

3、稱的改變，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)表達形式的變換，頻繁出現(xiàn)因此，在訓練中，要清楚各種公式，以及它們之間的聯(lián)系，注意總結規(guī)律，并在應用中注意分析比較，提高能力31 三角函數(shù)的概念(一)復習指導1了解任意角的概念，了解弧度制概念，能進行弧度與角度的互化2理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，掌握任意角的三角函數(shù)在各個象限的符號3會應用三角函數(shù)線解決與三角函數(shù)有關的簡單問題(二)解題方法指導例1寫出與60終邊相同的角的集合S，并把S中滿足2p 4p 的元素寫出來例2已知角終邊上有一點P(x，1)，且，求sin，tan例3求函數(shù)的定義域例4已知(0，p )，比較的大小(三)體會與感受1重點

4、知識_2問題與困惑_3經驗問題梳理_32 同角三角函數(shù)關系及誘導公式(一)復習指導1理解同角三角函數(shù)的基本關系式：2能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出的正弦、余弦、正切的誘導公式3能綜合運用誘導公式和同角關系式對代數(shù)式進行化簡(二)解題方法指導例1已知tanx=2，求sinx，cosx的值例2求的值例3若，求sinxcosx的值例4求證：tan2xsin2x=tan2xsin2x(三)體會與感受1重點知識_2問題與困惑_3經驗問題梳理_33 三角函數(shù)的圖象與性質(一)(一)復習指導1能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性2理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0，2p

5、的性質(如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等)3理解正切函數(shù)在區(qū)間的單調性(二)解題方法指導函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象定義域值域周期奇偶性單調性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間對稱性對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心例1用五點法畫出函數(shù)草圖，并求出函數(shù)的周期，單調區(qū)間，對稱軸，對稱中心例2求函數(shù)在區(qū)間0，2p 上的值域例3求下列函數(shù)的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)例4求函數(shù)的值域(三)體會與感受1重點知識_2問題與困惑_3經驗問題梳理_34 三角函數(shù)的圖象與性質(二)(一)復習指導1了解函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義

6、；能畫出y=Asin(x+)的圖象，了解參數(shù)A，對函數(shù)圖象變化的影響2了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題(二)解題方法指導例1在同一個坐標系中，用五點法畫出下列函數(shù)的草圖(1)(2)例2已知函數(shù)，該函數(shù)的圖象可以由y=sinx的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到例3若函數(shù)y=Asin(x+)(0，0)的圖象的一個最高點為，它到其相鄰的最低點之間的圖象與x軸交于(6，0)，求這個函數(shù)的一個解析式例4已知函數(shù)f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期； ()若求f(x)的最大值、最小值(三)體會與感受1重點知識_2問題與困惑

7、_3經驗問題梳理_35 和、差、倍角的三角函數(shù)(一)(一)復習指導1掌握兩角差的余弦公式，能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式2能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系3能用上述公式解決一些化簡和求值問題(二)解題方法指導例1若，則的值為 ( )(A)(B)(C)(D)例2_例3已知求的值例4已知f(cosx)=cos2x.()求的值；()求f(sinx)(三)體會與感受1重點知識_2問題與困惑_3經驗問題梳理_36 和、差、倍角的三角函數(shù)(二)(一)復習指導1能利用三角函數(shù)公式對一些代數(shù)式進行化簡和求值2掌握As

8、inx+Bcosx型代數(shù)式變形方法(二)解題方法指導例1已知，則( )(A)(B)(C)(D)例2的最小值為_例3已知：，且，且，求cosy的值例4已知，求sin(三)體會與感受1重點知識_2問題與困惑_3經驗問題梳理_37 正弦定理和余弦定理(一)復習指導1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題(二)解題方法指導例1在ABC中，abc357，則其最大角為_例2在ABC中，有acosA=bcosB，判斷ABC的形狀例3在ABC中，A=60，面積為，周長為20，求三條邊的長例4在一條河的對岸有兩個目標

9、物A，B，但不能到達在岸邊選取相距里的C，D兩點，并測得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，且A，B，C，D在同一個平面內，求A，B之間的距離(三)體會與感受1重點知識_2問題與困惑_3經驗問題梳理_#:15第 15 頁 共 15 頁例 題 解 析第三章 三角函數(shù)31 三角函數(shù)的概念例1分析：先把角轉化成弧度制，然后寫出與其終邊相同角的集合解：因為，所以S中滿足24的元素有例2分析：已知一個角的一個函數(shù)值，可以利用三角函數(shù)定義求其它三角函數(shù)值，也可以利用同角關系直接求得解：因為P(x，1)在角的終邊上，所以，解得又因為x0，所以所以小結：知道一個角某個三角函數(shù)值，求其它的函

10、數(shù)值，是三角函數(shù)求值問題中典型問題之一例3解：因為，所以當時，或利用三角形函數(shù)線得到，例4分析：比較不同三角函數(shù)值的大小，可以充分利用三角函數(shù)線解：因為(0，)，所以，如圖312，在單位圓中，作出的正弦線MP和正切線AT，因為SOAPSOAT，所以即MPAT，所以小結：例3和例4都是三角形函數(shù)線的應用，其中例4還可以利用比較法來解決，實際上有時，sinxxtanx32 同角三角函數(shù)關系及誘導公式例1分析：知道一個角某個三角函數(shù)值，求其它函數(shù)值，方程思想是通法解：因為，又sin2xcos2x=1，聯(lián)立得解這個方程組得小結：這道題和3.1.1中的例2屬于同一類型問題例2分析：這種代數(shù)式化簡，一般要

11、用到誘導公式和同角函數(shù)關系，要注意公式的正確使用，特別是函數(shù)名稱和符號的變化方法解：原式例3分析：這種代數(shù)式求值，可以利用方程組的思想，求出每個函數(shù)值，也可以利用sinxcosx與sinxcosx的關系，整體求值解：法一：因為所以sinxcosx=2(sinxcosx)，得到sinx=3cosx，又sin2xcos2x=1，聯(lián)立方程組，解得所以法二：因為所以sinxcosx=2(sinxcosx)，所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2，所以12sinxcosx=48sinxcosx，所以有小結：這兩種方法中，第一種是通法，第二種利用了整體求值例4分析：這種證明問題，可以從左邊開

12、始變形，向右邊看齊，也可以反過來，還有的時候是兩邊同時變形在變形的時候，要注意公式的正確使用，同時要時刻注意目標是什么證明：法一：右邊tan2xsin2x=tan2x(tan2xcos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2xsin2x，問題得證法二：左邊=tan2xsin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2xcos2x=tan2xsin2x，問題得證33 三角函數(shù)的圖象與性質(一)例1解：02xy01010周期為T=2，單調增區(qū)間為單調減區(qū)間為對稱軸為對稱中心為小結：畫圖的時候，要注意五個點的選取例2分析：在求這樣函數(shù)值域的時候，最好是把括號中與x有關的代數(shù)式的取值范圍求

13、出來，然后利用三角函數(shù)圖象求其值域解：因為0x2，所以由正弦函數(shù)的圖象，得到所以y1，2例3解：(1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3，令t=cosx，則利用二次函數(shù)的圖象得到(2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx)，令t=sinxcosx，則則，利用二次函數(shù)的圖象得到小結：利用三角函數(shù)關系把代數(shù)式轉化成一個二次函數(shù)形式，利用圖象，求其值域，要注意轉化后自變量的取值范圍例4解：設A(3，1)，P(cosx，sinx)，把y看成定點A與動點P所在直線的斜率，因為動點P(cosx，sinx)在單位圓上，所以

14、只要求經過點A(3，1)與單位圓相切的兩條直線的斜率，兩條切線的斜率分別為0和所以小結：這是數(shù)形結合解題的一個典型問題34 三角函數(shù)的圖象與性質(二)例1解：(1)x02y0101002xy01010(2)2x02x0y0101002xy01010例2分析：這種問題的難點在于確定變換的先后順序解：法一：將函數(shù)y=sinx依次作如下變換：(1)把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象；(2)把函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象法二：將函數(shù)y=sinx依次作如下變換：(1)把函數(shù)y=sinx的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)y=

15、sin2x的圖象(2)把函數(shù)y=sin2x向左平移個單位，得到函數(shù)，即的圖象小結：在進行圖象變換的時候，應注意平移變換和壓縮變換的順序，順序不一樣，則平移的單位不一樣如y=sin2x的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)，即的圖象例3分析：這樣的問題，首先要清楚幾個參數(shù)A，對函數(shù)圖象的影響，可以畫出一個草圖來分析問題解：由最高點為，得到，最高點和最低點間隔是半個周期，從而與x軸交點的間隔是個周期，這樣求得，T=16，所以又由，得到可以取例4分析：這個函數(shù)的解析式比較復雜，我們先對其進行化簡，這包括減少函數(shù)名稱，降低次數(shù)，然后再求相應的問題解：()因為f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(c

16、os2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x所以最小正周期為()若，則，所以當x=0時，f(x)取最大值為當時，f(x)取最小值為35 和、差、倍角的三角函數(shù)(一)例1解：，所以選C小結：本題還可以tanx把的值求出來，然后使用兩角和的正切公式求值例2解：例3解：因為，所以小結：在求值問題中，應該先對代數(shù)式進行化簡，在化簡的過程中分析如何利用條件推導出結果例4解：()因為而且，所以()因為36 和、差、倍角的三角函數(shù)(二)例1解：因為，所以又，代入求得結果為所以選B例2解：因為，所以其最小值為2例3分析：在知值求值問題中，要注意角之間的關系解：因為則因為，所以所以所以cosy=cos

17、(xy)x=cos(xy)cosxsin(xy)sinx例4解：因為所以又，所以，或若,則由，得到=，矛盾，所以所以37 正弦定理和余弦定理例1解：因為三條邊中c邊最大，則角C最大，根據(jù)余弦定理，所以例2解：由正弦定理，a=2RsinA，b2RsinB，代入有2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=2B即A=B或，所以ABC為等腰三角形或直角三角形例3解：因為，所以bc=40，又abc=20，a2=b2c22bccosA，解得三條邊為5，7，8例4分析：在很多實際測量問題中，都離不開解三角形，根據(jù)相關條件畫一張比較清晰的直觀圖，可以幫我們找到

18、解題的思路要求AB，可以把AB放到一個三角形中，看看這個三角形中還有哪些條件，然后可以根據(jù)正余弦定理求值解：中ACD中，ACD=120，ADC=30所以DAC=30，所以AC=CD=2，在BCD中，BCD=45，CDB75，所以CBD=60，由正弦定理所以在ABC中，BCA=75，根據(jù)余弦定理，AB2=AC2BC22ACBCcos75，求得AB2=20， 肅膂莂羈裊蒀蒂蝕肁莆蒁螃襖節(jié)蒀裊聿羋葿蚅袂膄蒈螇膇蒃蕆衿羀荿蒆羂膆芅蒆蟻罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒞薃薆膂莁薂螈羅芇薁袀芁膃薀羃肅蒂薀螞袆莈蕿螄肂芄蚈袇裊膀蚇薆肀肆蚆蠆袃蒅蚅袁肈莁蚄羃羈芇蚄蚃膇膃蚃螅罿蒁螞袈膅莇螁羀羈芃螀蝕膃腿莇螂羆肅莆羄芁蒄蒞蚄肄莀莄螆芀芆莃袈肅膂莂羈裊蒀蒂蝕肁莆蒁螃襖節(jié)蒀裊聿羋葿蚅袂膄蒈螇膇蒃蕆衿羀荿蒆羂膆芅蒆