第3章第8節(jié)曲率

1、第七節(jié)MMM 平面曲線的曲率 第三章第三章 一、一、 弧微分弧微分( )yf x ( )sAMs x sx MMMM MMx MMMM 22()()xyx MMMM 21()yx 0( )limxss xx 21()y x AB( )yf x abxoyxMxxMy 0lim1xMMMM 22ddsxyt ( )s x 21()y 2d1() dsyx 22d(d )(d )sxyxxdxdxoyxMydTds MTdcos;dxs dsindys ( )( )xx tyy t 二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式,s , s K MMss dds s K 0lims RsR1sRMMs

2、K 0lims 1sR ,1時當 ytany )22(設arctan y 得得d 2d1yxy 2d1dsyx sKdd322(1)yKy Ky ( )yf x dds (arctan) dyx y 322(1)y )()(tyytxx322(1)yKy ( ),xy 322(1)xKx 3222()x yx yKxy 316yxRl 2(0, 0),( ,)6lOB lR例例2. 2. 我國鐵路常用立方拋物線我國鐵路常用立方拋物線316yxRl 作緩和曲線作緩和曲線, ,且且l R R. . 處的曲率處的曲率. .2(0, 0),( ,)6lOB lR其中其中R是圓弧彎道的半徑是圓弧彎道的半

3、徑, l 是緩和曲線的長度是緩和曲線的長度, , 求此緩和曲線在其兩個端點求此緩和曲線在其兩個端點解解: :,0時當lxRl20 xlRy1 yK xlR1顯然顯然;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 3. 求橢圓求橢圓cossinxatybt (02 )t 在何處在何處曲率曲率最大最大? ?解解: :故曲率為故曲率為 ab322222(sincos)atbt sin ;xat cos ;ybt cosxat sinybt 3222()x yx yKxy K 最大最大2222( )sincosf tatbt最小最小機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2(

4、)2sin cos2 cos sinftattbtt 22()sin2abt求駐點求駐點: : 的導數(shù)數(shù)表示對參tx ( )0,ft 令令,0t得,2,232,設設tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a從而從而 K 取最大值取最大值 . .這說明橢圓在點這說明橢圓在點0,ba時則2,0t(,0)a 處曲率處曲率機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算駐點處的函數(shù)值計算駐點處的函數(shù)值: :yxbaba( ),f t 取取最最小小值值最大最大. .三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑TyxoDR),(yxMC設設M 為曲線為曲線C 上任一點上任一點 , , 在

5、點在點在曲線在曲線KRDM1把以把以 D 為中心為中心, , 曲率圓曲率圓 (密切圓密切圓 ) , R 叫做叫做曲率半徑曲率半徑, ,D 叫做叫做曲率中心曲率中心. .在點在點M 處曲率圓與曲線有下列密切關系處曲率圓與曲線有下列密切關系: :(1) (1) 有公切線有公切線; ;(2) (2) 凹向一致凹向一致; ;(3) (3) 曲率相同曲率相同 . .M 處作曲線的處作曲線的切線切線和和法法線線, ,的的凹凹向一側(cè)法線上取點向一側(cè)法線上取點 D 使使機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 R R 為半徑的為半徑的圓圓 叫做曲線在點叫做曲線在點 M 處的處的設曲線方程為設曲線方程為, )(xfy

6、 且且,0 y求曲線上點求曲線上點M 處的處的曲率半徑及曲率中心曲率半徑及曲率中心),(D設點設點M 處的曲率圓方程為處的曲率圓方程為222)()(R故曲率半徑公式為故曲率半徑公式為KR1 23)1 (2yy 滿足方程組滿足方程組,222)()(Ryx),(在曲率圓上yxM)(MTDM yyx的坐標公式的坐標公式 . .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式y(tǒng)yyx )1 (2yyy 21(注意y與y 異號 )當點 M (x , y) 沿曲線 )(xfy 移動時,的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線漸屈線 ,相應的曲率中心Cyxo),(yxM),

7、(DRT曲率中心公式可看成漸曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線漸伸線 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點擊圖中任意點動畫開始或暫停例例4. 4. 設一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓設一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, , 現(xiàn)要用砂輪磨現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面削其內(nèi)表面 , , 問選擇多大的砂輪比較合適問選擇多大的砂輪比較合適? ?解解: : 設橢圓方程為設橢圓方程為tbytaxsincos),20(abx由例由例3 3可知可知, , 橢圓橢圓在在)0,( aoyx處曲率最大處曲率最大 , ,即曲率半徑最小即曲率半徑最小, , 且為且為 R23)cossin(2222tbtab

8、a0tab2顯然顯然, , 砂輪半徑不超過砂輪半徑不超過ab2時時, , 才不會產(chǎn)生過量磨損才不會產(chǎn)生過量磨損 , ,或有的地方磨不到的問題或有的地方磨不到的問題. .ab例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ( 仍為擺線仍為擺線 ) )sin( a)cos1 ( a例例5. 5. 求擺線求擺線)cos1 ()sin(tayttax的漸屈線方程的漸屈線方程 . . 解解: :xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式代入曲率中心公式 , ,)sin(tta) 1(cos ta得得,t令aa2擺線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yoxMo擺線擺線半徑為半

9、徑為 a 的圓周沿直線無滑動地滾動時的圓周沿直線無滑動地滾動時 , ,點擊圖中任意點動畫開始或暫停點擊圖中任意點動畫開始或暫停Moyxta其上定點其上定點 M M 的軌跡即為擺線的軌跡即為擺線 . .)sin(ttax)cos1 (tay參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線擺線的漸屈線點擊圖中任意點動畫開始或暫停內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 弧長微分弧長微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2. 2. 曲率公式曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 3. 曲率圓曲率圓曲率半徑曲率半徑KR1yy 23)1 (2曲率中心曲率中心yyyx )1 (2yyy 21思考與練習思考與練習1. 1. 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系? ?答答: : 有公切線有公切線 ; ; 凹向一致凹向一致 ; ; 曲率相同曲率相同. .2. 2. 求雙曲線求雙曲線1yx的曲