第二型曲線曲面積分的計(jì)算方法

1、第二型曲線曲面積分的計(jì)算方法PB07210153劉羽第二型曲線曲面積分與第一型曲線曲面積分相比有明顯不同的幾何意義和物理意義，第一型曲線曲面積分分別可以看成是定積分與二重積分的更一般情況，其意義較易理解， 計(jì)算也相對(duì)比較簡(jiǎn)單。 而第二型曲線曲面積分又稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的積分，具有第一型不具有的方向性，計(jì)算較為復(fù)雜，物理意義十分明顯，分別是變力沿曲線做功和向量場(chǎng)過(guò)曲面的通量， 這在物理學(xué)上有重要的應(yīng)用， 與格林定理，斯托克斯定理，高斯定理緊密相關(guān)，是微積分中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以下簡(jiǎn)單介紹第二型曲線曲面積分的常用計(jì)算方法。1第二型曲線積分計(jì)算方法向量場(chǎng) FPiQ jRk ，是曲線 L 上指向指定方向的單位切向

2、量， 則稱(chēng)形式積分PdxQdyRdzF dl 為第二型曲線積分， 右端是 F在 LLL上第一型曲線積分。 這里要理解的方向性， dx i dl 是有向曲線微元dl 在Ox 軸方向投影， dx 可正可負(fù)（與定積分不同），這正是第二型曲線積分具有方向性的原因。計(jì)算第二型曲線積分的方法主要有定義法，參數(shù)法，利用性質(zhì)以及利用Green公式和 Stokes公式。（1）定義法當(dāng)已知或易于表達(dá)時(shí)，可考慮用定義法，一般用得較少。（2）參數(shù)法參數(shù)法是計(jì)算第二型曲線積分最常用的方法，將其轉(zhuǎn)化為定積分，應(yīng)用時(shí)要特別注意上下限的確定（根據(jù)所給的方向而不是大?。?。設(shè)有向曲線 L 的參數(shù)方程為 x=x(t),y=y(t

3、),z=z(t), 其起點(diǎn)對(duì)應(yīng) t=a，終點(diǎn)對(duì)應(yīng) t=b，則P d xQ d yR d zLb P ( x (t ) ,y (t ) z, t( )x) t' ( )Q x ( t ( y) ,t ( z) t,(y ) )t' (P ) x t ( y( t) , z tztd ta計(jì)算時(shí)只要將所有量 （包括微分量） 用參數(shù)變量表示出來(lái)即可， 不需記憶此式。例 1求曲線積分ydx zdy xdz ， 其 中 L是 xy 2 與Lx2y2z22(xy) 的交線，從原點(diǎn)看去是逆時(shí)針?lè)较?。解：在曲線L 滿足的方程組中消去y 并化簡(jiǎn)得 2(x1)2z22 ，可知L 在Ozx平面上的投

4、影曲線是橢圓2( x1)2z22 ，注意到坐標(biāo)原點(diǎn)在平面xy2 的x 的一側(cè)，所以從 x 軸正方向看曲線是順時(shí)針?lè)较?。設(shè) z2 cost, x1sin t, y2x1sin t,0t2，且其方向是參數(shù)減少方向，從而02t c o s t( c o s ) t ( 1 s i nt ) d( t 2 s i n ) Ly d x z d y x d z ( 1 s ti n ) tc o s222dt2 20（ 3）利用第二型曲線積分的性質(zhì)，如用分段法，分項(xiàng)法，方向性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。（ 4）利用 Green 公式和 Stokes公式。Green公式：LStokesPLSPdxQdy( QP ) dx

5、dyDxy公式：( dRxQ )Q( Pdyzz要注意兩個(gè)公式都只對(duì)閉合曲線成立， 有時(shí)當(dāng)所求曲線部分十分復(fù)雜而非閉合部分僅為一條直線或簡(jiǎn)單曲線時(shí)，可采用補(bǔ)線法進(jìn)行計(jì)算，這時(shí)要特別注意方向性，最好畫(huà)圖避免錯(cuò)誤。Green公式的一個(gè)應(yīng)用Green公式可以求平面閉合曲線圍成區(qū)域的面積：SdxdyxdyydxLLD2. 第二型曲面積分計(jì)算方法向量場(chǎng) vPiQ jRk ， n 是指向雙側(cè)曲面定側(cè)的單位法向量，稱(chēng)形式積分Pdydz Qdzdx Rdxdyv ndS 為第二型曲面積分， 右端是 v n 在曲面 SSS上的第一型曲面積分。這里要理解dydz i ndS ，其大小為 dS 在 Oyz 平面上投

6、影的大小， 其符號(hào)由 n 與 i 的夾角是銳角或鈍角而定， 是有正負(fù)的，是有向面積元 ndS 在 Oyz 平面上投影。計(jì)算第二型曲面積分的常用方法主要有定義法，參數(shù)法，單一坐標(biāo)平面投影法，分項(xiàng)投影法，以及利用高斯公式求解等。（1）定義法當(dāng)單位法向量容易求得，易于表達(dá)時(shí)可考慮用定義法。（2）參數(shù)法常用球面參數(shù)和柱面參數(shù)：球面參數(shù)：xR sincos, yR sinsin, zR cos，可推廣到橢球面。柱面參數(shù)；xa cos, yasin, zz其他參數(shù)由于計(jì)算復(fù)雜使用不多。（3）單一坐標(biāo)平面投影法（參數(shù)法特例）設(shè)以 Oxy 平面為投影面PdydzQdzdxRdxdy( zx' Pzy

7、'QR) dxdySD以 Oyz,Ozx 平面為投影面情況類(lèi)似。（4）分項(xiàng)投影法分項(xiàng)投影法是利用第二型曲面積分的線性性：PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdySSSS分別將右式三項(xiàng)投影到PdydzPdydz ，Oyz,Ozx,Oxy 平面上，由于PdydzPdydz ，PdydzPdydzSD 1SD1SD1分別投影直接計(jì)算二重積分， 避免投影到一面上求偏導(dǎo)的計(jì)算， 此法非常實(shí)用，看似復(fù)雜，實(shí)則簡(jiǎn)單，非常實(shí)用。計(jì)算中要注意原曲面與投影曲面一一對(duì)應(yīng)，若不一一對(duì)應(yīng)要分片投影，如一個(gè)完整的球投影到Oxy 平面上，上下半球曲面要分別投影計(jì)算。計(jì)算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡(jiǎn)化計(jì)算。2zdxdy ，其中 S 是橢球面 x2y2z2例 2計(jì)算1 ，外側(cè)。y dzdxS44此題可利用參數(shù)法，單一坐標(biāo)平面投影法，分項(xiàng)投影法等多種方法計(jì)算，難度不大，答案是 16。3（5）利用高斯公式Gauss公式： PdydzQdzdx Rdxdy( PQR)dxdydzSVxyx注意公式只對(duì)閉合曲面成立，Gauss公式將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分，被積函數(shù)（向量場(chǎng)散度）容易求得，有時(shí)十分方便求解。如果空間曲面較為復(fù)雜但只差一個(gè)簡(jiǎn)單曲面或平面即可構(gòu)成閉合曲面，則可利用補(bǔ)面法進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)也應(yīng)特別注意方向的判斷。第二