高等數(shù)學(xué)第十章第五節(jié)

1、一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、概念及性質(zhì)三、概念及性質(zhì)四、計(jì)算法四、計(jì)算法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系六、小結(jié)六、小結(jié)第五節(jié)第二類曲面積分第五節(jié)第二類曲面積分一、基本概念Sxz y0SS : z= z(x, y)能夠區(qū)分不同側(cè)面的曲面。能夠區(qū)分不同側(cè)面的曲面。雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面指指曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) 沿沿S內(nèi)任一條內(nèi)任一條閉曲線（不越過(guò)閉曲線（不越過(guò)S的邊界）移動(dòng)一周，點(diǎn)的邊界）移動(dòng)一周，點(diǎn)M處的法方向處的法方向 方向不變。方向不變。 1.有向曲面有向

2、曲面雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面SnM曲面的側(cè)曲面的側(cè)用曲面上法向量的指向來(lái)確定。用曲面上法向量的指向來(lái)確定。n1.有向曲面有向曲面雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面SnM 沿沿S內(nèi)任一條內(nèi)任一條閉曲線（不越過(guò)閉曲線（不越過(guò)S的邊界）移動(dòng)一周，點(diǎn)的邊界）移動(dòng)一周，點(diǎn)M處的法方向處的法方向 方向不變。方向不變。曲面的側(cè)曲面的側(cè) 用曲面上法向量的指向來(lái)確定。用曲面上法向量的指向來(lái)確定。nxz y0 1.有向有向曲面的例子曲面的例子SSS : z= z(x, y)B 2. 2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )( )帶帶ABDCbiusoM ADCABBDCADCABCD 2. 2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )(

3、)帶帶biusoM .ABABCDBDCADC這是個(gè)這是個(gè)單側(cè)曲面單側(cè)曲面兩端粘合兩端粘合2. 2. 單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )( )帶帶biusoM 放大一下放大一下.點(diǎn)點(diǎn)M處的法方向處的法方向 就變成初始位置的反方向。就變成初始位置的反方向。這是個(gè)這是個(gè)單側(cè)曲面單側(cè)曲面2. 2. 單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )( )帶帶biusoM n 沿紅色閉曲線移動(dòng)一周，沿紅色閉曲線移動(dòng)一周，單側(cè)曲面就是無(wú)法區(qū)分不同側(cè)面的曲面。單側(cè)曲面就是無(wú)法區(qū)分不同側(cè)面的曲面。本課只研究雙側(cè)曲面。本課只研究雙側(cè)曲面。n.M.0cos00cos)(,0cos)(cos)(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)xyxyxyd

4、xdySD.0cos00cos)(,0cos)(cos)(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)yzyzyzdydzSD.0cos00cos)(,0cos)(cos)(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)zxzxzxdzdxSD為平面時(shí)：當(dāng)S曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱為決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面有向曲面. .曲面的投影問(wèn)題曲面的投影問(wèn)題: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(,0cos)()(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)xyxyxydxdyD.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 二二第二型曲面積

5、分的引入第二型曲面積分的引入問(wèn)題問(wèn)題 計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量 . v 設(shè)設(shè)流流體體以以常常速速kRjQiP , 流流過(guò)過(guò)有有向向平平面面1. 簡(jiǎn)單情形：簡(jiǎn)單情形： , A的的面面積積是是 的的單單位位法法向向量量 . 方方向向的的流流量量求求單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流向向 nAnvA , 是是 n解：解：所求流量是一個(gè)數(shù)量，所求流量是一個(gè)數(shù)量，其值等于其值等于 底面積為底面積為A、 母線為母線為 ),( 設(shè)設(shè) nv cos Av nvA ,cos,cos,cos n 設(shè)設(shè) )coscoscos( RQPA 所所求求流流量量 xyxzyzRDQDPD , cosxyDA ,的

6、的夾夾角角和和為為兩兩平平面面xyDA . . 的的夾夾角角( (即即其其法法向向量量) , kn. 的的斜斜柱柱體體的的體體積積。vxz y0nixyiiiixziiiiyziiiiDRDQDP1)(,()(,()(,(lim1 1 化整為零化整為零2 2 以常代變以常代變 i3 3 積零為整積零為整4 4 取極限取極限令分法無(wú)限變細(xì)令分法無(wú)限變細(xì) 記記 dddddd yxRxzQzyP.問(wèn)題問(wèn)題 計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量 .kzyxRjzyxQizyxP),(),(),( 面面曲曲流流過(guò)過(guò)有有向向, , )( :x,yzz iiiiiiiiiQPS cos),(cos)

7、,(.也是求兩矢量點(diǎn)積的和式極限問(wèn)題也是求兩矢量點(diǎn)積的和式極限問(wèn)題.iiinvS 稱第二型（對(duì)坐標(biāo)）的曲面積分稱第二型（對(duì)坐標(biāo)）的曲面積分.9. 9. 第二型曲面積分的引入第二型曲面積分的引入ivin),(iii iS v速速變變流流體體以以2.2.一般情形：一般情形： . 的的流流量量上上側(cè)側(cè)求求流流向向cos),(iiiiR 為小平面，為小平面，近似視近似視iS )(,()(,()(,(xyiiiixziiiiyziiiiDRDQDP niiiinvS1 lim1 niiiinvS. d Snv或或 d Sv或或相同。其符號(hào)分別與相反的數(shù)，上投影區(qū)域的面積或其在坐標(biāo)面分別表示小曲面塊用，方

8、向余弦為取定的一側(cè)的法向量的在此點(diǎn)處關(guān)于，上任取一點(diǎn)在每個(gè)示它們直徑的最大值。表并用分割成若干個(gè)小曲面塊將上有定義在，函數(shù)為有界光滑的有向曲面設(shè)定義iiiixyizxiyziiiiiiiinxoyzoxyozSDDDSSSSzyxRcos,cos,cos,)()( ,)(.coscoscos),(,.),(:4 .1021.),(),()( ),(lim),(10dxdyzyxRyxzyxRDRSxyiniiiiiiii的曲面積分存在。記為，上對(duì)在曲面則稱函數(shù)都存在并等于同一值，上如何選取，極限在如何分割，也不論如果不論.),(),()( ),(lim),(10dxdzzyxQzxzyxQDQ

9、Sxziniiiiiiii的曲面積分存在。記為，上對(duì)在曲面則稱函數(shù)都存在并等于同一值，上如何選取，極限在如何分割，也不論如果不論.),(),()( ),(lim),(10dydzzyxPzyzyxPDPSyziniiiiiiii的曲面積分存在。記為，上對(duì)在曲面則稱函數(shù)都存在并等于同一值，上如何選取，極限在如何分割，也不論如果不論xyiniiiiDRdxdyzyxR)( ),(lim),(10即zxiniiiiDQdzdxzyxQ)( ),(lim),(10yziniiiiDPdydzzyxP)( ),(lim),(10dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(實(shí)際中往往

10、需要計(jì)算dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在. .物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( . 的的流流量量單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流 過(guò)曲面),(),( .),(),(),(dxdydzdxdydzSdRQPASdAdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP其中性質(zhì)性質(zhì): 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdz

11、dxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2四、計(jì)算法 設(shè)積分曲面是由設(shè)積分曲面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉閤yD, ,函數(shù)函數(shù)),(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連續(xù). . ),(yxfz xyDxyzoxyS)( nixyiiiiDRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(,)()(, 0cos,iiixyxyizD又取

12、上側(cè)nixyiiiiinixyiiiizRDR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyiD取下側(cè)若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(,),(,),(給出由則如果計(jì)算zyxxdydzzyxPyzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(,),(),(給出由，則如果計(jì)算xzyydzdxzyxQzxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 xy

13、zdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外側(cè)側(cè)在在0, 0 yx的的部部分分. .解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD, , 函函數(shù)數(shù)),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

14、, , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). .xyD),(yxfz xyzodsndSzyxRdxdyzyxRcos),(),(dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz dxdyzzRQPdxdyRzQzPdSRdSQdSPdSRQPRdxdyQdzdxPdydzyxyx1 ,)()(coscoscoscoscoscoscos)coscoscos(1,11cos,cos,cos22yxyxzzzz

15、n例例 2 2 計(jì)計(jì)算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). .解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 六、小結(jié)1.1.對(duì)坐標(biāo)曲面積分的物理意義對(duì)坐標(biāo)曲面積分的物理意義2.2.對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算時(shí)