數(shù)理統(tǒng)計與隨機過程ch8學習教案

1、會計學1數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計(sh l tn j)與隨機過程與隨機過程ch8第一頁，共96頁。8.1 基本概念基本概念 下面下面(xi mian)，我們討論不同于參數(shù)估，我們討論不同于參數(shù)估計問題的另一類統(tǒng)計推斷問題計問題的另一類統(tǒng)計推斷問題根據(jù)樣本根據(jù)樣本提供的信息，檢驗總體的某個假設是否成立提供的信息，檢驗總體的某個假設是否成立的問題。的問題。這類問題這類問題(wnt)稱為假設稱為假設檢驗。檢驗。第1頁/共96頁第二頁，共96頁。假設檢驗假設檢驗參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗總體分布總體分布(fnb)已知情已知情形下，檢驗未知形下，檢驗未知參數(shù)的某個假設參數(shù)的某個假設總體分布總體分布(f

2、nb)未知情形未知情形下的假設檢驗問題下的假設檢驗問題先看一個先看一個(y )例子例子。第2頁/共96頁第三頁，共96頁。例例1：某車間：某車間(chjin)用一臺包裝機包裝葡萄糖用一臺包裝機包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個隨機變量包得的袋裝糖重是一個隨機變量, 它服從正態(tài)分它服從正態(tài)分布。當機器正常時布。當機器正常時, 其均值為其均值為0.5kg, 標準差為標準差為0.015 kg。某日開工后為檢驗包裝機是否正常。某日開工后為檢驗包裝機是否正常, 隨機地抽取它所包裝的糖隨機地抽取它所包裝的糖9袋袋, 稱得凈重量稱得凈重量 (kg)為：為：0.497, 0.506, 0.518, 0.524

3、, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512。問。問: 從樣本看機器是否正常從樣本看機器是否正常? 以以和和分別表示這一天袋裝葡萄糖重量總分別表示這一天袋裝葡萄糖重量總體的均值和標準差。由于長期實踐表明體的均值和標準差。由于長期實踐表明(biomng)標準差標準差比較穩(wěn)定，我們就設比較穩(wěn)定，我們就設 =0.015。 檢驗檢驗“機器是否正常機器是否正常(zhngchng)”等價于檢驗等價于檢驗“X是否服從正態(tài)分布是否服從正態(tài)分布N(, 0.0152)”。第3頁/共96頁第四頁，共96頁。 確定總體：記確定總體：記 X 為該車間包裝機包裝的袋裝為該車間包裝機包裝的袋裝 葡

4、萄糖的重量，則葡萄糖的重量，則 X N(, 0.0152)； 明確任務：通過樣本推斷明確任務：通過樣本推斷(tudun)“是否等于是否等于0.5”； 建立假設：上面的任務是要通過樣本檢驗建立假設：上面的任務是要通過樣本檢驗 “ =0.5”的假設是否成立。的假設是否成立。I. 如何建立如何建立(jinl)檢驗模檢驗模型型第4頁/共96頁第五頁，共96頁。 原假設的對立面是原假設的對立面是 “ “ 0.5” 0.5”，稱為，稱為(chn wi) “(chn wi) “對立假設對立假設” ” 或或 “ “備擇假設備擇假設”,”,記成記成 “ H1: “ H1: 0.5” 0.5”。把原假設和對立假。

5、把原假設和對立假設合寫在一起，就是設合寫在一起，就是: :H0： =0.5； H1： 0.5. 在數(shù)理統(tǒng)計中，把在數(shù)理統(tǒng)計中，把 “ =0.5” 這樣一個這樣一個(y )待檢驗的假設記為待檢驗的假設記為 “原假設原假設” 或或 “零假設零假設”, 記成記成 “ H0： =0.5”。第5頁/共96頁第六頁，共96頁。II. 解決問題的思路解決問題的思路(sl) 因樣本均值是因樣本均值是 的一個很好的估計的一個很好的估計(gj)(gj)。所以，當。所以，當 =0.5 =0.5，即原假設，即原假設 H0 H0 成成立時立時, ,應比較小；應比較?。?如果如果(rgu)(rgu)該值過大該值過大, ,

6、 想必想必 H0 H0 不成立。不成立。于是，我們就用于是，我們就用 的大小來判定的大小來判定 H0 0 是否成立是否成立。 |5 . 0|X |5 . 0|X 合理的做法應該是：找出一個界限合理的做法應該是：找出一個界限 c，. |5 . 0| |5 . 0| 00HcXHcX拒絕原假設拒絕原假設時，時，當當；接受原假設接受原假設時，時，當當?shù)?頁/共96頁第七頁，共96頁。 這里這里(zhl)(zhl)的問題是：如何確定常數(shù)的問題是：如何確定常數(shù) c c 呢？呢？細致細致(xzh)(xzh)地地分析分析: :根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)定理定理 ，有有. 1 0(9/0.015 )9/01

7、5. 0 ,(2），或，或NXNX于是，當原假設于是，當原假設 H0 0: :=0.5 成立時，有成立時，有. ) 1 , 0(9/015. 05 . 0NX 第7頁/共96頁第八頁，共96頁。為確定常數(shù)為確定常數(shù) c c，我們考慮，我們考慮(kol)(kol)一個很小的正一個很小的正數(shù)數(shù)， 如如 = 0.05 = 0.05。當原假設。當原假設 H0:=0.5 H0:=0.5成立成立時，有時，有， 9/015. 0|5 . 0|2/zXP. )9/015. 0(|5. 0| 2/zXP即即. )9/015. 0( 2/z c 取取故故，第8頁/共96頁第九頁，共96頁。于是，我們就得到于是，我

8、們就得到(d do)(d do)如下檢如下檢驗準則驗準則: :. |5 . 0| |5 . 0| 00HcXHcX拒絕原假設拒絕原假設時，時，當當；接受原假設接受原假設時，時，當當. )9/015. 0( 2/zc 其其中中 9/015. 05 . 0 | 5 . 0| 為檢驗統(tǒng)計量；為檢驗統(tǒng)計量；或或稱稱XUX或或，稱稱 )9/015. 0( |5 . 0| 2/zX2/9/015. 0|5 . 0|zXU為為H0 0 的拒絕域的拒絕域。第9頁/共96頁第十頁，共96頁。用以上檢驗準則處理用以上檢驗準則處理(chl)(chl)我們的問我們的問題，題，所以，拒絕所以，拒絕(jju) H0:=0

9、.5(jju) H0:=0.5，認為機器，認為機器異常。異常。 , 511. 0 X得得經(jīng)計算，經(jīng)計算，.0098. 0 1.96 )9/015. 0( )9/015. 0(2/zc.011.0|5.0| cX故，故，第10頁/共96頁第十一頁，共96頁。 因為因為(yn wi)(yn wi)，當，當 H0: =0.5 H0: =0.5 成立成立時，時，所以，當所以，當 很小時，若很小時，若 H0 H0 為真為真( (正確正確), ), 則檢則檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域是一小概率事件驗統(tǒng)計量落入拒絕域是一小概率事件 ( (概率很小概率很小, ,為為 ) )。前面曾提到過：。前面曾提到過：“通常認為小

10、概率事件通常認為小概率事件在一次試驗在一次試驗(shyn)(shyn)中基本上不會發(fā)生中基本上不會發(fā)生”。III. 方法方法(fngf)原理原理 . )9/015. 0(|5. 0| 2/zXP那么，一旦小概率事件發(fā)生，即那么，一旦小概率事件發(fā)生，即: : 發(fā)生發(fā)生, , 就認為就認為 H0 0不正確。不正確。2/)9/015. 0(|5. 0| zX第11頁/共96頁第十二頁，共96頁。IV. IV. 兩類錯誤兩類錯誤(cuw)(cuw)與顯著性水平與顯著性水平 當我們當我們(w men)檢驗一個假設檢驗一個假設 H0 時，有時，有可能犯以下兩類錯誤之一：可能犯以下兩類錯誤之一：H0 正確，

11、但我們正確，但我們(w men)認為其不正確，這就犯了認為其不正確，這就犯了“棄真棄真”的錯的錯誤，即拋棄了正確的假設；誤，即拋棄了正確的假設；H0 不正確，但被不正確，但被卻誤認為正確，這就犯了卻誤認為正確，這就犯了“取偽取偽”的錯誤，即采的錯誤，即采用了偽假設。用了偽假設。 因為檢驗因為檢驗(jinyn)統(tǒng)計量總是隨機的，統(tǒng)計量總是隨機的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯誤。誤。第12頁/共96頁第十三頁，共96頁。 通常通常(tngchng)分別用分別用 和和 記犯第一記犯第一、第二類錯誤的概率，即、第二類錯誤的概率，即. | | 0000為假

12、為假接受接受，為真為真拒絕拒絕HHPHHP 在檢驗問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯誤都總是不可避免(b k b min)的，并且減少犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率;反之亦然。 所以，犯兩類錯誤的概率不能同所以，犯兩類錯誤的概率不能同時時(tngsh)得到控制。得到控制。第13頁/共96頁第十四頁，共96頁。 在統(tǒng)計學中，通常在統(tǒng)計學中，通常(tngchng)(tngchng)控制犯控制犯第一類錯誤的概概率。一般事先選定一個數(shù)第一類錯誤的概概率。一般事先選定一個數(shù) (0(01)0 而現(xiàn)在要處理的對立假設為而現(xiàn)在要處理的對立假設為H1: 0, 稱為稱為(chn wi)右邊對立假設

13、。右邊對立假設。 類似地類似地, H0: =0; H1: 0 中中的對立假設的對立假設H1: 0 . 0znXP由此，可推出由此，可推出. 00znXH的拒絕域為的拒絕域為所以，所以，第24頁/共96頁第二十五頁，共96頁。在在 2 2未知情況未知情況(qngkung)(qngkung)下，當原假下，當原假設設 成立時，成立時，. )( 100n-tnSXH的拒絕域為的拒絕域為所以，所以， . / 10ntnSX. )( 10n tnSXP由此，可推出由此，可推出第25頁/共96頁第二十六頁，共96頁。例例 2：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標是其質(zhì)量指標是繩子所承受的最

14、大拉力，假定該指標服從正繩子所承受的最大拉力，假定該指標服從正態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標均值態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標均值(jn zh)0 =15公斤，采用一種新原材料后公斤，采用一種新原材料后,廠廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說繩子所承受的最大拉力說繩子所承受的最大拉力 比比15公斤增大了公斤增大了。 為檢驗該廠的結(jié)論是否真實，從其新產(chǎn)品為檢驗該廠的結(jié)論是否真實，從其新產(chǎn)品中隨機抽取中隨機抽取50件，測得它們所承受的最大拉件，測得它們所承受的最大拉力的平均值力的平均值(jn zh)為為15.8公斤，樣本標準差公斤，樣本標準差S=0.

15、5公斤。取顯著性水平公斤。取顯著性水平 =0.01。問從這。問從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。第26頁/共96頁第二十七頁，共96頁。解：問題歸結(jié)為檢驗如下解：問題歸結(jié)為檢驗如下(rxi)假設假設 H0: =15; H1: 15 (2未知未知),17. 04049. 2505 . 0)01. 0(505 . 0 )( , 8 . 0158 .15 491 -n0ttnSX. 0.01 0.5 8 .15 15 50 0，此此處處，SXn于是于是(ysh)，. )( 1 -n0tnSX所以，所以，從而，拒絕原假設，即認為新的原材料確實提從而，拒絕原假設，即認為新的

16、原材料確實提高了繩子所能承受高了繩子所能承受(chngshu)(chngshu)的最大拉力。的最大拉力。第27頁/共96頁第二十八頁，共96頁。兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體 N(1, 12) 和和 N(2, 22) 均值均值(jn zh)的比較的比較 在應用上，經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體均值在應用上，經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體均值(jn zh)的比較問題。的比較問題。 例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標分別的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標分別看成正態(tài)總體看成正態(tài)總體 N( N(1, 1, 12) 12) 和和 N( N(2, 2, 22

17、)22)。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標的問題。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標的問題(wnt)(wnt)，就變?yōu)楸容^這兩個正態(tài)總體的均值，就變?yōu)楸容^這兩個正態(tài)總體的均值 1 1和和 2 2的的問題的的問題(wnt)(wnt)。第28頁/共96頁第二十九頁，共96頁。 又如：考察一項新技術對提高產(chǎn)品質(zhì)量是又如：考察一項新技術對提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。將新技術實施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指否有效。將新技術實施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標分別看成正態(tài)總體標分別看成正態(tài)總體 N( N(1, 1, 12)12)和和 N( N(2, 2, 22)22)。這時，所考察的問題就歸結(jié)為檢驗這兩。這時，所考察的問題就歸結(jié)為檢驗這兩個個(lin

18、 )(lin )正態(tài)總體的均值正態(tài)總體的均值 1 1和和 2 2是否是否相等的問題。相等的問題。 設設X1, X2, , Xm與與Y1, Y2, , Yn 分別分別(fnbi)為抽自正態(tài)總體為抽自正態(tài)總體 N(1, 12)和和 N(2, 22)的樣本，記的樣本，記的均值和方差。的均值和方差。分別為分別為和和的均值和方差；的均值和方差；分別為分別為和和 , , 21222121nmYYYSYXXXSX考查如下檢驗考查如下檢驗(jinyn)(jinyn)假設假設: :第29頁/共96頁第三十頁，共96頁。1. H0: 1= 2 ; H1: 1 2 當當 12 12 和和 22 22 已知時，根據(jù)已

19、知時，根據(jù)(gnj)(gnj)定理，有定理，有. 1 , 0 )(222121NnmYX當當 H0: 1 = 2為真時，為真時， ， 1 , 0 2221NnmYX第30頁/共96頁第三十一頁，共96頁。故，拒絕故，拒絕域域為為 . |2/2221znmYXP. | | 22212/2/2221nmzYXznmYX或或第31頁/共96頁第三十二頁，共96頁。 在在12=22 =2，2未知情況未知情況(qngkung)下，根據(jù)定理，有下，根據(jù)定理，有當當 H0: 1= 2 為真時，有為真時，有， )()(21121nmtnmSYX. 2) 1() 1( 2221nmSnSmS其中其中. )(21

20、1nmtnmSYX第32頁/共96頁第三十三頁，共96頁。拒絕拒絕域域為為 . /2)(|211nmtnmSYXP從而從而(cng (cng r) r) . /2)( | /2)(| 112211nmStYXtnmSYXnmnm或或第33頁/共96頁第三十四頁，共96頁。 上面，我們假定上面，我們假定(jidng) 12=22。當然。當然，這是個不得已而強加上去的條件，因為如果，這是個不得已而強加上去的條件，因為如果不加此條件，就無法使用簡單易行的不加此條件，就無法使用簡單易行的 t 檢驗。檢驗。 在實用中，只要我們有理由認為在實用中，只要我們有理由認為12和和22相差不是太大，往往就可使用上

21、述方法。相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比檢驗未被拒絕通常是：如果方差比檢驗未被拒絕(見下節(jié)見下節(jié)), 就就認為認為12和和22相差不是太大。相差不是太大。說明說明(shumng)：第34頁/共96頁第三十五頁，共96頁。例例3：假設有：假設有A和和B兩種藥，欲比較它們在服用兩種藥，欲比較它們在服用2小時后在血液中的含量是否一樣。對藥品小時后在血液中的含量是否一樣。對藥品A，隨，隨機抽取機抽取8個病人服藥，服藥個病人服藥，服藥2小時后，測得小時后，測得8個病個病人血液中藥物濃度人血液中藥物濃度(用適當?shù)膯挝挥眠m當?shù)膯挝?分別為分別為: 1.23, 1.42, 1.41, 1

22、.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.對藥品對藥品B，隨機抽取，隨機抽取6個病人服藥，服藥個病人服藥，服藥2小時后小時后，測得血液中藥的濃度分別為，測得血液中藥的濃度分別為: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.假定這兩組觀測值抽自具有共同方差的兩個正假定這兩組觀測值抽自具有共同方差的兩個正態(tài)總體態(tài)總體(zngt)，在顯著性水，在顯著性水=0.10下，檢驗病下，檢驗病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?第35頁/共96頁第三十六頁，共96頁。故，接受原假設。即, 認為病人血液中這兩種藥濃度(nngd)無顯

23、著差異。解：問題就是從總體解：問題就是從總體 N(1, 2)和和N(2, 2)中分別抽取樣本中分別抽取樣本(yngbn)X1, X2, X8 和和Y1, Y2, Y6，樣本，樣本(yngbn)均值和樣本均值和樣本(yngbn)方差分別為：方差分別為：.33. 02) 1() 1( 6 81 . 0，210 ，661 ，030 ，51122212221nmSnSmSnm.S.Y.S.X，. 0.31 /2)( | 15. 0112nmStYXnm第36頁/共96頁第三十七頁，共96頁。與與1.1.的分析完全類似的分析完全類似(li s)(li s)，可以得，可以得到到: :2. 單邊檢驗單邊檢驗

24、(jinyn) H0: 12; H1: 12 12和和 22已知情況已知情況(qngkung)下，下，H0的拒絕域為的拒絕域為. 2221nmzYX 1 12 2與與 2 22 2未知未知，但二者相等情況下但二者相等情況下，H0 0的的 拒絕拒絕域域為為. )(112nmStYXnm第37頁/共96頁第三十八頁，共96頁。與與1.1.的分析完全類似的分析完全類似(li s)(li s)，可以得，可以得到到: :3. 單邊檢驗單邊檢驗(jinyn) H0: 12; H1: 12 12和和 22已知情況已知情況(qngkung)下，下，H0的拒絕域為的拒絕域為. nmzYX2221 1 12 2與

25、與 2 22 2未知未知，但二者相等情況下但二者相等情況下，H0 0的的 拒絕拒絕域域為為. )(112nmStYXnm第38頁/共96頁第三十九頁，共96頁。 兩個正態(tài)總體與成對數(shù)據(jù)的區(qū)別兩個正態(tài)總體與成對數(shù)據(jù)的區(qū)別兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體假定來自這兩個正態(tài)總體假定來自這兩個正態(tài)總體 的兩組樣本，是相互獨立的。的兩組樣本，是相互獨立的。成對數(shù)據(jù)成對數(shù)據(jù)兩組樣本可以是來自對同一個兩組樣本可以是來自對同一個 總體上的重復測量，它們總體上的重復測量，它們(t men)(t men)是成對出是成對出現(xiàn)的，可現(xiàn)的，可 以是相關的。以是相關的。成對數(shù)據(jù)成對數(shù)據(jù)(shj)的的 t 檢驗檢驗第39頁/共96

26、頁第四十頁，共96頁。例如例如: 為了考察一種為了考察一種(y zhn)降血壓藥的效果，測降血壓藥的效果，測試了試了n 個高血壓病人服藥前、后的血壓分別為個高血壓病人服藥前、后的血壓分別為X1, X2, Xn 和和Y1,Y2,Yn。這里。這里(Xi ,Yi)是第是第 i個病人個病人服藥前和服藥后的血壓，它們是相關的。服藥前和服藥后的血壓，它們是相關的。 處理成對數(shù)據(jù)處理成對數(shù)據(jù)(shj)的思路的思路 因因(Xi , Yi)是在同一人身上觀測到的血壓是在同一人身上觀測到的血壓。所以，。所以，Xi-Yi 就消除了人的體質(zhì)等諸方面的就消除了人的體質(zhì)等諸方面的條件差異，僅剩下降血壓藥的效果。條件差異，

27、僅剩下降血壓藥的效果。 所以，我們可以所以，我們可以(ky)把把 di=Xi-Yi，i=1, 2, n.看成抽自正態(tài)總體看成抽自正態(tài)總體 N( , 2)的樣本。的樣本。其中其中 就是降血壓藥的平均效果。就是降血壓藥的平均效果。第40頁/共96頁第四十一頁，共96頁。 一般一般(ybn)的成對數(shù)據(jù)同樣也是這樣轉(zhuǎn)變的的成對數(shù)據(jù)同樣也是這樣轉(zhuǎn)變的。從前面所學內(nèi)容可以看出：其實就是作。從前面所學內(nèi)容可以看出：其實就是作 H0: = 0; H1: 0； H0: 0; H1: 0 方差方差(fn ch)(fn ch)2 2未知情況下未知情況下的檢驗。的檢驗。niidniiddnSYXdnd1221.)(1

28、1 1 ，記記上述三種上述三種(sn zhn)檢驗的拒絕域分別為：檢驗的拒絕域分別為：).()/( )()/( )2/()/(|111ndndndtnSdtnSdtnSd和和，第41頁/共96頁第四十二頁，共96頁。例例4：為了檢驗：為了檢驗A, B兩種測定鐵礦石含鐵量的方法兩種測定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯是否有明顯(mngxin)差異差異, 現(xiàn)用這兩種方法測定現(xiàn)用這兩種方法測定了取自了取自12個不同鐵礦的礦石標本的含鐵量個不同鐵礦的礦石標本的含鐵量(%)，結(jié)，結(jié)果列于表果列于表 中。取中。取=0.05, 問這兩種測定方法是否問這兩種測定方法是否有顯著差異有顯著差異? 第42頁/共96頁第

29、四十三頁，共96頁。解解: 將方法將方法(fngf)A和方法和方法(fngf)B的測定的測定值分別記為值分別記為X1, X2, X12 和和 Y1, Y2, Y12 .第43頁/共96頁第四十四頁，共96頁。因這因這12個標本來自不同鐵礦，所以個標本來自不同鐵礦，所以, X1, X2, X12 不能看成來自同一個總體不能看成來自同一個總體(zngt)的樣本。同的樣本。同理理, Y1, Y2, Y12也不能看成來自同一個總體也不能看成來自同一個總體(zngt)的樣本。故的樣本。故, 用成對用成對 t 檢驗。記檢驗。記 di=Xi-Yi, i=1, 2, , 12.所以，接受原假設所以，接受原假設

30、(jish)，即認為兩種測定方法無，即認為兩種測定方法無顯著性差異。顯著性差異。.0007. 0 0.0167 2dSd，容易算出容易算出.0168. 0)2/()(0.0167 201. 2)2/( 0.05 12 11ndntn/S|d|tn得得，再由再由第44頁/共96頁第四十五頁，共96頁。 利用利用(lyng)(lyng)樣本方差樣本方差 S 2 S 2是是2 2的一的一個無偏估計，且個無偏估計，且 (n-1)S2/ (n-1)S2/ 2 2n-1 2 2n-1 的的結(jié)論。結(jié)論。單個正態(tài)總體方差單個正態(tài)總體方差(fn ch)的的2 檢驗檢驗 設 X1, X2, , Xn 為來自總體

31、N( , 2) 的樣本， 和 2未知，求下列假設的顯著性水平(shupng)為 的檢驗。思路分析思路分析: 1. H0: 2 = 02；H1: 2 02 8.3 正態(tài)總體方差的檢驗正態(tài)總體方差的檢驗第45頁/共96頁第四十六頁，共96頁。 當原假設當原假設 H0: H0: 2 = 2 = 0202成立時，成立時，S2S2和和0202應應該比較接近，即比值該比較接近，即比值 S 2/ S 2/0202應接近于應接近于1 1。所以。所以(suy),(suy),這個比值過大或過小這個比值過大或過小 時，應拒絕原假設。時，應拒絕原假設。 合理的做法是合理的做法是: : 找兩個合適的界限找兩個合適的界限

32、 c1 c1 和和 c2 c2 , , 當當 c1(n-1)S2/ c1(n-1)S2/02 c2 02 02 同理，當同理，當 H0: H0: 2 = 2 = 0202成立成立(chngl)(chngl)時，有，時，有， . ) 1( 212020nSnH 的拒絕域為的拒絕域為所以，所以，. )() 1(21202nSnP此檢驗法也稱此檢驗法也稱 2 2 檢驗法檢驗法。3*. H0: 2 02；H1: 2 02 (同同2.)第48頁/共96頁第四十九頁，共96頁。例例1：某公司生產(chǎn)的發(fā)動機部件的直徑：某公司生產(chǎn)的發(fā)動機部件的直徑 (單位單位: cm) 服服從正態(tài)分布，并稱其標準差從正態(tài)分布，

33、并稱其標準差 0=0.048 ?，F(xiàn)隨機抽取?，F(xiàn)隨機抽取5個部件，測得它們的直徑為個部件，測得它們的直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.取取=0.05，問，問:(1). 能否能否(nn fu)認為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機部件的直認為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機部件的直徑徑 的標準差確實為的標準差確實為= 0?(2). 能否能否(nn fu)認為認為 0?解解: (1). 的問題的問題(wnt)就是檢驗就是檢驗 H0: 2 = 02; H1: 2 02.其中，其中，n=5， =0.05，0=0.048.第49頁/共96頁第五十頁，共96頁。故，拒絕故，拒絕(jju)原假設原假設 H0

34、 ，即認為部件直，即認為部件直徑標準差不是徑標準差不是 0.048 cm。 經(jīng)計算經(jīng)計算(j sun)，得，得 S2=0.00778,. 0.484)0.975()2/1 ( 11.143)0.025()2/( 242124212nn，分布表，得分布表，得查查. 11.14351.13048. 000778. 0) 1(51)( 2202Sn算得算得第50頁/共96頁第五十一頁，共96頁。故，拒絕原假設故，拒絕原假設 H0，即認為部件，即認為部件(bjin)的直徑標的直徑標準差超過了準差超過了 0.048 cm。 (2). 的問題的問題(wnt)是檢驗是檢驗 H0: 2 02 ; H1: 2

35、02.，分布表，得分布表，得查查 488. 9)0.05()( 24212n. 9.48851.131)( 202Sn而而第51頁/共96頁第五十二頁，共96頁。 該檢驗主要該檢驗主要(zhyo)(zhyo)用于上節(jié)中實施兩用于上節(jié)中實施兩樣本樣本 t t 檢驗之前，討論檢驗之前，討論 12 =12 =22 22 的假的假設是否合理。設是否合理。兩正態(tài)總體兩正態(tài)總體(zngt)方差比的方差比的 F 檢驗檢驗1. H0: 12 = 22；H1: 12 22. 設X1, X2, , Xm和Y1, Y2, , Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(1, 12)和 N(2, 22)的樣本(yngbn), 欲檢

36、驗第52頁/共96頁第五十三頁，共96頁。 當當 H0: 12=22 成立時成立時, 12/22=1, 作作為其估計，為其估計，S12/S22也應與也應與 1 相差不大。當該值過相差不大。當該值過分地大或過分地小時，都應拒絕原假設成立。分地大或過分地小時，都應拒絕原假設成立。 合理的思路是：找兩個合理的思路是：找兩個(lin )界限界限c1和和c2, 當當 c1 S12/S22 22 同理，當同理，當 H0: H0: 12 =12 =2222成立成立(chngl)(chngl)時，有時，有 S12/S22 S12/S22 Fm-1, n-1Fm-1, n-1， . )(1 1,2221nmFS

37、SP . 1, 122210nmFSSH 的拒絕域為的拒絕域為所以，所以，第56頁/共96頁第五十七頁，共96頁。例例2：甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩：甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產(chǎn)品中分別廠的產(chǎn)品中分別(fnbi)隨機地抽取隨機地抽取12個和個和10個樣品個樣品,測得它們的電阻值后，計算出樣本方測得它們的電阻值后，計算出樣本方差分別差分別(fnbi)為為S12=1.40，S22=4.38。3. H0: 12 22；H1: 12 22結(jié)論結(jié)論(jiln)(jiln)同同 2 2。 以上以上(yshng)(yshng)檢驗都用到了檢驗都用到了F F分布，因分布，因此稱上述檢驗為此

38、稱上述檢驗為 F F 檢驗。檢驗。 假設兩廠生產(chǎn)的電阻的電假設兩廠生產(chǎn)的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布阻的阻值分別服從正態(tài)分布 N( 1, 12)和和 N( 2, 22)。第57頁/共96頁第五十八頁，共96頁。在顯著性水平在顯著性水平(shupng) (shupng) = 0.10 = 0.10下下, , 是否可接受：是否可接受： (l).(l).12 =12 =2222；(2).(2).121222. 22. 解：解：(1). (1). 的問題的問題(wnt)(wnt)是檢驗是檢驗 H0: H0: 12 =12 =2222；H1: H1: 12 12 22.22.其中，其中，m=12,

39、n=10, =0.10, S12=1.40, m=12, n=10, =0.10, S12=1.40, S22=4.38, S12/S22 =0.32S22=4.38, S12/S22 =0.32。利用利用(lyng)(lyng)第六章第六章學過的學過的 )2/(1)2/1 (1 1,1 1,mnnmFF第58頁/共96頁第五十九頁，共96頁。及及P237的附表的附表5，有，有 Fm-1, n-1(1- /2) = F11, 9(0.95) = 1/F9, 11(0.05) = 1/(2.90) = 0.34.因因 S12/S22 = 0.32 0.34，所以，無須再考慮，所以，無須再考慮Fm

40、-1, n-1(/2)的值，就可得到的值，就可得到(d do)拒絕拒絕12 =22的結(jié)論。的結(jié)論。第59頁/共96頁第六十頁，共96頁。 查查P237 附表附表5，因查不到，因查不到 F11, 9(0.10)，改，改用用F10, 9(0.10)和和F12, 9(0.10)的平均值近似的平均值近似(jn s)之，得之，得 F11, 9(0.10)=F10, 9(0.10)+F12, 9(0.10)/2 2.42+2.38/2 = 2.40.因因 S12/S22 = 0.32 22. . 110 1122221，檢驗的拒絕域為檢驗的拒絕域為FSS第60頁/共96頁第六十一頁，共96頁。 在前面的討

41、論中，我們總假定總體的分布形式在前面的討論中，我們總假定總體的分布形式(xngsh)(xngsh)是已知的。例如，假設總體分布為正態(tài)是已知的。例如，假設總體分布為正態(tài)分布分布 N( N(, , 2), 2), 總體分布為區(qū)間總體分布為區(qū)間 (a, b) (a, b) 上的上的均勻分布，等等。均勻分布，等等。 然而，在實際問題中，我們所遇到的總體服然而，在實際問題中，我們所遇到的總體服從何種分布往往并不知道。需要我們先對總體的從何種分布往往并不知道。需要我們先對總體的分布形式提出假設，如：總體分布是正態(tài)分布分布形式提出假設，如：總體分布是正態(tài)分布N( , 2)，總體分布是區(qū)間，總體分布是區(qū)間(a

42、, b)上均勻分布等上均勻分布等，然后利用數(shù)據(jù)，然后利用數(shù)據(jù) (樣本樣本) 對這一假設進行檢驗對這一假設進行檢驗(jinyn)，看能否獲得通過。，看能否獲得通過。8.4 分布分布(fnb)擬擬合檢驗合檢驗第61頁/共96頁第六十二頁，共96頁。 這是一項非常這是一項非常(fichng)重要的重要的工作工作,許多學者視它為近代統(tǒng)計學的許多學者視它為近代統(tǒng)計學的開端。開端。 解決這類問題解決這類問題(wnt)的方法最早由英國的方法最早由英國統(tǒng)計學家統(tǒng)計學家 K. Pearson (皮爾遜皮爾遜) 于于1900年在他年在他發(fā)表的一篇文章中給出發(fā)表的一篇文章中給出, 該方法后被稱為該方法后被稱為 Pe

43、arson 2檢驗法，簡稱檢驗法，簡稱 2檢驗。檢驗。第62頁/共96頁第六十三頁，共96頁。 設設F(x)為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本X1, X2, , Xn，但我們，但我們(w men)并不知道樣本的總體并不知道樣本的總體 分布分布是什么?，F(xiàn)在試圖檢驗是什么?，F(xiàn)在試圖檢驗 H0：總體 X 的分布(fnb)函數(shù)為F(x) ； (1) 對立假設為對立假設為 H1：總體：總體 X 的分布函數(shù)非的分布函數(shù)非F(x)。如果。如果 F(x) 形式已知，但含有未知參數(shù)形式已知，但含有未知參數(shù) 或或參參數(shù)向量數(shù)向量 =(1, 2, r) ，記為，記為F(x, )。這。這種檢驗通

44、常種檢驗通常(tngchng)稱為分布的擬合優(yōu)度稱為分布的擬合優(yōu)度檢驗。檢驗。 2檢驗檢驗第63頁/共96頁第六十四頁，共96頁。 不妨設總體不妨設總體 X 是連續(xù)型分布。檢驗思想是連續(xù)型分布。檢驗思想與步驟與步驟(bzhu)如下如下:(1). 將總體將總體(zngt) X 的取值范圍分成的取值范圍分成 k 個互不個互不重疊的重疊的 小區(qū)間小區(qū)間 I1, I2, , Ik，. ( ( (12101212101kkkkkaaaaaaaIaaIaaI，(2). 計算各子區(qū)間計算各子區(qū)間 Ii 上的理論上的理論(lln)頻數(shù)頻數(shù)。如果總體的分布函數(shù)為如果總體的分布函數(shù)為F(x, )，那么，各點落，那

45、么，各點落在區(qū)間在區(qū)間 Ii 上的概率均為上的概率均為,k.,iaFaFpiii21 ),(),()(1第64頁/共96頁第六十五頁，共96頁。)(inpn 個點中個點中(din zhn)，理論上有，理論上有n pi ( )個點落個點落在在 Ii 上上, (稱為理論頻數(shù)稱為理論頻數(shù))。當分布函數(shù)中含有未。當分布函數(shù)中含有未知參數(shù)知參數(shù) 時，理論頻數(shù)也未知，要用時，理論頻數(shù)也未知，要用來估計來估計 n pi ()， 為為 的極大似然估計。的極大似然估計。(3). 計算各子區(qū)間計算各子區(qū)間 Ii 上的實際上的實際(shj)頻數(shù)頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1,

46、2, , k . 計數(shù)符號計數(shù)符號(fho)，取集，取集合中元素的個數(shù)合中元素的個數(shù)第65頁/共96頁第六十六頁，共96頁。22211( )= (2)( )( )kkiiiiiiifnpfnnpnp，(4). 計算理論頻數(shù)計算理論頻數(shù)(pn sh)與實際頻數(shù)與實際頻數(shù)(pn sh)的偏差平方和。的偏差平方和?？梢宰C明可以證明(zhngmng)：在：在 H0 成立，且成立，且 n時時, 和式中的影響力。和式中的影響力。頻數(shù)比較大的那些項在頻數(shù)比較大的那些項在理論理論去除的其目的是：縮小去除的其目的是：縮小每一項用每一項用 )( inp)3( 212，k-r- 1 22是參數(shù)個數(shù)。是參數(shù)個數(shù)。是子

47、區(qū)間數(shù)，是子區(qū)間數(shù)，分布，分布，的的由度為由度為統(tǒng)計量的分布收斂到自統(tǒng)計量的分布收斂到自即即rkrk第66頁/共96頁第六十七頁，共96頁。(5). H0 的顯著性水平的顯著性水平(shupng)為為 的檢驗的拒的檢驗的拒絕域為絕域為221 () (4)kr ， 注意：該檢驗方法是在注意：該檢驗方法是在 n 充分大時使用充分大時使用的，因而，使用時要注意的，因而，使用時要注意 n 必須足夠地大必須足夠地大, 以以及及 npi 不能太小這兩個不能太小這兩個(lin )條件。條件。 在實用上，一般要求在實用上，一般要求 n 50，以及所有，以及所有npi 5。如果初始子區(qū)間劃分不滿足。如果初始子區(qū)

48、間劃分不滿足(mnz)后一個條件后一個條件, 則適當?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使則適當?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使 npi 滿足滿足(mnz)上述要求。上述要求。第67頁/共96頁第六十八頁，共96頁。例例1: 在一實驗中在一實驗中, 每隔一定時間觀察一次由某種鈾每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射到計數(shù)器上的所放射到計數(shù)器上的 粒子數(shù)粒子數(shù)X, 共觀察了共觀察了100次次, 得得到結(jié)果如下到結(jié)果如下(rxi)表表8.1所示。給定所示。給定 = 0.05, 檢驗假檢驗假設設 H0：X 服從(fcng)泊松分布 P() .其中其中 fi 是觀測到有是觀測到有 i 個個 粒子粒子(lz)的次數(shù)。的次數(shù)。注：

49、注：XP()表示表示, 0,1,2,.!ieP Xiii第68頁/共96頁第六十九頁，共96頁。解解: 因因H0中含有未知參數(shù)中含有未知參數(shù) ,所以應先估計所以應先估計(gj)該該參數(shù)。由極大似然估計參數(shù)。由極大似然估計(gj)法，得法，得 在在H0成立前提下，成立前提下，X 可能的取值為可能的取值為0,1,2, ,將該集合將該集合(jh)分成分成A0=0，A1=1，, A11=11,A12=12,13,，則，則 PX=i=pi 的估計為的估計為4.2.x4.2111214.2,0,1,2,11;!1210.002.iiiiepP XiiipP Xp 將檢驗將檢驗(jinyn)統(tǒng)計量計算用數(shù)據(jù)

50、填入下表，得統(tǒng)計量計算用數(shù)據(jù)填入下表，得 第69頁/共96頁第七十頁，共96頁。 55iinpnp其其中中一一些些，將將這這些些組組進進行行適適當當合合并并，使使得得每每組組的的，如如上上表表的的第第4 4列列的的花花括括號號所所示示。第70頁/共96頁第七十一頁，共96頁。2226=1, 1 6 106.281 100=(0.05)12.529, krkr 并并組組后后 8 8。而而此此處處 故故分分布布自自由由度度為為= = 。而而所以，在所以，在 = 0.05下下, 接受原假設，可以認為數(shù)接受原假設，可以認為數(shù)據(jù)服從據(jù)服從(fcng)泊松分布。泊松分布。第71頁/共96頁第七十二頁，共9

51、6頁。例例2: 自自1965年年1月月1日至日至1971年年2月月9日共日共2231天中天中, 全世界記錄全世界記錄(jl)到里氏到里氏4級或級或4級以上地震共計級以上地震共計162次次，相繼兩次地震間隔天數(shù)，相繼兩次地震間隔天數(shù)X統(tǒng)計如下統(tǒng)計如下:給定給定(i dn) = 0.05, 檢驗假設檢驗假設X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布。解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意(t y)，檢驗假設：，檢驗假設：H0 ：X服從服從指數(shù)分布，即指數(shù)分布，即X有概率密度函數(shù)有概率密度函數(shù) 1/,0,( ) 0,0.xexf xx第72頁/共96頁第七十三頁，共96頁。 在這里，在這里，H0中含有未知參數(shù)中含有未知參數(shù)(cn

52、sh),應應先估計。由極大似然估計法，得先估計。由極大似然估計法，得 在在H0成立成立(chngl)前提下，前提下，X 可能的取值為可能的取值為0, ), 將其分成將其分成 A1=0, 4.5)，A2=4.5, 9.5), , A9=39.5, )，則則 P(Ai)=pi 的估計為的估計為223113.77.162x11/(), 1,2,9.iiaxiiapP Aedxi其中其中(qzhng)Ai=ai, ai+1)，i=1,2 ,9。第73頁/共96頁第七十四頁，共96頁。 55iinpnp將將的的第第8 8組組合合并并到到第第9 9組組中中，使使得得每每組組的的，如如上上表表的的第第4 4

53、列列的的花花括括號號所所示示。得得226 163.5536 162=(0.05)12.529, 故，在故，在 = 0.05下下, 接受原假設接受原假設(jish)，即認為數(shù)，即認為數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布。據(jù)服從指數(shù)分布。第74頁/共96頁第七十五頁，共96頁。例例3: 為檢驗棉紗的拉力強度為檢驗棉紗的拉力強度(qingd) X (單位單位: kg) 服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機抽取服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機抽取300條進行拉條進行拉力試驗，結(jié)果列在表力試驗，結(jié)果列在表8.2中。給定中。給定 = 0.01,檢驗假設檢驗假設 H0：拉力(ll)強度 X N(, 2) .第75頁/共96頁第七十六頁

54、，共96頁。解：本例中，并未給出各觀測值解：本例中，并未給出各觀測值 Xi 的具體的具體(jt)值值,只給出了各觀測值的取值范圍，這樣只給出了各觀測值的取值范圍，這樣的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。樣本均值與樣本方差的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。樣本均值與樣本方差可通過下列式計算：可通過下列式計算：. 211 21 1221211kiiiikiiiiXnaannSaannX，.26. 01 41. 1 ),( 22222SnnXN，為為極大似然估計極大似然估計的的和和，對正態(tài)總體對正態(tài)總體第76頁/共96頁第七十七頁，共96頁。 (1). 先將數(shù)據(jù)先將數(shù)據(jù)(shj) Xi 分成分成13組，每組落入一組，每組落入一個

55、區(qū)個區(qū) 間，區(qū)間的端點為：間，區(qū)間的端點為： . 18. 2 78. 0 64. 0 1312210aaaaa，(2). 計算數(shù)據(jù)計算數(shù)據(jù)(shj)落入各子區(qū)間的理論頻落入各子區(qū)間的理論頻數(shù)。數(shù)。因分布中含有兩個未知參數(shù)，所以，理論頻因分布中含有兩個未知參數(shù)，所以，理論頻數(shù)只能數(shù)只能(zh nn)近似地估計。落入第近似地估計。落入第 i 個子個子區(qū)間區(qū)間Ii 的理論頻數(shù)的估計為的理論頻數(shù)的估計為 ， 其中其中 .13 2 1 26. 041. 126. 041. 1) ( 12 ，iaappiiiiipn第77頁/共96頁第七十八頁，共96頁。，因因0.46 1.85 1.85 0.46 13

56、1221pnpnpnpn。見表見表最后兩組合并成一組最后兩組合并成一組我們將前兩組和我們將前兩組和所以，所以，均大于均大于，而而8.3)( 5 113pnpn第78頁/共96頁第七十九頁，共96頁。(3). 計算數(shù)據(jù)計算數(shù)據(jù)(shj)落入各子區(qū)間上的實際頻數(shù)落入各子區(qū)間上的實際頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1, 2, , 10 . .15.22 122kiiiipnpnf(4). 計算檢驗計算檢驗(jinyn)統(tǒng)計量的值統(tǒng)計量的值因為因為 k =10，r =2，所以上述，所以上述(shngsh) 2分布的自由度為分布的自由度為 k-r-1=7。由。由.48.

57、18)(15.2221rk2(5). H0 的顯著性水平為的顯著性水平為 的檢驗的檢驗 于是，拒絕原假設，即認為棉紗拉力強于是，拒絕原假設，即認為棉紗拉力強度不服從正態(tài)分布。度不服從正態(tài)分布。第79頁/共96頁第八十頁，共96頁。 孟德爾在關于遺傳問題的研究中孟德爾在關于遺傳問題的研究中，用豌豆做實驗。豌豆有黃和綠兩種，用豌豆做實驗。豌豆有黃和綠兩種顏色，在對它們進行兩代雜交之后，顏色，在對它們進行兩代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部分呈綠色分呈綠色(l s)。其數(shù)目的比例大致。其數(shù)目的比例大致是是 3:1。 2檢驗的一個著名應用例子是孟德爾豌豆檢驗的

58、一個著名應用例子是孟德爾豌豆實驗。奧地利生物學家孟德爾在實驗。奧地利生物學家孟德爾在1865年發(fā)表的年發(fā)表的論文，事實上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺論文，事實上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺傳學的基礎。他的這項偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地傳學的基礎。他的這項偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地證明了統(tǒng)計方法在科學研究中的作用。因此，證明了統(tǒng)計方法在科學研究中的作用。因此，我們有必要在這里將這一情況介紹我們有必要在這里將這一情況介紹(jisho)給給大家。大家。 第80頁/共96頁第八十一頁，共96頁。 這只是一個表面上的統(tǒng)計規(guī)律。但它啟發(fā)這只是一個表面上的統(tǒng)計規(guī)律。但它啟發(fā)(qf)孟德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象孟

59、德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象。他大膽地假定存在一種實體，即現(xiàn)在我們稱。他大膽地假定存在一種實體，即現(xiàn)在我們稱為為“基因基因”的東西，決定了豌豆的顏色。這基因的東西，決定了豌豆的顏色。這基因有黃綠兩個狀態(tài)，一共有四種組合：有黃綠兩個狀態(tài)，一共有四種組合： 孟德爾把他的實驗重復了多次，每次都得到孟德爾把他的實驗重復了多次，每次都得到(d do)類似結(jié)果。類似結(jié)果。(黃黃, 黃黃)，(黃黃, 綠綠)，(綠綠, 黃黃)，(綠綠, 綠綠). 第81頁/共96頁第八十二頁，共96頁。(黃黃, 黃黃)，(黃黃, 綠綠)，(綠綠, 黃黃)，(綠綠, 綠綠). 孟德爾認為孟德爾認為, 前三種配合使豆子呈黃

60、色前三種配合使豆子呈黃色,而而第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點看第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點看，黃色豆子出現(xiàn)的概率為，黃色豆子出現(xiàn)的概率為3/4，綠色豆子出現(xiàn)的，綠色豆子出現(xiàn)的概率為概率為1/4。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什么總是么總是(zn sh)接近接近 3:1 這個觀察結(jié)果。這個觀察結(jié)果。 孟德爾這個發(fā)現(xiàn)的深遠意義是他開辟孟德爾這個發(fā)現(xiàn)的深遠意義是他開辟(kip)了遺傳學研究的新紀元。下面的例子就是用了遺傳學研究的新紀元。下面的例子就是用 2檢驗來檢驗孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比檢驗來檢驗孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比為為 3:1的