數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程ch8學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)與隨機(jī)過程與隨機(jī)過程ch8第一頁，共96頁。8.1 基本概念基本概念 下面下面(xi mian)，我們討論不同于參數(shù)估，我們討論不同于參數(shù)估計(jì)問題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問題計(jì)問題的另一類統(tǒng)計(jì)推斷問題根據(jù)樣本根據(jù)樣本提供的信息，檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立提供的信息，檢驗(yàn)總體的某個(gè)假設(shè)是否成立的問題。的問題。這類問題這類問題(wnt)稱為假設(shè)稱為假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。第1頁/共96頁第二頁，共96頁。假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)總體分布總體分布(fnb)已知情已知情形下，檢驗(yàn)未知形下，檢驗(yàn)未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布總體分布(f

2、nb)未知情形未知情形下的假設(shè)檢驗(yàn)問題下的假設(shè)檢驗(yàn)問題先看一個(gè)先看一個(gè)(y )例子例子。第2頁/共96頁第三頁，共96頁。例例1：某車間：某車間(chjin)用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量, 它服從正態(tài)分它服從正態(tài)分布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí)布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí), 其均值為其均值為0.5kg, 標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.015 kg。某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常。某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常, 隨機(jī)地抽取它所包裝的糖隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋袋, 稱得凈重量稱得凈重量 (kg)為：為：0.497, 0.506, 0.518, 0.524

3、, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512。問。問: 從樣本看機(jī)器是否正常從樣本看機(jī)器是否正常? 以以和和分別表示這一天袋裝葡萄糖重量總分別表示這一天袋裝葡萄糖重量總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于長(zhǎng)期實(shí)踐表明體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于長(zhǎng)期實(shí)踐表明(biomng)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差比較穩(wěn)定，我們就設(shè)比較穩(wěn)定，我們就設(shè) =0.015。 檢驗(yàn)檢驗(yàn)“機(jī)器是否正常機(jī)器是否正常(zhngchng)”等價(jià)于檢驗(yàn)等價(jià)于檢驗(yàn)“X是否服從正態(tài)分布是否服從正態(tài)分布N(, 0.0152)”。第3頁/共96頁第四頁，共96頁。 確定總體：記確定總體：記 X 為該車間包裝機(jī)包裝的袋裝為該車間包裝機(jī)包裝的袋裝 葡

4、萄糖的重量，則葡萄糖的重量，則 X N(, 0.0152)； 明確任務(wù)：通過樣本推斷明確任務(wù)：通過樣本推斷(tudun)“是否等于是否等于0.5”； 建立假設(shè)：上面的任務(wù)是要通過樣本檢驗(yàn)建立假設(shè)：上面的任務(wù)是要通過樣本檢驗(yàn) “ =0.5”的假設(shè)是否成立。的假設(shè)是否成立。I. 如何建立如何建立(jinl)檢驗(yàn)?zāi)z驗(yàn)?zāi)Ｐ托偷?頁/共96頁第五頁，共96頁。 原假設(shè)的對(duì)立面是原假設(shè)的對(duì)立面是 “ “ 0.5” 0.5”，稱為，稱為(chn wi) “(chn wi) “對(duì)立假設(shè)對(duì)立假設(shè)” ” 或或 “ “備擇假設(shè)備擇假設(shè)”,”,記成記成 “ H1: “ H1: 0.5” 0.5”。把原假設(shè)和對(duì)立假。

5、把原假設(shè)和對(duì)立假設(shè)合寫在一起，就是設(shè)合寫在一起，就是: :H0： =0.5； H1： 0.5. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把 “ =0.5” 這樣一個(gè)這樣一個(gè)(y )待檢驗(yàn)的假設(shè)記為待檢驗(yàn)的假設(shè)記為 “原假設(shè)原假設(shè)” 或或 “零假設(shè)零假設(shè)”, 記成記成 “ H0： =0.5”。第5頁/共96頁第六頁，共96頁。II. 解決問題的思路解決問題的思路(sl) 因樣本均值是因樣本均值是 的一個(gè)很好的估計(jì)的一個(gè)很好的估計(jì)(gj)(gj)。所以，當(dāng)。所以，當(dāng) =0.5 =0.5，即原假設(shè)，即原假設(shè) H0 H0 成成立時(shí)立時(shí), ,應(yīng)比較??；應(yīng)比較小； 如果如果(rgu)(rgu)該值過大該值過大, ,

6、 想必想必 H0 H0 不成立。不成立。于是，我們就用于是，我們就用 的大小來判定的大小來判定 H0 0 是否成立是否成立。 |5 . 0|X |5 . 0|X 合理的做法應(yīng)該是：找出一個(gè)界限合理的做法應(yīng)該是：找出一個(gè)界限 c，. |5 . 0| |5 . 0| 00HcXHcX拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)；接受原假設(shè)接受原假設(shè)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)?shù)?頁/共96頁第七頁，共96頁。 這里這里(zhl)(zhl)的問題是：如何確定常數(shù)的問題是：如何確定常數(shù) c c 呢？呢？細(xì)致細(xì)致(xzh)(xzh)地地分析分析: :根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)定理定理 ，有有. 1 0(9/0.015 )9/01

7、5. 0 ,(2），或，或NXNX于是，當(dāng)原假設(shè)于是，當(dāng)原假設(shè) H0 0: :=0.5 成立時(shí)，有成立時(shí)，有. ) 1 , 0(9/015. 05 . 0NX 第7頁/共96頁第八頁，共96頁。為確定常數(shù)為確定常數(shù) c c，我們考慮，我們考慮(kol)(kol)一個(gè)很小的正一個(gè)很小的正數(shù)數(shù)， 如如 = 0.05 = 0.05。當(dāng)原假設(shè)。當(dāng)原假設(shè) H0:=0.5 H0:=0.5成立成立時(shí)，有時(shí)，有， 9/015. 0|5 . 0|2/zXP. )9/015. 0(|5. 0| 2/zXP即即. )9/015. 0( 2/z c 取取故故，第8頁/共96頁第九頁，共96頁。于是，我們就得到于是，我

8、們就得到(d do)(d do)如下檢如下檢驗(yàn)準(zhǔn)則驗(yàn)準(zhǔn)則: :. |5 . 0| |5 . 0| 00HcXHcX拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)；接受原假設(shè)接受原假設(shè)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng). )9/015. 0( 2/zc 其其中中 9/015. 05 . 0 | 5 . 0| 為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；或或稱稱XUX或或，稱稱 )9/015. 0( |5 . 0| 2/zX2/9/015. 0|5 . 0|zXU為為H0 0 的拒絕域的拒絕域。第9頁/共96頁第十頁，共96頁。用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理(chl)(chl)我們的問我們的問題，題，所以，拒絕所以，拒絕(jju) H0:=0

9、.5(jju) H0:=0.5，認(rèn)為機(jī)器，認(rèn)為機(jī)器異常。異常。 , 511. 0 X得得經(jīng)計(jì)算，經(jīng)計(jì)算，.0098. 0 1.96 )9/015. 0( )9/015. 0(2/zc.011.0|5.0| cX故，故，第10頁/共96頁第十一頁，共96頁。 因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi)，當(dāng)，當(dāng) H0: =0.5 H0: =0.5 成立成立時(shí)，時(shí)，所以，當(dāng)所以，當(dāng) 很小時(shí)，若很小時(shí)，若 H0 H0 為真為真( (正確正確), ), 則檢則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域是一小概率事件驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域是一小概率事件 ( (概率很小概率很小, ,為為 ) )。前面曾提到過：。前面曾提到過：“通常認(rèn)為小

10、概率事件通常認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)在一次試驗(yàn)(shyn)(shyn)中基本上不會(huì)發(fā)生中基本上不會(huì)發(fā)生”。III. 方法方法(fngf)原理原理 . )9/015. 0(|5. 0| 2/zXP那么，一旦小概率事件發(fā)生，即那么，一旦小概率事件發(fā)生，即: : 發(fā)生發(fā)生, , 就認(rèn)為就認(rèn)為 H0 0不正確。不正確。2/)9/015. 0(|5. 0| zX第11頁/共96頁第十二頁，共96頁。IV. IV. 兩類錯(cuò)誤兩類錯(cuò)誤(cuw)(cuw)與顯著性水平與顯著性水平 當(dāng)我們當(dāng)我們(w men)檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè) H0 時(shí)，有時(shí)，有可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一：可能犯以下兩類錯(cuò)誤之一：H0 正確，

11、但我們正確，但我們(w men)認(rèn)為其不正確，這就犯了認(rèn)為其不正確，這就犯了“棄真棄真”的錯(cuò)的錯(cuò)誤，即拋棄了正確的假設(shè)；誤，即拋棄了正確的假設(shè)；H0 不正確，但被不正確，但被卻誤認(rèn)為正確，這就犯了卻誤認(rèn)為正確，這就犯了“取偽取偽”的錯(cuò)誤，即采的錯(cuò)誤，即采用了偽假設(shè)。用了偽假設(shè)。 因?yàn)闄z驗(yàn)因?yàn)闄z驗(yàn)(jinyn)統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，統(tǒng)計(jì)量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯(cuò)所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯(cuò)誤。誤。第12頁/共96頁第十三頁，共96頁。 通常通常(tngchng)分別用分別用 和和 記犯第一記犯第一、第二類錯(cuò)誤的概率，即、第二類錯(cuò)誤的概率，即. | | 0000為假

12、為假接受接受，為真為真拒絕拒絕HHPHHP 在檢驗(yàn)問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯(cuò)誤都總是不可避免(b k b min)的，并且減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率;反之亦然。 所以，犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同所以，犯兩類錯(cuò)誤的概率不能同時(shí)時(shí)(tngsh)得到控制。得到控制。第13頁/共96頁第十四頁，共96頁。 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通常在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通常(tngchng)(tngchng)控制犯控制犯第一類錯(cuò)誤的概概率。一般事先選定一個(gè)數(shù)第一類錯(cuò)誤的概概率。一般事先選定一個(gè)數(shù) (0(01)0 而現(xiàn)在要處理的對(duì)立假設(shè)為而現(xiàn)在要處理的對(duì)立假設(shè)為H1: 0, 稱為稱為(chn wi)右邊對(duì)立假設(shè)

13、。右邊對(duì)立假設(shè)。 類似地類似地, H0: =0; H1: 0 中中的對(duì)立假設(shè)的對(duì)立假設(shè)H1: 0 . 0znXP由此，可推出由此，可推出. 00znXH的拒絕域?yàn)榈木芙^域?yàn)樗?，所以，?4頁/共96頁第二十五頁，共96頁。在在 2 2未知情況未知情況(qngkung)(qngkung)下，當(dāng)原假下，當(dāng)原假設(shè)設(shè) 成立時(shí)，成立時(shí)，. )( 100n-tnSXH的拒絕域?yàn)榈木芙^域?yàn)樗?，所以?. / 10ntnSX. )( 10n tnSXP由此，可推出由此，可推出第25頁/共96頁第二十六頁，共96頁。例例 2：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩：某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標(biāo)是其質(zhì)量指標(biāo)是繩子所承受的最

14、大拉力，假定該指標(biāo)服從正繩子所承受的最大拉力，假定該指標(biāo)服從正態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值(jn zh)0 =15公斤，采用一種新原材料后公斤，采用一種新原材料后,廠廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說繩子所承受的最大拉力說繩子所承受的最大拉力 比比15公斤增大了公斤增大了。 為檢驗(yàn)該廠的結(jié)論是否真實(shí)，從其新產(chǎn)品為檢驗(yàn)該廠的結(jié)論是否真實(shí)，從其新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得它們所承受的最大拉件，測(cè)得它們所承受的最大拉力的平均值力的平均值(jn zh)為為15.8公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.

15、5公斤。取顯著性水平公斤。取顯著性水平 =0.01。問從這。問從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。第26頁/共96頁第二十七頁，共96頁。解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下(rxi)假設(shè)假設(shè) H0: =15; H1: 15 (2未知未知),17. 04049. 2505 . 0)01. 0(505 . 0 )( , 8 . 0158 .15 491 -n0ttnSX. 0.01 0.5 8 .15 15 50 0，此此處處，SXn于是于是(ysh)，. )( 1 -n0tnSX所以，所以，從而，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新的原材料確實(shí)提從而，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新的

16、原材料確實(shí)提高了繩子所能承受高了繩子所能承受(chngshu)(chngshu)的最大拉力。的最大拉力。第27頁/共96頁第二十八頁，共96頁。兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體 N(1, 12) 和和 N(2, 22) 均值均值(jn zh)的比較的比較 在應(yīng)用上，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體均值在應(yīng)用上，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體均值(jn zh)的比較問題。的比較問題。 例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體看成正態(tài)總體 N( N(1, 1, 12) 12) 和和 N( N(2, 2, 22

17、)22)。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的問題。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的問題(wnt)(wnt)，就變?yōu)楸容^這兩個(gè)正態(tài)總體的均值，就變?yōu)楸容^這兩個(gè)正態(tài)總體的均值 1 1和和 2 2的的問題的的問題(wnt)(wnt)。第28頁/共96頁第二十九頁，共96頁。 又如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品質(zhì)量是又如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。將新技術(shù)實(shí)施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指否有效。將新技術(shù)實(shí)施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N( N(1, 1, 12)12)和和 N( N(2, 2, 22)22)。這時(shí)，所考察的問題就歸結(jié)為檢驗(yàn)這兩。這時(shí)，所考察的問題就歸結(jié)為檢驗(yàn)這兩個(gè)個(gè)(lin

18、 )(lin )正態(tài)總體的均值正態(tài)總體的均值 1 1和和 2 2是否是否相等的問題。相等的問題。 設(shè)設(shè)X1, X2, , Xm與與Y1, Y2, , Yn 分別分別(fnbi)為抽自正態(tài)總體為抽自正態(tài)總體 N(1, 12)和和 N(2, 22)的樣本，記的樣本，記的均值和方差。的均值和方差。分別為分別為和和的均值和方差；的均值和方差；分別為分別為和和 , , 21222121nmYYYSYXXXSX考查如下檢驗(yàn)考查如下檢驗(yàn)(jinyn)(jinyn)假設(shè)假設(shè): :第29頁/共96頁第三十頁，共96頁。1. H0: 1= 2 ; H1: 1 2 當(dāng)當(dāng) 12 12 和和 22 22 已知時(shí)，根據(jù)已

19、知時(shí)，根據(jù)(gnj)(gnj)定理，有定理，有. 1 , 0 )(222121NnmYX當(dāng)當(dāng) H0: 1 = 2為真時(shí)，為真時(shí)， ， 1 , 0 2221NnmYX第30頁/共96頁第三十一頁，共96頁。故，拒絕故，拒絕域域?yàn)闉?. |2/2221znmYXP. | | 22212/2/2221nmzYXznmYX或或第31頁/共96頁第三十二頁，共96頁。 在在12=22 =2，2未知情況未知情況(qngkung)下，根據(jù)定理，有下，根據(jù)定理，有當(dāng)當(dāng) H0: 1= 2 為真時(shí)，有為真時(shí)，有， )()(21121nmtnmSYX. 2) 1() 1( 2221nmSnSmS其中其中. )(21

20、1nmtnmSYX第32頁/共96頁第三十三頁，共96頁。拒絕拒絕域域?yàn)闉?. /2)(|211nmtnmSYXP從而從而(cng (cng r) r) . /2)( | /2)(| 112211nmStYXtnmSYXnmnm或或第33頁/共96頁第三十四頁，共96頁。 上面，我們假定上面，我們假定(jidng) 12=22。當(dāng)然。當(dāng)然，這是個(gè)不得已而強(qiáng)加上去的條件，因?yàn)槿绻?，這是個(gè)不得已而強(qiáng)加上去的條件，因?yàn)槿绻患哟藯l件，就無法使用簡(jiǎn)單易行的不加此條件，就無法使用簡(jiǎn)單易行的 t 檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 在實(shí)用中，只要我們有理由認(rèn)為在實(shí)用中，只要我們有理由認(rèn)為12和和22相差不是太大，往往就可使用上

21、述方法。相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比檢驗(yàn)未被拒絕通常是：如果方差比檢驗(yàn)未被拒絕(見下節(jié)見下節(jié)), 就就認(rèn)為認(rèn)為12和和22相差不是太大。相差不是太大。說明說明(shumng)：第34頁/共96頁第三十五頁，共96頁。例例3：假設(shè)有：假設(shè)有A和和B兩種藥，欲比較它們?cè)诜脙煞N藥，欲比較它們?cè)诜?小時(shí)后在血液中的含量是否一樣。對(duì)藥品小時(shí)后在血液中的含量是否一樣。對(duì)藥品A，隨，隨機(jī)抽取機(jī)抽取8個(gè)病人服藥，服藥個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后，測(cè)得小時(shí)后，測(cè)得8個(gè)病個(gè)病人血液中藥物濃度人血液中藥物濃度(用適當(dāng)?shù)膯挝挥眠m當(dāng)?shù)膯挝?分別為分別為: 1.23, 1.42, 1.41, 1

22、.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.對(duì)藥品對(duì)藥品B，隨機(jī)抽取，隨機(jī)抽取6個(gè)病人服藥，服藥個(gè)病人服藥，服藥2小時(shí)后小時(shí)后，測(cè)得血液中藥的濃度分別為，測(cè)得血液中藥的濃度分別為: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.假定這兩組觀測(cè)值抽自具有共同方差的兩個(gè)正假定這兩組觀測(cè)值抽自具有共同方差的兩個(gè)正態(tài)總體態(tài)總體(zngt)，在顯著性水，在顯著性水=0.10下，檢驗(yàn)病下，檢驗(yàn)病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?第35頁/共96頁第三十六頁，共96頁。故，接受原假設(shè)。即, 認(rèn)為病人血液中這兩種藥濃度(nngd)無顯

23、著差異。解：?jiǎn)栴}就是從總體解：?jiǎn)栴}就是從總體 N(1, 2)和和N(2, 2)中分別抽取樣本中分別抽取樣本(yngbn)X1, X2, X8 和和Y1, Y2, Y6，樣本，樣本(yngbn)均值和樣本均值和樣本(yngbn)方差分別為：方差分別為：.33. 02) 1() 1( 6 81 . 0，210 ，661 ，030 ，51122212221nmSnSmSnm.S.Y.S.X，. 0.31 /2)( | 15. 0112nmStYXnm第36頁/共96頁第三十七頁，共96頁。與與1.1.的分析完全類似的分析完全類似(li s)(li s)，可以得，可以得到到: :2. 單邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn)

24、(jinyn) H0: 12; H1: 12 12和和 22已知情況已知情況(qngkung)下，下，H0的拒絕域?yàn)榈木芙^域?yàn)? 2221nmzYX 1 12 2與與 2 22 2未知未知，但二者相等情況下但二者相等情況下，H0 0的的 拒絕拒絕域域?yàn)闉? )(112nmStYXnm第37頁/共96頁第三十八頁，共96頁。與與1.1.的分析完全類似的分析完全類似(li s)(li s)，可以得，可以得到到: :3. 單邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn)(jinyn) H0: 12; H1: 12 12和和 22已知情況已知情況(qngkung)下，下，H0的拒絕域?yàn)榈木芙^域?yàn)? nmzYX2221 1 12 2與

25、與 2 22 2未知未知，但二者相等情況下但二者相等情況下，H0 0的的 拒絕拒絕域域?yàn)闉? )(112nmStYXnm第38頁/共96頁第三十九頁，共96頁。 兩個(gè)正態(tài)總體與成對(duì)數(shù)據(jù)的區(qū)別兩個(gè)正態(tài)總體與成對(duì)數(shù)據(jù)的區(qū)別兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體假定來自這兩個(gè)正態(tài)總體假定來自這兩個(gè)正態(tài)總體 的兩組樣本，是相互獨(dú)立的。的兩組樣本，是相互獨(dú)立的。成對(duì)數(shù)據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)兩組樣本可以是來自對(duì)同一個(gè)兩組樣本可以是來自對(duì)同一個(gè) 總體上的重復(fù)測(cè)量，它們總體上的重復(fù)測(cè)量，它們(t men)(t men)是成對(duì)出是成對(duì)出現(xiàn)的，可現(xiàn)的，可 以是相關(guān)的。以是相關(guān)的。成對(duì)數(shù)據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)(shj)的的 t 檢驗(yàn)檢驗(yàn)第39頁/共96

26、頁第四十頁，共96頁。例如例如: 為了考察一種為了考察一種(y zhn)降血壓藥的效果，測(cè)降血壓藥的效果，測(cè)試了試了n 個(gè)高血壓病人服藥前、后的血壓分別為個(gè)高血壓病人服藥前、后的血壓分別為X1, X2, Xn 和和Y1,Y2,Yn。這里。這里(Xi ,Yi)是第是第 i個(gè)病人個(gè)病人服藥前和服藥后的血壓，它們是相關(guān)的。服藥前和服藥后的血壓，它們是相關(guān)的。 處理成對(duì)數(shù)據(jù)處理成對(duì)數(shù)據(jù)(shj)的思路的思路 因因(Xi , Yi)是在同一人身上觀測(cè)到的血壓是在同一人身上觀測(cè)到的血壓。所以，。所以，Xi-Yi 就消除了人的體質(zhì)等諸方面的就消除了人的體質(zhì)等諸方面的條件差異，僅剩下降血壓藥的效果。條件差異，

27、僅剩下降血壓藥的效果。 所以，我們可以所以，我們可以(ky)把把 di=Xi-Yi，i=1, 2, n.看成抽自正態(tài)總體看成抽自正態(tài)總體 N( , 2)的樣本。的樣本。其中其中 就是降血壓藥的平均效果。就是降血壓藥的平均效果。第40頁/共96頁第四十一頁，共96頁。 一般一般(ybn)的成對(duì)數(shù)據(jù)同樣也是這樣轉(zhuǎn)變的的成對(duì)數(shù)據(jù)同樣也是這樣轉(zhuǎn)變的。從前面所學(xué)內(nèi)容可以看出：其實(shí)就是作。從前面所學(xué)內(nèi)容可以看出：其實(shí)就是作 H0: = 0; H1: 0； H0: 0; H1: 0 方差方差(fn ch)(fn ch)2 2未知情況下未知情況下的檢驗(yàn)。的檢驗(yàn)。niidniiddnSYXdnd1221.)(1

28、1 1 ，記記上述三種上述三種(sn zhn)檢驗(yàn)的拒絕域分別為：檢驗(yàn)的拒絕域分別為：).()/( )()/( )2/()/(|111ndndndtnSdtnSdtnSd和和，第41頁/共96頁第四十二頁，共96頁。例例4：為了檢驗(yàn)：為了檢驗(yàn)A, B兩種測(cè)定鐵礦石含鐵量的方法兩種測(cè)定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯是否有明顯(mngxin)差異差異, 現(xiàn)用這兩種方法測(cè)定現(xiàn)用這兩種方法測(cè)定了取自了取自12個(gè)不同鐵礦的礦石標(biāo)本的含鐵量個(gè)不同鐵礦的礦石標(biāo)本的含鐵量(%)，結(jié)，結(jié)果列于表果列于表 中。取中。取=0.05, 問這兩種測(cè)定方法是否問這兩種測(cè)定方法是否有顯著差異有顯著差異? 第42頁/共96頁第

29、四十三頁，共96頁。解解: 將方法將方法(fngf)A和方法和方法(fngf)B的測(cè)定的測(cè)定值分別記為值分別記為X1, X2, X12 和和 Y1, Y2, Y12 .第43頁/共96頁第四十四頁，共96頁。因這因這12個(gè)標(biāo)本來自不同鐵礦，所以個(gè)標(biāo)本來自不同鐵礦，所以, X1, X2, X12 不能看成來自同一個(gè)總體不能看成來自同一個(gè)總體(zngt)的樣本。同的樣本。同理理, Y1, Y2, Y12也不能看成來自同一個(gè)總體也不能看成來自同一個(gè)總體(zngt)的樣本。故的樣本。故, 用成對(duì)用成對(duì) t 檢驗(yàn)。記檢驗(yàn)。記 di=Xi-Yi, i=1, 2, , 12.所以，接受原假設(shè)所以，接受原假設(shè)

30、(jish)，即認(rèn)為兩種測(cè)定方法無，即認(rèn)為兩種測(cè)定方法無顯著性差異。顯著性差異。.0007. 0 0.0167 2dSd，容易算出容易算出.0168. 0)2/()(0.0167 201. 2)2/( 0.05 12 11ndntn/S|d|tn得得，再由再由第44頁/共96頁第四十五頁，共96頁。 利用利用(lyng)(lyng)樣本方差樣本方差 S 2 S 2是是2 2的一的一個(gè)無偏估計(jì)，且個(gè)無偏估計(jì)，且 (n-1)S2/ (n-1)S2/ 2 2n-1 2 2n-1 的的結(jié)論。結(jié)論。單個(gè)正態(tài)總體方差單個(gè)正態(tài)總體方差(fn ch)的的2 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 設(shè) X1, X2, , Xn 為來自總體

31、N( , 2) 的樣本， 和 2未知，求下列假設(shè)的顯著性水平(shupng)為 的檢驗(yàn)。思路分析思路分析: 1. H0: 2 = 02；H1: 2 02 8.3 正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)第45頁/共96頁第四十六頁，共96頁。 當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H0: H0: 2 = 2 = 0202成立時(shí)，成立時(shí)，S2S2和和0202應(yīng)應(yīng)該比較接近，即比值該比較接近，即比值 S 2/ S 2/0202應(yīng)接近于應(yīng)接近于1 1。所以。所以(suy),(suy),這個(gè)比值過大或過小這個(gè)比值過大或過小 時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)。時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)。 合理的做法是合理的做法是: : 找兩個(gè)合適的界限找兩個(gè)合適的界限

32、 c1 c1 和和 c2 c2 , , 當(dāng)當(dāng) c1(n-1)S2/ c1(n-1)S2/02 c2 02 02 同理，當(dāng)同理，當(dāng) H0: H0: 2 = 2 = 0202成立成立(chngl)(chngl)時(shí)，有，時(shí)，有， . ) 1( 212020nSnH 的拒絕域?yàn)榈木芙^域?yàn)樗?，所以? )() 1(21202nSnP此檢驗(yàn)法也稱此檢驗(yàn)法也稱 2 2 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法。3*. H0: 2 02；H1: 2 02 (同同2.)第48頁/共96頁第四十九頁，共96頁。例例1：某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑：某公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑 (單位單位: cm) 服服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差從正態(tài)分布，

33、并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 0=0.048 ?，F(xiàn)隨機(jī)抽取。現(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)部件，測(cè)得它們的直徑為個(gè)部件，測(cè)得它們的直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.取取=0.05，問，問:(1). 能否能否(nn fu)認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)部件的直徑徑 的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為的標(biāo)準(zhǔn)差確實(shí)為= 0?(2). 能否能否(nn fu)認(rèn)為認(rèn)為 0?解解: (1). 的問題的問題(wnt)就是檢驗(yàn)就是檢驗(yàn) H0: 2 = 02; H1: 2 02.其中，其中，n=5， =0.05，0=0.048.第49頁/共96頁第五十頁，共96頁。故，拒絕故，拒絕(jju)原假設(shè)原假設(shè) H0

34、 ，即認(rèn)為部件直，即認(rèn)為部件直徑標(biāo)準(zhǔn)差不是徑標(biāo)準(zhǔn)差不是 0.048 cm。 經(jīng)計(jì)算經(jīng)計(jì)算(j sun)，得，得 S2=0.00778,. 0.484)0.975()2/1 ( 11.143)0.025()2/( 242124212nn，分布表，得分布表，得查查. 11.14351.13048. 000778. 0) 1(51)( 2202Sn算得算得第50頁/共96頁第五十一頁，共96頁。故，拒絕原假設(shè)故，拒絕原假設(shè) H0，即認(rèn)為部件，即認(rèn)為部件(bjin)的直徑標(biāo)的直徑標(biāo)準(zhǔn)差超過了準(zhǔn)差超過了 0.048 cm。 (2). 的問題的問題(wnt)是檢驗(yàn)是檢驗(yàn) H0: 2 02 ; H1: 2

35、02.，分布表，得分布表，得查查 488. 9)0.05()( 24212n. 9.48851.131)( 202Sn而而第51頁/共96頁第五十二頁，共96頁。 該檢驗(yàn)主要該檢驗(yàn)主要(zhyo)(zhyo)用于上節(jié)中實(shí)施兩用于上節(jié)中實(shí)施兩樣本樣本 t t 檢驗(yàn)之前，討論檢驗(yàn)之前，討論 12 =12 =22 22 的假的假設(shè)是否合理。設(shè)是否合理。兩正態(tài)總體兩正態(tài)總體(zngt)方差比的方差比的 F 檢驗(yàn)檢驗(yàn)1. H0: 12 = 22；H1: 12 22. 設(shè)X1, X2, , Xm和Y1, Y2, , Yn 分別為抽自正態(tài)總體 N(1, 12)和 N(2, 22)的樣本(yngbn), 欲檢

36、驗(yàn)第52頁/共96頁第五十三頁，共96頁。 當(dāng)當(dāng) H0: 12=22 成立時(shí)成立時(shí), 12/22=1, 作作為其估計(jì)，為其估計(jì)，S12/S22也應(yīng)與也應(yīng)與 1 相差不大。當(dāng)該值過相差不大。當(dāng)該值過分地大或過分地小時(shí)，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。分地大或過分地小時(shí)，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。 合理的思路是：找兩個(gè)合理的思路是：找兩個(gè)(lin )界限界限c1和和c2, 當(dāng)當(dāng) c1 S12/S22 22 同理，當(dāng)同理，當(dāng) H0: H0: 12 =12 =2222成立成立(chngl)(chngl)時(shí)，有時(shí)，有 S12/S22 S12/S22 Fm-1, n-1Fm-1, n-1， . )(1 1,2221nmFS

37、SP . 1, 122210nmFSSH 的拒絕域?yàn)榈木芙^域?yàn)樗?，所以，?6頁/共96頁第五十七頁，共96頁。例例2：甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩：甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產(chǎn)品中分別廠的產(chǎn)品中分別(fnbi)隨機(jī)地抽取隨機(jī)地抽取12個(gè)和個(gè)和10個(gè)樣品個(gè)樣品,測(cè)得它們的電阻值后，計(jì)算出樣本方測(cè)得它們的電阻值后，計(jì)算出樣本方差分別差分別(fnbi)為為S12=1.40，S22=4.38。3. H0: 12 22；H1: 12 22結(jié)論結(jié)論(jiln)(jiln)同同 2 2。 以上以上(yshng)(yshng)檢驗(yàn)都用到了檢驗(yàn)都用到了F F分布，因分布，因此稱上述檢驗(yàn)為此

38、稱上述檢驗(yàn)為 F F 檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻的電假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布阻的阻值分別服從正態(tài)分布 N( 1, 12)和和 N( 2, 22)。第57頁/共96頁第五十八頁，共96頁。在顯著性水平在顯著性水平(shupng) (shupng) = 0.10 = 0.10下下, , 是否可接受：是否可接受： (l).(l).12 =12 =2222；(2).(2).121222. 22. 解：解：(1). (1). 的問題的問題(wnt)(wnt)是檢驗(yàn)是檢驗(yàn) H0: H0: 12 =12 =2222；H1: H1: 12 12 22.22.其中，其中，m=12,

39、n=10, =0.10, S12=1.40, m=12, n=10, =0.10, S12=1.40, S22=4.38, S12/S22 =0.32S22=4.38, S12/S22 =0.32。利用利用(lyng)(lyng)第六章第六章學(xué)過的學(xué)過的 )2/(1)2/1 (1 1,1 1,mnnmFF第58頁/共96頁第五十九頁，共96頁。及及P237的附表的附表5，有，有 Fm-1, n-1(1- /2) = F11, 9(0.95) = 1/F9, 11(0.05) = 1/(2.90) = 0.34.因因 S12/S22 = 0.32 0.34，所以，無須再考慮，所以，無須再考慮Fm

40、-1, n-1(/2)的值，就可得到的值，就可得到(d do)拒絕拒絕12 =22的結(jié)論。的結(jié)論。第59頁/共96頁第六十頁，共96頁。 查查P237 附表附表5，因查不到，因查不到 F11, 9(0.10)，改，改用用F10, 9(0.10)和和F12, 9(0.10)的平均值近似的平均值近似(jn s)之，得之，得 F11, 9(0.10)=F10, 9(0.10)+F12, 9(0.10)/2 2.42+2.38/2 = 2.40.因因 S12/S22 = 0.32 22. . 110 1122221，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)闄z驗(yàn)的拒絕域?yàn)镕SS第60頁/共96頁第六十一頁，共96頁。 在前面的討

41、論中，我們總假定總體的分布形式在前面的討論中，我們總假定總體的分布形式(xngsh)(xngsh)是已知的。例如，假設(shè)總體分布為正態(tài)是已知的。例如，假設(shè)總體分布為正態(tài)分布分布 N( N(, , 2), 2), 總體分布為區(qū)間總體分布為區(qū)間 (a, b) (a, b) 上的上的均勻分布，等等。均勻分布，等等。 然而，在實(shí)際問題中，我們所遇到的總體服然而，在實(shí)際問題中，我們所遇到的總體服從何種分布往往并不知道。需要我們先對(duì)總體的從何種分布往往并不知道。需要我們先對(duì)總體的分布形式提出假設(shè)，如：總體分布是正態(tài)分布分布形式提出假設(shè)，如：總體分布是正態(tài)分布N( , 2)，總體分布是區(qū)間，總體分布是區(qū)間(a

42、, b)上均勻分布等上均勻分布等，然后利用數(shù)據(jù)，然后利用數(shù)據(jù) (樣本樣本) 對(duì)這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)對(duì)這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)(jinyn)，看能否獲得通過。，看能否獲得通過。8.4 分布分布(fnb)擬擬合檢驗(yàn)合檢驗(yàn)第61頁/共96頁第六十二頁，共96頁。 這是一項(xiàng)非常這是一項(xiàng)非常(fichng)重要的重要的工作工作,許多學(xué)者視它為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多學(xué)者視它為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端。開端。 解決這類問題解決這類問題(wnt)的方法最早由英國(guó)的方法最早由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家統(tǒng)計(jì)學(xué)家 K. Pearson (皮爾遜皮爾遜) 于于1900年在他年在他發(fā)表的一篇文章中給出發(fā)表的一篇文章中給出, 該方法后被稱為該方法后被稱為 Pe

43、arson 2檢驗(yàn)法，簡(jiǎn)稱檢驗(yàn)法，簡(jiǎn)稱 2檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。第62頁/共96頁第六十三頁，共96頁。 設(shè)設(shè)F(x)為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本X1, X2, , Xn，但我們，但我們(w men)并不知道樣本的總體并不知道樣本的總體 分布分布是什么?，F(xiàn)在試圖檢驗(yàn)是什么。現(xiàn)在試圖檢驗(yàn) H0：總體 X 的分布(fnb)函數(shù)為F(x) ； (1) 對(duì)立假設(shè)為對(duì)立假設(shè)為 H1：總體：總體 X 的分布函數(shù)非的分布函數(shù)非F(x)。如果。如果 F(x) 形式已知，但含有未知參數(shù)形式已知，但含有未知參數(shù) 或或參參數(shù)向量數(shù)向量 =(1, 2, r) ，記為，記為F(x, )。這。這種檢驗(yàn)通

44、常種檢驗(yàn)通常(tngchng)稱為分布的擬合優(yōu)度稱為分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 2檢驗(yàn)檢驗(yàn)第63頁/共96頁第六十四頁，共96頁。 不妨設(shè)總體不妨設(shè)總體 X 是連續(xù)型分布。檢驗(yàn)思想是連續(xù)型分布。檢驗(yàn)思想與步驟與步驟(bzhu)如下如下:(1). 將總體將總體(zngt) X 的取值范圍分成的取值范圍分成 k 個(gè)互不個(gè)互不重疊的重疊的 小區(qū)間小區(qū)間 I1, I2, , Ik，. ( ( (12101212101kkkkkaaaaaaaIaaIaaI，(2). 計(jì)算各子區(qū)間計(jì)算各子區(qū)間 Ii 上的理論上的理論(lln)頻數(shù)頻數(shù)。如果總體的分布函數(shù)為如果總體的分布函數(shù)為F(x, )，那么，各點(diǎn)落，那

45、么，各點(diǎn)落在區(qū)間在區(qū)間 Ii 上的概率均為上的概率均為,k.,iaFaFpiii21 ),(),()(1第64頁/共96頁第六十五頁，共96頁。)(inpn 個(gè)點(diǎn)中個(gè)點(diǎn)中(din zhn)，理論上有，理論上有n pi ( )個(gè)點(diǎn)落個(gè)點(diǎn)落在在 Ii 上上, (稱為理論頻數(shù)稱為理論頻數(shù))。當(dāng)分布函數(shù)中含有未。當(dāng)分布函數(shù)中含有未知參數(shù)知參數(shù) 時(shí)，理論頻數(shù)也未知，要用時(shí)，理論頻數(shù)也未知，要用來估計(jì)來估計(jì) n pi ()， 為為 的極大似然估計(jì)。的極大似然估計(jì)。(3). 計(jì)算各子區(qū)間計(jì)算各子區(qū)間 Ii 上的實(shí)際上的實(shí)際(shj)頻數(shù)頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1,

46、2, , k . 計(jì)數(shù)符號(hào)計(jì)數(shù)符號(hào)(fho)，取集，取集合中元素的個(gè)數(shù)合中元素的個(gè)數(shù)第65頁/共96頁第六十六頁，共96頁。22211( )= (2)( )( )kkiiiiiiifnpfnnpnp，(4). 計(jì)算理論頻數(shù)計(jì)算理論頻數(shù)(pn sh)與實(shí)際頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)(pn sh)的偏差平方和。的偏差平方和?？梢宰C明可以證明(zhngmng)：在：在 H0 成立，且成立，且 n時(shí)時(shí), 和式中的影響力。和式中的影響力。頻數(shù)比較大的那些項(xiàng)在頻數(shù)比較大的那些項(xiàng)在理論理論去除的其目的是：縮小去除的其目的是：縮小每一項(xiàng)用每一項(xiàng)用 )( inp)3( 212，k-r- 1 22是參數(shù)個(gè)數(shù)。是參數(shù)個(gè)數(shù)。是子

47、區(qū)間數(shù)，是子區(qū)間數(shù)，分布，分布，的的由度為由度為統(tǒng)計(jì)量的分布收斂到自統(tǒng)計(jì)量的分布收斂到自即即rkrk第66頁/共96頁第六十七頁，共96頁。(5). H0 的顯著性水平的顯著性水平(shupng)為為 的檢驗(yàn)的拒的檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)榻^域?yàn)?21 () (4)kr ， 注意：該檢驗(yàn)方法是在注意：該檢驗(yàn)方法是在 n 充分大時(shí)使用充分大時(shí)使用的，因而，使用時(shí)要注意的，因而，使用時(shí)要注意 n 必須足夠地大必須足夠地大, 以以及及 npi 不能太小這兩個(gè)不能太小這兩個(gè)(lin )條件。條件。 在實(shí)用上，一般要求在實(shí)用上，一般要求 n 50，以及所有，以及所有npi 5。如果初始子區(qū)間劃分不滿足。如果初始子區(qū)

48、間劃分不滿足(mnz)后一個(gè)條件后一個(gè)條件, 則適當(dāng)?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使則適當(dāng)?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使 npi 滿足滿足(mnz)上述要求。上述要求。第67頁/共96頁第六十八頁，共96頁。例例1: 在一實(shí)驗(yàn)中在一實(shí)驗(yàn)中, 每隔一定時(shí)間觀察一次由某種鈾每隔一定時(shí)間觀察一次由某種鈾所放射到計(jì)數(shù)器上的所放射到計(jì)數(shù)器上的 粒子數(shù)粒子數(shù)X, 共觀察了共觀察了100次次, 得得到結(jié)果如下到結(jié)果如下(rxi)表表8.1所示。給定所示。給定 = 0.05, 檢驗(yàn)假檢驗(yàn)假設(shè)設(shè) H0：X 服從(fcng)泊松分布 P() .其中其中 fi 是觀測(cè)到有是觀測(cè)到有 i 個(gè)個(gè) 粒子粒子(lz)的次數(shù)。的次數(shù)。注：

49、注：XP()表示表示, 0,1,2,.!ieP Xiii第68頁/共96頁第六十九頁，共96頁。解解: 因因H0中含有未知參數(shù)中含有未知參數(shù) ,所以應(yīng)先估計(jì)所以應(yīng)先估計(jì)(gj)該該參數(shù)。由極大似然估計(jì)參數(shù)。由極大似然估計(jì)(gj)法，得法，得 在在H0成立前提下，成立前提下，X 可能的取值為可能的取值為0,1,2, ,將該集合將該集合(jh)分成分成A0=0，A1=1，, A11=11,A12=12,13,，則，則 PX=i=pi 的估計(jì)為的估計(jì)為4.2.x4.2111214.2,0,1,2,11;!1210.002.iiiiepP XiiipP Xp 將檢驗(yàn)將檢驗(yàn)(jinyn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算用數(shù)據(jù)

50、填入下表，得統(tǒng)計(jì)量計(jì)算用數(shù)據(jù)填入下表，得 第69頁/共96頁第七十頁，共96頁。 55iinpnp其其中中一一些些，將將這這些些組組進(jìn)進(jìn)行行適適當(dāng)當(dāng)合合并并，使使得得每每組組的的，如如上上表表的的第第4 4列列的的花花括括號(hào)號(hào)所所示示。第70頁/共96頁第七十一頁，共96頁。2226=1, 1 6 106.281 100=(0.05)12.529, krkr 并并組組后后 8 8。而而此此處處 故故分分布布自自由由度度為為= = 。而而所以，在所以，在 = 0.05下下, 接受原假設(shè)，可以認(rèn)為數(shù)接受原假設(shè)，可以認(rèn)為數(shù)據(jù)服從據(jù)服從(fcng)泊松分布。泊松分布。第71頁/共96頁第七十二頁，共9

51、6頁。例例2: 自自1965年年1月月1日至日至1971年年2月月9日共日共2231天中天中, 全世界記錄全世界記錄(jl)到里氏到里氏4級(jí)或級(jí)或4級(jí)以上地震共計(jì)級(jí)以上地震共計(jì)162次次，相繼兩次地震間隔天數(shù)，相繼兩次地震間隔天數(shù)X統(tǒng)計(jì)如下統(tǒng)計(jì)如下:給定給定(i dn) = 0.05, 檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布。解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意(t y)，檢驗(yàn)假設(shè)：，檢驗(yàn)假設(shè)：H0 ：X服從服從指數(shù)分布，即指數(shù)分布，即X有概率密度函數(shù)有概率密度函數(shù) 1/,0,( ) 0,0.xexf xx第72頁/共96頁第七十三頁，共96頁。 在這里，在這里，H0中含有未知參數(shù)中含有未知參數(shù)(cn

52、sh),應(yīng)應(yīng)先估計(jì)。由極大似然估計(jì)法，得先估計(jì)。由極大似然估計(jì)法，得 在在H0成立成立(chngl)前提下，前提下，X 可能的取值為可能的取值為0, ), 將其分成將其分成 A1=0, 4.5)，A2=4.5, 9.5), , A9=39.5, )，則則 P(Ai)=pi 的估計(jì)為的估計(jì)為223113.77.162x11/(), 1,2,9.iiaxiiapP Aedxi其中其中(qzhng)Ai=ai, ai+1)，i=1,2 ,9。第73頁/共96頁第七十四頁，共96頁。 55iinpnp將將的的第第8 8組組合合并并到到第第9 9組組中中，使使得得每每組組的的，如如上上表表的的第第4 4

53、列列的的花花括括號(hào)號(hào)所所示示。得得226 163.5536 162=(0.05)12.529, 故，在故，在 = 0.05下下, 接受原假設(shè)接受原假設(shè)(jish)，即認(rèn)為數(shù)，即認(rèn)為數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布。據(jù)服從指數(shù)分布。第74頁/共96頁第七十五頁，共96頁。例例3: 為檢驗(yàn)棉紗的拉力強(qiáng)度為檢驗(yàn)棉紗的拉力強(qiáng)度(qingd) X (單位單位: kg) 服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機(jī)抽取服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機(jī)抽取300條進(jìn)行拉條進(jìn)行拉力試驗(yàn)，結(jié)果列在表力試驗(yàn)，結(jié)果列在表8.2中。給定中。給定 = 0.01,檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè) H0：拉力(ll)強(qiáng)度 X N(, 2) .第75頁/共96頁第七十六頁

54、，共96頁。解：本例中，并未給出各觀測(cè)值解：本例中，并未給出各觀測(cè)值 Xi 的具體的具體(jt)值值,只給出了各觀測(cè)值的取值范圍，這樣只給出了各觀測(cè)值的取值范圍，這樣的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。樣本均值與樣本方差的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。樣本均值與樣本方差可通過下列式計(jì)算：可通過下列式計(jì)算：. 211 21 1221211kiiiikiiiiXnaannSaannX，.26. 01 41. 1 ),( 22222SnnXN，為為極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的的和和，對(duì)正態(tài)總體對(duì)正態(tài)總體第76頁/共96頁第七十七頁，共96頁。 (1). 先將數(shù)據(jù)先將數(shù)據(jù)(shj) Xi 分成分成13組，每組落入一組，每組落入一個(gè)

55、區(qū)個(gè)區(qū) 間，區(qū)間的端點(diǎn)為：間，區(qū)間的端點(diǎn)為： . 18. 2 78. 0 64. 0 1312210aaaaa，(2). 計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)(shj)落入各子區(qū)間的理論頻落入各子區(qū)間的理論頻數(shù)。數(shù)。因分布中含有兩個(gè)未知參數(shù)，所以，理論頻因分布中含有兩個(gè)未知參數(shù)，所以，理論頻數(shù)只能數(shù)只能(zh nn)近似地估計(jì)。落入第近似地估計(jì)。落入第 i 個(gè)子個(gè)子區(qū)間區(qū)間Ii 的理論頻數(shù)的估計(jì)為的理論頻數(shù)的估計(jì)為 ， 其中其中 .13 2 1 26. 041. 126. 041. 1) ( 12 ，iaappiiiiipn第77頁/共96頁第七十八頁，共96頁。，因因0.46 1.85 1.85 0.46 13

56、1221pnpnpnpn。見表見表最后兩組合并成一組最后兩組合并成一組我們將前兩組和我們將前兩組和所以，所以，均大于均大于，而而8.3)( 5 113pnpn第78頁/共96頁第七十九頁，共96頁。(3). 計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)(shj)落入各子區(qū)間上的實(shí)際頻數(shù)落入各子區(qū)間上的實(shí)際頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1, 2, , 10 . .15.22 122kiiiipnpnf(4). 計(jì)算檢驗(yàn)計(jì)算檢驗(yàn)(jinyn)統(tǒng)計(jì)量的值統(tǒng)計(jì)量的值因?yàn)橐驗(yàn)?k =10，r =2，所以上述，所以上述(shngsh) 2分布的自由度為分布的自由度為 k-r-1=7。由。由.48.

57、18)(15.2221rk2(5). H0 的顯著性水平為的顯著性水平為 的檢驗(yàn)的檢驗(yàn) 于是，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為棉紗拉力強(qiáng)于是，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為棉紗拉力強(qiáng)度不服從正態(tài)分布。度不服從正態(tài)分布。第79頁/共96頁第八十頁，共96頁。 孟德爾在關(guān)于遺傳問題的研究中孟德爾在關(guān)于遺傳問題的研究中，用豌豆做實(shí)驗(yàn)。豌豆有黃和綠兩種，用豌豆做實(shí)驗(yàn)。豌豆有黃和綠兩種顏色，在對(duì)它們進(jìn)行兩代雜交之后，顏色，在對(duì)它們進(jìn)行兩代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部分呈綠色分呈綠色(l s)。其數(shù)目的比例大致。其數(shù)目的比例大致是是 3:1。 2檢驗(yàn)的一個(gè)著名應(yīng)用例子是孟德爾豌豆檢驗(yàn)的

58、一個(gè)著名應(yīng)用例子是孟德爾豌豆實(shí)驗(yàn)。奧地利生物學(xué)家孟德爾在實(shí)驗(yàn)。奧地利生物學(xué)家孟德爾在1865年發(fā)表的年發(fā)表的論文，事實(shí)上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺論文，事實(shí)上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺傳學(xué)的基礎(chǔ)。他的這項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地傳學(xué)的基礎(chǔ)。他的這項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地證明了統(tǒng)計(jì)方法在科學(xué)研究中的作用。因此，證明了統(tǒng)計(jì)方法在科學(xué)研究中的作用。因此，我們有必要在這里將這一情況介紹我們有必要在這里將這一情況介紹(jisho)給給大家。大家。 第80頁/共96頁第八十一頁，共96頁。 這只是一個(gè)表面上的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但它啟發(fā)這只是一個(gè)表面上的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但它啟發(fā)(qf)孟德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象孟

59、德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象。他大膽地假定存在一種實(shí)體，即現(xiàn)在我們稱。他大膽地假定存在一種實(shí)體，即現(xiàn)在我們稱為為“基因基因”的東西，決定了豌豆的顏色。這基因的東西，決定了豌豆的顏色。這基因有黃綠兩個(gè)狀態(tài)，一共有四種組合：有黃綠兩個(gè)狀態(tài)，一共有四種組合： 孟德爾把他的實(shí)驗(yàn)重復(fù)了多次，每次都得到孟德爾把他的實(shí)驗(yàn)重復(fù)了多次，每次都得到(d do)類似結(jié)果。類似結(jié)果。(黃黃, 黃黃)，(黃黃, 綠綠)，(綠綠, 黃黃)，(綠綠, 綠綠). 第81頁/共96頁第八十二頁，共96頁。(黃黃, 黃黃)，(黃黃, 綠綠)，(綠綠, 黃黃)，(綠綠, 綠綠). 孟德爾認(rèn)為孟德爾認(rèn)為, 前三種配合使豆子呈黃

60、色前三種配合使豆子呈黃色,而而第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點(diǎn)看第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點(diǎn)看，黃色豆子出現(xiàn)的概率為，黃色豆子出現(xiàn)的概率為3/4，綠色豆子出現(xiàn)的，綠色豆子出現(xiàn)的概率為概率為1/4。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什么總是么總是(zn sh)接近接近 3:1 這個(gè)觀察結(jié)果。這個(gè)觀察結(jié)果。 孟德爾這個(gè)發(fā)現(xiàn)的深遠(yuǎn)意義是他開辟孟德爾這個(gè)發(fā)現(xiàn)的深遠(yuǎn)意義是他開辟(kip)了遺傳學(xué)研究的新紀(jì)元。下面的例子就是用了遺傳學(xué)研究的新紀(jì)元。下面的例子就是用 2檢驗(yàn)來檢驗(yàn)孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比檢驗(yàn)來檢驗(yàn)孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比為為 3:1的