第05講固定收益證券及其定價(jià)

1、2006-10-261第五講 固定收益證券定價(jià)什么是利率如何給固定收益?zhèn)▋r(jià)？固定收益?zhèn)c利率有何關(guān)系？如何測度固定收益證券價(jià)格對利率的敏感性？如何用利率樹定價(jià)企業(yè)債券？2006-10-262目錄n現(xiàn)金流的未來值和現(xiàn)值n固定收益證券的收益率或利率n貨幣和資本市場的主要固定收益證券n影響債券價(jià)格運(yùn)動(dòng)的因素n固定收益證券的利率敏感性尺度：久期和凸性n固定收益證券定價(jià)n零息債券即期利率的期限結(jié)構(gòu)n用利率樹定價(jià)企業(yè)債券2006-10-263參考書n本講義的Excel 注解nSundaresan：固定收入證券市場及其衍生產(chǎn)品，第2版，第4章。北京大學(xué)出版社。nBrigham 等: 財(cái)務(wù)管理，第11版

2、，第9章。2006-10-264未來值FV（Future Value）n單期支付n假定你投資 $1,000，期限1年，年利率 5%。1年后該投資的價(jià)值有多少？n利息 = $1,000(.05) = $50n1年后價(jià)值 = 本金 + 利息 = $1,000 + $50 = $1,0502006-10-265未來值n單期支付nFV = PV(1 + i)nnFV = $1,000(1+.05)1 = $1,0502006-10-266未來值n單期支付n假定你的投資期限是2年，1次還本付息。到期后你投資的價(jià)值將是多少?nFV = $1000(1.05)(1.05) nFV = $1000(1.05)

3、2 = $1,102.502006-10-267未來值n多期支付n該現(xiàn)金流在第三年后的未來值是多少?2006-10-268未來值n多期支付2006-10-269現(xiàn)值Present Valuen單期支付n假定你1年后需要$10,000資金。如果當(dāng)前利率是7%，你今天需要到銀行存多少錢？n現(xiàn)值 = 10,000/(1.07)1 = 9,345.792006-10-2610現(xiàn)值n多期支付n下面現(xiàn)金流的現(xiàn)值是多少?2006-10-2611現(xiàn)值n多期支付2006-10-2612普通年金普通年金Ordinary AnnuityPMTPMTPMT0123i%PMTPMT0123i%PMT先付年金先付年金An

4、nuity Due普通年金與先付年金2006-10-26133年期$100年金，在利率為10%時(shí)，其未來值是多少?100100100012310% 110 121FV= 3312006-10-2614年金未來值公式nn期年金，在利率為i時(shí)，其未來值可用下面的公式得出：= PMT(1+i)n-1i= 100(1+0.10)3-10.10= 3312006-10-2615用電子數(shù)據(jù)表計(jì)算年金未來值n使用 Excel的FV 函數(shù)：n = FV(Rate, Nper, Pmt, Pv)n = FV(0.10, 3, -100, 0) = 331.002006-10-2616普通年金的現(xiàn)值是多少?100

5、100100012310%90.9182.64 75.13248.69 = PV2006-10-2617年金現(xiàn)值公式nn期年金，在利率為i時(shí)，其現(xiàn)值可用下面的公式得出：= PMT1 - 1(1+i)ni= 1001 - 1(1+0.10)30.10= 248.692006-10-2618用電子數(shù)據(jù)表計(jì)算年金現(xiàn)值n使用 PV 函數(shù)公式：n = PV(Rate, Nper, Pmt, Fv)n = PV(0.10, 3, 100, 0) = -248.69年金現(xiàn)值（年金的資本化價(jià)值）n甲60歲時(shí)獲得1筆年金。只要她活著，一家機(jī)構(gòu)每年年終就必須支付給她10,000元。若甲要出售該年金，該年金的價(jià)格是

6、多少？n這要求將該筆年金資本化。該年金的資本化價(jià)值是多少，取決于：甲的預(yù)期壽命，貼現(xiàn)率，即當(dāng)前的市場利率。n假定甲的預(yù)期壽命是75歲，貼現(xiàn)率是6%，該年金的資本化價(jià)值是：nPV=10000/(1+0.06)1+10000/(1+0.06)2+10000/(1+0.06)15n我們可以用年金現(xiàn)值公式來計(jì)算該年金的資本化價(jià)值。該公式如下：iiVn)1 (11AP年金現(xiàn)值n計(jì)算得：PV=10000*1-1/(1.06)15/0.06=97,122元n若甲為一人瑞，最終將活到100歲，則該年金的資本化價(jià)值將是： PV=10000*1-1/(1.06)40/0.06=150,463元n購買該年金的人的凈

7、利潤是：150463-97122=53341年金現(xiàn)值推導(dǎo)iiCPViiCiiiiiCiiiCPVxaaPVoraPVaaaaPVaaaaaPVxiaiCiCiCiCiCPVnnnnnnnnn3213232)(1111)1 ()(111,)1 ()1 (11)1 ()(111)1 () i1 ()1 (11)(111)1 (r1r)r1 () r1 ()2() 1 ()2(rrrrr:r) 1 (rrrr)1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1即：得：同乘對上式右端的分子分母后：和替代得：用得兩邊乘上式變?yōu)椋涸O(shè)2006-10-2621簡單利率（單利）n在借貸總期限內(nèi)的利息總收入與各期資本之和

8、的比率，即單利。n100元本金，期限3年利息收入18元單利=18元/（100元*3）=6%n100元本金期限0.25年利息總收入2.5元單利=2.5元/（100元*0.25）=10%2006-10-2622復(fù)利n各期應(yīng)得利息被自動(dòng)追加為本金的利率。n100元本金，期限3年，復(fù)利6%，3年內(nèi)全部利息收入為：第一年： 100*6%=6第二年： (100+6)*6%=6.36第三年： (100+6+6.36)*6%=6.74三年總和=6+6.36+6.74=19.1n三年后本息=100+19.1=191.1n或：100(1+0.6)3=191.12006-10-2623有效利率n與名義利率相對。n名

9、義利率是按照確定期限計(jì)算的利率，未考慮該期限內(nèi)的實(shí)際付息次數(shù)。如名義年利率是按整年計(jì)算而不考慮年內(nèi)復(fù)利的利率，n有效利率是按照實(shí)際付息間隔期計(jì)算的復(fù)利，考慮了期限內(nèi)的利息支付次數(shù)。11年內(nèi)復(fù)周期數(shù)年內(nèi)復(fù)周期數(shù)名義利率有效利率2006-10-2624例：2006-10-2625連續(xù)復(fù)利公式推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利公式推導(dǎo)0,yPdtdPoryPdtdP設(shè)：P(t)=隨時(shí)間變化的資金總量dP / dt =資金總量隨時(shí)間變化的速度，與資金當(dāng)前數(shù)目P(0)成正比，y=比例系數(shù)，則有：2006-10-2626連續(xù)復(fù)利公式推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利公式推導(dǎo)-續(xù)續(xù)yPdtdPcytPln,cPlnytPdPydtdPPydt得：兩端

10、積分：1分離變量后得：兩邊取指數(shù)：yt)(cyt)t (PlncytPlneP) t (P,ePPeee0有：注意到：2006-10-2627到期收益率n到期收益率是按照復(fù)利計(jì)算的債務(wù)工具的利率。n從數(shù)學(xué)上說，到期收益率是使債務(wù)未來付款的現(xiàn)值與債務(wù)當(dāng)前市場價(jià)格相等的貼現(xiàn)率。2006-10-2628等額分期付款債務(wù)的YTMn即每年按月償還固定金額的債務(wù)，不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款和消費(fèi)貸款一般采取這種形式。每月付款中包含本金和利息兩個(gè)部分。隨著時(shí)間的推移，付款中的利息部分越來越少（因?yàn)橛?jì)息本金越來越少），本金部分越來越多。公式：niFPiFPiFPiFPLoan111132 FP=每期付款，i=到期收益率2

11、006-10-2629例. 用Excel的RATE函數(shù)計(jì)算住宅抵押貸款的YTM2006-10-2630息票債務(wù)的YTMn息票債務(wù)是利息按年或半年、1月償付，本金在債務(wù)到期時(shí)償付的債券、貸款或存款。公式：nnBiFiCiCiCiCP1111132 其中：PB = 債券價(jià)格，C = 每年的息票付款，F(xiàn) =債券面值，i = 到期收益率，n = 債券到期年限 2006-10-2631息票債券的YTM-續(xù)n息票債券的每期付款可以看作是單筆零息債券。n用零息債券的即期利率分別對各期付款貼現(xiàn)，加總后得到該息票債券的現(xiàn)值，或者說該息票債券的價(jià)格。n最后根據(jù)息票債券的未來現(xiàn)金流，期限，已得出的價(jià)格，就可以計(jì)算出

12、該息票債券的YTM。2006-10-2632債券描述：剩余期限兩年，息票率6%，零息利率分別是4.15%，4.25%，4.4%，4.6%。該債券的價(jià)格：026706. 1940448. 0028104. 0028765. 002939. 0)2/046.1 (03. 1)2/044.1 (03. 0)2/0425.1 (03. 0)2/0415.1 (03. 04321432143214321%)843. 51 (03. 1%)843. 51 (03. 0%)843. 51 (03. 0%)843. 51 (03. 0)1 (03. 1)1 (03. 0)1 (03. 0)1 (03. 0)1

13、 (03. 1)1 (03. 0)1 (03. 0)1 (03. 06 .0267. 1YTMYTMYTMYTMYTMYTMYTMYTM債券的到期收益率：2006-10-2633用Yield函數(shù)計(jì)算付息債券的到期收益率2006-10-2634發(fā)達(dá)市場主要貨幣市場證券n貨幣市場證券貨幣市場證券:n到期時(shí)間在一年以內(nèi)n用于企業(yè)和政府的短期融資n一般被企業(yè)、金融機(jī)構(gòu)和政府機(jī)構(gòu)用短期資金購買n為投資者提供流動(dòng)性2006-10-2635發(fā)達(dá)市場主要貨幣市場證券n國庫券國庫券Treasury billsn商業(yè)票據(jù)商業(yè)票據(jù)Commercial papern可轉(zhuǎn)讓存單可轉(zhuǎn)讓存單Negotiable certi

14、ficates of deposit (NCDs)n回購協(xié)議回購協(xié)議Repurchase agreementsn銀行承兌銀行承兌Bankers acceptances發(fā)達(dá)市場的主要資本市場債券n國債n中央政府發(fā)行的債券，有主權(quán)風(fēng)險(xiǎn)，即國家拒付債務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)。n抵押債券mortgage bondsn以公司的一定資產(chǎn)做償債擔(dān)保的債券。公司破產(chǎn)，債券持有人可以通過強(qiáng)行出售這些資產(chǎn)來實(shí)現(xiàn)自己對公司的要求權(quán)（債權(quán)）。n信用債券debenturesn無擔(dān)保債券，債券持有人沒有針對公司特定財(cái)產(chǎn)的留置權(quán)（扣押然后自行處置的權(quán)利）。債權(quán)人的要求權(quán)僅僅受公司未充當(dāng)擔(dān)保品的財(cái)產(chǎn)保護(hù)。信用強(qiáng)的公司通常發(fā)行這種債券。信用弱

15、的公司在擔(dān)保品用完時(shí)也高利發(fā)行這種債券。n次級信用債券subordinated debenturesn債券持有人對公司財(cái)產(chǎn)要求權(quán)的級別，在公司破產(chǎn)時(shí)，低于或次于高級債務(wù)senior debt（如銀行貸款和其他短期債務(wù)）。n開發(fā)債券development bonds和污染控制債券pollution control bandsn發(fā)達(dá)國家的地方政府為發(fā)展工業(yè)增加就業(yè)和控制污染而發(fā)行的債券。如美國州政府的產(chǎn)業(yè)開發(fā)署發(fā)行開發(fā)債券，然后將所籌的資金轉(zhuǎn)貸給一家企業(yè)，讓其擴(kuò)大生產(chǎn)以便增加就業(yè)。地方政府的污染控制署發(fā)行債券，然后將資金轉(zhuǎn)貸給電廠或汽車制造廠，以便讓其控制污染。這類債券一般免稅。n已保險(xiǎn)市政債券n

16、美國市政府發(fā)行的由保險(xiǎn)公司做保證人的債券。市政府違約時(shí)，保險(xiǎn)公司負(fù)責(zé)償還債權(quán)人本息。因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)較低，所以這類債券的利率較低。2006-10-2637證券價(jià)值的含義n賬面價(jià)值n證券在資產(chǎn)負(fù)債表上的價(jià)值n清算價(jià)值n公司破產(chǎn)時(shí)，證券的出售價(jià)格。n市場價(jià)值n證券在市場上交易時(shí)的價(jià)格。n經(jīng)濟(jì)價(jià)值n又稱內(nèi)在價(jià)值，是用適當(dāng)貼現(xiàn)率對債券未來現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)時(shí)，所得的現(xiàn)值。經(jīng)濟(jì)價(jià)值高于市場價(jià)值，說明在該投資者看來，該證券的市價(jià)被低估。反之，經(jīng)濟(jì)價(jià)值低于市場價(jià)值，該證券的市價(jià)被高估。2006-10-2638證券定值n馬克思說：n證券的“市場價(jià)值，會(huì)隨著它們有權(quán)索取的收益的大小和可靠程度而發(fā)生變化”n這種證券的市場價(jià)值

17、部分地有投機(jī)的性質(zhì)，因?yàn)樗皇怯涩F(xiàn)實(shí)的收入決定的，而是由預(yù)期得到的、預(yù)先計(jì)算的收入決定的”；n如果“現(xiàn)實(shí)資本的增值率不變，或年收益已經(jīng)由法律規(guī)定，并且有充分保證，那么，這種證券的價(jià)格的漲落就和利率成反比”。n“在貨幣市場緊迫時(shí)，這種證券的價(jià)格會(huì)雙重跌落；第一，因?yàn)槔侍岣撸诙?，因?yàn)橛写罅孔C券投入市場，以便變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)貨幣”。-資本論，卷3，530頁。n這段話說明了包括股票在內(nèi)的證券的定價(jià)要素，以及投資證券的風(fēng)險(xiǎn)。n決定證券價(jià)格的因素：n證券的預(yù)期收益流，n收益的穩(wěn)定性或風(fēng)險(xiǎn)，n市場利率。2006-10-2639債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)n債券價(jià)格應(yīng)該反映一定要求回報(bào)率下未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值:n無風(fēng)險(xiǎn)利率和風(fēng)險(xiǎn)溢

18、價(jià)的上升，將導(dǎo)致債券價(jià)格的下降。- - - ),()(RPRfkfPfb2006-10-2640債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n影響無風(fēng)險(xiǎn)利率的因素n通脹預(yù)期n經(jīng)濟(jì)增長n貨幣供給n預(yù)算赤字 - ),(DEFMSECONINFfRf2006-10-2641債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n影響無風(fēng)險(xiǎn)利率的因素(續(xù))n通脹預(yù)期的影響n預(yù)期通脹率上升，將導(dǎo)致債券的要求回報(bào)率提高n通脹指數(shù)與下列指數(shù)密切相關(guān)n消費(fèi)物價(jià)指數(shù)n生產(chǎn)品價(jià)格指數(shù)n能源價(jià)格n匯率2006-10-2642債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n影響無風(fēng)險(xiǎn)利率的因素(續(xù))n經(jīng)濟(jì)增長的影響n強(qiáng)勁的經(jīng)濟(jì)增長對要求回報(bào)率施加向上的壓力n對債券價(jià)格產(chǎn)生立即影響的未來經(jīng)濟(jì)條件的信號

19、來自n就業(yè)nGDPn零售額n工業(yè)生產(chǎn)n消費(fèi)者信心2006-10-2643債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n影響無風(fēng)險(xiǎn)利率的因素(續(xù))n貨幣供給的影響n如果對可貸資金的需求沒有同時(shí)增加，則貨幣供給的增長將對利率產(chǎn)生向下的壓力n在高通脹環(huán)境下，貨幣供給增加可能會(huì)引起對可貸資金需求的增加，從而給利率施加上升的壓力n政府預(yù)算赤字的影響n預(yù)算赤字增加給利率帶來上升的壓力2006-10-2644債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n影響信用(違約)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的因素n企業(yè)和地方政府債券信用風(fēng)險(xiǎn)的一般水平，會(huì)隨經(jīng)濟(jì)增長而變化：n強(qiáng)勁的經(jīng)濟(jì)增長趨于改善企業(yè)的現(xiàn)金流量，降低企業(yè)對債務(wù)違約的概率- )(ECONfRP2006-10-2645債券

20、價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n影響債券價(jià)格因素的總結(jié)n因?yàn)槠渌蛩匾苍谧兓?，以上各種因素對債券價(jià)格的精確影響，難以確定n特定債券特征的影響n可贖回條款等債券的特殊條款，也對債券價(jià)格的變化產(chǎn)生影響 - ),(),(DEFMSECONINFfRRPRfPffb2006-10-2646債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)(續(xù))n債券市場的效率n在一個(gè)有效的市場上，債券價(jià)格應(yīng)該充分反映所有可以得到的信息n一般而言，債券價(jià)格應(yīng)該反映公開發(fā)布的信息n債券價(jià)格不會(huì)反映只有企業(yè)管理層才知道的信息債券價(jià)格不會(huì)反映只有企業(yè)管理層才知道的信息2006-10-2647債券的利率敏感性尺度n久期n凸性2006-10-2648綜合的債券利率敏感性尺

21、度久期durationn久期是價(jià)值和時(shí)間加權(quán)的期限尺度，用來測量生息資產(chǎn)作為現(xiàn)金流入的時(shí)間和付息債務(wù)作為現(xiàn)金流出的時(shí)間n久期測量承諾的未來現(xiàn)金支付（現(xiàn)金付出或收入）的貨幣加權(quán)平均期限。n久期是測量債券價(jià)格利率敏感性的綜合指標(biāo)久期是測量債券價(jià)格利率敏感性的綜合指標(biāo)，其中包含了債券到期日和息票金額大小等因素。n久期也可以被理解為債券對市場利率的價(jià)格彈性。2006-10-2649綜合的債券利率敏感性尺度久期duration(2)n基本關(guān)系：n久期反映了市場利率變動(dòng)與所引起的債券價(jià)格變動(dòng)之間的關(guān)系。n較長的債券久期，表明債券價(jià)格對利率更大的敏感性。n影響久期的因素包括n到期收益率n債券期限n債券息票率

22、的大?。ɡ⒅Ц端俣龋?006-10-2650作為將未來付款作為現(xiàn)金收回所需加權(quán)平均時(shí)間的久期n1tttn1tttYTM) (1CFYTM) (1CF *t D久期是將未來現(xiàn)金流收回所需的“貨幣加權(quán)平均時(shí)間”2006-10-2651作為將未來付款作為現(xiàn)金收回所需加權(quán)平均時(shí)間的久期-續(xù)NNNDDDDPrCNPrCPrCD321221)1/()()1/()2()1/() 1 (2006-10-26521234=2*356(=4/5）7=1*6年數(shù)現(xiàn)金流利率為6%時(shí)1元人民幣的現(xiàn)值各期資金現(xiàn)值債券價(jià)格人民幣的期限權(quán)數(shù)各期資金作為現(xiàn)值回流的期限0￥1,1121800.943475.47170.070.

23、072800.890071.19970.060.133800.839667.16950.060.184800.792163.36750.060.235800.747359.78070.050.276800.705056.39680.050.30710800.6651718.2620.654.52總額￥1,112D=5.74年久期的計(jì)算2006-10-2653rDrrDrrDPPrrPPDurationM111D被稱為麥考利久期，DM=D/(1+r)是已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的修正久期.作為債券價(jià)格的利率彈性（敏感性）的久期久期也是價(jià)格對利率敏感性指標(biāo)，即債券價(jià)格的利率彈性。2006-10-2654久期與證券

24、價(jià)格的敏感性Pi D- MPPi) (1i D- P我們可以用下面的公式計(jì)算債券價(jià)格的利率敏感性：2006-10-2655久期與債券價(jià)格敏感性n債券描述n期限：15年n息票率：10%n到期收益率：7%n當(dāng)前價(jià)格： $1,273.24n預(yù)期到期收益率變動(dòng)：7%nYTM變動(dòng)后的債券價(jià)格：$1,080.61.n債券的修正久期：8.56n求債券的價(jià)格彈性和利率敏感性53.0%7%7%924.273, 1$24.273, 1$61.080, 1$ in change percent in change percentkPpe1 . 8%71%7%924.273, 1$24.273, 1$61.080,

25、1$的相對變化的百分比變化利率敏感性kPP%12.1702. 056. 8 *-DUR%yP實(shí)際價(jià)格變化：-15.13%-0.15129 -0.15129 用久期計(jì)算價(jià)格的利率敏感性久期公式推導(dǎo)2Nn322211)y1 (C)n(dydP)y1 (C)2(dydP)y1 (C)1(dydPn322211nn3322111111111rCrCrC)r(CPrCrCrCrCPnMDyD)1 (P1)y1 (C)n()y1 (C)2()y1 (C) 1()y1 (1P1dydPnn22111nn3221)y1 (C)n()y1 (C)2()y1 (C)1(dydP對上式各項(xiàng)分別求一階導(dǎo)數(shù)：加總：等式

26、兩邊同除以P：2006-10-2658用Excel函數(shù)Duration，MDURATION計(jì)算久期2006-10-2659問題n2005年金融聯(lián)考題n假定：市場上的利率期限結(jié)構(gòu)平坦，市場年利率均為10%（按一年計(jì)息一次計(jì)算）。n一個(gè)債券基金經(jīng)理可選擇A、B兩種債券投資。兩種債券的面值都是1000元，剩余期限都是3年，付息頻率都是每年1次。A債券的息票率為8%，B債券的息票率為10%。n基金經(jīng)理預(yù)期所購證券的持有期為一年，并預(yù)測市場利率期限結(jié)構(gòu)今后會(huì)平行向下移動(dòng)。不考慮其他因素，請問對該投資經(jīng)理而言，哪種債券是較好的選擇？n標(biāo)準(zhǔn)答案：計(jì)算兩個(gè)債券的久期（6分）；分析（2分）2006-10-266

27、0問題-續(xù)n我的答案n答案答案1：兩種債券都買。對基金經(jīng)理而言，這是最好的選擇。相對來說，預(yù)測1年后的利率要容易些。如果自己預(yù)測與市場預(yù)測的差距不大，選擇變得不重要。如果自己的預(yù)測與市場的差別很大，自己預(yù)測錯(cuò)誤的概率很大。為保險(xiǎn)起見，最好兩種都買，不然基金經(jīng)理會(huì)問：為什么不能兩種都買？（最現(xiàn)實(shí)的答案）（最現(xiàn)實(shí)的答案）n答案答案2：如果兩債券的到期收益率都一樣，購買息票率為8%的A債券。因?yàn)?，其他條件相同，息票率較低的債券久期較長，因而在利率如預(yù)期下降時(shí)，其價(jià)格上升的幅度較大。（最符合出題者意圖的答案）（最符合出題者意圖的答案）n這樣，還需要計(jì)算久期嗎？2006-10-2661凸性n債券價(jià)格曲線

28、的彎曲程度或非線性程度。久期測量價(jià)格相對于利率的變動(dòng)或敏感性，凸性測量這種變動(dòng)的加速度或敏感性本身的變化。n凸性=債券價(jià)格對利率的二階導(dǎo)數(shù)/2倍的債券價(jià)格ntttyCttyPD1222)1 ()()1 (121凸性2006-10-2662凸性推導(dǎo)該公式的二階導(dǎo)數(shù)為：nnnrrPnrrPrPP121222ntttntttyCttyPDPyCttyyP122212222)1 ()()1 (1212)1 ()()1 (1凸性得到凸性的數(shù)值：倍的將上式除以債券價(jià)格：nn332211111rCrCrCrCP泰勒擴(kuò)展式：2006-10-2663凸性公式推導(dǎo)-續(xù)2nn221nn-n)y1 (C)n(1)n(

29、dyPd)y1 (C)n(dydP) i1 (Ci)(1CP二階導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)：債券價(jià)格：nn332211111rCrCrCrCP2006-10-2664凸性公式推導(dǎo)-續(xù)2nn22nN2n222222212222112211212)y1 (C)nn()y1 (C)n)(1n(dyPd)y1 (2)C2()y1 (C)2)(3(dyPd)y1 (1)C1 ()y1 (C)1)(2(dyPdnt 1tt2222)y1 (C) tt ()y1 (1dyPd對上述價(jià)格公式的每一項(xiàng)分別求二階導(dǎo)數(shù)：加總后得：2006-10-2665凸性公式推導(dǎo)-續(xù)nt 1tt2222)y1 (C) tt ()y1 (1dyPd已知債券價(jià)格的二階導(dǎo)數(shù)為：對上式兩端同除以2倍的債券價(jià)格P，得到凸性：ntntPP1tt221tt222)y1 (C) tt ()y1 (1212)y1 (C) tt ()y1 (1D凸性測度的，是債券價(jià)格的線性變化（近似變化）與實(shí)際變化的差。因?yàn)檫@一差額始終為正，所以，凸性始終為正。2006-10-2666凸性與債券價(jià)格變化n由凸性導(dǎo)致的債券價(jià)格百分比變化可表示如下：債券價(jià)格變化率