1.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).ppt課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù) 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)第十一章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 第一節(jié) 第十一章 定義：定義： 給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第 n 項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和nkknuS1稱為級(jí)數(shù)的部分和.nuuuu321

2、次相加, 簡(jiǎn)記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和, 記作一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,lim不存在若nnS則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然0limnnr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例1. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1q12nnqaqaqaaSqqaan1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而,lim

3、nnS則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 2). 假設(shè),1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaaaaan 1) 1(因而nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .那么,級(jí)數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技

4、巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和23ln34lnnn1ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例3. 判別級(jí)數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故

5、原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為.2ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么nkknuc1,nScnnlimSc這說(shuō)明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說(shuō)明說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS1nnv則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證

6、: 令令,1nkknuS,1nkknv那么)(1knkknvu nnS)(nS這說(shuō)明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說(shuō)明說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 那么)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證證: 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)1nnu的前 k 項(xiàng)去掉,1nnku的部分和為nllk

7、nu1knkSSnknS與,時(shí)由于n數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為.kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.推論推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1111發(fā)散.例如，用反證法可證用反證法可證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性/p>

8、1121121解解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nn121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 注：調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.(P191)nn11 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.nun,時(shí)當(dāng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

9、回 完畢 注意注意:0limnnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 那那么么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:;231)1(123 nnnn.212)2(1 nnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnn

10、nn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消,41limnnS這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(1) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 解解:1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂, 其和為 3 ., 3limnnS故(2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 1nnunuuu21級(jí)數(shù).為通項(xiàng)nu.:nkknuS1部分和.,lim11nnnnnnuSuSS記收斂則稱級(jí)數(shù)若.,lim發(fā)散則稱級(jí)數(shù)不存在若1nnnnuS小結(jié)：小結(jié)：:性質(zhì).)(,.21121111SSvuSvSunnnnnnn則若.,.同斂散與則設(shè)1102nnnnuukk.,即則若SkukSunnnn11.同斂散與nnnuu13kn.nknnnnuuu111且kn) .,(收斂和發(fā)生改變項(xiàng)無(wú)關(guān)級(jí)數(shù)的斂散性與前有