1.2多元函數(shù)的概念ppt課件

1、Ch7.2 多元函數(shù)的概念一一. .二元函數(shù)定義與幾何意義二元函數(shù)定義與幾何意義1.1.定義定義，平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)平平面面點(diǎn)點(diǎn)集集為為設(shè)設(shè)xoyD,),(Dyx 若若,f按按照照某某個(gè)個(gè)對對應(yīng)應(yīng)法法則則應(yīng)應(yīng)，總總有有唯唯一一的的數(shù)數(shù)值值與與之之對對變變量量z的的二二元元函函數(shù)數(shù)，和和為為變變量量則則稱稱yxz記為記為Dyxyxfz),(),(為定義域。為定義域。為應(yīng)變量，為應(yīng)變量，為自變量，為自變量，其中其中Dzyx,類似地可推廣到類似地可推廣到n n元函數(shù)元函數(shù)),(21nxxxfz兩點(diǎn)解釋：兩點(diǎn)解釋：fD和和對對應(yīng)應(yīng)法法則則定定義義有有兩兩要要素素：定定義義域域)1(幾幾何何意意義

2、義：)2(表表示示一一張張曲曲面面。點(diǎn)點(diǎn)集集),)(,(| ),(Dyxyxfzzyx 第七章 2.2.定義域：定義域：使得二元函數(shù)有意義的自變量的集合使得二元函數(shù)有意義的自變量的集合11)4(4)1ln()3()1ln()5(1)2(53)1()(. 12222222 xyxyzyxyxzxzyxzyxz：略略圖圖并并在在平平面面上上作作定定義義域域的的求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，例例,| ),()1(2RyRxyxRD 1| ),()2(22yxyxD401)3(2222yxyx41| ),(22yxyxD01101)4(xyxy01| ),(xyxyyxD解:01| ),()5

3、(2xyxD11| ),(xyxD3.K3.K次齊次函數(shù)：次齊次函數(shù)：),(),(2121nknxxxfttxtxtxf若若),(21nxxxfy設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)次齊次函數(shù)。次齊次函數(shù)。為為則稱則稱kf32352yyxxz例如：例如：次齊次函數(shù)。次齊次函數(shù)。為為3xyyyxxz252323不為齊次函數(shù)。不為齊次函數(shù)。經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)函函數(shù)數(shù)多多為為齊齊次次函函數(shù)數(shù) LAKYDouglas生生產(chǎn)產(chǎn)函函數(shù)數(shù)如如),(為正常數(shù)為正常數(shù)勞力投入勞力投入資本投入，資本投入，為產(chǎn)量，為產(chǎn)量， ALKY次齊次函數(shù)。次齊次函數(shù)。為為 稱為規(guī)模報(bào)酬不變。稱為規(guī)模報(bào)酬不變。時(shí)時(shí),1 。遞遞減減稱稱為為規(guī)規(guī)模模報(bào)報(bào)酬酬遞遞

4、增增時(shí)時(shí))(,)1(1 二二. .二元函數(shù)極限二元函數(shù)極限的的領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在定定義義：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DyxPPfz ),()(000時(shí)的極限，時(shí)的極限，當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)0)(PPPf記為記為Ayxfyyxx),(lim00Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或注：注：Ayxfyyxx ),(lim)1(00,二二元元極極限限一一般般不不可可記記為為 )(0，無無限限趨趨于于數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，且且無無限限趨趨于于當(dāng)當(dāng)APfPDP 。收收斂斂于于時(shí)時(shí)也也稱稱APfPP)(0是是則則稱稱A)()()(lim 0PP0PPAPfAPf 或或在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下有有.,)3(僅僅可

5、可用用初初等等方方法法用用求求極極限限無無羅羅必必塔塔法法則則可可的的方方式式是是任任意意的的。趨趨于于）（02PPyxxayxyxyxxxxyxyyxy 21lim)3( ,11lim)2( ,)sin(lim)1(:. 2)0,0(),()0,1(),(求求下下列列極極限限例例)1(xyxyxyxyyxyx)sin(lim)sin(lim)0,1(),()0,1(),( 型型001)2(型型00)11)(11()11(lim11lim)0,0(),()0,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyxxyxyxyyx)11(lim)0,0(),(2解:)3(型型1yxxayxxx 21lim)

6、3(yxxxayxyxxayxxxx 11lim1lim2e的極限的極限求求例例222)0,0(),(lim. 3yxxyyx型型00 xyxyyx 222)0,0(),(lim原式原式, 1222 yxy,為無窮小量為無窮小量x. 0限限為為之之積積為為無無窮窮小小量量可可知知極極由由無無窮窮小小量量與與有有界界變變量量解:.,)4(0的的路路徑徑有有無無窮窮多多條條在在平平面面上上PP ),(0的的方方式式不不同同若若存存在在兩兩條條相相異異的的路路徑徑PP .在在則此二元極限一定不存則此二元極限一定不存.lim. 4242)0,0(),(的極限的極限討論討論例例yxyxyx)0 , 0(

7、)1(軸軸沿沿x, 0始終為始終為此時(shí)此時(shí)y. 0故極限為故極限為)0 , 0()2(2 xy沿沿拋拋物物線線4422)0,0(),(2limxxxxxx 原式原式21,使得極限不相同使得極限不相同兩不同路徑兩不同路徑 極限不同極限不同.故故極極限限不不存存在在242)0,0()0,(00lim xxx原式原式解:設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 的極限的極限.則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 .例例5. 討論函數(shù)討論函數(shù)),(yxf

8、故故222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx例：例：),(lim0,0yxfyx),(lim0,0yxfxy0 ,0但由例但由例2 知它在知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在點(diǎn)二重極限不存在 .,),(22yxyxyxf.lim,lim,lim)5(000000,不同不同與二重極限與二重極限表示累次極限表示累次極限記號(hào)記號(hào)yyxxxxyyyyxx.,極限存在極限存在不可推出沿任意的路徑不可推出沿任意的路徑這兩個(gè)極限存在這兩個(gè)極限存在解:,),(:0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義的某領(lǐng)域內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)定義定義Pyxfz 三三. .二元函數(shù)連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義定義+ +結(jié)論結(jié)論),()(lim

9、00PfPfPP若若.)(0處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱PPf.否則為間斷否則為間斷此時(shí)，此時(shí)，0P稱為間斷點(diǎn)稱為間斷點(diǎn) .0P為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn) .如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù)上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 D 上上連續(xù)連續(xù).1)結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理函數(shù)函數(shù)上間斷上間斷.122 yx在圓周在圓周00)2(11)1(:. 6222222222yxxyxyxxyzyxz集集確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn)確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn)例例)1(11),(22yxyxf1| ),(22 yxyx間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)集集為為.)0 , 0()2(處處的的連連續(xù)續(xù)性性只只需需考考察察分分點(diǎn)點(diǎn)),0 , 0(軸軸沿沿x, 0始終為始終為此時(shí)此時(shí)y. 0