第八章學案2雙曲線

1、進進 入入 名師伴你行名師伴你行返回目錄返回目錄 1.1.雙曲線的定義雙曲線的定義（1）第一定義：平面內與兩個定點）第一定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的距離的差的絕對值等于常數的絕對值等于常數2a（2a1)的動點的軌跡叫做的動點的軌跡叫做 .其中其中常數常數e叫做叫做 .雙曲線雙曲線 焦點焦點 焦距焦距 雙曲線雙曲線 離心率離心率名師伴你行2.2.雙曲線的方程雙曲線的方程焦點坐標為焦點坐標為F1(-c,0),F2(c,0)，實軸長為，實軸長為2a的雙曲線的標準方的雙曲線的標準方程為程為 ;焦點坐標為焦點坐標為F1(0,-c)，F2（0,c），實軸），實軸長為長為2a的雙曲線的標準方

2、程為的雙曲線的標準方程為 .3.3.雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質以以 (a0,b0)為例為例.（1）范圍：）范圍： ；（2）對稱性：）對稱性： ；（3）頂點：）頂點： ； 實軸：實軸： 虛軸虛軸 ： ；1 1c c- -a ay ya ax x2 22 22 22 22 21 1c c- -a ax xa ay y2 22 22 22 22 21 1b by ya ax x2 22 22 22 2|x|a,y R 對稱軸：對稱軸：x=0,y=0，對稱中心為，對稱中心為O（0,0） A(a,0),A(-a,0),B(0,b)，B(0,-b)|AA|=2a|BB|=2b名師伴你行返回目錄返回目

3、錄 （5）準線：）準線： ；（6）漸近線：）漸近線： ；（7）焦半徑：）焦半徑：|PF1|= ， |PF2|= . a-ex0, P在左支上在左支上 ex0-a, P在右支上在右支上|a-ex0|= -a-ex0, P在左支上在左支上 a+ex0, P在右支上在右支上|a+ex0|=y= xa ab bx= c ca a2 2（4）離心率：）離心率： ；e= ,e1a ac c名師伴你行返回目錄返回目錄 考點一考點一 求雙曲線的標準方程求雙曲線的標準方程 【例【例1】已知雙曲線的漸近線方程為已知雙曲線的漸近線方程為y= x，并，并且焦點都在圓且焦點都在圓x2+y2=100上，求雙曲線方程上，求

4、雙曲線方程.【分析【分析】從圓的對稱性及雙曲線的焦點都在圓上知焦從圓的對稱性及雙曲線的焦點都在圓上知焦點可能在點可能在x軸上，也可能在軸上，也可能在y軸上，故應分兩種情況討軸上，故應分兩種情況討論求解論求解.3 34 4名師伴你行返回目錄返回目錄 【解析【解析】（1）當焦點在）當焦點在x軸上時，設雙曲線方程為軸上時，設雙曲線方程為 =1（a0,b0）.因漸近線方程為因漸近線方程為y= x，則，則 . 又由焦點在圓又由焦點在圓x2+y2=100上知上知c=10，即有，即有a2+b2=100. 由式由式解得解得a=6,b=8.雙曲線方程為雙曲線方程為 =1.2 22 22 22 2b by y-

5、-a ax x3 34 43 34 4a ab b6 64 4y y- -3 36 6x x2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 （2）當焦點在）當焦點在y軸上時，設雙曲線方程為軸上時，設雙曲線方程為 =1(a0,b0),由題設得由題設得 a2+b2=100 ,解得解得a=8,b=6.另一條雙曲線方程為另一條雙曲線方程為 =1.2 22 22 22 2b by y- -a ax x3 34 4a ab b3636x x6464y y2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 【評析【評析】雙曲線雙曲線 =1與與 =1是一對共軛雙是一對共軛雙曲線，一般形式是曲線，一般形式是 =1.因而本題有另一種

6、解法，設雙曲線方程為因而本題有另一種解法，設雙曲線方程為 =,于于是是(3 )2+(4 )2=100,解得解得=4.所求雙曲線方程為所求雙曲線方程為 =4,即即 =1.一般而言，若雙曲線的漸近線方程為一般而言，若雙曲線的漸近線方程為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則其共軛雙曲線方程形式為則其共軛雙曲線方程形式為f1(x,y)f2(x,y)=(0).6464y y- -3636x x2 22 23636x x6464y y2 22 22 22 22 22 2b by y- -a ax x2 22 22 22 24 4y y- -3 3x x | | | | | |1616y y- -9

7、9x x2 22 26464y y- -3636x x2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 對應演練對應演練根據下列條件求雙曲線方程：根據下列條件求雙曲線方程：（1）以坐標軸為對稱軸的等軸雙曲線兩準線間的距離）以坐標軸為對稱軸的等軸雙曲線兩準線間的距離為為 ;（2）以橢圓）以橢圓 =1的長軸端點為焦點，過的長軸端點為焦點，過P( ,3);（3）與雙曲線）與雙曲線 =1有共同漸近線，且過有共同漸近線，且過點點P(3, ).2 24 49 9y y2 25 5x x2 22 21 16 6y y6 6x x2 22 22 24 42 24 4名師伴你行返回目錄返回目錄 （1）兩準線間的距離為兩準

8、線間的距離為4 , ,即即 ，即，即 .又等軸雙曲線的離心率又等軸雙曲線的離心率e= ,a=4,b=4.故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為x2-y2=16或或y2-x2=16.2 22 24 4c c2 2a a2 22 22 2c ca a2 22 22 2e ea a2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 （2）橢圓長軸端點為（橢圓長軸端點為（5,0）,所求雙曲線的兩焦點在所求雙曲線的兩焦點在x軸上，且軸上，且c=5，又設雙曲線的，又設雙曲線的方程為方程為 =1(a0,b0),P(4 ,3)在雙曲線上，在雙曲線上， =1,又又a2+b2=c2=25,聯(lián)立解之得聯(lián)立解之得a2=16,b2=

9、9.故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為 =1.2 22 22 22 2b by y- -a ax x2 22 22 2b b9 9- -a a32329 9y y- -1616x x2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 （3）與雙曲線）與雙曲線 =1有共同漸近線的雙曲線方程可有共同漸近線的雙曲線方程可表示為表示為 =m(m0),由題意由題意m= =-1,故所求的雙曲線方程為故所求的雙曲線方程為 =1.1616y y- -9 9x x2 22 21616y y- -9 9x x2 22 21616) )2 2(4(4- -9 93 32 22 29 9x x1616y y2 22 2名師伴你

10、行返回目錄返回目錄 考點二考點二 雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質【例【例2】雙曲線雙曲線 =1(a1,b0)的焦距為的焦距為2c,直線直線l過點過點(a,0)和和(0,b),且點且點(1,0)到直線到直線l的距離與點的距離與點(-1,0)到直到直線線l的距離之和的距離之和s c.求雙曲線的離心率求雙曲線的離心率e的取值范圍的取值范圍.【分析【分析】直接用已知的直接用已知的“ 距離之和距離之和s c”這個條件列出這個條件列出只含有只含有a和和c的不等式的不等式,再通過構造法再通過構造法,將此不等式變形為將此不等式變形為一個只有一個只有e=ca的不等式的不等式,再解不等式即可得解再解不等式即可得

11、解.2 22 22 22 2b by y- -a ax x5 54 45 54 4名師伴你行返回目錄返回目錄 【解析【解析】直線直線l的方程為的方程為 =1,即即bx+ay-ab=0.由點到直線的距離公式以及由點到直線的距離公式以及a1,得到點得到點(1,0)到直線到直線l的距的距離離d1= .同理得到點同理得到點(-1,0)到直線到直線l的距離的距離d2= .s=d1+d2= = .由由s c,得得 c,即即5a 2c2.于是得于是得5 2e2.即即4e4-25e2+250,解不等式解不等式,得得 e25.由于由于e1,所以所以e的取值范圍是的取值范圍是 e .2 22 22 22 2b b

12、y y- -a ax x2 22 2b ba a1)1)- -b(ab(a2 22 2b ba a1)1)b(ab(a2 22 2b ba a2ab2abc c2ab2ab5 54 4c c2ab2ab5 54 42 22 2a a- -c c1 1- -e e2 24 45 52 25 55 5名師伴你行返回目錄返回目錄 【評析【評析】e2= 這一關系在雙曲線的有關運算這一關系在雙曲線的有關運算中常常用到中常常用到 ，同時要注意三種曲線關于，同時要注意三種曲線關于 e 的范圍的區(qū)別的范圍的區(qū)別.2 22 22 22 22 2a ab ba aa ac c名師伴你行返回目錄返回目錄 對應演練對

13、應演練設雙曲線設雙曲線C: =1(a0)與直線與直線l:x+y=1相交于兩個相交于兩個不同的點不同的點A,B.(1)求雙曲線求雙曲線C的離心率的離心率e的取值范圍的取值范圍;(2)設直線設直線l與與y軸的交點為軸的交點為P,且且PA= PB,求求a的值的值.2 22 22 2y y- -a ax x12125 5名師伴你行返回目錄返回目錄 (1)由由C與與l相交于兩個不同的點相交于兩個不同的點,故知方程組故知方程組 =1 x+y=1 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0 1-a20 4a4+8a2(1-a2)0，解得解得0a2且且a1.雙曲線的離心率雙曲線的離心率e= ,0a 且且e .即離

14、心率即離心率e的取值范圍為的取值范圍為( , )( ,+).2 22 22 2y y- -a ax x有兩個不同的實數解有兩個不同的實數解,消去消去y并整理得并整理得1 1a a1 1a aa a1 12 22 22 22 22 26 62 22 22 26 6名師伴你行返回目錄返回目錄 (2)設設A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).PA= PB,(x1,y1-1)= (x2,y2-1)，由此得由此得x1= x2,由于由于x1,x2都是方程都是方程的根的根,且且1-a20, .消去消去x2,得得 ,由于由于a0,a= .12125 512125 512125 52 22 22 2

15、2 22 22 2a a- -1 12a2a- -x x12125 5, ,a a- -1 12a2a- -x x121217172 26060289289a a- -1 12a2a- -2 22 213131717名師伴你行返回目錄返回目錄 考點三考點三 雙曲線性質的綜合應用雙曲線性質的綜合應用 【例【例3】已知雙曲線已知雙曲線C： =1(a0,b0)，B是右頂點，是右頂點，F是右焦點，點是右焦點，點A在在x軸正半軸上，且滿足軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數列，過成等比數列，過F作雙曲線作雙曲線C在第一、三象限的漸近在第一、三象限的漸近線的垂線線的垂線l，垂足為，垂足為

16、P.（1）求證：）求證：PAOP=PAFP;（2）若）若l與雙曲線與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點的左、右兩支分別相交于點D，E，求雙曲線求雙曲線C的離心率的離心率e的取值范圍的取值范圍.2 22 22 22 2b by y- -a ax x名師伴你行返回目錄返回目錄 【分析【分析】（1）如圖）如圖8-2-1，根據條件寫出，根據條件寫出l的方程，求出的方程，求出點點P的坐標，利用向量的坐標運算進行證明的坐標，利用向量的坐標運算進行證明.（2）將直線）將直線l的方程代入雙曲線方程，轉化為關于的方程代入雙曲線方程，轉化為關于x的的一元二次方程有兩個相異實根的條件求解一元二次方程有兩個相異實根的條

17、件求解.名師伴你行返回目錄返回目錄 【解析【解析】（1）證明：）證明：證法一證法一：由題意知直線：由題意知直線l的方程為的方程為 |OA|，|OB|，|OF|成等比數列，成等比數列，xAc=a2, xA= , A( ,0)PA=(0, ) , OP=( , ), FP=( , ).PAOP= , PAFP= .PAOP=PAFP.由由c).c).- -(x(xb ba ay yc).c).- -(x(xb ba ay yx xa ab by y 解得解得P( ).c ca ab b, ,c ca a2 2c ca a2 2c ca ab b- -c ca a2 2c cababc cb b-

18、-2 2c ca ab b2 22 22 2c cb ba a2 22 22 2c cb ba ac ca a2 2名師伴你行返回目錄返回目錄 證法二證法二：由：由P( ) ,PAx軸，軸，PAOP-PAFP=PAOF=0.PAOP=PAFP. =1b2x2- (x-c)2=a2b2，即，即(b4-a4)x2+2a4cx-(a4c2+a2b4)=0.l與雙曲線左、右兩支分別相交于點與雙曲線左、右兩支分別相交于點D，E，設，設D(x1,y1),E(x2,y2),x1x2= a4,即即b2a2,c2-a2a2.e22，即，即e .c ca ab b, ,c ca a2 22 24 4b b- -a

19、 ab ba ac ca a4 44 42 22 24 42 24 4b ba ac c) )- -( (x xb ba ay y 2 22 22 22 2b by y- -a ax x（2）由）由得得名師伴你行返回目錄返回目錄 【評析【評析】漸近線是雙曲線的特有性質，由焦點向漸近線漸近線是雙曲線的特有性質，由焦點向漸近線引垂線，垂足必在準線上；反之，過漸近線與準線的交引垂線，垂足必在準線上；反之，過漸近線與準線的交點和相應焦點的連線必垂直于該漸近線點和相應焦點的連線必垂直于該漸近線.名師伴你行返回目錄返回目錄 對應演練對應演練雙曲線雙曲線C與橢圓與橢圓 有相同的焦點有相同的焦點,直線直線y=

20、 x為為C的一條漸近線的一條漸近線.(1)求雙曲線求雙曲線C的方程；的方程；(2)過（，）的直線過（，）的直線l，交雙曲線于，兩點，交雙曲線于，兩點，交交x軸于點（點與的頂點不重合），軸于點（點與的頂點不重合）， =1 =2B，且，且 時，求點的坐標時，求點的坐標.14 4y y8 8x x2 22 23 33 38名師伴你行返回目錄返回目錄 (1)設雙曲線方程為設雙曲線方程為 =1（a0,b0）.由橢圓方程由橢圓方程 求得兩焦點分別為求得兩焦點分別為(-2,0),(2,0).對于雙曲線對于雙曲線C:c=2.又又y= x為雙曲線為雙曲線C的一條漸近的一條漸近線線, = ,解得解得a2=1,b2

21、=3,雙曲線雙曲線C的方程為的方程為x2- =1.2 22 22 22 2b by y- -a ax x14 4y y8 8x x2 22 23 33 3a ab b3 3y y2 2名師伴你行返回目錄返回目錄 (2)解法一解法一:由題意知直線由題意知直線l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.設設l的方程為的方程為 y=kx+4 , A(x1,y1),B(x2,y2),則則Q( ,0),PQ= QA，( ,- 4 )= (x1+ ,y1). = (x1+ ) x1= - 4 = y1 y1= .A(x1,y1)在雙曲線在雙曲線C上上, ,16+32 +16 - k2- k2 =0,(1

22、6-k2) +32 +16- k2=0.k k 4 4k k 4 4k k 4 4k k 4 4k k 4 41 1 4 4k k4 4k k 4 41 10 01 1- -3 31 16 6- -) )1 1( (k k1 16 62 21 12 21 11 12 23 31 16 62 21 13 31 16 62 21 12 21 11 11 11 11 11 11 1名師伴你行返回目錄返回目錄 同理有同理有(16-k2) +322+16- k2=0.若若16-k2=0,則直線則直線l過頂點過頂點,不合題意不合題意.16-k20,1,是二次方程（是二次方程（16k2）x2+32x+16-

23、 k2=0的兩的兩根根,1+2= k2=4,此時，此時，0,k=2.所求的坐標為（所求的坐標為（2,0）.2 22 23 31 16 63 31 16 6. .3 38 8- -1 16 6- -k k3 32 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 解法二解法二:由題意知直線由題意知直線l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.設設l的方程為的方程為y=kx+4 , A(x1,y1), B(x2,y2),則則Q( ,0),PQ=1QA,Q分分PA的比為的比為1,由定比分點坐標公式得由定比分點坐標公式得 = x1= (1+1) 0= y1= .下同解法一下同解法一.1 11 11 11 1 x

24、 x1 11 11 11 1y y4 41 1k k4 41 14 4k k4 4k k4 4名師伴你行返回目錄返回目錄 解法三解法三:由題意知直線由題意知直線l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.設設l的方程為的方程為y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則則Q( ,0),PQ=1QA=2QB,( ,-4)=1(x1+ ),y1=2(x2+ ),y2,-4=1y1=2y2.1= ,2= .又又1+2=- , + = .1 1y y4 42 2y y4 43 38 81 1y y1 12 2y y1 13 32 2k k4 4k k4 4k k4 4k k4 4名師伴你行返

25、回目錄返回目錄 即即3(y1+y2)=2y1y2,將將y=kx+4,代入代入x2- =1得得(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.3-k20（否則（否則l與漸近線平行）與漸近線平行）,y1+y2= ,y1y2= .3 =2 .k=2,Q(2,0).3 3y y2 22 2k k- -3 32 24 42 22 2k k- -3 33 3k k- -4 48 82 2k k- -3 32 24 42 22 2k k- -3 33 3k k- -4 48 8名師伴你行返回目錄返回目錄 解法四解法四:由題意知直線由題意知直線l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.設設l的方的方程為程為y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),則則Q( ,0),PQ=1QA,( ,-4)=1(x1+ ),y1.1= ,同理同理2= .1+2= .即即