高中數(shù)學(xué) 法向量

1、3.2.23.2.2平面的法向量與平面的法向量與 平面的向量表示平面的向量表示 提問(wèn)：提問(wèn)：A，B，C，三點(diǎn)不線(xiàn)，四點(diǎn)，三點(diǎn)不線(xiàn)，四點(diǎn)A，B，C，M 共面的充要條件是：共面的充要條件是： ,( ,)AMxAByACx yR BACM圖示：(1)OMxy OAxOByOC 平面的向量方程1.直線(xiàn)與平面垂直的定義直線(xiàn)與平面垂直的定義 2. 平面的法向量：平面的法向量： 如果向量如果向量 的基線(xiàn)與平面的基線(xiàn)與平面 垂直垂直，則向量，則向量 叫平面叫平面 的法向量的法向量。 n n 幾點(diǎn)注意：幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都一個(gè)平面的所有法向量都互相平

2、行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 與平面平行或在平面內(nèi)，與平面平行或在平面內(nèi)，則有則有0n m n m A給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量和一個(gè)向量 ,那么過(guò)點(diǎn)那么過(guò)點(diǎn)A,以向量以向量 為法向量的平面是完全為法向量的平面是完全確定的確定的.n n n l3. 平面的向量表示：平面的向量表示： AM n0 M 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線(xiàn)和因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線(xiàn)和平面的位置，上節(jié)我們用直線(xiàn)的方向向量表平面的位置，上節(jié)我們用直線(xiàn)的方向向量表示了空間直線(xiàn)、平面間的示了空間直線(xiàn)、平面間的平行平行 如何用平面的法向量表示空間兩平面平如何用平面的法向量表示空間兩

3、平面平行、垂直的位置關(guān)系呢？行、垂直的位置關(guān)系呢？4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件兩平面平行或重合、垂直的充要條件 l11n 1e 1111/ll或或 在在內(nèi)內(nèi)11110enen 11l 1n 1111/enen l1e 1 1n 2 2n 1212/或或與與重重合合1212/nnnn 1 1n 2 2n 1212110nnnn 待定系數(shù)法待定系數(shù)法ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對(duì)角線(xiàn)分別在對(duì)角線(xiàn)上，且上，且求證：求證：ABCDEFxyzMN)

4、, 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到簡(jiǎn)證：因?yàn)榫匦魏?jiǎn)證：因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 為正交為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)設(shè)AB,AD,AF長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為3a，3b，3c，AB AD AF ， ，則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有又平面又平面CDECDE的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是因?yàn)橐驗(yàn)镸N不在平面不在平面CDE內(nèi)內(nèi)所以所以MN/平面平面CDE分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)

5、平面垂直垂直, ,由直線(xiàn)與平面垂直的定義可由直線(xiàn)與平面垂直的定義可知知, ,就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的的任意一條直線(xiàn)任意一條直線(xiàn)都垂直都垂直. .例例:(試用試用向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理) 已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),如果如果 m, n,求證求證: . lll lmngm g m l 取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn) g ,拿相關(guān)直線(xiàn)的方拿相關(guān)直線(xiàn)的方向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件?要要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為

6、向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)?怎樣建立向量怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系?lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線(xiàn)線(xiàn).解解: 在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m ,n重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m與與n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù) ,使使 ( , )x y例例:已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)m

7、 ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),如果如果 m, n,求證求證: .lll 6.6.有關(guān)平面的斜線(xiàn)概念，有關(guān)平面的斜線(xiàn)概念， 三垂線(xiàn)定理及其逆定理三垂線(xiàn)定理及其逆定理 P104P104PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO數(shù)式數(shù)式 另外另外, ,空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系, , 證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量 的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零. . P O A la 證明：證明：如圖如圖,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求證：求證：lP

8、A 在直線(xiàn)在直線(xiàn)l上取向量上取向量 ,只要只要證證a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.為為 P O A la 0,0a POa OA P O A la 分析分析:逆定理逆定理同樣可用向量同樣可用向量,證明思路幾乎證明思路幾乎一樣一樣,只不過(guò)其中的加法運(yùn)算只不過(guò)其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析用減法運(yùn)算來(lái)分析.A1D1C1B1ACBDFE證明證明: 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,1,.DAi DCj DDk 建立如圖的空間直角坐標(biāo)系建立如圖的空間直角坐標(biāo)系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 則則11( 1,0,0) (0, 1)

9、0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另證證 可可以以用用三三垂垂線(xiàn)線(xiàn)定定理理證證D D得得證證OABCOBAC 證證明明：由由已已知知，A AB BC CO O 0000OA BC =,OB AC =OA (OCOB )=OB (OCOA)= 所所以以O(shè)A OC = OA OBOB OC = OB OA 所所以以000OA OCOB OC =( OAOB ) OC =BA

10、 OC = 所所以以O(shè)CAB 所所 以以O(shè)ABCOABCOBACOCAB 例例、已已知知在在空空間間四四邊邊形形中中，求求證證：小結(jié)小結(jié)1.直線(xiàn)與平面垂直的定義直線(xiàn)與平面垂直的定義 2. 平面的法向量：平面的法向量： 3. 平面的向量表示：平面的向量表示： 4. 兩平面平行或重合、垂直的充要條件兩平面平行或重合、垂直的充要條件 6.6.有關(guān)平面的斜線(xiàn)概念，有關(guān)平面的斜線(xiàn)概念， 三垂線(xiàn)定理及其逆定理三垂線(xiàn)定理及其逆定理 P104P104鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)設(shè) 分別是直線(xiàn)分別是直線(xiàn)l1,l2的方向向量的方向向量,根據(jù)下根據(jù)下 列條件列條件,判斷判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系的位置關(guān)系.ba,)3, 0 ,

11、 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關(guān)系的位置關(guān)系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交1、設(shè)平面、設(shè)平面 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),若若

12、 ，則，則k= ；若；若 則則 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面，平面的法向量為的法向量為(1,1/2,2),則則m= .3、若、若 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量為的法向量為(1,1/2,2),且且 ，則，則m= .鞏固性訓(xùn)練3/llllOACB()| |cos| |cos| |cos證證明明：因因?yàn)闉镺A BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABC4 4、已已知知空空間間四四邊邊形形，求求證證：OABCOBOCAOBAOCOABC 1如圖，正方體如圖，正方體 中，中， E為為 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 證明：證明： /平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2 2、在正方體在正方體AC 中，中，E、F、G、P、 Q、R分別是所在棱分別是所在棱AB、BC、BB A D 、D C 、DD 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求證：求證：平面平面PQR平面平面EFG。 BD 平面平面EFGABCDA B C D FQEGRP例例. . 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平