理論力學(xué)第三章剛體力學(xué)

1、理論力學(xué)理論力學(xué) 電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 付傳技付傳技 Email: 剛體也是一個理想模型，它可以看作是一種特殊剛體也是一個理想模型，它可以看作是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)組，這個質(zhì)點(diǎn)組中任何兩個質(zhì)點(diǎn)之間的距離不的質(zhì)點(diǎn)組，這個質(zhì)點(diǎn)組中任何兩個質(zhì)點(diǎn)之間的距離不變，這使得問題大為簡化，使我們能更詳細(xì)地研究它變，這使得問題大為簡化，使我們能更詳細(xì)地研究它的運(yùn)動性質(zhì)，得到的結(jié)果對實(shí)際問題很有用。的運(yùn)動性質(zhì)，得到的結(jié)果對實(shí)際問題很有用。 我們先研究剛體運(yùn)動的描述，在建立動力學(xué)方程我們先研究剛體運(yùn)動的描述，在建立動力學(xué)方程后，著重研究平面平行運(yùn)動和定點(diǎn)運(yùn)動。后，著重研究平面平行運(yùn)動和定點(diǎn)運(yùn)動

2、。3.2 角速度矢量角速度矢量3.1 剛體運(yùn)動的分析剛體運(yùn)動的分析 第三章第三章 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 3.3 歐勒角歐勒角3.4 剛體運(yùn)動方程與平衡方程剛體運(yùn)動方程與平衡方程3.5 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 3.6 剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動 3.7 剛體的平面平行運(yùn)動剛體的平面平行運(yùn)動3.8 剛體繞固定點(diǎn)的運(yùn)動剛體繞固定點(diǎn)的運(yùn)動 3.9 重剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的解重剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的解 3.10 拉莫爾進(jìn)動拉莫爾進(jìn)動 3.1 剛體運(yùn)動的分析剛體運(yùn)動的分析 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)3個變量個變量質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組3n個變量個變量A確定剛體在空間的位置，需要幾個變量？確定剛體在空間的位置，需要幾個變量？C

3、B6個變量可以確定剛體位置個變量可以確定剛體位置1）平動）平動2）定軸轉(zhuǎn)動）定軸轉(zhuǎn)動世界最大的摩天輪世界最大的摩天輪“倫敦眼倫敦眼” 3）平面平行運(yùn)動）平面平行運(yùn)動4）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動Euler定理定理 定點(diǎn)運(yùn)動剛體的任何位移都可以通過定點(diǎn)運(yùn)動剛體的任何位移都可以通過繞過該定點(diǎn)某軸的一次轉(zhuǎn)動來實(shí)現(xiàn)。繞過該定點(diǎn)某軸的一次轉(zhuǎn)動來實(shí)現(xiàn)。5）一般運(yùn)動）一般運(yùn)動(Chasles定理定理)剛體的最一般位移可以視為其上任意一點(diǎn)的平移加上剛體的最一般位移可以視為其上任意一點(diǎn)的平移加上繞該點(diǎn)的一個轉(zhuǎn)動，即繞該點(diǎn)的一個轉(zhuǎn)動，即剛體的一般運(yùn)動基點(diǎn)的平動繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動剛體的一般運(yùn)動基點(diǎn)的平動繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動3.2 角速度

4、矢量角速度矢量無限小轉(zhuǎn)動是矢量，無限小轉(zhuǎn)動是矢量，它滿足矢量加法交換律它滿足矢量加法交換律證明證明nn角位移其大小定，義位移矢量位移矢量0rrn 時，垂直于平面平面,sinrPMPMrsinrrnrnr n若若是矢量它應(yīng)當(dāng)滿足矢量加法交換律是矢量它應(yīng)當(dāng)滿足矢量加法交換律nnnn 2）轉(zhuǎn)動）轉(zhuǎn)動 后：后：rn r n1）轉(zhuǎn)動前：）轉(zhuǎn)動前：r3）再轉(zhuǎn)動）再轉(zhuǎn)動 后：后：nrn rnrn r 不計二階微量，則有不計二階微量，則有rrn rnr 交換轉(zhuǎn)動次序，則有交換轉(zhuǎn)動次序，則有rrnrn r 已知對線位移，有已知對線位移，有rrrr 即即nnrnnr 可得可得n rnrnrn r nnnn 0li

5、 mtnd ntd t00limlimttdrrnrdnvrrdtttdt 角速度的絕對性（即角速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)）角速度的絕對性（即角速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)）,()()APAABPBBAABABABBAAPvvAPBvvBPvABBPABAPBPPBBPBP 證明：設(shè)當(dāng)取 點(diǎn)為基點(diǎn)時，剛體的角速度為此時剛體上任意一點(diǎn) 的速度為：若取 為基點(diǎn)時，設(shè)角速度為，則 上兩式相減，得 0（BAP 由于 點(diǎn)選取的任意性，故 （即角速度與基點(diǎn)選取無關(guān)） 正交變換正交變換 對于作定點(diǎn)運(yùn)動的剛體，如何描述其對于作定點(diǎn)運(yùn)動的剛體，如何描述其轉(zhuǎn)軸的取向？一種可行的方法是，以定點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的取向？一種可行的方法是，以定點(diǎn)

6、O為原點(diǎn)，建立兩個坐標(biāo)系：一個固定在為原點(diǎn)，建立兩個坐標(biāo)系：一個固定在地球上，稱為空間坐標(biāo)系或靜止坐標(biāo)系，地球上，稱為空間坐標(biāo)系或靜止坐標(biāo)系，另一個固定在剛體上，稱為本體坐標(biāo)系，另一個固定在剛體上，稱為本體坐標(biāo)系，也叫隨體坐標(biāo)系或體軸坐標(biāo)系。后者可以也叫隨體坐標(biāo)系或體軸坐標(biāo)系。后者可以看作擴(kuò)展的剛體。本體坐標(biāo)系相對于空間看作擴(kuò)展的剛體。本體坐標(biāo)系相對于空間坐標(biāo)系的取向就代表了剛體在空間中的取坐標(biāo)系的取向就代表了剛體在空間中的取向。向。3.3 3.3 歐勒角歐勒角1 2 31 2 3123()()1,2,3, ,9,)1,2,3Oxx xOxyzOxx xOxyzeex y zeeee eeea

7、 我們分別用或和或來標(biāo)志空間坐標(biāo)系和本體坐標(biāo)系，它們的單位矢量分別為 和（ 或）。 本體系相對于空間系的取向可以用其單位矢量 ， 在空間系中的 個方向余弦來描寫： cos( （ ）311,2,3ea eea e此時，有 （ ）可以省去求和符號，默認(rèn)對重復(fù)指標(biāo)自動求和， 這種約定稱為愛因斯坦約定。11111213221222323132333312 3xaxxxaaaxaaaxaaaxxrArA 用任意點(diǎn)的位矢點(diǎn)乘上式兩端，得 （ ， ， ） 上式即是從空間系到本體系的坐標(biāo)變換，可以將它表示成矩陣形式： 或簡記為 矩陣 稱為轉(zhuǎn)動矩陣或變換矩陣。轉(zhuǎn)動矩陣的性質(zhì)：轉(zhuǎn)動矩陣的性質(zhì)：11 11TAAAA

8、EulerArArAA rrAAAAA ） 是可逆的，且其逆陣就是自身的轉(zhuǎn)置 證：設(shè)從空間系到本體系的變換矩陣為 ，按定理，也存在從本體系到空間系的變換矩陣 ，于是 因?yàn)?是任意的，所以 為單位陣，對調(diào)空間系和本體系的地位，可知上式中 與 的位置也可以交換，所以 是可逆的，逆陣與逆變換相對應(yīng)。 ()() 1 1TTTTTTTTr rArArrA A rr rrA AAAAA A 轉(zhuǎn)動不改變位矢的長度，所以 由 的任意性可得 這表明 的逆矩陣就是其轉(zhuǎn)置。這個結(jié)論還可以寫成 或a a(行行正交)a a(列列正交)這些關(guān)系通常叫做正交條件。滿足正交條件的矩陣叫正交矩陣，相應(yīng)的變換稱為正交變換。ker

9、963396 3Kronec 根據(jù)符號對指標(biāo)的交換的對稱性可知， 個正交條件實(shí)際上只有 個獨(dú)立（ 個對角， 個非對角），所以獨(dú)立的方向余弦數(shù)目為 1.det1detdetdet1TAAAAA 2） 的行列式為 即 證：對正交條件兩端取行列式，并注意到，得 因?yàn)椴晦D(zhuǎn)動（恒等變換）為連續(xù)轉(zhuǎn)動的一種特例，它所對應(yīng)的變換矩陣為單位陣，所以只能取正號。1101,11det(1)det(1)3iTTAAXeEulerAAAAAA 3） 的本征方程 （ ） 有一本征值為，相應(yīng)的本征矢對應(yīng)于轉(zhuǎn)動操作的轉(zhuǎn)軸，另外兩個本征值為為轉(zhuǎn)角（這就是定理的矩陣表述）。證：對恒等式（ ）兩邊取行列式，得 因?yàn)樾辛惺绞瞧鏀?shù)（

10、）階的，上式兩端一定為零，與本征方程的系數(shù)行列式比較可知， 的本征值之一為 1.A相應(yīng)的本征矢在變換 下保持不變，故一定沿轉(zhuǎn)軸方向。2312323det1cossin0sincos000131iiAAzAeeA 3）設(shè) 的另外兩個本征值為， ，則（將矩陣對角化的相似變換不改變其行列式的值） 上式要求，互為共軛復(fù)數(shù)。如取轉(zhuǎn)軸為 軸，轉(zhuǎn)角為，則 容易驗(yàn)證該矩陣的 個本征值分別為 ，一般的 與上式相差相似變換，但這種變換不改變本征值的性質(zhì)，故結(jié)論仍成立。112233100010001xxxxxx 另外，存在行列式為1的正交變換，如空間反演 它將所有的右手坐標(biāo)系化為左手坐標(biāo)系，但不能反映剛體位置的連續(xù)

11、變化。凡是含有反演操作的正交變換S都不能由連續(xù)的轉(zhuǎn)動生成，我們把這種變換叫作非正常轉(zhuǎn)動。反映剛體連續(xù)變化的轉(zhuǎn)動稱為正常轉(zhuǎn)動。非正常轉(zhuǎn)動可以看作是由反演和正常轉(zhuǎn)動聯(lián)合組成的變換。張量張量.()NNAA 在三維歐氏空間中，N階張量T定義為具有3 個分量的量T個下標(biāo) ，它在正交變換 下，按下列方式變換： TaaaT N階贗張量的定義與張量類似，只不過在變換式前面多出一個變換矩陣的行列式，即 TdetaaaT對于正常轉(zhuǎn)動，贗張量與張量的變換相同；對于非正常轉(zhuǎn)動，贗張量的變換多出一個負(fù)號。 .2ABABA= BABCABCAB 對于張量，可定義如下運(yùn)算：1）相等。 設(shè) 和 為兩個同階張量，如果它們的所有

12、分量相等，即 ，則稱它們相等，記為）加法。 兩個同階張量 和 的和定義為 它仍為一個張量，記為 .:42:MANBMNCCABABCABCABMANBMNCC3）張量積。 階張量 和 階張量 可以按照下列方式組成一個階張量 稱為 與 張量積，記為或。這種運(yùn)算不不滿足交換律，但滿足結(jié)合律和分配律。）內(nèi)積。 將階張量 的一個指標(biāo)和 階張量 的一個指標(biāo)取成重復(fù)指標(biāo)，并對該重復(fù)指標(biāo)求和（稱為指標(biāo)縮并）可以證明得到的是一個 階張量 ABABAB 我們稱之為 與 的內(nèi)積。 求證求證C C為一張量為一張量)()()()CCABABABAB 證：只需證明 是按照一個張量的變換規(guī)則變換即可。由內(nèi)積的定義，得 （

13、aaaaaaaaaaaaaaaaaC a上式表明C滿足M+N-2階張量的變換規(guī)則，故C為張量。 522NANBAA ）一個張量的收縮（縮并）。 （）階張量 的收縮定義為對其自身的兩個指標(biāo)進(jìn)行縮并，得到一個 階張量B: 討論階數(shù)討論階數(shù)N N取幾種特定值的張量取幾種特定值的張量01NTNT1）當(dāng)時，張量 只有一個分量，變換規(guī)則為 T =T零階張量也稱為標(biāo)量。如溫度、能量等都是標(biāo)量。2）當(dāng)時，張量 只有3個分量，變換規(guī)則為 T =a T一階張量也稱為矢量。如位矢、動量等。123Te矢量常表示為 =T或記為矩陣形式 T T= TT一階贗張量也稱為贗矢量，或軸矢量。如角速度磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是贗矢量。11

14、12132122233132332NTTe eTTTTTTTTT 3）當(dāng)時，張量 共有9個分量，變換規(guī)則為 T =a aT二階張量可記為 =T或表為矩陣形式 T=():(ABABA B e eABCA B CCABC ABABCCABABCDAB 將兩個矢量 和 按順序并在一起，不作任何運(yùn)算得到的量稱為并矢，記為 并矢是一種二階張量，它與矢量的內(nèi)積定義為 （）（） （）（）一般說來（）（）。兩個并矢和的雙重內(nèi)積定義為 )()()1CDB CA De ee e 一個特殊的二階張量是二階單位張量： 它的矩陣表示為單位陣。41, ,1230, ,1, ,123Levi CivitaA B ）三階以上

15、的張量稱為高階張量。一個特殊的三階張量是張量，它定義為 （當(dāng)指標(biāo)取， ， 的輪換順序且無重復(fù)時） （當(dāng)指標(biāo)中有兩個重復(fù)時） （當(dāng)指標(biāo)取， ， 的非輪換順序且無重復(fù)時）該張量對于任意兩個指標(biāo)的交換都是反稱的。借助于它，兩個矢量的矢積(或外積) C=可表示為 CA B 用用9 9個方向余弦描述剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動引入了冗個方向余弦描述剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動引入了冗余的參數(shù)，實(shí)際上只需要用余的參數(shù)，實(shí)際上只需要用3 3個獨(dú)立的參數(shù)就個獨(dú)立的參數(shù)就可以確定它在任何一個時刻的位形。在文獻(xiàn)中可以確定它在任何一個時刻的位形。在文獻(xiàn)中可以找到多種對這組參量的描述，但最有用的可以找到多種對這組參量的描述，但最有用的是是節(jié)線節(jié)

16、線ON進(jìn)動進(jìn)動角角自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)角角章動章動角角Z軸位置由軸位置由， 角決定角決定002023cossin0sincos00011000cossin0sincoscossin0sincos0001次轉(zhuǎn)動所對應(yīng)的變換矩陣分別為 A A A 將將3 3個矩陣按照從右到左的順序相乘，便得到從空間系個矩陣按照從右到左的順序相乘，便得到從空間系 到本體系的變換矩陣到本體系的變換矩陣 cos cossin cos sincos sinsin cos cossin sinsin coscos cos sinsin sincos cos coscos sinsin sinsin coscos A A A A1)T

17、從本體系到空間系的變換矩陣為A的逆或轉(zhuǎn)置： A AAA A AA(- ,- ,-應(yīng)當(dāng)指出的是，用來確定本體坐標(biāo)系最終取向的3個轉(zhuǎn)動在一定程度上是任意的：第一次轉(zhuǎn)動可以繞3個笛卡爾坐標(biāo)中的任何一個；對剩下的兩次轉(zhuǎn)動，唯一的限制是相繼的兩次轉(zhuǎn)動不能繞同一軸。所以，（在右手坐標(biāo)系下）共有3 2 212中這種定義歐勒角的約定！上面所采用的約定中，第二次轉(zhuǎn)動是繞x軸的，故稱為x約定。333,yzyxyzyxxyz 在量子力學(xué)、核物理和粒子物理中，常常采用另一種約定：取第二次轉(zhuǎn)動是繞 軸的（其他兩次仍然繞 軸），稱為 約定。 第 種約定普遍地應(yīng)用于衛(wèi)星和飛行器之類的工程技術(shù)中。當(dāng)本體系和空間系只有微小差別

18、時， 約定與 約定均有使 和 變得不可區(qū)分的缺點(diǎn)。為了克服這一問題，可取 次轉(zhuǎn)動沿 個不同的軸：第一次繞 軸轉(zhuǎn) 角，第二次繞軸轉(zhuǎn) 角第三次繞 軸轉(zhuǎn) 角。這種約定通常叫約定。Nzeee根據(jù)歐勒角的定義，角速度矢量可以寫成 角速度可以在空間系或本體系中分解。以后我們會看到，本體系在描寫剛體的運(yùn)動時具有特別的優(yōu)越性。cossin (sincos)sinsin sinsin cos( cos)NzxyNxyxyzeeeeeeeeeeee 我們將 和 在本體系中進(jìn)行分解： cos帶入角速度表達(dá)式，得（ cos ）（sin ）sinsincossincossincosxyz1.1.力系的簡化力系的簡化3.

19、4 剛體運(yùn)動方程與平衡方程剛體運(yùn)動方程與平衡方程力的作用線不能隨意移動力的作用線不能隨意移動力的可傳性原理力的可傳性原理共點(diǎn)力系的簡化共點(diǎn)力系的簡化 平行四邊形法則平行四邊形法則共面非平行力系的簡化共面非平行力系的簡化 力的可傳性原理力的可傳性原理+平行四邊形法則平行四邊形法則平行力系的簡化平行力系的簡化 合力的量值和方向由代數(shù)和確定合力的量值和方向由代數(shù)和確定 合力的作用線用力矩關(guān)系確定合力的作用線用力矩關(guān)系確定 （合力對垂直于諸力的某軸的力矩與諸（合力對垂直于諸力的某軸的力矩與諸 分力對同一軸線力矩的代數(shù)和相等）分力對同一軸線力矩的代數(shù)和相等）力偶矩力偶矩MrF空間力系的簡化空間力系的簡化

20、空間力系可簡化為對某一空間力系可簡化為對某一簡化中心的主矢和主矩簡化中心的主矢和主矩既不平行又不匯交的力既不平行又不匯交的力 1neCiimrFF 1neiiidJMrFdt思路思路 將作用在剛體上的力簡化為過質(zhì)心的力將作用在剛體上的力簡化為過質(zhì)心的力 及對質(zhì)心的力矩及對質(zhì)心的力矩。xxdJMdtyyd JMd tzzdJMdt1neCixxim xFF1neCiyyim yFF1neCizzim zFF 1neCiimrFFdJMdt6個方程正好確定剛體的個方程正好確定剛體的6個獨(dú)立變量個獨(dú)立變量1neiiid TFd r動能定理可作為輔助方程動能定理可作為輔助方程10neCixxim xF

21、F10neCiyyim yFF10neCizzim zFF0 xxdJMdt0yyd JMd t0zzd JMd t對共面力系，有對共面力系，有0,0,0 xyzFFM例例 p171，如圖，求，如圖，求A處的摩擦系數(shù)。處的摩擦系數(shù)。解解 是共面力系的平衡問題是共面力系的平衡問題 01001020100 :co s9 000 :sin9 000 :co s0sinxyzFNfFNNPhMP lN解出解出2200200sinco ssinco sfNlhl1. 1. 剛體的動量矩剛體的動量矩21niiiiiJmrrriiiirx iy jz kxyzijk3.5 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量1niiiiJrm

22、 v剛體對剛體對O點(diǎn)的動量矩點(diǎn)的動量矩1ni iiiJm rr222122111nxixiiiixiyiziinnnxiiiyiiiziiiiiiJmxyzxxyzmyzm x ym x z22111nnnyxiiiyiiiziiiiiiJm y xmzxm y z 22111nnnzxiiiyiiiziiiiiiJm z xm z ymzy 21niiiiiJmrrr221nxxiiiiImyz221nyyiiiiImzx221nzziiiiImxy1nyzzyiiiiIIm y z1nzxxziiiiIIm z x1nxyyxiiiiIIm x y令令xxxxxyyxzzJIIIyyxxy

23、yyyzzJIII zzxxzyyzzzJIII 有有xxxyxzxyyyyzxzyzzzIIIIIIIIIIJI12211211(1)(1)niiiiiniiiiinnniiiiiiiiiiiiiJmrm vmrrrmrr rImrr rrIrJ 引 入 慣 量 張 量 則 定 點(diǎn) 轉(zhuǎn) 動 剛 體 的 角 動 量 可 寫 成 2. 2. 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能2111122nni iiiiiiTm rm v v 111122nniiiiiiiiTm vrrm v1122TJI 12xyzxyzTijkJ iJ jJ k22212222xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTIIII

24、II 3. 3. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 1222221121211sin2212niiiinniiiiiiiTmrrmrmI21niiiIm轉(zhuǎn)動慣轉(zhuǎn)動慣量量2CIImd2Imk令令I(lǐng)km回轉(zhuǎn)半回轉(zhuǎn)半徑徑平行軸定理平行軸定理22112() ):niiiiniiiIm rnnnrImnnI設(shè)轉(zhuǎn)軸方向單位矢量為 ，則轉(zhuǎn)動慣量可寫為 4. 4. 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球22xxIyzdm22yyIzxdm22zzIxydmyzzyIIyzdmzxxzIIzxdmxyyxIIxydm對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動慣量慣量積慣量積注意注意 剛體繞不同軸

25、轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量不同剛體繞不同軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量不同21niiiIm至轉(zhuǎn)動瞬軸至轉(zhuǎn)動瞬軸的垂直距離的垂直距離是否有簡單的計算公式？是否有簡單的計算公式？xyz因?yàn)橐驗(yàn)?2212222xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTIIIIII 212TI由由222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII可得可得222222xxxyxzxyyyyzxzyzxxyyzzzzyzzxxyIIIIIIIIIIIIIIII上式也可用慣量張量表出上式也可用慣量張量表出 一般說來，慣量張量矩陣的每個元素一般說來，慣量張量矩陣的每個元素都是時間的函數(shù)，且與坐標(biāo)系的選擇有都是時間的函數(shù)，且與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但在本

26、體坐標(biāo)系中這些矩陣元不隨關(guān)，但在本體坐標(biāo)系中這些矩陣元不隨時間變化。時間變化。慣量橢球方程慣量橢球方程在轉(zhuǎn)動軸上取線段在轉(zhuǎn)動軸上取線段1OQRIQ點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo),xRyRzR21R I 222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII利用利用2222221xxyyzzyzzxxyI xI yI zI yzI zxI xy得到得到 在各種本體坐標(biāo)系中，有一類特別重在各種本體坐標(biāo)系中，有一類特別重要，就是主軸坐標(biāo)系。慣量張量矩陣在要，就是主軸坐標(biāo)系。慣量張量矩陣在主軸坐標(biāo)系中簡單地取對角形式。主軸坐標(biāo)系中簡單地取對角形式。5. 5. 慣量主軸及其求法慣量主軸及其求法123000000 xxxy

27、xzxyyyyzxzyzzzxxxyxzTxyyyyzxzyzzzIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 為實(shí)對稱矩陣。按線性代數(shù)，總可以通過某種正交變換 由定義可知，慣量張量矩陣 e將其對角形式： ee= 這種使慣量張量矩陣取對角形式的坐這種使慣量張量矩陣取對角形式的坐標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系，它的標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系，它的3 3個互相垂直個互相垂直的坐標(biāo)軸稱為慣量主軸。對角元稱為主的坐標(biāo)軸稱為慣量主軸。對角元稱為主轉(zhuǎn)動慣量。由初始坐標(biāo)系到主軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動慣量。由初始坐標(biāo)系到主軸坐標(biāo)系的正交變換稱為主軸變換。的正交變換稱為主軸變換。一般坐標(biāo)系下的慣量橢球一般坐標(biāo)系下的慣量橢球2222221xxy

28、yzzyzzxxyI xI xI zI yzI zxI xy2221231I xI yI z若取橢球三主軸為坐標(biāo)軸，交叉項(xiàng)消失，若取橢球三主軸為坐標(biāo)軸，交叉項(xiàng)消失，得到主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球得到主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球123xyzJIiIjIk22212312xyzTIII動能和角動量簡化為動能和角動量簡化為一般坐標(biāo)系下的慣量橢球一般坐標(biāo)系下的慣量橢球主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球主軸坐標(biāo)系下的慣量橢球慣量主軸的求法慣量主軸的求法 從數(shù)學(xué)方面看，就是解析幾何里求二次曲面主軸的方法，從數(shù)學(xué)方面看，就是解析幾何里求二次曲面主軸的方法，或者線性代數(shù)里求本征值的方法?；蛘呔€性代數(shù)里求本征值的方法。 在力學(xué)里，對

29、于具有對稱性的均勻剛體，可利用對稱性在力學(xué)里，對于具有對稱性的均勻剛體，可利用對稱性方便地求出。方便地求出。x軸對稱軸對稱(x為主軸為主軸)10niiiim x z10niiiim x yx軸對稱軸對稱 xy面對稱面對稱 xy面對稱面對稱(z為主軸為主軸)10niiiim x z10niiiim y z例例 均勻長方形薄片繞對角線的轉(zhuǎn)動慣量。均勻長方形薄片繞對角線的轉(zhuǎn)動慣量。p182解解 （A）直接用定積分）直接用定積分2222Iy dmty udy22sinsinuayaab22sinsinayabua22sin20223322222sinsin1sin616aabItyay dyataba

30、a bmab22sinbab解解 （B）用）用(3.5.15)計算計算2222cos,0aabbab222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII222xxyyxyIIII23013bxxIyt adytab23013ayyIxt bdxta b220014baxyIxyt dxdyta b 222216a bImab解解 （C）取慣量主軸為坐標(biāo)軸）取慣量主軸為坐標(biāo)軸/ 221/ 23112bbIyt adytab/ 222/ 23112aaIxt bdxta b221222332222222222221112121166IIIabtabta bababa ba btabmabab3.6

31、剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動 1. 剛體平動剛體平動 1neCiidpmrFFdt2. 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動ddtddtiiidvaRdt22iiniivaRR 定軸轉(zhuǎn)動時只有一個變量，定軸轉(zhuǎn)動時只有一個變量，用用角位移角位移就可以確定剛體位置。就可以確定剛體位置。ivR定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程dJMdtzzdJMdtzzzzJIJIzzzzzzMII轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程212zzIVE機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒例例 復(fù)擺復(fù)擺解解 運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程zzzMI200sinmglImk由轉(zhuǎn)動方程由轉(zhuǎn)動方程220Cglkl2220,sinCkkl 22sinCglAtk

32、l22022CklIglmgl周期周期討論討論等值單擺長等值單擺長222011CCIklkOOlllmlll 若以若以O(shè)為懸點(diǎn)為懸點(diǎn)2222212COCCklIm kllmkl振動周期振動周期22222122/2CCCmkklklmg lllgl 3.3.定軸轉(zhuǎn)動軸上的附加力定軸轉(zhuǎn)動軸上的附加力xxyyzzJMdJMd tJMxxyyzzPFdPFd tPF 剛體作定軸轉(zhuǎn)動，可看作是剛體作定軸轉(zhuǎn)動，可看作是AB兩點(diǎn)不動的約束運(yùn)動，去掉兩點(diǎn)不動的約束運(yùn)動，去掉約束代之以約束反力，就可以約束代之以約束反力，就可以動量定理和動量矩定理求運(yùn)動動量定理和動量矩定理求運(yùn)動和約束反力。和約束反力。11nni

33、iAxBxixiidm xNNFdt11nniiAyByiyiidm yNNFdt11nniiA ziziidm zNFdtcossiniiiiixRyRzc2iiiiixyxxy2iiiiiyxyyx00iizz21nCcAxBxiximxmyNNF21nCcAyByiyimymxNNF10nAziziNF1,nCiiimxm x11nnii iiiByixiidm yzz yAB NMdt11nniiii iBxiyiidm z xxzAB NMdt11nniiiiiiziidmx yy xMdt2yzzxByxIIAB NM2zxyzBxyIIAB NMzzzIMcossiniiiiix

34、RyRzc2iiiiixyxxy2iiiiiyxyyx00iizz2yzzxByxIIAB NM2zxyzBxyIIAB NMzzzIM21nCcAxBxiximxmyNNF21nCcAyByiyimymxNNF10nAziziNF00當(dāng)，時為平衡方程，可求為平衡方程，可求靜約束反力靜約束反力。00當(dāng)，時為運(yùn)動方程，可求為運(yùn)動方程，可求動約束反力動約束反力。要使剛體轉(zhuǎn)動時軸上沒有附加壓力，要有要使剛體轉(zhuǎn)動時軸上沒有附加壓力，要有20yzzxII20zxyzII20Ccmxmy20Ccmymx該方程組有解的條件是該方程組有解的條件是xc,yc,Iyz和和Izx同時為零，同時為零，即重心在轉(zhuǎn)動軸（

35、慣量主軸）上。即重心在轉(zhuǎn)動軸（慣量主軸）上。 例例 2 渦輪可以看作是一個均質(zhì)圓盤由于安裝不善，渦渦輪可以看作是一個均質(zhì)圓盤由于安裝不善，渦輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法線成交角輪轉(zhuǎn)動軸與盤面法線成交角1o巳知渦輪圓盤質(zhì)量為巳知渦輪圓盤質(zhì)量為20千千克，半徑克，半徑r=0.2米，重心米，重心O在轉(zhuǎn)軸上，在轉(zhuǎn)軸上，O至兩軸承至兩軸承A與與B的距離的距離各為各為a=b0.5米設(shè)軸以米設(shè)軸以12000轉(zhuǎn)分的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)分的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，試求軸承上某一時刻的最大壓力。試求軸承上某一時刻的最大壓力。解解 因因,( ),x y yz是幾何對稱軸，而重心是幾何對稱軸，而重心O在轉(zhuǎn)軸上，故在轉(zhuǎn)軸上，故0,0,0

36、,0CCy zz xyzAzxyIIIN 以以O(shè)為參考點(diǎn)為參考點(diǎn)0AyByaNbN2zxAxBxIaNbN0AxBxNNmg0AyByNN112211222211cossinsincossincos1sin221sin22nzxiiiiniiiiiinniiiiiinniiiiiiiiz zx xIm z xmxzxzm zm xmzymxyII cossinsincosiiiiiixxzzxz 1sin22zxz zx xIII 2211,24z zx xImrImr 21sin28zxImr 解出解出221sin28BxmagmrNa ba b221sin28AxmbgmrNabab0Ay

37、ByNN代入數(shù)據(jù)得附加壓力代入數(shù)據(jù)得附加壓力221sin285400mrabN靜壓力為靜壓力為196mbgNab靜約束反力靜約束反力動約束反力動約束反力平面平行運(yùn)動平面平行運(yùn)動 剛體中的任一點(diǎn)始終在平行于某固定平面剛體中的任一點(diǎn)始終在平行于某固定平面 的平面內(nèi)運(yùn)動。的平面內(nèi)運(yùn)動。3.7 剛體的平面平行運(yùn)動剛體的平面平行運(yùn)動1.1.平面平行運(yùn)動運(yùn)動學(xué)平面平行運(yùn)動運(yùn)動學(xué)平面平行運(yùn)動平面平行運(yùn)動 = 基點(diǎn)平動基點(diǎn)平動 + 繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動0rrrAvvr0Avvrr加速度表達(dá)式加速度表達(dá)式Avvr Advddrardtdtdt2AdaarrdtP點(diǎn)對點(diǎn)對O點(diǎn)的點(diǎn)的絕對加速度絕對加速度A點(diǎn)相對

38、點(diǎn)相對O點(diǎn)加速度點(diǎn)加速度P點(diǎn)的相對點(diǎn)的相對A點(diǎn)加速度點(diǎn)加速度 200Adaarrrrdt在固定參考在固定參考系的表示系的表示 剛體角速度不為零時，在任一時刻恒有一點(diǎn)的速度剛體角速度不為零時，在任一時刻恒有一點(diǎn)的速度為零，稱為為零，稱為轉(zhuǎn)動瞬心轉(zhuǎn)動瞬心。2. 轉(zhuǎn)動瞬心轉(zhuǎn)動瞬心對實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系對實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系對固著剛體坐標(biāo)系對固著剛體坐標(biāo)系0 xAxvvyy0yAyvvxx0A yCvxx0AxCvyyxAxvvyyAyvvxA yCvx A xCvy 利用轉(zhuǎn)動瞬心利用轉(zhuǎn)動瞬心C與剛體上與剛體上任一點(diǎn)連線與其速度方向垂直，任一點(diǎn)連線與其速度方向垂直，可以用幾何法求瞬心可以用幾何法求瞬心ABCAvBv轉(zhuǎn)

39、動瞬心的求法轉(zhuǎn)動瞬心的求法 轉(zhuǎn)動瞬心轉(zhuǎn)動瞬心C在固定平面在固定平面xy上的軌跡稱為上的軌跡稱為空間極跡空間極跡，而在薄片上（動平面）的軌而在薄片上（動平面）的軌跡稱為跡稱為本體極跡本體極跡。 剛體的運(yùn)動是本體極跡剛體的運(yùn)動是本體極跡在空間極跡上的無滑滾動。在空間極跡上的無滑滾動。 例如車輪在軌道上的滾例如車輪在軌道上的滾動。動。 例例1 試用轉(zhuǎn)動瞬心法求橢圓規(guī)尺試用轉(zhuǎn)動瞬心法求橢圓規(guī)尺M(jìn)點(diǎn)的速度、加速度，并求點(diǎn)的速度、加速度，并求本體極跡和空間極跡的方程式。本體極跡和空間極跡的方程式。轉(zhuǎn)動瞬心轉(zhuǎn)動瞬心空間空間極跡極跡本體本體極跡極跡sinBvca b sinca b2222222sincosc

40、MvMCabcabtga b 解解 22222xyOCABab222212xyO Cab2222222222222222cos1sinsin1cossinsin1coscoscossincossinsin1cossinsinMBddaarrkbjbjdtdtccbibja ba bbcija bbcijija bbca b 223sin1sinibcia bsinca b4 223sin1Mb caixbxa b3. 3. 平面平行運(yùn)動動力學(xué)平面平行運(yùn)動動力學(xué) 平面平行一般分解為平面平行一般分解為繞過質(zhì)心繞過質(zhì)心C點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動和質(zhì)心和質(zhì)心C的平動。的平動。若外力只有保守力作若外力只有保守力作功，功，剛體的機(jī)械能守恒剛體的機(jī)械能守恒221122CzzEm vIV質(zhì)心平質(zhì)心平動動能動動能繞質(zhì)心軸繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能Cxm xFCym yF質(zhì)心運(yùn)動質(zhì)心運(yùn)動方程方程zzzzzIIM繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動方程繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動方程例例2 無滑下滾圓柱體的加速度和約束反力。無滑下滾圓柱體的加速度和約束反力。COmgNfOyxC解解 （A）機(jī)械能守恒定律）機(jī)械