選修4-4-2.3.1直線的參數方程演示教學

1、2.3.1 直線直線(zhxin)的參的參數方程數方程選修選修(xunxi)4-4第一頁，共23頁。請同學請同學(tng xu)們們回憶回憶:我們學過的直線我們學過的直線(zhxin)的普通方程都有哪些的普通方程都有哪些?兩點式兩點式:112121yyxxyyxx 點斜式點斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般一般(ybn)式式:0()AxByCA B， 不不同同時時為為零零2121yyxx tan 第二頁，共23頁。000()Mxy 已已知知一一條條直直線線過過點點， ，傾傾斜斜角角 ，求求這這條條直直線線的的方方程程. .00tan()yyxx 解解：直直線線的的普普通通方方程程

2、為為00sin()cosyyxx 把把它它變變成成00sincosyyxx 進進一一步步整整理理，得得：00.sincosyyxxtt令令該該比比例例式式的的比比值值為為 ，即即00cos()sinxxttyyt 整整理理，得得到到是是參參數數第三頁，共23頁。M0(x0，y0)M(x,y)e (cossin ) ，00000()()()M Mx yxyxxyy，解：在直線解：在直線(zhxin)上任取一點上任取一點M(x，y)，則，則(cossin)ele 設設是是直直線線 的的單單位位方方向向向向量量，則則，00/M MetRM Mte因因為為，所所以以存存在在實實數數，使使，即即00()

3、(cossin)xxyyt，00cossinxxtyyt所所以以，00cossinxxtyyt即即，00cossinxxttyyt 所所以以，該該直直線線的的參參數數方方程程( (為為為為參參數數) )xOy第四頁，共23頁。0M Mtelt 由由，你你能能得得到到直直線線 的的參參數數方方程程中中參參數數的的幾幾何何意意義義嗎嗎？| t | = | M0M |M0Me00| |M MteM Mte解解：，|1ee又又因因為為 是是單單位位向向量量，0| | |.M Mtet所以所以(suy)，直線參數方程中，直線參數方程中參數參數t的絕對值等于直線上動點的絕對值等于直線上動點M到定點到定點M

4、0的距離的距離.這就是這就是(jish) t 的幾何意義，要的幾何意義，要牢記牢記xOy第五頁，共23頁。21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直線線與與拋拋物物線線交交于于， 兩兩點點，求求線線段段的的長長度度和和點點， 到到 ，兩兩點點的的距距離離之之積積. .分析分析(fnx):3.點點M是否是否(sh fu)在直在直線上線上1.用普通方程去解還用普通方程去解還是是(hi shi)用參數方用參數方程去解；程去解；2.分別如何解分別如何解.ABM(-1，2)xyO第六頁，共23頁。解：因為把點解：因為把點M的坐標代入直的坐標代入直線方程后，符合線方程后，符合(

5、fh)直線方程，直線方程，所以點所以點M在直線上在直線上.31cos4()32sin4xttyt 為為參參數數34 易易知知直直線線的的傾傾斜斜角角為為，所所以以直直線線的的參參數數方方程程可可以以寫寫成成：21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直線線與與拋拋物物線線交交于于， 兩兩點點，求求線線段段的的長長度度和和點點， 到到 ，兩兩點點的的距距離離之之積積. .M(-1，2)ABxOy第七頁，共23頁。212()222xttyt 即即為為參參數數22220.yxtt 把把它它代代入入拋拋物物線線方方程程，得得1221021022tt解解得得，t由由參參數數 的

6、的幾幾何何意意義義得得12|10ABtt，121 2| | | |2.MAMBttt tM(-1，2)ABxOy第八頁，共23頁。12121212()0.(1)(2)f x yMMttM MM MMt 直直線線與與曲曲線線，交交于于，兩兩點點，對對應應的的參參數數分分別別為為 ，曲曲線線的的弦弦的的長長是是多多少少？線線段段的的中中點點對對應應的的參參數數 的的值值是是多多少少？121212(1)| |(2).2M Mttttt ；第九頁，共23頁。001212121212cos1.(sin().|.|.|.|xxttyytattABA BAttBttCttDtt 直直線線為為參參數數）上上有

7、有參參數數分分別別為為 和和 對對應應的的兩兩點點 和和 ，則則 ， 兩兩點點的的距距離離為為B第十頁，共23頁。 1212121212cos2()sin()|.2222xattybtB CttBCMttttttttABCD . .在在參參數數方方程程為為參參數數 所所表表示示的的曲曲線線上上有有， 兩兩點點，它它們們對對應應的的參參數數值值分分別別為為 、 ，則則線線段段的的中中點點對對應應的的參參數數值值是是B1123.()3522 30(15)_.xttytxy 一一條條直直線線的的參參數數方方程程是是為為參參數數 ，另另一一條條直直線線的的方方程程是是，則則兩兩直直線線的的交交點點與與

8、點點 ，間間的的距距離離是是4 3第十一頁，共23頁。12444022043120lxylxylxy. .求求直直線線 ：與與 ：及及直直線線 ：所所得得兩兩交交點點間間的的距距離離. .9 17145. 動點動點M作勻速直線運動，它在作勻速直線運動，它在x軸和軸和y軸方軸方向的分速度分別是向的分速度分別是3cm/s和和4cm/s，直角坐標，直角坐標系的長度單位系的長度單位(dnwi)是是1cm，點，點M的起始位的起始位置在點置在點M0(2，1)處，求點處，求點M的軌跡的參數方的軌跡的參數方程程.32()41xttyt 為為參參數數325()415xttyt 為為參參數數第十二頁，共23頁。

9、sin2036()()cos20. 20. 70.110.160 xttytABCD . .直直線線為為參參數數 的的傾傾斜斜角角是是el 我我們們知知道道， 是是直直線線 的的單單位位方方向向向向量量，那那么么它它的的方方向向應應該該是是向向上上還還是是向向下下的的？還還是是有有時時向向上上有有時時向向下下呢呢？0tM M我我們們是是否否可可以以根根據據 的的值值來來確確定定向向量量思思考考的的方方向向呢呢？第十三頁，共23頁。0sin0sin0eeee 由由于于 是是直直線線的的傾傾斜斜角角，因因此此，當當時時，又又因因為為表表示示 的的縱縱坐坐標標，所所以以的的縱縱坐坐標標都都大大于于

10、，那那么么 的的終終點點就就會會都都在在第第一一，二二象象限限，所所以以 的的方方向向就就總總會會向向上上. .000000.tM MtM MtMM 此此時時，若若，則則的的方方向向向向上上；若若，則則的的方方向向向向下下；若若，則則點點與與重重合合第十四頁，共23頁。例例: 動點動點M作等速直線運動，它在作等速直線運動，它在 x 軸和軸和 y 軸方向分軸方向分速度分別為速度分別為 9，12，運動開始時，點，運動開始時，點 M 位于位于(wiy)A(1，1)，求點，求點 M 的軌跡的參數方程的軌跡的參數方程. 19()112xttyt為為參參數數請思考請思考: 此時的此時的t有有沒有明確沒有明

11、確(mngqu)的幾何意義的幾何意義?沒有沒有第十五頁，共23頁。直線的參數方程直線的參數方程(fngchng)可以寫成這樣的形可以寫成這樣的形式式:220221| |cossin.1abttM Mababt 當當時時， 有有明明確確的的幾幾何何意意義義，它它表表示示， 此此時時我我們們可可以以認認為為，為為傾傾斜斜角角. .當當時時， 沒沒有有明明確確的的幾幾何何意意義義. . 那那么么， 如如何何轉轉化化，可可以以使使參參數數具具有有幾幾何何意意義義呢呢？00()xxattyybt 為為參參數數第十六頁，共23頁。 cos42cos7.()sin2sin()()53.664425.3366

12、xtxtytyABCD直直線線為為參參數數 與與圓圓為為參參數數 相相切切，則則直直線線傾傾斜斜角角 為為或或或或或或或或 2248.()410 xattxyxybt 若若直直線線為為參參數數 與與曲曲線線相相切切，則則這這條條直直線線的的傾傾斜斜角角等等于于_._.233或或第十七頁，共23頁。222(2 1)1164yxMlA BMABl例例經經過過點點， 作作直直線線 ，交交橢橢圓圓于于 ， 兩兩點點. . 如如果果點點恰恰好好為為線線段段的的中中點點，求求直直線線 的的方方程程. .22121222cos(2 1)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80|4(cos2sin)

13、.3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt 解解：設設過過點點， 的的直直線線 的的參參數數方方程程為為為為參參數數 代代入入橢橢圓圓方方程程得得由由 的的幾幾何何意意義義知知，因因為為點點在在橢橢圓圓內內，這這個個方方程程必必有有兩兩個個實實根根，所所以以第十八頁，共23頁。1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy 因因為為點點為為線線段段的的中中點點，所所以以，即即，于于是是直直線線 的的斜斜率率為為，因因此此直直線線 的的方方程程為為，即即第十九頁，共23頁。例例3 當前臺風中心當前臺風中心P在某海濱城市在某海濱城市O向東向東300km處生處

14、生成，并以成，并以40km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45度方向移動度方向移動. 已已知距臺風中心知距臺風中心250km以內的地方都屬于臺風侵襲的以內的地方都屬于臺風侵襲的范圍，那么范圍，那么(n me)經過多長時間后該城市開始受到經過多長時間后該城市開始受到臺風侵襲臺風侵襲?PMOyx第二十頁，共23頁。(300 0)250OOPxPOkmOMOOO解解：取取 為為原原點點，所所在在直直線線為為 軸軸，建建立立直直角角坐坐標標系系，如如圖圖，則則點點 的的坐坐標標為為， ，以以 為為圓圓心心，為為半半徑徑作作圓圓 ，當當臺臺風風中中心心移移動動后后的的位位置置在在圓圓內內或或以以圓圓 上

15、上時時，城城市市 將將受受到到臺臺風風侵侵襲襲. .222250()30040cos135(0)40sin13530020 2(0).20 2OxytMx yMxtlttytxtttyt 圓圓 的的方方程程為為，設設經經過過時時間間 后后，臺臺風風中中心心的的坐坐標標為為， ，根根據據條條件件知知臺臺風風中中心心移移動動形形成成的的直直線線 的的方方程程為為為為參參數數，即即為為參參數數，第二十一頁，共23頁。222(30020 220 2 )(30020 2 )(20 2 )25015 25 715 25 7442.08.62MttOOttttth 當當點點，在在圓圓 內內或或在在圓圓 上上時時有有，解解得得由由計計算算器器計計算算得得， 的的范范圍圍約約為為，所所以以，大大約約在在后后該該城城市市開開始始受受到到臺臺風風侵侵襲襲. .思考：思考：在例在例3中，海濱城市中，海濱城市O受臺風侵襲大概持續(xù)多長時受臺風侵襲大概持續(xù)多長時間？間？如果如果(rgu)臺風侵襲的半徑也發(fā)生變化臺風侵襲的半徑也發(fā)生變化(比如：當比如：當前半徑為前半徑為250km，并以，并以10km/h的速度不斷增大的速度不斷增大)，那么問題又該如何解決？那么問題又該如何解決？第二十二頁，共23頁。1. 直線直線(zhxin