研究生矩陣?yán)碚?第一章 矩陣的相似變換

1、矩陣?yán)碚摼仃嚴(yán)碚?成都信息工程學(xué)院 李勝坤1.1 特征值與特征向量特征值與特征向量第一章第一章 矩陣的相似變換矩陣的相似變換定義定義 設(shè) ，如果存在 和非零向量 ，使 ，則 叫做 的特征值， 叫做 的屬于特征值 的特征向量。nnCACnCxxAxAxAdet(n由I-A)=0求特征值,即其 個(gè)根。Aii解(I-A)x=0，其非零解向量即為 的對(duì)應(yīng)于的特征向量。（3）屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。）屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（2）特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。）特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。（1）一個(gè)特征

2、向量不能屬于不同的特征值。）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。（4） 設(shè)設(shè) 是是 的的 個(gè)互不同的特征個(gè)互不同的特征值，值， 的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為 ， 是對(duì)是對(duì)應(yīng)于應(yīng)于 的的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則的所有這個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量些特征向量仍然是線性無(wú)關(guān)的。仍然是線性無(wú)關(guān)的。12,r LAriiq12,iiiiqLiiq12111212122212,;,;,rqqrrrqLLLL（5）設(shè) 階方陣 的特征值為 ，則 ()ijn nAa12,n L112212,nnnaaaLL12det( ),nA L L12(),.Hjin nnAa L特征值為n(6),trABtrBA

3、n nAC設(shè) ，B則 （）= （）. 1.2 相似對(duì)角化相似對(duì)角化定義：設(shè)定義：設(shè) ，若存在，若存在 使得使得 則稱(chēng)則稱(chēng)相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì)： 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。有相同的跡，有相同的譜。定義定義：設(shè)：設(shè) ，如果，如果 相似于一個(gè)對(duì)角相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，則稱(chēng)矩陣，則稱(chēng) 可對(duì)角化可對(duì)角化。 An nAC，Bn nnPC1P AP=B,ABA與B相似，記為，:P稱(chēng)為相似變換陣。n nACA定理定理： 階矩陣階矩陣 可以對(duì)角化的充分必要條件是

4、可以對(duì)角化的充分必要條件是每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。例例1 判斷矩陣判斷矩陣是否可以對(duì)角化？是否可以對(duì)角化？ nA311201112A定理定理： 階矩陣階矩陣 可以對(duì)角化的充分必要可以對(duì)角化的充分必要條件是條件是 有有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 nAnA于是的特征值為于是的特征值為 （二重）（二重） 由于由于 是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮231121112(1)(2)IA121,21122解解： 先求出先求出 的特征值的特征值A(chǔ)于是于

5、是 從而不相似對(duì)角矩陣，從而不相似對(duì)角矩陣，不能對(duì)角化不能對(duì)角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA1.3 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹i121JrJordan1JordanJJJJordaniiiiiir rsJOOO定義：形如的矩陣稱(chēng)為 階塊，由若干個(gè)塊構(gòu)成的分塊對(duì)角矩陣稱(chēng)為矩陣。C,JordanJJordanJJordanJAJordann nAA定理：設(shè)則 與一個(gè)矩陣 相似。這個(gè)矩陣 除塊的排列次序外由A唯一確定，稱(chēng) 為 的標(biāo)準(zhǔn)形。C,( ) det( I A)(A) O.n nA 定理：設(shè)=-，則=1.4 Hamilton-Cayley定理 1

6、.5 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積12121( ,) ,(,),TTnnnnHkkkx xxyy yyCx yy x定義：設(shè)x令（x, y）=稱(chēng)（x, y）為向量x與y的內(nèi)積。LL=內(nèi)積的性質(zhì)：內(nèi)積的性質(zhì)：(1)( , )( , )(2)(, )( , ),( ,)( , )(3)(, )( , )( , )(4)( , )0(5)( , )( , )( , )( , )()x yy xx yx yxyx yxy zx zy zx xx yy xx xy yCauchySchwarz不等式12,2212( ,),( , ),2Tnnnkkxx xxCxx xxxx定義：設(shè)令稱(chēng)為向量 的長(zhǎng)度或 范數(shù)。L

7、=22222220,x00.(2)(3)xxxxxyxy向量的長(zhǎng)度具有的性質(zhì)：（1）當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)時(shí)，解解： 根據(jù)定義可知根據(jù)定義可知225 1 9621149 1630 例例 在在 中求下列向量的長(zhǎng)度中求下列向量的長(zhǎng)度(1)(12 ,3,22 )(2)(1, 2,3,4)iii4C定義定義： 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量，對(duì)于的向量稱(chēng)為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向量任何一個(gè)非零的向量 ，向量，向量是單位向量，稱(chēng)此過(guò)程為是單位向量，稱(chēng)此過(guò)程為單位化單位化。 ( ,)0 定義定義：如果：如果 ，則稱(chēng)，則稱(chēng) 與與 正交。正交。定義定義 設(shè)設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，為一組不含有零向量的向量

8、組，如果如果 內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱(chēng)內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱(chēng)其為其為正交向量組。正交向量組。定義定義 如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱(chēng)此向量組為是單位向量，則稱(chēng)此向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 i i12321 222 1, , , 33 333 31 2 2 , 3 3 3 與向量組與向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。123 cos ,0,sin ,0,1,0 sin ,0, cos ii 例例 在在 中向量組中向量組3C定理定理：正交的向量組是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量：正交的向量組是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組。反之

9、，由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可組。反之，由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。交向量組。Schmidt正交化與單位化過(guò)程正交化與單位化過(guò)程: 設(shè)設(shè) 是是 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，利用這量，利用這 個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。正交向量組。 r12,r Lr11212211111111111,rrrrrrrr L L L LL第一步第一步 正交化正交化容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是一個(gè)正交向量組是一個(gè)正交向量組.12,r L第二步第二步 單位化單位化顯然顯然 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。是一個(gè)

10、標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例例1 運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。121212,rrrL L L12,r L1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1, , ,1,3 3 3 再單位化再單位化 解解：先正交化：先正交化11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。123, 定義：定義：設(shè)設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 階復(fù)矩陣，如果其滿階復(fù)

11、矩陣，如果其滿足足則稱(chēng)則稱(chēng) 是是酉矩陣酉矩陣，一般記為，一般記為 設(shè)設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 階實(shí)矩陣，如果其滿階實(shí)矩陣，如果其滿足足則稱(chēng)則稱(chēng) 是是正交矩陣正交矩陣。AnHHA AAAIAn nAUAnTTA AAAIA例例：22022(1)10022022是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣212333221(2)333122333是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣是一個(gè)正交矩陣cossin(3)sincos（5）設(shè)）設(shè) 且且 ，如果，如果 則則 是一個(gè)酉矩陣。通常稱(chēng)為是一個(gè)酉矩陣。通常稱(chēng)為Householder矩陣矩陣。 1nC1H 2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一個(gè)酉矩

12、陣是一個(gè)酉矩陣設(shè)設(shè) ，那么，那么,n nA BU1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：1(1)(2)det( )1(3),TAAAAB BA 是正交矩陣是正交矩陣,A B設(shè)是正交矩陣，那么定理定理： 設(shè)設(shè) ， 是一個(gè)酉矩陣的充分是一個(gè)酉矩陣的充分必要條件為必要條件為 的的 個(gè)列（或行）向量組是個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。n nACAnA1.6 酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形酉相似下的標(biāo)準(zhǔn)形定義定義：設(shè) ，若存在 ，使得則稱(chēng) 酉相似酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一個(gè) 階

13、復(fù)矩陣 酉相似于一個(gè)上(下)三角矩陣。,()n nn nA BCR或n nUU()或正交矩陣11()HTU AUUAUBU AUUAUB或ABAn證明證明：用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時(shí)定理成立，考慮 的階數(shù)為 時(shí)的情況。 取 階矩陣 的一個(gè)特征值 ，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因?yàn)?構(gòu)成 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故12,k kC1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 12131111100kHaaaUAUA令那么21k kU

14、UW12112112100kHHbbUUAUUR其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足1A1k 1k W11HW AWR(上三角矩陣)注意注意: 等號(hào)右端的三角矩陣主對(duì)角線上的元素等號(hào)右端的三角矩陣主對(duì)角線上的元素為矩陣為矩陣 的全部特征值的全部特征值.A308316205A試求酉矩陣試求酉矩陣 使得使得 為上三角矩陣為上三角矩陣.解解: 首先求矩陣首先求矩陣 的特征值的特征值UHU AUA3(1)IA例例: 已知矩陣已知矩陣所以所以 為矩陣為矩陣 的三重特征值的三重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有單位特征向量有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量

15、求得一個(gè)單位解向量1 A1 A1211,666T12320 xxx2333,333T再解與再解與 內(nèi)積為零的方程組內(nèi)積為零的方程組求得一個(gè)單位解向量求得一個(gè)單位解向量取取12, 123123200 xxxxxx3220,22T123036132326132326U計(jì)算可得計(jì)算可得117 27 31235 60435 6062HUAU15 6435 662A再求矩陣再求矩陣 的特征值的特征值所以所以 為矩陣為矩陣 的二重特征值的二重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 有單位特征向量有單位特征向量1A21(1)IA1 1A1 1A令令11015,55T再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解

16、向量求得一個(gè)單位解向量1210150 xx21510,55T取取計(jì)算可得計(jì)算可得1101555151055V11 125 61601HVAV210010150551510055U令令于是有于是有12230515561300661302 53056WUU107 30 /60125 6 /6001HW AW矩陣矩陣 即為所求的酉矩陣即為所求的酉矩陣.正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣定義定義: 設(shè)設(shè) , 如果如果 滿足滿足Wn nACA則則HHAAA A那么稱(chēng)矩陣那么稱(chēng)矩陣 為一個(gè)為一個(gè)正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣.設(shè)設(shè) , 如果如果 同樣滿足同樣滿足那么稱(chēng)矩陣那么稱(chēng)矩陣 為一個(gè)為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣實(shí)正規(guī)矩陣.例例: (1) 為實(shí)

17、正規(guī)矩陣為實(shí)正規(guī)矩陣 An nARAHHAAA AA1111abcdbadccdabdcba (2)其中其中 是不全為零的實(shí)數(shù)是不全為零的實(shí)數(shù), 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣., , ,a b c d (3)這是一個(gè)正規(guī)矩陣這是一個(gè)正規(guī)矩陣. (4) Hermite陣陣, 反反Hermite陣陣, 正交矩陣正交矩陣, 酉矩陣酉矩陣, 對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣.434624432662261iiiiiiii 引理引理1 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣是一個(gè)正規(guī)矩陣, 則與則與 酉酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理引理2 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)三角

18、矩陣是一個(gè)三角矩陣, 則則 是正是正規(guī)矩陣的充要條件是規(guī)矩陣的充要條件是 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理定理 : 設(shè)設(shè) , 則則 酉相似于對(duì)角酉相似于對(duì)角矩陣的充要條件是矩陣的充要條件是 為正規(guī)矩陣。為正規(guī)矩陣。AAAAn nACAA正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理A12HnU AU其中其中 是矩陣是矩陣 的特征值的特征值.12,n Ann推論推論 : 階正規(guī)矩陣有階正規(guī)矩陣有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .例例1 : 設(shè)設(shè)求正交矩陣求正交矩陣 使得使得 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.解解: 先計(jì)算矩陣的

19、特征值先計(jì)算矩陣的特征值324202423AQ1Q AQ2(1) (8)IA其特征值為其特征值為對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化并正交化單位化并正交化, 得到兩個(gè)標(biāo)得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量準(zhǔn)正交向量1231,8 11 ()0IA X 121,2,0,1,0,1TTXX 12,XX1212425,0,3553 5 2 5TT對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量28(8)0IA X32,1,2TX 32 1 2, ,3 3 3T將這三個(gè)

20、標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣123142353 5221,353 552033Q 則矩陣則矩陣 即為所求正交矩陣且有即為所求正交矩陣且有Q1118Q AQ例例2 : 設(shè)設(shè)434624432662261iiiAiiiii 求酉矩陣求酉矩陣 使得使得 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.QHQ AQ解解: 先計(jì)算矩陣的特征值先計(jì)算矩陣的特征值其特征值為其特征值為對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系2(81)(9)IA1239i,9 19i ( 9)0iIA X1/2,1,1TXi 現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化單位化, 得到一個(gè)單位向量得到一個(gè)單位向量1X

21、12 2,3 3 3Ti對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量29i(9)0iIA X2, 1/2,1TXi 221 2,333Ti對(duì)于特征值對(duì)于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量將其單位化得到一個(gè)單位向量39(9)0IA X3,1, 1/2TXi3221,3 33Ti將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣12322333212,333221333iiiQ 則矩陣則矩陣 即為所求酉矩陣且有即為所求酉矩陣且有Q999HiQ AQi推論：推論： 1 Hermite矩陣的特征值為實(shí)數(shù)矩陣的特征值為實(shí)數(shù); 反反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)矩陣的特征值為零或純虛數(shù). 2 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù); 實(shí)反對(duì)稱(chēng)實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為零或純虛數(shù)矩陣的特征值為零或純虛數(shù). 3 是正規(guī)矩陣，是正規(guī)矩陣， 是是 的特征的特征值，值， 是對(duì)應(yīng)的特征向量，則是對(duì)應(yīng)的特征向量，則 是是 的特的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為 。 4 是正規(guī)矩陣，則屬于不同特是正規(guī)矩陣，則屬于不同特征值的特征向量正交。征值的特征向量正交。 xAn nACHAxn nAC例例 : 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是