矩陣理論-第二講 方陣的對角化

1、信息科學與工程學院矩陣理論-第二講蘭州大學信息科學與工程學院2004年信息科學與工程學院回顧與復習 矩陣理論的應用背景； 矩陣、數(shù)域、映射、直積集、代數(shù)運算、集合對運算封閉、矩陣運算、負矩陣、零矩陣、方陣、對角陣、單位陣、轉(zhuǎn)置矩陣、分塊矩陣、分塊矩陣的相等、伴隨矩陣（adjoint matrix, NOT adjacent matrix）、逆矩陣、逆的性質(zhì)、矩陣的秩、秩的性質(zhì)等 矩陣運算：矩陣加法、矩陣減法、數(shù)乘矩陣、矩陣乘法、方陣的冪 線性空間：非空集定義了加法，滿足4條有關(guān)加法的規(guī)律（加法交換群） ；定義了數(shù)乘，滿足4條有關(guān)數(shù)乘的規(guī)律；信息科學與工程學院回顧與復習（Continue） 線性

2、映射（線性算子、線性變換）同一數(shù)域上的線性空間到線性空間的映射 線性泛函線性空間到數(shù)域的映射 線性子空間非空子集、加法與數(shù)乘的定義與原空間相同子空間的維數(shù)不超過其全空間的維數(shù)子空間的維數(shù) = 生成元（列向量）構(gòu)成的矩陣（向量組）的秩信息科學與工程學院回顧與復習（Continue）3Rx:Fx0 xcbax0 x0:Fx00,0F單獨一個就已經(jīng)線性相關(guān)了，所以規(guī)定零單獨一個就已經(jīng)線性相關(guān)了，所以規(guī)定零子空間的維數(shù)為子空間的維數(shù)為0，并且規(guī)定它的，并且規(guī)定它的基基為為空集空集Xx:Fx0 xX是線性子空間， ，集合 是子空間，當 時，是由x生成的一維子空間1x2xYXZbacxx11xx220)(

3、11221122xxxx信息科學與工程學院回顧與復習（Continue）3,Ryx0, 0yxYXZ不相關(guān)yxxyxxyxx333222111xyyx22221111,cbaxcbaxcbacbayyyyxxxx,aaaayxayxa222111212211112212212211112212aayaaxaa213xxx信息科學與工程學院回顧與復習（Continue） 線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次非齊次rn,21)()(2211),(),(),(rnnrnrnrkkFICjiIjiIjiI0AXnmrFA01XXXBAX 1,mnmrFBFA信息科學與工程學院回顧與復習（Continue） 方陣的特

4、征值與特征向量 特征矩陣nnFAFnFx0 xAxnnFAnnnnnnaaaaaaaaaAI212222111211信息科學與工程學院回顧與復習（Continue） 特征多項式 特征方程0)det( AI)det(AI 信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue） 特征值的代數(shù)重數(shù)若 是 的k重特征值，則稱的代數(shù)重數(shù)為k 特征值的幾何重數(shù) 的解空間稱為A的屬于特征值的特征子空間，記為 。特征子空間的維數(shù) 稱為A的特征值的幾何重數(shù) 特征值的幾何重數(shù)不超過它的代數(shù)重數(shù)：若 是 的k重特征值，則nnFAFV0)(xAI)rank(dimAInVkAInV)rank(dimnnFAF信息科學

5、與工程學院特征值與特征向量（Continue） 矩陣的多項式設(shè) f() 是 的多項式 ：運算結(jié)果是一個數(shù)對 ，定義 為矩陣A的多項式 ：運算結(jié)果是一個 上的矩陣 矩陣的多項式的特征值和特征向量若 是 的特征值， 是A的屬于的特征向量，那么x也是 的屬于特征值 的特征向量：nnFA0111)(aaaafssssnnFIaAaAaAaAfssss0111)(nnFAFsiFai, 1,nniFIAsiFa, 1,xAxxfxAf)()(nFx0)(f)(AfZs0)(Af0)(f(對A的任一特征值）信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）證明:由方陣的冪的定義， 有那么如果Zk xx

6、AxAAxAxAkkkkk111)()(xIaAaAaAaxAfssss)()(01111IxaAxaxAaxAassss01111xfxaaaassss)()(011110)(AfxfxAf)()(0nFx00)(f信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue） 屬于不同特征值的線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量組組，組合起來仍線性無關(guān)設(shè) 是 的互異特征值， 是分別與 對應的 個線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān)推論：屬于不同特征值不同特征值的特征向量必線性無關(guān)線性無關(guān)證明：證明：對特征值的個數(shù)用歸納法。當k = 1時，顯然成立。設(shè) 時成立，需要證明k = m時也成立。Fn,21nxnFAni

7、riiFxxxi,21nkrkkrrFxxxxxxxxxk,21222211121121)2( 1mmk00212211nnnxxxiri信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）為此，設(shè)有F上的常數(shù)：使得：用 乘以上式兩邊：用A左乘（1）式兩端，并注意到：又有(2)式與(3)式相減nkrmmrrFm,21222211121121mmrjmjmjrjrjjmjmjjxxx111)1()1(11011(1)mmmrjmjmmjrjrjjmmjmjmjxxx111)1()1(11011(2), 1;, 1(iitiitrtmixAxmmrjmjmmjrjrjjmmjmjjxxx111)

8、1()1()1(1110110)()(1111)1()1()1(111rjrjjmmmjmjmjmxx(3)信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）即：又因為 互異，故：將上式代入(1)式，得即k = m時，定理也成立11)1(221111, 10)(, 10)(, 10)(mmmjmmjmjrjrjrj1211, 1;, 1;, 10mjrrrjFn,21mrjmjmjx10的線性無關(guān)的特征向量m0,21mmrmm0,21222211121121mkrmmrr信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue） 方陣的跡設(shè) ，定義為方陣A的跡 定理 有且僅有n個特征值，且若

9、是A的n個特征值，則 的特征值是 ，而 的特征值為nnijFaA)(ninnnnaaaaA12211trnxnFAFn,21AAAInnndet) 1()(tr)det(1Aniitr1Aniidet1TAn,21nnjiHFaA)(n,21信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）證明對A的階數(shù)用歸納法。A的階數(shù)為1時， ，定理成立。設(shè)A的階數(shù)為n 1時定理成立，需要證明A的階數(shù)為n時，定理也成立。由行列式的性質(zhì)11)det(aAInnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAI21222211121121222211121111)det(信息科學與工程學院特征值

10、與特征向量（Continue）nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa212222111222221121110011111222112211222112222211211001001nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）1111222112211222222211) 1(nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa122212222)(caaaaaannnnnnnn32211111222112211222ccaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnFccc321,信息科學與工程

11、學院特征值與特征向量（Continue）1222111)()1()det(caaaAInnnn)(3221ccnnFccac3111) 1(cAnn1)(tr上式中再令上式中 0，則又因為 是 的n個根，所以比較上式中 的系數(shù)和常數(shù)項：AAcndet) 1()det(n,21)det(AI )()()det(21nAInnnnnAI21121) 1()()det(Aniitr1Aniidet11n信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）由上式可以立即得到兩條推論： 滿秩 A的所有的特征值都異于零對 ，0是A的特征值A(chǔ)niidet1nxnFA0detAnxnFA0)det()det

12、()det()det(AIAIAIAIiTiTTiTi證明 也是 的特征值n,21TA證明 是 的特征值：n,21HA)det()det()det(TiTiHiAIAIAITiTTiAIAI)det()det(00)det()det()det(AIAIAIiTi信息科學與工程學院特征值與特征向量（Continue）用數(shù)學歸納法證明)det()det(AA kjkkjjkkkjjkjjjjnnnnnnkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA1)1(2)1(13)1(2)1(3312)1(2)1(22111212222111211) 1(detkkjjkjjkjjkjjkjjkjjkjjk

13、jjAAaAaAaAadet) 1() 1() 1() 1(11111111111111111111信息科學與工程學院方陣乘積的跡 定理設(shè) ，則證明：設(shè) ， ，則AB的對角線元素為而BA的對角線元素為于是改變求和順序 nxnFBA,nnijFaA)(nnijFbB)(nibankkiik, 11niabnkkiik, 11)()(11ninkkiikbaABtr)tr()()(1111BAabbankniikkinknikiik信息科學與工程學院方陣的相似 方陣相似的定義設(shè) ，若 使得則稱A與B相似，記作 相似矩陣的性質(zhì)自反性對稱性傳遞性 ，保秩性行列式相等矩陣函數(shù)相似特征多項式、特征值相同n

14、xnFBA,BAPP1BA nnnFPAA BA AB BA CA CB BA BArankrankBA BAdetdetBA )()(BfAfBA )det()det(BIAIAAII1ABPP)(111CBQQPQAQP111)()(mxnFBA,mmmFPnnnFQBPAQ BA BPAPdetdetdetdet1信息科學與工程學院方陣的相似（Continue）設(shè)因為 ，所以 使得那么0111)(aaaafssssBAPP1BA nnnFPIaBaBaBaBfssss0111)(IaPAPaAPPaAPPassss011111)()()(PAPAPPAPPAPPAPPkkk11111)(

15、 PAfPPIaAaAaAaPBfssss)()()(101111)()(BfAf)(det()det()det(11PAIPAPPIBI)det(det)det(det1AIPAIP信息科學與工程學院方陣的對角化 方陣可對角化的定義對 ，若 ，則稱方陣方陣A A可對可對角化角化 問題：問題：如何判定一個方陣可對角化？可對角化的方陣如何實現(xiàn)可對角化？ 方陣可對角化的充要條件 可對角化 A有n個特征值，且每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)證明：（充分性）設(shè) 有n個特征值：nxnFAnnnFaaaA),diag(21nxnFAnxnFA)(, ,21111nrrrFnrkkrk 信息科學與工程學院

16、方陣的對角化 方陣可對角化的定義對 ，若 ，則稱方陣方陣A A可對可對角化角化 問題：問題：如何判定一個方陣可對角化？可對角化的方陣如何實現(xiàn)可對角化？ 方陣可對角化的充要條件 可對角化 A有n個特征值，且每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)，即： nxnFAnnnFaaaA),diag(21nxnFA)(, ,21111nrrrFnrkkrk ), 2 , 1(,dimkiVrii信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue） 可對角化方陣的對角化方法由 的基構(gòu)成的矩陣可使證明：先證充分性。設(shè) 有n個特征值：且niriiFi,21), 2 , 1(,kiVinnkrkrFTk)(11111n

17、nnrkkrFATTk , ,diag1111nxnFA)(, ,21111nrrrFnrkkrk ), 2 , 1(,dimkiVrii信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）為 的基，因 互異，根據(jù)“屬于不同特征值的線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量組組，組合起來仍線性無關(guān)”，A的n個特征向量線性無關(guān)，因此注意到于是iitiitrtA, 2 , 1,niriiFi,21)(,121112111nrrFknkrkkrkk,21), 2 , 1(kiVinnnkrkrFTk)(11111),(111111krkrAAT),(111111krkrAAAA信息科學與工程學院方陣的對角化（Con

18、tinue）于是)(11111111krkkkr), ,diag(, ,diag)(11111111111 kkkrkkrrkkrkrkrTnnnrkkrFATTk , ,diag11112110000000000*r1列r1行信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）再證必要性，即 可對角化 A有n個特征值且每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)。不失一般性，設(shè)A相似于F上的一個n階對角陣根據(jù)相似的定義， 使得上式右邊的對角陣以 為其 重特征值，“相似方陣有相同的特征值” ，所以，A有n個特征值：下證 nxnFA)(), ,(21111nrrrFdiagnrkkrk nnnFT)(, ,

19、diag11111nrrFATTknnnrkkrk i), 1(kiri)(, ,21111nrrrFnrkkrk ), 2 , 1(,dimkiVrii信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）對T的n個列向量進行如下編號：那么比較上式兩邊矩陣的列向量，可得)(,121112111nrrFknkrkkrk),(111111krkrA),(111111krkrAAAA kkkrkkrkrkrrkkrTAT, ,diag)(), ,diag(11111111111)(11111111krkkkrkirtAiitiit, 1, 2 , 1,信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）

20、由線性無關(guān)?！耙唤M向量線性無關(guān)，則其一部分也線性無關(guān)”也線性無關(guān)。 “線性無關(guān)向量的最大個數(shù)不超過其所在空間的維數(shù)”又由“特征值的幾何重數(shù)不超過它的代數(shù)重數(shù)”綜合上兩式推論1：若 有n個互異的特征值，則A可對角化推論2：若 的特征值都是單重的，則A可對角化nnnFT)(,121112111nrrFknkrkkrkkiViiirii, 1,21), 2 , 1(,dimkiVrii1dim1irVi), 2 , 1(,dimkiVriinxnFAnxnFAirVidim信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）例：下列矩陣能否對角化？對可對角化的矩陣，求其相似變換矩陣和相應的對角陣611

21、6100010242422221304021101)3)(2)(1(6565611661161001)det(22323AI信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）00011010100011001155011001151161100111)1(23)5(2)1(23)6(1)1(11111p4212p9311p941321111321pppP3000200011APP信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）242422221221730121p1022p2213p7000200021APP信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）此矩陣不能對角化！12123211

22、1p0103p304021101信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）對角陣的應用：乘積、冪、求逆和求特征值都比較簡潔求冪： ，求242422221A100A)7, 2, 2diag(7000200021APP210201122P110010010011001001100)7(,2,2diag()7, 2, 2(diag()7, 2, 2diag(PPPPPPA信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）求解線性微分方程組：寫成矩陣形式： 令321332216116xxxdtdxxdtdxxdtdxAxx 6116100010A321xxxx332211*ydtdyydtdyydtdyydiagy)()(diagAAPyPy1APyyP PydtdyPtadtdtAdtdij)()(Pyx 信息科學與工程學院方陣的對角化（Continue）321111300020001yyyyAPyPAxPxPy那么33221132ydtdyydtdyydtdytttecyecyecy33322211CcccecececececececececPyxttttttttt321332213322133221,9432信息