第三章 Z變換

1、第三章 z變換The z-Transform3.0 引言引言連續(xù)時間信號與系統(tǒng)：連續(xù)時間信號與系統(tǒng)：時域時域頻域（傅立葉變換）；復頻域（頻域（傅立葉變換）；復頻域（s域，拉氏變換）域，拉氏變換）離散時間信號與系統(tǒng)：離散時間信號與系統(tǒng)：時域時域頻域（傅立葉變換）；復頻域（頻域（傅立葉變換）；復頻域（z域，域，z變換）變換）引入引入z變換的主要原因：變換的主要原因：傅立葉變換的收斂性（更廣泛的信號）傅立葉變換的收斂性（更廣泛的信號）z變換概念的方便性（分析研究信號、系統(tǒng)）變換概念的方便性（分析研究信號、系統(tǒng)）傅立葉變換與傅立葉變換與z變換的關系：變換的關系：推廣形式（數(shù)學、物理意義上）推廣形式（數(shù)

2、學、物理意義上）分析上的全面性（穩(wěn)態(tài)、動態(tài)、瞬態(tài)、靜態(tài)）分析上的全面性（穩(wěn)態(tài)、動態(tài)、瞬態(tài)、靜態(tài)）3.1 z變換變換定義：一個序列定義：一個序列xn的的z變換為變換為（雙邊，單邊）（雙邊，單邊）其中其中z是一個復變量（連續(xù)），是一個復變量（連續(xù)），X(z)是一個連續(xù)的復函數(shù)。是一個連續(xù)的復函數(shù)。用符號表示為：用符號表示為：比較序列的傅立葉變換：比較序列的傅立葉變換：nnznxzX)(nnnxXjje )e ( = (z)nnZ x nx n zXejz，傅立葉變換，傅立葉變換X (ej)z變換變換X(z)將復變量將復變量z表示成極坐標形式：表示成極坐標形式：z = rejz變換可以寫成：變換可以

3、寫成：可見，可見，xn的的z變換：指數(shù)序列變換：指數(shù)序列r-n乘以乘以xn后的傅立葉變換。后的傅立葉變換。當當z=1，即，即 r = 1時，時，z變換就是傅立葉變換。變換就是傅立葉變換。z變換是傅立葉變換的推廣，傅立葉變換是變換是傅立葉變換的推廣，傅立葉變換是z變換的特例；變換的特例；jjj-j( )( e ) e( e ) ennnnnX zX rx nrX rx n r或z平面：平面： 稱為稱為單位圓單位圓傅立葉變換是傅立葉變換是z平面單位圓上的平面單位圓上的z變換變換傅立葉變換的傅立葉變換的周期性解釋周期性解釋z變換的收斂域：變換的收斂域：（region of convergence,

4、ROC）對給定的序列對給定的序列xn，所有滿足下列不等式的所有滿足下列不等式的z值值 傅立葉不收斂傅立葉不收斂 z變換收斂變換收斂若若z = z1在在ROC內，內，z= z1的值也一定在的值也一定在ROC內，內，表示收斂域的表示收斂域的形狀形狀：z平面以原點為中心的平面以原點為中心的圓環(huán)圓環(huán)組成組成內、外邊界是一個內、外邊界是一個圓圓（原點、無窮遠）（原點、無窮遠）1z ,nnx n z ,nnx n r 收斂域一般形式：收斂域一般形式：z變換收斂域與傅立葉變換收斂的關系：變換收斂域與傅立葉變換收斂的關系：ROC是否包括單位圓是否包括單位圓傅立葉變換收斂傅立葉變換收斂序列絕對可和序列絕對可和序

5、列穩(wěn)定（系統(tǒng)穩(wěn)定）序列穩(wěn)定（系統(tǒng)穩(wěn)定）。收斂域與穩(wěn)定性關系：收斂域與穩(wěn)定性關系：z變換一個重要的表示形式：有理函數(shù)形式變換一個重要的表示形式：有理函數(shù)形式零點與極點零點與極點有理函數(shù)的極點位置與收斂域的關系有理函數(shù)的極點位置與收斂域的關系系統(tǒng)的穩(wěn)定性關系系統(tǒng)的穩(wěn)定性關系(z)(z)=(z)PXQ序列的序列的z變換收斂域討論：變換收斂域討論：（1）右邊指數(shù)序列）右邊指數(shù)序列 xn = anun收斂條件：收斂條件：收斂域：收斂域：z變換：變換：一個零點：一個零點：z = 0；一個極點：；一個極點：z = a對于對于a = 1，階躍序列，其，階躍序列，其z變換及其收斂域為：變換及其收斂域為：（傅立葉

6、變換不收斂）（傅立葉變換不收斂）右邊序列的收斂域：一個圓的外部右邊序列的收斂域：一個圓的外部az-1 a10( ) nnnnnX za u n zaz10,nnaz 1101( ),1nnzX zazzaazza11( ),11X zzz（2）左邊指數(shù)序列）左邊指數(shù)序列 xn = -anu-n-1收斂域：收斂域：z變換：變換：一個零點：一個零點：z = 0；一個極點：；一個極點：z = a左邊序列的收斂域：一個圓的內部左邊序列的收斂域：一個圓的內部 （僅收斂域不同?。▋H收斂域不同?。?z變換、零極點、收斂域比較變換、零極點、收斂域比較z變換變換- 表達式表達式+收斂域收斂域a-1z 1 或者

7、z2z（4）雙邊指數(shù)序列）雙邊指數(shù)序列z變換：變換：收斂域：收斂域：雙邊序列的收斂域（如果存在）：一個圓環(huán)雙邊序列的收斂域（如果存在）：一個圓環(huán)1/3 z,1331+3111- -1,11321+1-32112 1-2-1212=11111+1-z+-3232Xzzzzzz zzzz（5）有限長序列）有限長序列z變換：變換：收斂域的條件：收斂域的條件：有限長序列的收斂域：整個有限長序列的收斂域：整個z平面（平面（z = 0和和z = 由具體序列定由具體序列定）, 0-1, =0,nanNx n其它-1-1-1=0=0-1-1-1(z)=1-1-=,1-NNnnnnnNNNNXa zazazza

8、azzz a-1-1= 0Nnnaz3.2 z變換收斂域的性質變換收斂域的性質性質性質1：ROC在在z平面是中心在原點的一個圓環(huán)或圓盤，即：平面是中心在原點的一個圓環(huán)或圓盤，即：0rR z rL 性質性質2：當且僅當當且僅當xn在在z變換的變換的ROC包括單位圓時，包括單位圓時， xn的傅立葉的傅立葉變換才絕對收斂。變換才絕對收斂。性質性質3：ROC內不能包含任何極點。內不能包含任何極點。性質性質4：若若xn是一個有限長序列，即一個序列在有限區(qū)間是一個有限長序列，即一個序列在有限區(qū)間- N1 n N2 +內，其余均為零，那么其內，其余均為零，那么其ROC就是整個就是整個z平面，可能平面，可能z

9、 = 0或或z = 除外。除外。N10， N2 0，（n為負）為負） 0 z N10， N2 0，（n有正有負）有正有負） 0 z N1 0， N2 0，（n為正）為正） 0 z 21NNnnznx性質性質5：若若xn是一個右邊序列，即一個序列在是一個右邊序列，即一個序列在n N1 +是零，是零，那么其那么其ROC是從是從X(z)中最外面（即最大幅度）的有限值極點向外中最外面（即最大幅度）的有限值極點向外延伸至（可能包括）延伸至（可能包括） z = 。性質性質6：若：若xn是一個左邊序列，即一個序列在是一個左邊序列，即一個序列在n N2 -是零，是零，那么其那么其ROC是從是從X(z)中最里面

10、（即最小幅度）的非零值極點向內中最里面（即最小幅度）的非零值極點向內延伸至（可能包括）延伸至（可能包括） z = 0。性質性質7：若若xn是是一個雙邊序列（一個無限長序列），那么其一個雙邊序列（一個無限長序列），那么其ROC一定由一定由z平面的一個圓環(huán)所組成，其內外邊界均由某一極點所界平面的一個圓環(huán)所組成，其內外邊界均由某一極點所界定，其內不能包含任何極點定，其內不能包含任何極點。性質性質8：ROC必須是一個連通的區(qū)域。必須是一個連通的區(qū)域。幾個收斂域的例子：幾個收斂域的例子：線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性ROC穩(wěn)定：穩(wěn)定：hn絕對可和絕對可和傅立葉變換存在傅立葉

11、變換存在ROC包括單位圓包括單位圓穩(wěn)定的充要條件：穩(wěn)定的充要條件：z變換的收斂域變換的收斂域：當當z = 1 = 1 或或r =1 =1 時時 兩者相等。兩者相等。推論：如果推論：如果h n 在在z平面單位圓上收斂，則系統(tǒng)穩(wěn)定。平面單位圓上收斂，則系統(tǒng)穩(wěn)定。判據(jù)：收斂域包括單位圓。判據(jù)：收斂域包括單位圓。nnnnrnhznhnnh例子：系統(tǒng)的零極點圖為例子：系統(tǒng)的零極點圖為若系統(tǒng)穩(wěn)定，若系統(tǒng)穩(wěn)定，ROC必須為：必須為：1/2 z 2hn為雙邊序列，非因果系統(tǒng)；為雙邊序列，非因果系統(tǒng)；若系統(tǒng)為因果，若系統(tǒng)為因果， hn為右邊序列為右邊序列ROC為為 z 2，系統(tǒng)是不穩(wěn)定。，系統(tǒng)是不穩(wěn)定。因此，對

12、于這樣一個零極點的系統(tǒng)來說，不可能既是因果又是穩(wěn)因此，對于這樣一個零極點的系統(tǒng)來說，不可能既是因果又是穩(wěn)定的。定的。3.2 z反變換反變換本課程的本課程的z變換變換 - 離散時間線性系統(tǒng)分析（非純數(shù)學理論）離散時間線性系統(tǒng)分析（非純數(shù)學理論）正規(guī)方法（純數(shù)學）正規(guī)方法（純數(shù)學）- 基于柯西積分定理基于柯西積分定理簡便方法（工程實用）簡便方法（工程實用）- 觀察法，觀察法，部分分式法部分分式法，冪級數(shù)法，冪級數(shù)法3.3.1 觀察法觀察法利用基本利用基本z變換對（表變換對（表3.1），通過對比直接得到），通過對比直接得到z反變換反變換例：例：求：求：通過比較可直接得到其反變換：通過比較可直接得到其

13、反變換：特點：簡單求解特點：簡單求解21nunxn3.3.2 部分分式展開法部分分式展開法 對于任意有理函數(shù)形式的對于任意有理函數(shù)形式的X(z) - 主要方法主要方法通常的通常的X(z)表示形式：表示形式：（z-1多項式之比多項式之比）或：或：M個零點（分子個零點（分子z的的M次多項式）次多項式）N個極點（分母個極點（分母z的的N次多項式）次多項式）z =0 的多重極點或零點的多重極點或零點相同的有限值零點和極點數(shù)相同的有限值零點和極點數(shù)（包括（包括z = 0，不包括，不包括z = ）為方便部分分式展開，可將為方便部分分式展開，可將X(z)表示為：表示為：ck - M個個非零非零零點；零點；d

14、k - N個個非零非零極點；極點；若若M N，且極點都是一階的，則可以進行部分分式展開：，且極點都是一階的，則可以進行部分分式展開：式中系數(shù)式中系數(shù)Ak求法：求法：例子：例子：極點：極點： ， （一階）（一階） 零點：零點：z =0 （二階）（二階）右邊序列右邊序列部分分式展開：部分分式展開：系數(shù)：系數(shù)：查表求得：查表求得：21z41z其它幾種情況：其它幾種情況：（1）M NBr 系數(shù)通過長除法獲得。對應的系數(shù)通過長除法獲得。對應的z反變換為：反變換為：Brn-r（2）M N，且有多重極點，且有多重極點若若X(z)有一個有一個s階極點：階極點：z = di (其余極點均為一階其余極點均為一階)

15、則則X(z)可以展開為：可以展開為：Cm系數(shù)：系數(shù)：幾點說明幾點說明：（1） 項對應于項對應于 取決于收斂域取決于收斂域（2）X(z)的有理式表示為：的有理式表示為：z-1(1-az-1) 而不是：而不是：z(z-a)主要考慮與主要考慮與z變換對（表變換對（表3.1）一致）一致 - 方便性方便性例例3.9可展開為：可展開為：)(nudnk 1)(nudnk其零極點圖和收斂域：其零極點圖和收斂域：長除法求系數(shù)長除法求系數(shù)B0A系數(shù)：系數(shù)：則則X(z)可展開為：可展開為：根據(jù)收斂域，查表：根據(jù)收斂域，查表：最終可得反變換：最終可得反變換：3.3.3 冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法 （不作要求）（不作要求）3.4 z變換性質變換性質3.4.1 線性線性注意：收斂域注意：收斂域 - 交集交集3.4.2 時移時移例：例：可寫為：可寫為：利用時移性質，利用時移性質，3.4.3 指數(shù)序列相乘（頻移）指數(shù)序列相乘（頻移）收斂域尺度變化收斂域尺度變化 z平面壓縮或擴展平面壓縮或擴展零極點位置改變零極點位置改變若若 在在z平面旋轉一個角度平面旋轉一個角度0或稱為頻率移位，時域表現(xiàn)為調制或稱為頻率移位，時域表現(xiàn)為調制0j0ez例例3.15求求z變換：變換：表示為：表示為：根據(jù)根據(jù)un的的z變換并利用指數(shù)相乘性質，變換并利用指數(shù)相乘性質，最終可得：最