最新正四面體與正方體的相關(guān)問(wèn)題歸納精品ppt課件電子版本

1、正四面體與正方體的相關(guān)問(wèn)題歸納2一、正方體高考十年一、正方體高考十年 十年來(lái)，立體幾何的考題一般呈十年來(lái)，立體幾何的考題一般呈“一小一大一小一大”的形式的形式. .分?jǐn)?shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一分?jǐn)?shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一. . 立幾題的難度一般在立幾題的難度一般在0.550.55左右，屬中檔考題，是廣大左右，屬中檔考題，是廣大考生考生“上線競(jìng)爭(zhēng)上線競(jìng)爭(zhēng)”時(shí)勢(shì)在必奪的時(shí)勢(shì)在必奪的“成敗線成敗線”或或“生死生死線線”. .十年的立幾高考，考的都是多面體十年的立幾高考，考的都是多面體. . 其中：其中：（1 1）直接考正方體的題目占了三分之一；）直接考正方體的題目占了三分之一；（2

2、2）間接考正方體的題目也占了三分之一）間接考正方體的題目也占了三分之一. .因此有人說(shuō)，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞因此有人說(shuō)，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題著正方體出題. .6（2002年）年） 在下列四個(gè)正方體中，能得出在下列四個(gè)正方體中，能得出ABCD的是的是考題考題4 （正方體中主要線段的關(guān)系）（正方體中主要線段的關(guān)系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上的射影，由三垂線定理知所在平面上的射影，由三垂線定理知其正確答案為其正確答案為A.平移法：可迅速排除平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故選（，故選（A）.解解 析析7（2003年）年） 棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)

3、為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為心，以這些線段為棱的八面體的體積為 考題考題 5 （正方體與正八面體）（正方體與正八面體）解解 析析將正八面體一分為二，得將正八面體一分為二，得2個(gè)正四棱錐，正四棱個(gè)正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的錐的底面積為正方形面積的 ，再乘，再乘 得得 .答案選答案選C.2131618 考題考題 6 （正方體中的三角形）（正方體中的三角形）解解 析析在正方體上任選在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得 個(gè)三角形，要得直個(gè)三角形，要得直角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)角非等腰三角形，則每

4、個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)(即正方體的一邊與即正方體的一邊與過(guò)此點(diǎn)的一條面對(duì)角線過(guò)此點(diǎn)的一條面對(duì)角線)，共有，共有24個(gè)，得個(gè)，得 ，所以選，所以選C. 38C2438C9在三棱錐在三棱錐OABC中，三條棱中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是是AB邊的中點(diǎn)，則邊的中點(diǎn)，則OM與平面與平面ABC所成角的正弦所成角的正弦值是值是 考題考題 7 2006年四川卷第年四川卷第13題題正方體的一正方體的一“角角”如圖，在長(zhǎng)方體如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、P分別是分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，M、N分別是分別是AE、CD1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AD=

5、AA1=a，AB=2a.（1）求證：）求證：MN面面ADD1A1；（2）求二面角）求二面角PAED的大小；的大?。唬?）求三棱錐）求三棱錐PDEN的體積的體積. 考題考題8 2006年四川卷第年四川卷第19題題兩正方體的兩正方體的“并并”P10如圖，在棱長(zhǎng)為如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，P是側(cè)棱是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，CP=m. ()試確定試確定m,使得直線使得直線AP與平面與平面BDD1B1所成角的正切值為所成角的正切值為3 ；()在線段在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的使得對(duì)任意的m，D1Q在平面在平面APD1上的上

6、的射影垂直于射影垂直于AP.并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.2分析：分析：熟悉正方體對(duì)角面和對(duì)角線的考生，對(duì)第熟悉正方體對(duì)角面和對(duì)角線的考生，對(duì)第()()問(wèn)，可心算問(wèn)，可心算出結(jié)果為出結(jié)果為m=1/3=1/3；對(duì)第；對(duì)第()()問(wèn)，可猜出這個(gè)問(wèn)，可猜出這個(gè)Q點(diǎn)在點(diǎn)在O1點(diǎn)點(diǎn). .可是由于可是由于對(duì)正方體熟悉不多，因此第對(duì)正方體熟悉不多，因此第()()小題成了大題，第小題成了大題，第()()小題成了小題成了大難題大難題. . 考題考題9 （2006年湖北卷第年湖北卷第18題）題）11 考題考題 10 （2006年安徽卷第年安徽卷第16題）題）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相多面體上，位于同一

7、條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面，在平面，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和和4，P是是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平到平面的距離可能是：面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為以上結(jié)論正確的為_.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）12二、正四面體與正方體二、正四面體與正方體從從“正方體高考十年正方體高考十年”和和“全國(guó)熱炒正方體全國(guó)熱炒正方體”中，我們中，我們看到正方體在

8、立體幾何中的特殊地位看到正方體在立體幾何中的特殊地位. 在實(shí)踐中，正方在實(shí)踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來(lái)作是由正方體演變而來(lái). 我們認(rèn)定了正方體是多面體的我們認(rèn)定了正方體是多面體的“根基根基”. 我們?cè)谒伎嘉覀冊(cè)谒伎迹海?）正方體如何演變出正四面體？）正方體如何演變出正四面體？（2）正方體如何演變出正八面體？）正方體如何演變出正八面體？（3）正方體如何演變出正三棱錐？）正方體如何演變出正三棱錐？（4）正方體如何演變出斜三棱錐？）正方體如何演變出斜三棱錐？13考考 題題 1 （正四面體化作正方體解）（

9、正四面體化作正方體解）說(shuō)說(shuō) 明明本題如果就正四面體解正四面體，則問(wèn)題就不是一個(gè)小題目本題如果就正四面體解正四面體，則問(wèn)題就不是一個(gè)小題目了，而是有相當(dāng)計(jì)算量的大題了，而是有相當(dāng)計(jì)算量的大題. 此時(shí)的解法也就淪為拙解此時(shí)的解法也就淪為拙解.14拙解拙解 硬碰正四面體硬碰正四面體15聯(lián)想聯(lián)想 、 、 的關(guān)系的關(guān)系正四面體的棱長(zhǎng)為正四面體的棱長(zhǎng)為 ，這個(gè)正四面體豈不是由棱長(zhǎng)為，這個(gè)正四面體豈不是由棱長(zhǎng)為1的正方體的的正方體的6條條“面對(duì)角線面對(duì)角線”圍成？圍成？2則三棱錐則三棱錐BA1C1D是棱長(zhǎng)為是棱長(zhǎng)為 的正四面體的正四面體. .于是正于是正四面體問(wèn)題可化歸為對(duì)應(yīng)的正方體解決四面體問(wèn)題可化歸為對(duì)

10、應(yīng)的正方體解決. .2為此，在棱長(zhǎng)為為此，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體BD1中，中，（1）過(guò)同一頂點(diǎn)）過(guò)同一頂點(diǎn)B作作3條面對(duì)角線條面對(duì)角線BA1、BC1、BD；（2）將頂點(diǎn)）將頂點(diǎn)A1，C1，D依次首尾連結(jié)依次首尾連結(jié). .A1C1DBACA1B1D1C1DB16妙解妙解 從正方體中變出正四面體從正方體中變出正四面體以以 長(zhǎng)為面對(duì)角線，可得邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為面對(duì)角線，可得邊長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1，這個(gè)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，這個(gè)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為 ，則其外接，則其外接球的半徑為球的半徑為 ，則其外接球的表面積為，則其外接球的表面積為S=4R2=4( )23以以 為棱長(zhǎng)的正四方

11、體為棱長(zhǎng)的正四方體B-A1C1D與以與以1為棱長(zhǎng)的正方體為棱長(zhǎng)的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3.答案為答案為A.232323217尋根尋根 正方體割出三棱錐正方體割出三棱錐在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后，還在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后，還“余余下下”4個(gè)正三棱錐個(gè)正三棱錐.每個(gè)正三棱錐的體積均為每個(gè)正三棱錐的體積均為1/6，故內(nèi)接正四面體的，故內(nèi)接正四面體的體積為體積為1/3 .這這5個(gè)四面體都與正方體個(gè)四面體都與正方體“內(nèi)接內(nèi)接”而而“共球共球”.事實(shí)上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共有事實(shí)上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共

12、有 - -12=58個(gè)個(gè).至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.48C18按理說(shuō)，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在按理說(shuō)，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在0.4到到0.7之間之間. 所以，十年來(lái)立幾考題所以，十年來(lái)立幾考題哪怕是解答題也哪怕是解答題也沒(méi)有出現(xiàn)在壓軸題中沒(méi)有出現(xiàn)在壓軸題中. 從題序上看，立幾大題在從題序上看，立幾大題在6個(gè)大題的中間部分，立幾小個(gè)大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分題也安排在小題的中間部分.然而，不知是因?yàn)槭强忌韬?，還是命題人粗心，竟然然而，不知是因?yàn)槭强忌韬?，還是命題人粗心，竟然在立幾考題中弄出了

13、大難題，其難度超過(guò)了壓軸題的難在立幾考題中弄出了大難題，其難度超過(guò)了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！度，從而成為近十年高考難題的高難之最！三、正方體成為十年大難題三、正方體成為十年大難題19命題命題 將正方體一分為二將正方體一分為二20032003年全國(guó)卷第年全國(guó)卷第1818題，天津卷第題，天津卷第1818題，河南卷第題，河南卷第1919題等，是當(dāng)年題等，是當(dāng)年數(shù)學(xué)卷的大難題數(shù)學(xué)卷的大難題. 其難度，超過(guò)了其難度，超過(guò)了當(dāng)年的壓軸題當(dāng)年的壓軸題.在命題人看來(lái)，其載體是將正方在命題人看來(lái)，其載體是將正方體沿著對(duì)角面一分為二，得到了體沿著對(duì)角面一分為二，得到了一個(gè)再簡(jiǎn)單不過(guò)的直三棱

14、柱一個(gè)再簡(jiǎn)單不過(guò)的直三棱柱.圖中的點(diǎn)圖中的點(diǎn)E E正是正方體的中心正是正方體的中心.20考題考題如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面中，底面是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB=90.側(cè)棱側(cè)棱AA1，D、E分別是分別是CC1與與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面在平面ABD上的射影是上的射影是ABD的重心的重心G.()求求A1B與平面與平面ABD所成角的大小所成角的大小(結(jié)果結(jié)果用反三角函數(shù)值表示用反三角函數(shù)值表示)；()求點(diǎn)求點(diǎn)A1到平面到平面AED的距離的距離.21解解 析析（轉(zhuǎn)下頁(yè)）（轉(zhuǎn)下頁(yè)）考場(chǎng)反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時(shí)無(wú)法作輔助線考場(chǎng)反饋：按

15、出題人給出的圖形（右上），答題時(shí)無(wú)法作輔助線.22（轉(zhuǎn)下頁(yè)）（轉(zhuǎn)下頁(yè)）解解 析（續(xù)上）析（續(xù)上）考場(chǎng)反饋：按出題人給出的這種解析，無(wú)法在原圖上顯示考場(chǎng)反饋：按出題人給出的這種解析，無(wú)法在原圖上顯示.23解解 析（續(xù)上）析（續(xù)上）（解畢）（解畢）閱卷人說(shuō)：在見到的答卷中，幾乎沒(méi)有看到這種閱卷人說(shuō)：在見到的答卷中，幾乎沒(méi)有看到這種“標(biāo)準(zhǔn)答案標(biāo)準(zhǔn)答案”.24難點(diǎn)突破：斜二測(cè)改圖法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)到正方體中難點(diǎn)突破：斜二測(cè)改圖法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)到正方體中.本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱的本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱的畫法不標(biāo)準(zhǔn)！畫法不標(biāo)準(zhǔn)！25難題（難題（0318）的題圖探究）的題圖探究正方體立

16、體圖常見的畫法有兩種：正方體立體圖常見的畫法有兩種：（1）斜二測(cè)法（圖右）斜二測(cè)法（圖右）此法的缺點(diǎn)：此法的缺點(diǎn)：A1、B、C 三點(diǎn)三點(diǎn)“共線共線”導(dǎo)致導(dǎo)致“三線三線”重合重合（2）正等測(cè)法（圖右）正等測(cè)法（圖右）此法的缺點(diǎn)：此法的缺點(diǎn)：A、C、C1、A1“共線共線”導(dǎo)致導(dǎo)致“五線五線”重合重合難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：將正方體的對(duì)角面置于正前面將正方體的對(duì)角面置于正前面.26四、解正方體四、解正方體正方體既然這么重要，我們就不能把這個(gè)正方體既然這么重要，我們就不能把這個(gè)“簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的正方體單的正方體”看得太簡(jiǎn)單看得太簡(jiǎn)單. 像數(shù)學(xué)中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，越

17、簡(jiǎn)單的像數(shù)學(xué)中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，越簡(jiǎn)單的東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東西就越多西就越多.我們既然認(rèn)定了正方體是多面體的根基，那我我們既然認(rèn)定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很們就得趁著正方體很“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”的時(shí)候，把它的的時(shí)候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄個(gè)清楚明白！個(gè)清楚明白！27正方體，（正方體，（ ）個(gè)面，）個(gè)面， 線面距轉(zhuǎn)（線面距轉(zhuǎn)（ ）面距，）面距，（ ）個(gè)頂點(diǎn)（）個(gè)頂點(diǎn)（ ）棱。）棱。 尋找（尋找（ ）要根據(jù)。）要根據(jù)。頂點(diǎn)連線（頂點(diǎn)連線（ ）條，）條， 異面

18、直線求距離，異面直線求距離，一頂（一頂（ ）線來(lái)相交。）線來(lái)相交。 確定（確定（ ）是難題。）是難題。三頂確定三角形，三頂確定三角形， 正方體，是個(gè)寶，正方體，是個(gè)寶，要求三頂不共（要求三頂不共（ ）。）。 各種關(guān)系藏得巧。各種關(guān)系藏得巧。四頂確定四面體，四頂確定四面體， 正四面體（正四面體（ ）條棱，）條棱，要求四頂不共（要求四頂不共（ ）。）。 選自選自6面（面（ ）線；）線；三種線段結(jié)數(shù)緣，三種線段結(jié)數(shù)緣， 正八面體（正八面體（ ）個(gè)頂，）個(gè)頂，根根1、根、根2和（和（ ）。）。 6面（面（ ）對(duì)得準(zhǔn)。）對(duì)得準(zhǔn)。68 12 28 7 線線 面面點(diǎn)點(diǎn)射影射影垂足垂足6對(duì)角對(duì)角6中心中心根根

19、3關(guān)于正方體關(guān)于正方體 你已經(jīng)知道了多少？你已經(jīng)知道了多少？關(guān)于正方體關(guān)于正方體 還有許多許多！還有許多許多！例如，例如，8個(gè)頂點(diǎn)中，個(gè)頂點(diǎn)中，4頂共面的有（頂共面的有（ ）個(gè)，）個(gè)，4頂異面的（頂異面的（ ）個(gè)。）個(gè)。正是正是4頂異面的個(gè)數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個(gè)數(shù)。頂異面的個(gè)數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個(gè)數(shù)。28五、解正四面體五、解正四面體統(tǒng)計(jì)十年的高考立幾題，除直接考統(tǒng)計(jì)十年的高考立幾題，除直接考“解正方體解正方體”的題目比的題目比重最大以外，接下來(lái)的就是重最大以外，接下來(lái)的就是“解正四面體解正四面體”的題目了的題目了. 其實(shí)，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)其實(shí)，正四面體并

20、不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)上是正方體的上是正方體的“演生體演生體”，通俗地說(shuō)：正四面體是正方體，通俗地說(shuō)：正四面體是正方體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了.在十年的高考在十年的高考“正四面體正四面體”中，凡是就中，凡是就“兒子解兒子兒子解兒子”的的解法，都是拙法；凡是由解法，都是拙法；凡是由“老子解兒子老子解兒子”的辦法都是妙法！的辦法都是妙法！29正四面體棱長(zhǎng)設(shè)作正四面體棱長(zhǎng)設(shè)作1，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為底面正三角形高為（底面正三角形高為（ ）；）； 底面正三角形的外半徑為（底面正三角形的外半徑為（ ）；）；正三角形的內(nèi)半徑為（正三角形的內(nèi)半徑為（ ）；）； 正四面體的斜高為（正四面體的斜高為（ ）；）；斜高在底面上的射影為（斜高在底面上的射影為（ ）；）； 斜面與底面成角余弦值（斜面與底面成角余弦值（ ）；）；正四面體高為（正四面體高為（ ）；）； 外接球半徑為（外接球半徑為（ ）；）；內(nèi)切球半徑為（內(nèi)切球半徑為（ ）.22一句話小結(jié)一句話小結(jié) 正四面體與正方體的對(duì)應(yīng)量只相差一個(gè)系數(shù)：正四面體與正方體的對(duì)應(yīng)量只相差一個(gè)系數(shù)： （或（或 ）22246126233363236331