第3課時(shí)空間向量與空間角

1、第3課時(shí) 空間向量與空間角 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證瑣的推理論證. .求空間角與距離是立體幾何的一求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一. .本節(jié)課主本節(jié)課主要是討論怎樣用向量的辦法解決空間角問題要是討論怎樣用向量的辦法解決空間角問題. .O OA AB Ba a b b . .1.1.體會(huì)用空間向量解決立體幾何

2、問題的步驟體會(huì)用空間向量解決立體幾何問題的步驟. .2.2.向量法求解線線、線面、面面的夾角向量法求解線線、線面、面面的夾角.(.(重點(diǎn)重點(diǎn)) )3.3.線線、線面、面面的夾角與向量的應(yīng)用線線、線面、面面的夾角與向量的應(yīng)用.(.(難點(diǎn)難點(diǎn)) )用空間向量解決立體幾何問題的三步曲：用空間向量解決立體幾何問題的三步曲：1.1.（化為向量問題）（化為向量問題）建立立體圖形與空間向量的建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題. .2.2.（進(jìn)行向量運(yùn)算）（進(jìn)行向量運(yùn)算

3、）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題角等問題. .3.3.（回到圖形問題）（回到圖形問題）把向量的運(yùn)算結(jié)果把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意義成相應(yīng)的幾何意義. .探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 異面直線所成的角異面直線所成的角lamlamb 若兩直線若兩直線 所成的角為所成的角為 , , 則則, l m(0)2cosa ba b b探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 線面角線面角 ua ula sina ua u 設(shè)設(shè)直直線線的的方方向向向向量量為為a a，平平面面的的法法向向量量為為 ，且且直直線線 與與

4、平平面面所所成成的的角角u u0 0為為( (, ,則則2 2) )lllcoscos,AB CDAB CDAB CD DClBA探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3二面角二面角 lll1 1 方方向向向向量量法法: :將將二二面面角角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為二二面面角角的的兩兩個(gè)個(gè)面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面內(nèi)內(nèi)且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夾夾角角. .如如圖圖，設(shè)設(shè)二二面面角角- - -的的大大小小為為, ,其其中中ABAB ,AB,AB,CD,CD ,CD,CD. ,m n cos.m nm n l(2)(2)法法向向量量法法將將二二面面角角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為二二面面角角的的兩兩個(gè)個(gè)面面

5、的的法法向向量量的的夾夾角角. .如如圖圖，向向量量n n，m m，則則二二面面角角- - -的的大大小小 . .注意法向量的方向：同進(jìn)同出，注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角角l若若二二面面角角- - -的的大大小小為為(0(0),),則則：lnm 二面角的范圍：二面角的范圍：0, 1n2 n2 n1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n AOB , , 的的夾夾角角為為，cos|u vuv uv , 的夾角為 ，cos|u vuv uv 例例 如圖，甲站在水庫底

6、面上的點(diǎn)如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A A處，乙站在處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)水壩斜面上的點(diǎn)B B處處. .從從A A，B B到直線到直線l（庫底與水壩的（庫底與水壩的交線）的距離交線）的距離ACAC和和BDBD分別為分別為a和和b,CD,CD的長為的長為c, AB, AB的的長為長為d. .求庫底與水壩所成二面角的余弦值求庫底與水壩所成二面角的余弦值. . 解：解：如圖，如圖，. dABcCDbBDaAC ，化為向量問題化為向量問題根據(jù)向量的加法法則根據(jù)向量的加法法則DBCDACAB 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算222)(DBCDACABd 22222() dACCDBDAC CDAC DBCD DBABCD l ABCD DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 因此因此.cos22222dcbaab 所以所以.2cos2222abdcba 回到圖形問題回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為庫底與水壩所成二面角的余弦值為.22222ab