角接觸球軸承

1、角接觸球軸承打滑行為的非線性動(dòng)態(tài)模型QinkaiHan,FuleiChu.TheStateKeyLaboratoryofTribology,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China.摘要：用一個(gè)三維非線性動(dòng)態(tài)模型來預(yù)測(cè)復(fù)合載荷組合條件下角接觸球軸承的打滑行為.該模型考慮了鋼球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺效應(yīng)、鋼球與內(nèi)外圈之間的赫茲接觸變形、鋼球與保持架之間的非連續(xù)接觸以及彈流動(dòng)體潤(rùn)滑.通過對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的比擬,驗(yàn)證了該動(dòng)態(tài)模型正確性.在此根底上,討論了在復(fù)合載荷作用下,軸承鋼球滑動(dòng)速度隨時(shí)間和位置的變化規(guī)律.該模型說明,徑向載荷的變化將使鋼球在內(nèi)外圈之間的的滑

2、動(dòng)速度產(chǎn)生波動(dòng),對(duì)低負(fù)載區(qū)域的鋼球影響更大.增加徑向負(fù)荷將大幅增加滑移速度的幅度和范圍,使打滑更加嚴(yán)重.當(dāng)鋼球在低載區(qū)時(shí),大的滑動(dòng)速度會(huì)使軸承和潤(rùn)滑油的溫度升高,加劇軸承磨損,縮短軸承的使用壽命.因此,在旋轉(zhuǎn)工件的設(shè)計(jì)和檢測(cè)中應(yīng)考慮徑向載荷.1.導(dǎo)論：角接觸球軸承是許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心支撐部件,其動(dòng)態(tài)特性對(duì)整個(gè)設(shè)備的使用性能、運(yùn)行可靠性和使用壽命起著決定性的作用.軸承在運(yùn)行過程中,滾道應(yīng)為鋼球提供足夠大的摩擦力和摩擦力矩,以保證鋼球處于純滾動(dòng)狀態(tài).否那么,滾動(dòng)體和內(nèi)、外滾道之間可能會(huì)出相對(duì)滑移.隨著現(xiàn)代旋轉(zhuǎn)機(jī)械的高速化、重載化,軸承的滑動(dòng)將使軸承和潤(rùn)滑油的溫度升高,從而加速軸承磨損.如果軸承早期

3、就開始打滑,它可能會(huì)導(dǎo)致軸承壽命減少,甚至更嚴(yán)重的事故.因此,當(dāng)前準(zhǔn)確預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承的打滑行為并提出防滑設(shè)計(jì)準(zhǔn)那么是很重要的問題.哈里斯1,2已經(jīng)在這方面做了開創(chuàng)性的工作.基于溝道限制理論和準(zhǔn)靜態(tài)學(xué),哈里斯1,2建立了用于高速角接觸球軸承的滑行預(yù)測(cè)模型.該模型考慮了滾動(dòng)體的各種受力情況包括：接觸力,摩擦力,流體力和離心力等,還考慮了軸向載荷、旋轉(zhuǎn)速度、滾動(dòng)體的數(shù)量對(duì)打滑的影響.LiaoandLin3在幾何約束條件和受力平衡中考慮了每一個(gè)滾動(dòng)體受到的接觸力和每一個(gè)滾動(dòng)體的接觸角.希拉諾4打滑的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)中分析了在軸向和徑向負(fù)荷下鋼球和滾道的打滑.此外,他們還研究了熱效應(yīng)引起的鋼球滑動(dòng)5.基于準(zhǔn)動(dòng)態(tài)分

4、析,Jiangetal.6,Cuietal.7andYuanetal.8等提出了估計(jì)預(yù)防軸承打滑的最小軸向載荷的經(jīng)驗(yàn)公式.最近,Chenetal.9,10提出推力球軸承在固體潤(rùn)滑條件下的準(zhǔn)靜態(tài)模型.該理論設(shè)想了一種用于準(zhǔn)確界定鋼球與內(nèi)外圈之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)比和旋滾比.它說明,鋼球與滾道的密切接觸引起的滑差使滑動(dòng)和接觸力分布不對(duì)稱.Xuetal.11建議用預(yù)載分析法作為球軸承的滑動(dòng)準(zhǔn)那么.實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明采用最正確預(yù)緊力的軸承具有良好的溫度特性.Chenetal12等人對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的軸承進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)打滑分析,發(fā)現(xiàn)鋼球自轉(zhuǎn)擠壓油膜對(duì)打滑和軸承疲勞壽命有不利的影響.上述的大多數(shù)分析是在穩(wěn)態(tài)條件下采用靜態(tài)/動(dòng)

5、態(tài)模型來研究打滑行為和防滑判據(jù).實(shí)際上,滾動(dòng)軸承上經(jīng)常被施加動(dòng)載荷,滾動(dòng)體和保持架之間的接觸和碰撞是不可預(yù)防的.這些因素往往造成滑移隨時(shí)間和空間的變化.顯然,基于靜態(tài)模型的穩(wěn)態(tài)分析很難準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)滾動(dòng)體打滑的行為.因此,開展動(dòng)態(tài)分析方法在當(dāng)前得到了廣泛關(guān)注.采用動(dòng)態(tài)法,古普塔13首先建立微分方程來模擬一個(gè)推力球軸承在彈流潤(rùn)滑條件下鋼球的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng).奧斯滕森等人14建立了軸承運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)軸承運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真模擬,并與測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比擬.他們發(fā)現(xiàn),卸載區(qū)的滑動(dòng)主要受局部潤(rùn)滑劑分布狀態(tài)和滾子在軸承中的位置的影響.Imado15提出了一個(gè)霍爾元件檢測(cè)法來檢測(cè)鋼球在軸承中的運(yùn)動(dòng).最近,米尼安拉尼

6、阿多哈科梅等人16利用有限元法建立了滾動(dòng)軸承的動(dòng)態(tài)接觸模型.動(dòng)態(tài)接觸模型應(yīng)用在鋼球與滾道打滑的研究中.Jain和亨特17忽略離心力和鋼球接觸角引起的陀螺力的影響,提出了一種應(yīng)用在風(fēng)力機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)高速輸出軸上的軸承的動(dòng)力學(xué)模型.塞爾瓦拉和marappan18研發(fā)了一種圓柱滾子軸承試驗(yàn)臺(tái),用于測(cè)量各種工況下運(yùn)行的軸承元件的速度,在實(shí)驗(yàn)結(jié)果的根底上討論了工作參數(shù)對(duì)圓柱滾子軸承的影響.Tuetal.19以滾動(dòng)體與滾道、保持架之間的接觸力和摩擦力,以及滾動(dòng)體的離心力為根底建立了研究滾動(dòng)軸承加速時(shí)打滑的分析模型.對(duì)軸承打滑的動(dòng)態(tài)問題的一些研究工作已在目前的文獻(xiàn)中提出,但研究對(duì)象僅限于推力軸承只適用于軸向載荷

7、和深溝軸承僅適用于徑向載荷.角接觸軸承在軸向和徑向載荷作用下復(fù)合載荷條件下的研究較少受到關(guān)注.高速度和復(fù)合載荷工況會(huì)使角接觸軸承的滾動(dòng)元件具有三維運(yùn)動(dòng),而推力軸承和深溝軸承的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為二維運(yùn)動(dòng).因此,本論文提出分析角接觸球軸承打滑行為的動(dòng)力學(xué)模型.首先,考慮了內(nèi)圈的五個(gè)自由度,對(duì)軸承的載荷分布和每個(gè)滾動(dòng)體的接觸力和內(nèi)/外接觸角進(jìn)行了分析.根據(jù)赫茲接觸理論和彈流動(dòng)力潤(rùn)滑,確定了鋼球與內(nèi)/外滾道之間的摩擦力和摩擦力矩隨時(shí)間的變化規(guī)律.考慮到鋼球和保持架之間的不連續(xù)接觸,利用歐拉方程建立了角接觸滾動(dòng)軸承的三維非線性動(dòng)力學(xué)模型.本論文給出了模型的求解方法和過程并通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比擬對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證,

8、在此根底上,討論了在復(fù)合載荷作用下,軸承的滑動(dòng)速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律.最后,得出了一些結(jié)論.2、角接觸球軸承載荷分布分析通過對(duì)角接觸球軸承載荷分布的分析,獲得了三種類型的參數(shù),包括接觸力,赫茲接觸面積的尺寸和鋼球和內(nèi)外圈之間的接觸角.鋼球摩擦力矩的大小和方向可以通過這些參數(shù)分析計(jì)算得到.因此,載荷分布分析在打滑分析之前進(jìn)行.外圈固定,內(nèi)圈以恒定的角速度i旋轉(zhuǎn).兩個(gè)坐標(biāo),其中一個(gè)X-Y-Z固定在內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)中央線上,另一個(gè)x-y-z隨Z軸旋轉(zhuǎn),如圖1所示.x-y-z的中央與球的質(zhì)心重合.忽略了內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)自由度,重點(diǎn)考慮余下的五個(gè)自由度包括：三平移和兩旋轉(zhuǎn).自由向量用品=際,看"皿脩唯

9、亍表示.作用于內(nèi)圈的外力向量用Fin=(FXin;FYin;FZin;MXin;MYinT表示.第i個(gè)球相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)x-y-z有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度xj;yj;zj和一個(gè)基于固定軸Z的滾道旋轉(zhuǎn)速度Wcj.在時(shí)間t,第j個(gè)球的位置角用下公式表示：r7圖1.軸承坐標(biāo)示意圖.?cj=?0+cj+2冗/Nb(j-1),其中0為初始位置角,cj為滾道角速度,Nb為鋼球的數(shù)量.一般情況下0=0,外力會(huì)使內(nèi)圈移動(dòng).因此,第j個(gè)球內(nèi)圈溝曲率中央的位移,包括沿y,z軸的移動(dòng)和沿x軸的轉(zhuǎn)動(dòng),用uj=(yj;zj;9xj)T表示.在小撓度的假設(shè)下,uj可以通過坐標(biāo)變換得到uj=TjUin(1)其中Tj是變換矩陣,可表示

10、為0-此cos丸-COS巾tj8s祖.sin小叮0000其中Ri=0.5de+(rgi-0.5db)cosB0表示由內(nèi)到槽曲率中央的內(nèi)軸旋轉(zhuǎn)中央的距離,de是軸承的節(jié)圓直徑,rgi是溝曲率半徑,db是鋼球的直徑,B0是公稱接觸角.沒有負(fù)載時(shí),鋼球與內(nèi)外滾道之間沒有接觸變形.由于偏轉(zhuǎn)是零,所以球的中央和內(nèi)外滾道的溝曲率中央位于一條直線,如圖2虛線.鋼球的內(nèi)外接觸角是相同的,等于公稱接觸角B0.施加負(fù)載后,內(nèi)圈滾道將首先移動(dòng),然后鋼球也因接觸變形而移動(dòng).平衡狀態(tài),如圖2所示的實(shí)心線,可以表示鋼球和內(nèi)外滾道之間的狀態(tài).由于外圈是固定的,所以它的溝曲率中央保持不變.根據(jù)公式(1)內(nèi)圈溝曲率中央的位移可

11、以用(yj;zj)表示.鋼球中央的位移是未知參數(shù)可用(vjy;vjz)表示.由于負(fù)載的影響,鋼球與內(nèi)外溝道的接觸角變的不相等.外接觸角減小為Boj,而內(nèi)接觸角增大為Bij.在偏轉(zhuǎn)前,內(nèi)圈溝曲率中央到鋼球質(zhì)心的距離為L(zhǎng)ij.偏轉(zhuǎn)后,距離變得lij,如圖2所示.同樣,外圈溝曲率中央到鋼球質(zhì)心的距離從Loj(偏轉(zhuǎn)前變?yōu)閘oj偏轉(zhuǎn)后,對(duì)于給定的內(nèi)外溝曲率半徑Lij=rgi-0.5db和Loj=rgo-0.5db.根據(jù)圖2的幾何關(guān)系,rgi;rgo,有可以獲得以下公(4)_Lsing+v%一仙九荷載分布分析應(yīng)滿足上述的四個(gè)幾何方程.圖3給出了第j個(gè)鋼球的受力情況.在圖中,Fcj和Mgj表示由于球的自轉(zhuǎn)和

12、公轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺力.鋼球質(zhì)心鋼球質(zhì)心偏轉(zhuǎn)后內(nèi)圈溝曲率中央偏轉(zhuǎn)前內(nèi)圈溝曲率中央*偏轉(zhuǎn)后f角iI凡外圈溝曲率中央C固定軸承前后撓度的幾何關(guān)系小微等I圖3,第j鋼球受顯然有.=.5口3和M田=m5gsin%時(shí)質(zhì)量和慣性.s和c為自轉(zhuǎn)角速度和溝道角速度,軸之間的夾角.對(duì)于純滾動(dòng)軸承,有力圖.20mb和Ib為鋼球的瞬aj為自轉(zhuǎn)軸和Z亞=蜜】一*"助,砥=°51一%叫%=由一】麗黑海鋼球與內(nèi)、外滾道之間的接觸力用Qij和Qoj表示,根據(jù)赫茲接觸理論,有Qij=xijKi6ij3/2和Qoj=xojKo6oj3/2.Ki和Ko為鋼球與內(nèi)外滾道的接觸剛度系數(shù),6ij和6oj為鋼球與內(nèi)

13、外滾道的變形量.從上面的幾何分析中可以得到6ij=lij-Lij和6Oj=loj-Loj.當(dāng)6ij,6oj>0；xij=1,xoj=1o6ij,6oj三0時(shí)；Xij=0,xoj=0o接觸剛度系數(shù)通過接觸區(qū)材料性能和幾何尺寸確實(shí)定,即k=K=兀在13G,3£況/號(hào),其中E'=E/1-V2表示的有效彈性模量,E為材料的彈性模量,V為泊松比,R為等效曲率半徑,k為橢圓率,己和為橢圓第一類和第二類積分.這些參數(shù)的表達(dá)式從哈里斯和kotzalas20的論文中可以得到,接觸剛度系數(shù)Ki和Ko可以通過以上公式求解得到.在負(fù)荷分布分析,忽略了x水平的摩擦力,陀螺力矩由y-z平面的先對(duì)鋼

14、球進(jìn)行這樣的受力平衡分析Aij和入oj表示鋼球與內(nèi)外溝道之間的瞬時(shí)摩擦力產(chǎn)生,如圖3所示.哈里斯和kotzalas20在他們的論文中首摩擦系數(shù).在這里對(duì)入ij和入oj都設(shè)置初始值為1.從圖3可以得到力的平衡方程如下：Qjjcos%-Qq85凡j+sin%一'2卻sin/?可+%=.(7)Q斤sin*廠%亢n#町-甘%cos%+緡%ras/?0)=0(8)口0ufj第j個(gè)鋼球與內(nèi)溝道之間的接觸力和摩擦力的方向與圖3所示的方向相反.把這些力等效到內(nèi)溝曲率中央可以得到.Q州一Qcos%_sin%4=Q"允n#jj+峻.5/斤(9)所JQyJl旺訂0=0J=1Qxj得到鋼球與內(nèi)滾道的

15、力平衡方程(10)上述研究說明在未知參數(shù)負(fù)荷分布的位移分析中可以用該鋼球與內(nèi)滾道的模型(vjy,vjz和Xin,Yin,Zin,0Xin,OYin)代替進(jìn)行計(jì)算.(公式(7)-(10)是一組非線性代數(shù)方程,可以用Newton-Raphson方法迭代求解.該非線性方程的維數(shù)是2Nb+5.得到這些未知參數(shù)后,每一個(gè)鋼球的接觸力(Qij,Qoj)和內(nèi)外接觸角(Bij;Boj)可以通過公式(1)和(3)-(6)計(jì)算得到.3.施加在球上的摩擦力矩和力矩運(yùn)行中滾動(dòng)軸承,內(nèi)外溝道對(duì)鋼球產(chǎn)生摩擦力和摩擦力矩.彈流潤(rùn)滑條件下的鋼球和滾道之間的接觸與圖4所示.圖中的x',v'軸分別表示接觸橢圓的主

16、要和次要軸,Z'表示垂直于接觸橢圓的軸.根據(jù)赫茲接觸理論,接觸應(yīng)力在接觸區(qū)為橢圓分布,并可以表示如下：其中,PHj為最大接觸應(yīng)力,a和b為接觸橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸.有Q=(印了.、K-FJ.b=a/k.在求出接觸力,等效曲率半徑和橢圓率后,可以求出接觸區(qū)的面積(ain,bin和aout,bout).一般情況下,油膜厚度hc遠(yuǎn)小于接觸區(qū)尺寸,接觸區(qū)域任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力r(x',y')可以用下公式表小：式M,V)=q(Pj,T)*(12)其中“(pj,T)是潤(rùn)滑劑的粘度,是接觸壓力Pj和油的溫度T的函數(shù).相對(duì)之間的接觸界面的滑動(dòng)速度用表Au示,Au=u1-u2.圖4.對(duì)于鋼球

17、和滾道之間的接觸示意圖.根據(jù)結(jié)果Hamrock和道森21,油膜厚度是由下面的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：1=2.69七67Gli53w-Dgq(13)IJ_n&nl其中一E七-表示無量綱速度,刀0是20c大氣壓力下潤(rùn)滑油的粘度,&=d»2"土/48S川o)表示沿滾動(dòng)方向的等效半徑,外圈用“+,內(nèi)圈用“-".初一仁%是等效轉(zhuǎn)速,dri,dro表示內(nèi)圈和外圈溝道的直徑,G=E'cqp是無量綱的彈性模量,其中cqp為粘度壓力系數(shù).無量綱載荷由計(jì)算得到0二藁.潤(rùn)滑油的粘度“pj,T由經(jīng)典的巴勒斯方程17來確定.然而,目前的研究說明在接觸壓力大的情況下使用該公式將

18、會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.滾動(dòng)軸承的接觸壓力通常大于1GPa,屬于高接觸壓力.因此,在這種情況下,巴勒斯方程不能用.貝爾和科特基22的實(shí)驗(yàn)研究了潤(rùn)滑劑的接觸壓力和油溫在高接觸壓力高達(dá)2GPa下的變化情況.以下的經(jīng)驗(yàn)公式是通過數(shù)據(jù)擬合得到的.流島-息14其中B,R0,R分別潤(rùn)滑油的杜利特-泰特參數(shù),r為油量隨溫度的線性變化,即r=1+?1T-T0,其中1為20c室溫下體積的膨脹量.V/V0為體積隨壓力和溫度的變化率,公式如下：(15)中a為熱膨脹系數(shù),K0為體積模數(shù),K'0為常數(shù)用%=仁+&,計(jì)算,這里的溫度是Kelvin絕對(duì)溫度.接觸界面之間的相對(duì)滑動(dòng)速度Au有鋼球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度以及

19、內(nèi)外圈的旋轉(zhuǎn)速度確定.圖5給出了鋼球相對(duì)于x,y,z軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)速度xj；yj;zj和一個(gè)相對(duì)于軸心的軌道速度cj).I(18對(duì)=%cos/30j+a)zjsin夕oj沿短軸xI軸和長(zhǎng)軸yl軸的相對(duì)滑動(dòng)速度可以用以下公式表示:圖5.鋼球與內(nèi)外滾道之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖對(duì)于鋼球與yo軸的滑移速度可(16)117)當(dāng)一口口ut<y<口Wt3nd-bom<X<bout時(shí),soj為鋼球的相對(duì)于zo軸的旋轉(zhuǎn)速度,有以下公式內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為I,鋼球相對(duì)于內(nèi)圈滾道的速度為cj0同樣的,鋼球"雙=牛"s'n/一3不COS角一T叫一伙Jfy-y8$用一日F保電tj十04爐

20、1fJHlMTtI-1*rIbcrMricrrvn外滾道的接觸,短軸xo,鋼球的滾動(dòng)方向和長(zhǎng)軸以用下邊的公式計(jì)算酗i*!r|國(guó)IiEIbCmiIjl-Iiwlb?iHarrr*c¥當(dāng)一口inWyXQndnd_瓦門MXMbjn時(shí),sij為鋼球相對(duì)于zi軸的旋轉(zhuǎn)速度有以下公式：21)o)sij-%cos時(shí)+&)ZjsinfJ®BV)的剪知道油膜厚度,潤(rùn)滑油的粘度和相對(duì)滑動(dòng)速度后,接觸區(qū)任意點(diǎn)切應(yīng)力P(x',y')可以按下公式求解得到.1/二廣心道dydx(22)ykfewt/口皿/&A»a(23)(24)加=一匚二：)嚶切也摩擦力矩的推

21、導(dǎo)如下：moj=-03Ky-Au叩大+外呵(/+必0八"-totfJ-dour£(25)(26)廣廣用pT)口4一311隊(duì)十外孤爐+/)dydx(27)4,三維非線性動(dòng)力學(xué)模型在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)(x-y-z)中,第j個(gè)鋼球的運(yùn)動(dòng)包括三個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)xj,yj,zj和一個(gè)沿滾道繞軸心的運(yùn)動(dòng)cj.鋼球的旋轉(zhuǎn)矢量定義如下：其中J4+T必q/=mj(28),鋼球的慣性矩為Ixj=Iyj=Izj=Ib,Tvj為牽連角速度矩陣(29)Z為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系x-y-z相對(duì)于固定坐標(biāo)系X-Y-Z的旋轉(zhuǎn)速度.可以得到xX=wY=0和Z=wcjoThem尸啊卜M"為施加在滾動(dòng)鋼球上的總外力矩.這些力矩由

22、鋼球與內(nèi)外溝道之間的摩擦力和摩擦力矩計(jì)算得到.根據(jù)前面的分析和圖的幾何關(guān)系,可以得出如下的公式：(30)(31)(32)削-f叫sin乩j+f聞sin%+風(fēng)3%+叫皿島9mMmSin乩j+m.sinftj對(duì)于鋼球的在溝道上的運(yùn)動(dòng),鋼球外表的摩擦力矩與內(nèi)外溝道的摩擦力有關(guān),在鋼球的軌道運(yùn)動(dòng)方程中也應(yīng)該考慮潤(rùn)滑劑的阻力和鋼球與保持架之間的不連續(xù)接觸.哈里斯和kotzalas20給了一個(gè)計(jì)算球軸承潤(rùn)滑油阻力的經(jīng)驗(yàn)公式fv=32g(33)其中,Pv為潤(rùn)滑油的密度,cv為阻力系數(shù),g為重力加速度鋼球和保持架之間的相對(duì)位移6+,6-如圖6所示.其中t為時(shí)間,cage為保持架的角位移,cr為鋼球與保持架之間

23、的間隙.根據(jù)圖6的2-2cos舒_3下丁面+0幾何關(guān)系,可以得到計(jì)算6+,6-的公式：均因此,保持架對(duì)第j鋼球的接觸力為-fcagej=-X+)(36)kcage為鋼球與保持架之間的接觸剛度.當(dāng)6+,6-<0時(shí),/-=1,y(/cagej+fv)X+=1；相反,X-=0,X+=0.根據(jù)動(dòng)量定理,可以將鋼球的軌道運(yùn)動(dòng)方程寫成(37)其中,Icj為鋼球相對(duì)于軸線(Z軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,有1十.同(38)樣的保持架的的運(yùn)動(dòng)方程也可以利用動(dòng)量定理求出Zj=1其中,Icage為保持架相對(duì)于軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量cage為保持架的旋轉(zhuǎn)角速度.從公式(34)-(35)可以看出,要想求出鋼球與保持架之間的相對(duì)位移就

24、必須先求出鋼球與保持架任意時(shí)間的角位移.圖6.鋼球與保持架之間的相互作用示意圖由角速度與角位移之間的微分關(guān)系可以得到%工%/39小s卷=畢以每一個(gè)鋼球的一系列方程包括28,37,39在內(nèi),都能夠得到,還包括兩個(gè)形容保持架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)方程38,40.通過計(jì)算每個(gè)鋼球與滾道的運(yùn)動(dòng)方程,可以得到角接觸球軸承的三維非線性動(dòng)力學(xué)模型.41苴/、中,=diag1/仃11是5Nb+2X5Nb+2的尺寸系數(shù)矩陣,X=【口：叫小.;叫要心.F是5Nb+2X1的三維位移矢量,為5Nb+2X1的外力向量.由于鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)和鋼球與保持架之間的間斷接觸,公式41為非線性耦合一階微分方程.外部負(fù)載的大小,鋼

25、球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的初始值,保持架和內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)速度都對(duì)方程41的收斂過程有顯著影響.顯然,外部負(fù)載的缺乏會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)花費(fèi)更多的時(shí)間收斂,不合理的旋轉(zhuǎn)和軌道速度的初始值可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩.本研究中,用滾道限制理論20所獲得的結(jié)果作為初始值.增加內(nèi)圈速度意味著陀螺耦合效應(yīng)變得顯著,鋼球與溝道之間的不連續(xù)接觸可能會(huì)更頻繁.在該計(jì)算中應(yīng)減少時(shí)長(zhǎng)以保證收斂,公式41可用MATLABode15s程序求解.該解算程序是專用剛性微分方程,在每一個(gè)時(shí)間段,解算程序可以估計(jì)該計(jì)算的局部誤差.這種誤差必須小于或等于可接受的誤差,這是一個(gè)指定的相對(duì)誤差reltol與絕對(duì)容差abstol之間的函數(shù).在本研究中RelT

26、ol和AbsTol分別設(shè)置為1e-3和1e-6,當(dāng)總時(shí)間超過設(shè)定時(shí)間時(shí),計(jì)算停止,詳細(xì)的計(jì)算過程如圖7所示.5.模型的驗(yàn)證PasdariandGentle23測(cè)試了角接觸球軸承的保持架在軸向載荷下的旋轉(zhuǎn)速度,35毫米口徑的角接觸球軸承在最高轉(zhuǎn)速為3000轉(zhuǎn)的變速直流電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下旋轉(zhuǎn),試驗(yàn)軸承的參數(shù)在表一中列出.軸承被安裝在驅(qū)動(dòng)軸上,驅(qū)動(dòng)軸由由2個(gè)深槽球軸承支撐,并通過皮帶輪與電機(jī)相連.軸承垂直安裝,可以用重力作為軸向載荷的一局部,使其更容易作用在軸承上.本文的動(dòng)態(tài)模型可以預(yù)測(cè)保持架在各種軸向載荷下的作用,其速度隨時(shí)間變化的規(guī)律.將計(jì)算數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比擬,以驗(yàn)證動(dòng)態(tài)模型的正確性.本試驗(yàn)中未給

27、出潤(rùn)滑劑的類型23.本動(dòng)態(tài)模型使用了一種專用于滾動(dòng)軸承的典型潤(rùn)滑油(MIL-L-23699).拜爾和科特基22提供了MIL-L-23699潤(rùn)滑劑的參數(shù),見表2,該潤(rùn)滑劑的溫度T為30C.7,非線性動(dòng)力學(xué)模型的求解過程.試驗(yàn)中,內(nèi)圈轉(zhuǎn)速2000rpm(i=209:4395rad/s),在純滾動(dòng)條件下=8=82.0994rad/s.在模擬中,初始角速度和位移被設(shè)置為叫200ng蜘=-800rad八通=-100闖/$價(jià).0.帆,產(chǎn)2工岫0,L2隨and例礴=0,麻也H軸向載荷隆為40,80,120.,300N,基于非線性動(dòng)力學(xué)模型和圖8中的結(jié)果,可以得到保持架速度隨時(shí)間的變化規(guī)律.結(jié)果說明在<

28、120N時(shí),cage的影響小與3t.由于軸向載荷較低,摩擦力和摩擦力矩也會(huì)較低,不能提供足夠的阻力來保證鋼球一直處于純滾動(dòng)狀態(tài).表1,滾動(dòng)軸承的物理參數(shù)DescriptionValuedb(m)即g)加(m)dm(m)4(m)de(m)兩E?N/m2)iP(kg/mjMkcge(N/m)/cage(kgm2)0,01350.00700.00700.07010.04310.056625°Z075ell03780011le84.096e-5le-5.(m)表2.潤(rùn)滑油MIL-L-23699參數(shù)DescriptionValueno3s)a(l/Oe-4)o(l/Cle-3)%p/kg/iT

29、p)BKo(GPa)Kq(GPaK)0.046677.42-1.280.66418603.38210741-E0149570.80.05圖8.隨著cage在各種軸向負(fù)荷隨時(shí)間的變化.因此,宏觀滑移出現(xiàn)在鋼球與內(nèi)外溝道的接觸區(qū).加大以增大對(duì)鋼球的摩擦力,可以使cage接近純滾動(dòng)速度.看越大,可以cage接近而：的時(shí)間就越短,如圖8中的放大圖所示.把在不同軸向載荷下的保持架的速度cage,與PasdariandGentle23實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比擬,如圖9所示.在較低的軸向載荷作用下,cage出現(xiàn)明顯的波動(dòng),這是由于嚴(yán)重的打滑導(dǎo)致測(cè)試結(jié)果不準(zhǔn)確.隨著軸向載荷的增加,cage為恒定值,即歷"曲=

30、0.3920.圖9所示的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合,說明預(yù)測(cè)滑移行為的動(dòng)態(tài)模型是可靠的.止匕外,從圖9可以看出在Fin>120N時(shí),cage/i接近純滾動(dòng)比0.3920,說明保持架的打滑變?nèi)?但是,無論球是否在純滾動(dòng)狀態(tài),應(yīng)通過觀察鋼球的自轉(zhuǎn)速度xj,yj,zj來判斷打滑的程度.以j=1的鋼球?yàn)槔?三個(gè)旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間和軸向載荷的變化如圖10所示.它說明,隨著時(shí)間的增加,在>500N后,三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量變?yōu)楹愣ㄖ?該圖說明,當(dāng)沅=520N時(shí),x1«0rad/s,y1M87rad/s,wz1«-376rad/s.公稱接觸角B0=25o,鋼球的旋轉(zhuǎn)速度可以通過公式18和20

31、計(jì)算得到該值近似為零.因此,當(dāng)>500N時(shí)可以認(rèn)為鋼球是在純滾動(dòng)狀態(tài).4.軸向和徑向載荷下軸承的打滑在前一節(jié)中,僅在角接觸球軸承的內(nèi)圈上施加軸向載荷,在實(shí)際應(yīng)用中,軸向和徑向載荷聯(lián)合載荷將同時(shí)作用于內(nèi)圈.與僅僅軸向加載系統(tǒng)相比,聯(lián)合負(fù)荷對(duì)打滑行為的影響有明顯的不同.在這一節(jié)中,考慮了2種類型的載荷,即：恒定的徑向載荷時(shí)不變載荷和正弦徑向載荷時(shí)變載荷.6.1. 恒定的徑向負(fù)荷軸向負(fù)荷總是作用在內(nèi)圈,設(shè)置=6o=600N,徑向載荷為M為100,200,300,400,500N,第j=1個(gè)鋼球運(yùn)行速度隨時(shí)間的變化如11所示.徑向載荷的添加將引起鋼球運(yùn)行速度c1的小幅波動(dòng).徑向載荷的增加僅僅減少

32、CDC1的數(shù)值,一般情況下,徑向負(fù)載對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響并不顯著.通過公式16-17和19-20,可以得到Auox,Aoy,和Auix,Aiy,他們?yōu)殇撉蚺c內(nèi)外溝道之間橢圓接觸區(qū)短長(zhǎng)軸的相對(duì)滑動(dòng)速度.為了準(zhǔn)確地計(jì)算滑動(dòng)速度,滑動(dòng)速度的絕對(duì)值定義如下：(42)(43)0.3g0.36米.米Pasdari&GfintlH&results.PresentresulEfi0.30.280.25L0100200300400Axiall(>3dFj(N)500600圖9.在F】n不斷增加的情況下對(duì)cage的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比擬(a)充520¥OM770(b)圖10.轉(zhuǎn)動(dòng)分量(

33、CDXl,coyl,CDZl)隨時(shí)間和軸向載荷的變化在不同的徑向載荷作用下,Aui,Auo隨j=1的鋼球軌道運(yùn)動(dòng)的變化分別如圖12和圖13所示.從圖12的曲線中可以明顯的看出Aui的波動(dòng),在軌道周期Top=(2九/c1)的某些區(qū)域,Au的值明顯大于0,說明嚴(yán)重打滑發(fā)生在鋼球與內(nèi)圈接觸的區(qū)域.一個(gè)軌道周期Top可以被劃分為四個(gè)區(qū)域：區(qū)域A(0-0.14)Top和(0.88-1)Top),B區(qū)域(0.14-0.42)Top,C區(qū)域(0.42-0.68)Top,D區(qū)域(0.68-0.88)Top,如圖12所示,很明顯,在B和D區(qū)域,即使加更高的徑向載荷,滑動(dòng)速度也很小.這說明,在這2個(gè)區(qū)域鋼球與內(nèi)滾

34、道之間幾乎不存在打滑.而在A和C區(qū)域,隨著鋼球的旋轉(zhuǎn),滑動(dòng)速度先增加后減小,A區(qū)域滑動(dòng)速度的最大值大于C區(qū)域的最大值.芭Pol)Lump柒ds=s7.6與11188881.40、FT=200-Fz'=fit)Ci>nin+Ft=30D-Fz=60Dm''nF*=400-=600nmF"50t>弁=60.>nin一1),Q門Oft=i>nin0.511,5Numberofballorbitalperiod圖11.鋼球的運(yùn)行速度C1在徑向載荷F：下隨時(shí)間的變化NumberofballorbitalperiodAui圖12.在組合荷載作用下,

35、鋼球相對(duì)于內(nèi)圈的絕對(duì)速度隨著徑向載荷的增加,A和C區(qū)域的滑動(dòng)速度也相應(yīng)增大,說明在這兩個(gè)區(qū)域打滑變得更嚴(yán)重.從圖13中可以發(fā)現(xiàn)外圈的滑動(dòng)也有此現(xiàn)象,不同的是,即使加更高的徑向載荷D區(qū)域的滑動(dòng)速度也不太低,然而,與A區(qū)域和C區(qū)域的滑動(dòng)速度相比,它仍然是較低的值.在較高的徑向載荷下,鋼球與內(nèi)外圈之間的滑動(dòng)速度出現(xiàn)波動(dòng).只要對(duì)內(nèi)圈施加徑向載荷其接觸載荷分布就會(huì)發(fā)生顯著變化,如圖14所示.徑向載荷的引入會(huì)導(dǎo)致B,D區(qū)域的接觸力變大,遠(yuǎn)大于只受到純軸向載荷時(shí).徑向載荷的增加使接觸力明顯上升,B和D區(qū)域被稱為載荷增加區(qū)域,兩載荷區(qū)域是由軸向和徑向負(fù)載綜合作用產(chǎn)生的.從圖15可以看出徑向載荷使B區(qū)域的接觸力

36、增大,使D區(qū)域的接觸力減小.在軸向載荷作用下,內(nèi)圈相對(duì)于X軸旋轉(zhuǎn),如圖15所示.然后,鋼球和溝道在D區(qū)域再接觸時(shí)將會(huì)產(chǎn)生更大的接觸力.不過,在相同的載荷條件下,D區(qū)域接觸力的峰值低于B區(qū)域的峰值.在聯(lián)合載荷條件下,存在兩個(gè)接觸力增加區(qū)B和D,同時(shí)也存在兩個(gè)接觸力減小區(qū)A和C.當(dāng)施加徑向載荷時(shí),這2個(gè)區(qū)域的接觸力減少,加大徑向載荷接觸力降低的更明顯.在聯(lián)合載荷作用下,該系統(tǒng)滑動(dòng)速度的波動(dòng),可以用接觸力增加的區(qū)域來解釋.較高的接觸力,可提供足夠的阻力,以保證鋼球處于純滾動(dòng)狀態(tài),此時(shí)滑移速度很小,幾乎不存在打滑.鋼球從接觸力增加的區(qū)域移動(dòng)到接觸力減小的區(qū)域時(shí),接觸力降低,從而沒有足夠的摩擦力和摩擦力

37、矩來帶動(dòng)鋼球運(yùn)動(dòng).芭E與可合口蟲學(xué)Bu-dd一«anosqvOFIOQ-FaffOOmm諾fFoD-F7=6M1n十Fr3OD-F2=8Mm'mPY=400-1=6MF：=500-哈8tMNumberofballorbitalperiod圖13.在聯(lián)合荷載作用下,鋼球相對(duì)于外圈的絕對(duì)速度A0.511.&Numberofballorbilalperiod圖14.第j=1個(gè)鋼球與內(nèi)圈之間的接觸力圖15.軸承在聯(lián)合荷載作用下接觸力增加和降低區(qū)域示意圖宏觀的滑移發(fā)生在接觸區(qū),嚴(yán)重打滑也發(fā)生在該接觸區(qū).當(dāng)鋼球從接觸力減小區(qū)運(yùn)動(dòng)到接觸力增加區(qū)時(shí),因接觸力的增加其滑動(dòng)速度將減小,打

38、滑減輕,滑動(dòng)速度保持在較低值.從上面的分析中可以得到,當(dāng)軸向載荷in=600N時(shí),軸承幾乎不會(huì)出現(xiàn)打滑,而徑向載荷的參加會(huì)使滑動(dòng)速度產(chǎn)生波動(dòng),在接觸力減少區(qū)更明顯,當(dāng)徑向載荷增大時(shí),可以發(fā)現(xiàn)更為明顯的波動(dòng).在這些區(qū)域,鋼球仍然承受載荷.較大的滑動(dòng)速度會(huì)增加軸承和潤(rùn)滑油的溫度,加劇軸承的磨損,縮短軸承的使用壽命.6.2. 正弦曲線的徑向載荷由于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的旋轉(zhuǎn),在軸承上的徑向載荷可能隨時(shí)變化.這里,認(rèn)為隨時(shí)間變化的徑向載荷是正弦變化的,其頻率等于內(nèi)圈溝道的旋轉(zhuǎn)速度.它可以表示為F1=Fr"+Nin(QX),其中Fr為恒定的徑向負(fù)荷,r為正弦載荷的相對(duì)振幅.軸向載荷保持恒定值即1i=600

39、N,Fr=400N,r=0.0,0.2,0.4時(shí)；滑動(dòng)速度隨鋼球溝道速度的變化如圖16所示.r=0.0表示徑向載荷為常數(shù),只要徑向載荷為時(shí)變載荷(Nr=0.2,0.4),滑動(dòng)速度隨著鋼球軌道運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)就是非周期性的,這是由于內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)速度和鋼球沿軌道速度之比不是整數(shù).在載荷減小的區(qū)域,時(shí)變載荷使滑動(dòng)速度增大了,然而,由于非周期性波動(dòng),當(dāng)鋼球再次進(jìn)入相同的載荷降低區(qū)域,時(shí)變載荷會(huì)使滑動(dòng)速度減小.因此,很難說,時(shí)變載荷是否能提升或減輕鋼球的打滑.但可以肯定的是,時(shí)變載荷可以增大最大滑移速度,如圖16所示.此外,其對(duì)研究滑移速度隨時(shí)間穩(wěn)態(tài)變化中的頻率分量有很大意義.利用了快速傅里葉變換,得到的滑移速度

40、Aui的頻譜如圖17所示.其中恒定徑向載荷(Nr=0.0),鋼球的軌道速度為頻率整倍數(shù)即icocl(i=1,2,3.).當(dāng)徑向負(fù)荷為正弦時(shí)間載荷(r=0.2,0.4)時(shí),icoc1的振幅會(huì)相應(yīng)地增加.除了鋼球的軌道速度和它的整數(shù)倍外,內(nèi)圈轉(zhuǎn)速和鋼球軌道速度的合速度,即(i±ic)(i=0,1,2,).本段考慮了恒定的正弦徑向負(fù)荷,分析其對(duì)鋼球滑動(dòng)行為的影響.雖然該動(dòng)態(tài)模型已通過與Ref23保持架速度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比擬得到驗(yàn)證,但本節(jié)中研究得到的結(jié)果在之前未被發(fā)現(xiàn).幾個(gè)動(dòng)態(tài)的研究已經(jīng)進(jìn)行了,重點(diǎn)是分析深溝球軸承的鋼球與保持架之間的作用力24,干摩擦的摩擦力矩25,26,潤(rùn)滑劑的阻力27.

41、他們沒有研究鋼球在聯(lián)合載荷作用下其在三維空間中的運(yùn)動(dòng)情況,下邊我們將對(duì)鋼球在不同載荷條件下的三維運(yùn)動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.NumberoFballorbitalperiodO.8了.6,54,3,2JO0.0.ao.0,.0,0.(圖E)Yi<占POI&ABuadlF55w£<16 .時(shí)變的徑向負(fù)荷對(duì)滑動(dòng)17 .在時(shí)變徑向載荷和恒定的軸向載荷作用下滑移速度圖Aui的頻譜.5.結(jié)論該三維非線性動(dòng)態(tài)模型用來預(yù)測(cè)角接觸球軸承的打滑行為,具綜合考慮了鋼球旋轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺效應(yīng),鋼球與內(nèi)外圈的赫茲接觸,鋼球和保持架之間的不連續(xù)接觸,彈流動(dòng)力潤(rùn)滑等.通過與試驗(yàn)結(jié)果的比擬,驗(yàn)證了動(dòng)

42、態(tài)模型可靠性.在此根底上,得出了在聯(lián)合載荷作用下,鋼球滑動(dòng)速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律.結(jié)果說明徑向載荷將使鋼球與內(nèi)外圈之間的滑移速度發(fā)生波動(dòng),在載荷降低區(qū)域具波動(dòng)更明顯.徑向載荷的增加將顯著增加滑動(dòng)速度的幅度和范圍,使打滑更加嚴(yán)重.鋼球在接觸載荷降低區(qū)承受載荷會(huì)使滑動(dòng)速度變大,較大的滑動(dòng)速度會(huì)大大增加軸承和潤(rùn)滑油的溫度,加劇軸承磨損,減少軸承的使用壽命.因此,在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)與檢測(cè)中應(yīng)認(rèn)真考慮徑向載荷的影響.本研究中的彈流潤(rùn)滑模型用于重載接觸.當(dāng)軸承在低的外載荷下運(yùn)行時(shí),鋼球與內(nèi)外溝道之間存在著嚴(yán)重的打滑.在這種情況下,該模型得到的油膜厚度和潤(rùn)滑油的動(dòng)態(tài)粘度可能是不準(zhǔn)確的.未來的研究應(yīng)致力于通

43、過實(shí)驗(yàn)來改善嚴(yán)重打滑的條件下的該模型.致謝論文中所進(jìn)行的研究工作由國(guó)家摩擦學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助.SKLT2021D02和北京自然科學(xué)基金資助工程no.3131002.參考文獻(xiàn)1 T.A.Harris,Ananalyticalmodeltopredictskiddinginhighspeedrollerbearings,TribologyTransactions9(1966)229-241.2 T.A.Harris,Ananalyticalmodeltopredictskiddinginthrust-loadedangular-contactballbearings,JournalofLubrica

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